In the given set, (11) also leaves remainder (5) on division by (6).
Step 3
Exam Tip
While writing an equivalence class, include only elements from the base set with the same remainder. चरण 1: (5) को (6) से भाग देने पर शेष (5) है। चरण 2: दिए गए समुच्चय में (11) भी (6) से भाग देने पर शेष (5) देता है। चरण 3: तुल्यता वर्ग लिखते समय केवल समान शेष वाले और मूल समुच्चय के अवयव ही रखें।
All integers with the same remainder are related to (-15).
Step 3
Exam Tip
For negative numbers also, write the standard remainder between (0) and (6). चरण 1: (-15=-21+6), इसलिए इसका शेष (6) माना जाएगा। चरण 2: इसी शेष वाले सभी पूर्णांक (-15) से सम्बन्धित होंगे। चरण 3: ऋणात्मक संख्या में भी मानक शेष (0) से (6) के बीच लिखना सही तरीका है।
A number (x) is related to \(\frac{3}{4}\) only when \(x-\frac{3}{4}\) is an integer.
Step 2
Why this answer is correct
Thus \(x=\frac{3}{4}+n\), where \(n\in Z\).
Step 3
Exam Tip
This class contains numbers with the same fractional part, not a full interval. चरण 1: (x) तभी \(\frac{3}{4}\) से सम्बन्धित होगा जब \(x-\frac{3}{4}\) पूर्णांक हो। चरण 2: इसलिए \(x=\frac{3}{4}+n\), जहाँ \(n\in Z\)। चरण 3: ऐसे वर्ग में समान भिन्नांश भाग वाली संख्याएँ आती हैं, पूरा अंतराल नहीं।
Therefore (3) and (4) are in the same equivalence class, so the class is ({3,4}). चरण 1: \(3^2=9\), जिसका (7) से शेष (2) है। चरण 2: \(4^2=16\) का भी (7) से शेष (2) है। चरण 3: इसलिए (3) और (4) एक ही तुल्यता वर्ग में हैं; वर्ग ({3,4}) होगा।
\(2\cdot\frac{5}{4}=\frac{5}{2}\), so the floor value is (2).
Step 2
Why this answer is correct
\(\lfloor 2x\rfloor=2\) means \(2\le 2x<3\).
Step 3
Exam Tip
Hence \(1\le x<\frac{3}{2}\), so the correct class is \([1,\frac{3}{2}\)). चरण 1: \(2\cdot\frac{5}{4}=\frac{5}{2}\), इसलिए पूर्णांक भाग (2) है। चरण 2: \(\lfloor 2x\rfloor=2\) के लिए \(2\le 2x<3\) होगा। चरण 3: इससे \(\frac{5}{4}\le x<\frac{3}{2}\) नहीं, बल्कि \(1\le x<\frac{3}{2}\) मिलता है; इसलिए सही वर्ग \([1,\frac{3}{2}\)) है।
Dividing by (2) gives \(1\le x<\frac{3}{2}\), so the class is \([1,\frac{3}{2}\)). चरण 1: \(\lfloor 2\cdot\frac{5}{4}\rfloor=\lfloor \frac{5}{2}\rfloor=2\)। चरण 2: \(\lfloor 2x\rfloor=2\) का अर्थ \(2\le 2x<3\) है। चरण 3: दोनों तरफ (2) से भाग देने पर \(1\le x<\frac{3}{2}\), इसलिए वर्ग \([1,\frac{3}{2}\)) है।
In the given set, only (4) has least common multiple (12) with (6).
Step 3
Exam Tip
Only elements with the same value lie in one class, so the class is ({4}). चरण 1: (\operatorname{lcm}(4,6)=12)। चरण 2: दिए गए समुच्चय में केवल (4) का (6) के साथ लघुत्तम समापवर्त्य (12) है। चरण 3: समान मान वाले अवयव ही एक वर्ग में आते हैं, इसलिए वर्ग ({4}) है।
सभी \(3\times 3\) वास्तविक आव्यूहों पर (A RB) तब और केवल तब जब (\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(B))। इस सम्बन्ध से कितने तुल्यता वर्ग बनेंगे?
The rank of a \(3\times 3\) matrix can be (0,1,2,) or (3).
Step 2
Why this answer is correct
Matrices with the same rank lie in the same equivalence class.
Step 3
Exam Tip
Therefore there are (4) equivalence classes. चरण 1: \(3\times 3\) आव्यूह की कोटि (0,1,2,3) हो सकती है। चरण 2: समान कोटि वाले आव्यूह एक ही तुल्यता वर्ग में आएँगे। चरण 3: इसलिए कुल (4) तुल्यता वर्ग बनेंगे।
Over real numbers, \(x^4=16\) gives (x=2) and (x=-2).
Step 3
Exam Tip
With an even power, the sign can change while the value remains the same, so both elements are included. चरण 1: \(2^4=16\) है। चरण 2: वास्तविक संख्याओं में \(x^4=16\) के हल (x=2) और (x=-2) हैं। चरण 3: सम घात में चिन्ह बदलने पर मान समान रह सकता है, इसलिए दोनों अवयव वर्ग में होंगे।
All complex numbers related to it must have real part (2).
Step 3
Exam Tip
The imaginary part can be any real number, so the class is \({2+yi:y\in R}\). चरण 1: (2+3i) का वास्तविक भाग (2) है। चरण 2: इससे सम्बन्धित सभी जटिल संख्याओं का वास्तविक भाग (2) होना चाहिए। चरण 3: काल्पनिक भाग कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है, इसलिए वर्ग \({2+yi:y\in R}\) है।
\(\lceil \frac{6}{2}\rceil=3\), so (6) is in the same class.
Step 3
Exam Tip
In ceiling function questions, carefully check where the next integer value begins. चरण 1: \(\lceil \frac{5}{2}\rceil=3\)। चरण 2: \(\lceil \frac{6}{2}\rceil=3\), इसलिए (6) भी उसी वर्ग में है। चरण 3: छत फलन वाले प्रश्नों में अगला पूरा मान कब आता है, यह ध्यान से देखें।
For the relation, the difference of the two numbers must be rational.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{2}-\sqrt{3}\) is not rational, so this pair is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
In the other options, the difference is rational, so they are in the relation. चरण 1: सम्बन्ध के लिए दोनों संख्याओं का अंतर परिमेय होना चाहिए। चरण 2: \(\sqrt{2}-\sqrt{3}\) परिमेय नहीं है, इसलिए यह युग्म सम्बन्ध में नहीं है। चरण 3: बाकी विकल्पों में अंतर परिमेय है, इसलिए वे सम्बन्ध में आते हैं।
Hence all polynomials whose value at (1) is (2) lie in this class. चरण 1: दिए गए बहुपद के लिए (p(1)=12+1=2)। चरण 2: सम्बन्ध (1) पर समान मान देखने वाला है। चरण 3: इसलिए वही सभी बहुपद वर्ग में आएँगे जिनका (1) पर मान (2) है।
Three equivalence classes are formed: ({1,4}), ({2,5}), and ({3,6}).
Step 2
Why this answer is correct
Each class has (2) elements, so each contributes \(2^2=4\) pairs.
Step 3
Exam Tip
Total ordered pairs are (4+4+4=12). चरण 1: तीन तुल्यता वर्ग बनते हैं: ({1,4}), ({2,5}), और ({3,6})। चरण 2: हर वर्ग में (2) अवयव हैं, इसलिए हर वर्ग से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। चरण 3: कुल (4+4+4=12) क्रमित युग्म होंगे।
Each class of size (n) contributes \(n^2\) ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
Here the total is \(2^2+2^2+4^2=4+4+16\).
Step 3
Exam Tip
Therefore the relation contains (24) ordered pairs. चरण 1: आकार (n) वाले हर वर्ग से \(n^2\) क्रमित युग्म मिलते हैं। चरण 2: यहाँ कुल संख्या \(2^2+2^2+4^2=4+4+16\) है। चरण 3: इसलिए सम्बन्ध में (24) क्रमित युग्म होंगे।
Elements in the same block are related to each other.
Step 2
Why this answer is correct
(a) and (b) are in different blocks, so ((a,b)) is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
Within a class, ordered pairs in both directions are included, so the other pairs are valid. चरण 1: एक ही भाग के अवयव आपस में सम्बन्धित होते हैं। चरण 2: (a) और (b) अलग-अलग भागों में हैं, इसलिए ((a,b)) सम्बन्ध में नहीं होगा। चरण 3: वर्ग के भीतर दिशा बदलने पर भी युग्म शामिल रहता है, इसलिए बाकी युग्म सही हैं।
A. क्योंकि (1R1) परिभाषित नहीं है/Because (1R1) is not defined
Step 1
Concept
For (1), \(\ln 1=0\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{\ln 1}{\ln 1}=\frac{0}{0}\) is undefined.
Step 3
Exam Tip
When reflexivity fails, the relation cannot be an equivalence relation. चरण 1: (1) के लिए \(\ln 1=0\) है। चरण 2: \(\frac{\ln 1}{\ln 1}=\frac{0}{0}\) परिभाषित नहीं है। चरण 3: स्वतुल्यता टूटने पर सम्बन्ध तुल्यता सम्बन्ध नहीं हो सकता।
A. नहीं, यह स्वतुल्य नहीं है/No, it is not reflexive
Step 1
Concept
For real numbers, \(a^2+b^2=0\) only when (a=0) and (b=0).
Step 2
Why this answer is correct
For (1R1), \(1^2+1^2=2\), so (1R1) is false.
Step 3
Exam Tip
Not every element is related to itself, so it is not an equivalence relation. चरण 1: वास्तविक संख्याओं में \(a^2+b^2=0\) तभी होता है जब (a=0) और (b=0)। चरण 2: (1R1) के लिए \(1^2+1^2=2\), इसलिए (1R1) नहीं है। चरण 3: सभी अवयव स्वयं से सम्बन्धित नहीं हैं, अतः यह तुल्यता सम्बन्ध नहीं है।
A. क्योंकि यह स्वतुल्य नहीं है/Because it is not reflexive
Step 1
Concept
Reflexivity would require (a+a) to be prime for every (a).
Step 2
Why this answer is correct
For (a=2), (2+2=4), which is not prime.
Step 3
Exam Tip
Therefore the relation is not reflexive on all elements and cannot be equivalence. चरण 1: स्वतुल्यता के लिए हर (a) पर (a+a) अभाज्य होना चाहिए। चरण 2: (a=2) लेने पर (2+2=4), जो अभाज्य नहीं है। चरण 3: इसलिए सम्बन्ध सभी अवयवों पर स्वतुल्य नहीं है और तुल्यता सम्बन्ध नहीं बनता।
Elements with the same remainder form one equivalence class. चरण 1: (|a-b|) का (3) से विभाज्य होना समान शेष की बात है। चरण 2: शेष (1) वाला वर्ग ({1,4}), शेष (2) वाला ({2,5}), और शेष (0) वाला ({3}) है। चरण 3: समान शेष वाले अवयव एक ही तुल्यता वर्ग बनाते हैं।
A. वे संख्याएँ जिनका सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड (3) है/Numbers whose greatest prime factor is (3)
Step 1
Concept
\(18=2\cdot 3^2\), so its greatest prime factor is (3).
Step 2
Why this answer is correct
The relation checks only the greatest prime factor.
Step 3
Exam Tip
Therefore the class contains all natural numbers whose greatest prime factor is (3). चरण 1: \(18=2\cdot 3^2\), इसलिए इसका सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड (3) है। चरण 2: सम्बन्ध केवल सबसे बड़े अभाज्य गुणनखंड को देखता है। चरण 3: इसलिए वर्ग उन सभी प्राकृतिक संख्याओं का होगा जिनका सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड (3) है।
Every pair related to it must have first component minus second component equal to (3).
Step 3
Exam Tip
Hence the equivalence class is ({(x,y):x-y=3}). चरण 1: ((4,1)) के लिए (4-1=3)। चरण 2: उससे सम्बन्धित हर युग्म में पहला घटक घटा दूसरा घटक (3) होना चाहिए। चरण 3: इसलिए तुल्यता वर्ग ({(x,y):x-y=3}) है।
All points in the same class must have (x)-coordinate (3).
Step 3
Exam Tip
The (y)-coordinate can be any real number, so the class is a vertical line. चरण 1: ((3,-2)) का (x)-निर्देशांक (3) है। चरण 2: उसी वर्ग के सभी बिंदुओं का (x)-निर्देशांक (3) होगा। चरण 3: (y)-निर्देशांक कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है, इसलिए वर्ग ऊर्ध्वाधर रेखा है।
A. मूल बिंदु से दूरी (10) वाला वृत्त/Circle at distance (10) from the origin
Step 1
Concept
The distance of ((6,8)) from the origin is \(\sqrt{6^2+8^2}=10\).
Step 2
Why this answer is correct
All points related to it must also have distance (10).
Step 3
Exam Tip
All points at the same distance from the origin form a circle centered at the origin. चरण 1: ((6,8)) की मूल बिंदु से दूरी \(\sqrt{6^2+8^2}=10\) है। चरण 2: इससे सम्बन्धित सभी बिंदुओं की दूरी भी (10) होगी। चरण 3: समान दूरी वाले सभी बिंदु मूल बिंदु केंद्र वाला वृत्त बनाते हैं।
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) है। इसे तुल्यता सम्बन्ध बनाने के लिए न्यूनतम कौन-से युग्म जोड़ने होंगे?
To preserve symmetry, both ((1,3)) and ((3,1)) must be added. चरण 1: (1) का (2) से और (2) का (3) से सम्बन्ध है। चरण 2: संक्रामकता के लिए (1) और (3) का सम्बन्ध जरूरी है। चरण 3: सममिति बनाए रखने के लिए दोनों दिशाओं के युग्म ((1,3)) और ((3,1)) जोड़ने होंगे।
Since \([a]\subseteq[b]\), we get \(a\in[b]\), so (a) and (b) are related.
Step 3
Exam Tip
In an equivalence relation, related elements have equal classes, hence ([a]=[b]). चरण 1: (a) हमेशा अपने वर्ग ([a]) में होता है। चरण 2: \([a]\subseteq[b]\) होने से \(a\in[b]\), इसलिए (a) और (b) सम्बन्धित हैं। चरण 3: तुल्यता सम्बन्ध में सम्बन्धित अवयवों के वर्ग समान होते हैं, अतः ([a]=[b])।
In an equivalence relation, two classes are either equal or disjoint.
Step 2
Why this answer is correct
If (a) and (b) are not related, their classes cannot be equal.
Step 3
Exam Tip
Therefore the intersection of their classes is empty. चरण 1: तुल्यता सम्बन्ध में दो वर्ग या तो समान होते हैं या असंयुक्त होते हैं। चरण 2: यदि (a) और (b) सम्बन्धित नहीं हैं, तो उनके वर्ग समान नहीं हो सकते। चरण 3: इसलिए उनके वर्गों का प्रतिच्छेद रिक्त होगा।
The first class ({1,4}) contributes \(2^2=4\) pairs.
Step 2
Why this answer is correct
The second class ({2,3,5}) contributes \(3^2=9\) pairs.
Step 3
Exam Tip
Total ordered pairs are (4+9=13). चरण 1: पहले वर्ग ({1,4}) से \(2^2=4\) युग्म बनेंगे। चरण 2: दूसरे वर्ग ({2,3,5}) से \(3^2=9\) युग्म बनेंगे। चरण 3: कुल (4+9=13) क्रमित युग्म होंगे।
Equivalence classes partition the set without leaving out or repeating elements.
Step 2
Why this answer is correct
The sizes of two classes must add up to (5).
Step 3
Exam Tip
Among the options, only (2+3=5) is correct. चरण 1: तुल्यता वर्ग समुच्चय को बिना छोड़े और बिना दोहराए बाँटते हैं। चरण 2: दो वर्गों के आकारों का योग (5) होना चाहिए। चरण 3: दिए गए विकल्पों में (2+3=5) ही सही है।
Since the digit product is the same, (16) lies in the same equivalence class. चरण 1: (23) के अंकों का गुणनफल \(2\cdot 3=6\) है। चरण 2: (16) के अंकों का गुणनफल \(1\cdot 6=6\) है। चरण 3: समान अंकीय गुणनफल होने से (16) उसी तुल्यता वर्ग में होगा।
A. क्योंकि यह स्वतुल्य नहीं है/Because it is not reflexive
Step 1
Concept
Reflexivity requires (aRa) for every (a).
Step 2
Why this answer is correct
(a-a=0), and (0) is rational, not irrational.
Step 3
Exam Tip
Hence no element is related to itself, so this is not an equivalence relation. चरण 1: स्वतुल्यता के लिए (aRa) हर (a) पर चाहिए। चरण 2: (a-a=0), और (0) परिमेय है, अपरिमेय नहीं। चरण 3: इसलिए कोई भी अवयव स्वयं से सम्बन्धित नहीं है और यह तुल्यता सम्बन्ध नहीं है।
A. क्योंकि यह सममित नहीं है/Because it is not symmetric
Step 1
Concept
\(a-b\ge 0\) means \(a\ge b\).
Step 2
Why this answer is correct
(2R1) is true, but (1R2) is false.
Step 3
Exam Tip
Since symmetry fails, it cannot be an equivalence relation. चरण 1: \(a-b\ge 0\) का अर्थ \(a\ge b\) है। चरण 2: (2R1) सही है, लेकिन (1R2) सही नहीं है। चरण 3: सममिति टूटने से यह तुल्यता सम्बन्ध नहीं हो सकता।
A. क्योंकि यह स्वतुल्य नहीं है/Because it is not reflexive
Step 1
Concept
Reflexivity would require (|a|<|a|) for every (a).
Step 2
Why this answer is correct
No number's absolute value is less than itself.
Step 3
Exam Tip
Hence (aRa) is never true, so the relation is not equivalence. चरण 1: स्वतुल्यता के लिए (|a|<|a|) हर (a) के लिए चाहिए। चरण 2: कोई भी संख्या अपने परम मान से छोटी नहीं होती। चरण 3: इसलिए (aRa) कभी सही नहीं होगा और सम्बन्ध तुल्यता नहीं है।
If the first and second perimeters are equal and the second and third are equal, then the first and third are equal too. चरण 1: हर त्रिभुज का परिमाप स्वयं के परिमाप के बराबर होता है। चरण 2: समान परिमाप की बात दोनों दिशाओं में समान रहती है। चरण 3: यदि पहले और दूसरे का परिमाप बराबर है तथा दूसरे और तीसरे का भी बराबर है, तो पहले और तीसरे का परिमाप बराबर होगा।
A. एक नियत केंद्र वाले सभी वृत्तों के समूह/Groups of all circles with one fixed centre
Step 1
Concept
Every circle has the same centre as itself.
Step 2
Why this answer is correct
Having the same centre is symmetric and transitive.
Step 3
Exam Tip
Hence each class contains all circles with one fixed centre, while radii may differ. चरण 1: हर वृत्त का केंद्र स्वयं के केंद्र जैसा होता है। चरण 2: समान केंद्र की बात सममित और संक्रामक भी है। चरण 3: इसलिए हर वर्ग में किसी एक नियत केंद्र वाले सभी वृत्त आएँगे, त्रिज्या अलग हो सकती है।
A. क्योंकि यह संक्रामक नहीं है/Because it is not transitive
Step 1
Concept
If two lines intersect, the statement is also true in the reverse direction.
Step 2
Why this answer is correct
But if (l) intersects (m) and (m) intersects (n), it is not necessary that (l) intersects (n).
Step 3
Exam Tip
Failure of transitivity prevents it from being an equivalence relation. चरण 1: यदि दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, तो उलटी दिशा में भी यही बात सही है। चरण 2: लेकिन (l) और (m) प्रतिच्छेद करें तथा (m) और (n) प्रतिच्छेद करें, तो जरूरी नहीं कि (l) और (n) भी प्रतिच्छेद करें। चरण 3: संक्रामकता टूटने पर तुल्यता सम्बन्ध नहीं बनता।
A person's height is equal to his or her own height.
Step 2
Why this answer is correct
If the first person's height equals the second's, the reverse is also true.
Step 3
Exam Tip
Equality of height also transfers through a third person, so this is an equivalence relation. चरण 1: किसी व्यक्ति की ऊँचाई स्वयं की ऊँचाई के बराबर होती है। चरण 2: यदि पहले की ऊँचाई दूसरे के बराबर है, तो दूसरे की भी पहले के बराबर है। चरण 3: समान ऊँचाई की समानता तीसरे व्यक्ति तक भी चलती है, इसलिए यह तुल्यता सम्बन्ध है।
A. प्रत्येक कक्षा के विद्यार्थियों के समूह/Groups of students of each class
Step 1
Concept
Every student is in the same class as himself or herself.
Step 2
Why this answer is correct
Being in the same class works both ways and also through a third student.
Step 3
Exam Tip
Therefore the equivalence classes are the groups of students in each actual class. चरण 1: हर विद्यार्थी अपनी कक्षा में स्वयं के साथ है। चरण 2: एक ही कक्षा में होना दोनों दिशाओं में और तीसरे विद्यार्थी के साथ भी सही रहता है। चरण 3: इसलिए तुल्यता वर्ग वास्तविक कक्षाओं के विद्यार्थी समूह होंगे।
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) दोनों (3) के गुणज हों या दोनों (3) के गुणज न हों। इस सम्बन्ध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?
The multiples of (3) are ({3,6,9}), so their count is (3).
Step 2
Why this answer is correct
The remaining elements ({1,2,4,5,7,8}) have count (6).
Step 3
Exam Tip
Total pairs are \(3^2+6^2=9+36=45\). चरण 1: (3) के गुणज ({3,6,9}) हैं, जिनकी संख्या (3) है। चरण 2: बाकी ({1,2,4,5,7,8}) हैं, जिनकी संख्या (6) है। चरण 3: कुल युग्म \(3^2+6^2=9+36=45\) होंगे।
A. नहीं, यह स्वतुल्य नहीं है/No, it is not reflexive
Step 1
Concept
Reflexivity would require (\min(a,a)=a) to be odd for every (a).
Step 2
Why this answer is correct
For (a=2), (\min(2,2)=2), which is not odd.
Step 3
Exam Tip
Hence not all elements are related to themselves, so it is not an equivalence relation. चरण 1: स्वतुल्यता के लिए (\min(a,a)=a) हर (a) पर विषम होना चाहिए। चरण 2: (a=2) लेने पर (\min(2,2)=2), जो विषम नहीं है। चरण 3: इसलिए सभी अवयव स्वयं से सम्बन्धित नहीं हैं और सम्बन्ध तुल्यता नहीं है।
\(x^2-x=6\) gives \(x^2-x-6=0\), that is ((x-3)(x+2)=0).
Step 3
Exam Tip
Hence (x=3) or (x=-2), so the class is ({-2,3}). चरण 1: \(3^2-3=6\)। चरण 2: \(x^2-x=6\) से \(x^2-x-6=0\), अर्थात ((x-3)(x+2)=0)। चरण 3: इसलिए (x=3) या (x=-2), और वर्ग ({-2,3}) है।
\(x^2+2x=-1\) gives \(x^2+2x+1=0\), or ((x+1)2=0).
Step 3
Exam Tip
Only (x=-1) is obtained, so the equivalence class is singleton. चरण 1: ((-1)2+2(-1)=1-2=-1)। चरण 2: \(x^2+2x=-1\) से \(x^2+2x+1=0\), यानी ((x+1)2=0)। चरण 3: केवल (x=-1) मिलता है, इसलिए तुल्यता वर्ग एकल है।
\(\sin^2 \pi=0\), so \(\pi\) is in the same class as (0).
Step 3
Exam Tip
The class contains angles whose squared sine value is (0). चरण 1: \(\sin^2 0=0\)। चरण 2: \(\sin^2 \pi=0\), इसलिए \(\pi\) भी (0) के समान वर्ग में है। चरण 3: वर्ग में वे कोण आएँगे जिनकी ज्या का वर्ग (0) है।
\(\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\), so the squared value is \(\frac{1}{4}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}\), whose square is also \(\frac{1}{4}\).
Step 3
Exam Tip
After squaring, positive and negative values may become equal. चरण 1: \(\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\), इसलिए वर्ग मान \(\frac{1}{4}\) है। चरण 2: \(\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}\), इसका वर्ग भी \(\frac{1}{4}\) है। चरण 3: वर्ग लेने पर धनात्मक और ऋणात्मक मान समान हो सकते हैं।
A number (x) is related to (3) when \(\frac{x}{3}=2^n\), where \(n\in Z\).
Step 2
Why this answer is correct
This gives \(x=3\cdot 2^n\).
Step 3
Exam Tip
For ratio-based relations, write the class in multiplicative form. चरण 1: (x) तभी (3) से सम्बन्धित होगा जब \(\frac{x}{3}=2^n\), जहाँ \(n\in Z\)। चरण 2: इससे \(x=3\cdot 2^n\) मिलेगा। चरण 3: अनुपात पर आधारित सम्बन्धों में गुणात्मक रूप से वर्ग लिखना चाहिए।
सभी धनात्मक पूर्णांकों पर (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) में (2) की घात समान हो, अर्थात \(a=2^k m\) और \(b=2^k n\), जहाँ (m,n) विषम हैं। (12) का तुल्यता वर्ग किससे बनेगा?
A. वे संख्याएँ जिनमें (2) की ठीक (2) घात हो/Numbers having exactly power (2) of (2)
Step 1
Concept
\(12=2^2\cdot 3\), so it has exactly power (2) of (2).
Step 2
Why this answer is correct
The relation checks only this power of (2).
Step 3
Exam Tip
Hence the class contains numbers divisible by (4) but not by (8). चरण 1: \(12=2^2\cdot 3\), इसलिए इसमें (2) की ठीक (2) घात है। चरण 2: सम्बन्ध केवल (2) की इस घात को देखता है। चरण 3: अतः वर्ग में वे संख्याएँ आएँगी जिन्हें (4) से भाग दिया जा सके, पर (8) से नहीं।
A. दोनों विभाजनों के साझा सूक्ष्म भागों के रूप में/As common refined blocks of both partitions
Step 1
Concept
\(R\cap S\) keeps only pairs that are present in both relations.
Step 2
Why this answer is correct
Thus two elements remain together only when they are together in both (R) and (S).
Step 3
Exam Tip
Therefore its classes are common refined blocks of the two partitions. चरण 1: \(R\cap S\) में वही युग्म रहते हैं जो दोनों सम्बन्धों में हैं। चरण 2: इसलिए दो अवयव तभी साथ रहेंगे जब वे (R) और (S) दोनों में साथ हों। चरण 3: इस कारण \(R\cap S\) के वर्ग दोनों विभाजनों के और छोटे साझा भाग बनाते हैं।
A. क्योंकि संक्रामकता टूटती है/Because transitivity fails
Step 1
Concept
((1,2)) belongs to \(R\cup S\) because it is in (R).
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) belongs to \(R\cup S\) because it is in (S).
Step 3
Exam Tip
Transitivity would require ((1,3)), but it is in neither (R) nor (S). चरण 1: \(R\cup S\) में ((1,2)) आता है क्योंकि यह (R) में है। चरण 2: ((2,3)) आता है क्योंकि यह (S) में है। चरण 3: संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए, पर वह न (R) में है न (S) में।
The largest relation contains all possible ordered pairs of (A).
Step 2
Why this answer is correct
\(A\times A\) is reflexive, symmetric, and transitive.
Step 3
Exam Tip
Therefore the universal relation is the largest equivalence relation. चरण 1: सबसे बड़े सम्बन्ध में (A) के सभी संभव क्रमित युग्म होंगे। चरण 2: \(A\times A\) स्वतुल्य, सममित और संक्रामक होता है। चरण 3: इसलिए सार्विक सम्बन्ध ही सबसे बड़ा तुल्यता सम्बन्ध है।
In an equivalence relation, every element must be related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
Taking only the pairs ((a,a)) preserves symmetry and transitivity.
Step 3
Exam Tip
Hence the identity relation is the smallest equivalence relation. चरण 1: तुल्यता सम्बन्ध में हर अवयव स्वयं से सम्बन्धित होना जरूरी है। चरण 2: केवल ((a,a)) वाले युग्म लेने पर सममिति और संक्रामकता भी बनी रहती है। चरण 3: इसलिए पहचान सम्बन्ध सबसे छोटा तुल्यता सम्बन्ध है।
