Level 55 • 50/50 questions • 25 seconds per question.
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What is the tenth term of the geometric progression \(2,6,18,54,\ldots\)?
B. (39366)
यहाँ \(a=2\) और \(r=3\) है, इसलिए \(a_{10}=2\cdot3^9=39366\) है। परीक्षा में \(a_n=ar^{n-1}\) लगाएँ। / Here \(a=2\) and \(r=3\), so \(a_{10}=2\cdot3^9=39366\). In exams, use \(a_n=ar^{n-1}\).
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A. \(y^2=xz\)
क्रमागत गुणोत्तर पदों के लिए \(\frac{y}{x}=\frac{z}{y}\) होता है। क्रॉस-गुणन करने पर \(y^2=xz\) मिलता है, इसलिए A सही है। \(x+z=2y\) समान्तर श्रेणी की शर्त है। परीक्षा में अनुपातों को बराबर रखकर जाँचें। / For consecutive GP terms, \(\frac{y}{x}=\frac{z}{y}\). Cross-multiplying gives \(y^2=xz\), so A is correct. \(x+z=2y\) is the condition for an AP, not a GP. Exam tip: equate consecutive ratios first.
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If a geometric progression has (a=5) and (r=4), what is the value of \(a_6\)?
C. 5120
गुणोत्तर श्रेणी का nवाँ पद \(a_n=ar^{n-1}\) होता है। अतः \(a_6=5\times4^{6-1}=5\times4^5=5\times1024=5120\)। इसलिए सही विकल्प C है। \(2560\) प्राप्त करने में 4 की घात या गुणन में त्रुटि होती है। परीक्षा टिप: nवें पद में घात हमेशा \(n-1\) होती है, \(n\) नहीं। / The nth term of a geometric progression is \(a_n=ar^{n-1}\). Therefore, \(a_6=5\times4^{6-1}=5\times4^5=5\times1024=5120\). Hence, option C is correct. \(2560\) results from an error in evaluating the power of 4 or in multiplication. Exam tip: the exponent in the nth term is always \(n-1\), not \(n\).
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What is the ninth term of the geometric progression \(1024,512,256,128,\ldots\)?
B. (4)
यहाँ \(r=\frac{1}{2}\) है, इसलिए \(a_9=1024\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^8=4\) है। परीक्षा में घटती GP में भिन्न अनुपात सावधानी से लगाएँ। / Here \(r=\frac{1}{2}\), so \(a_9=1024\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^8=4\). In exams, apply fractional ratios carefully in decreasing GPs.
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If \(a_n=7\cdot2^{n-1}\), which term will be (1792)?
B. नौवाँ पद(9)th term
\(7\cdot2^{n-1}=1792\) से \(2^{n-1}=256=2^8\), इसलिए (n=9) है। परीक्षा में घातों को बराबर करके पद संख्या निकालें। / From \(7\cdot2^{n-1}=1792\), \(2^{n-1}=256=2^8\), so (n=9). In exams, equate powers to find the term number.
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B. 3
गुणोत्तर श्रेणी का nवाँ पद aₙ = arⁿ⁻¹ होता है। अतः पाँचवाँ पद 4r⁴ = 324 होगा। इसलिए r⁴ = 81 = 3⁴। चूँकि r धनात्मक दिया है, इसलिए r = 3। r = −3 भी r⁴ = 81 को संतुष्ट करता, पर वह धनात्मक नहीं है। परीक्षा टिप: पाँचवें पद में r की घात 4 होती है, 5 नहीं। / The nth term of a geometric progression is aₙ = arⁿ⁻¹. Hence, for the fifth term, 4r⁴ = 324. So, r⁴ = 81 = 3⁴. Since r is stated to be positive, r = 3. Although r = −3 also gives r⁴ = 81, it is not positive. Exam tip: in the fifth term, the power of r is 4, not 5.
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What is the general term of the geometric progression \(6,24,96,384,\ldots\)?
A. \(a_n=6\cdot4^{n-1}\)
पहला पद (6) और अनुपात (4) है, इसलिए \(a_n=6\cdot4^{n-1}\) है। परीक्षा में \(ar^{n-1}\) में (a) और (r) सही रखें। / The first term is (6) and the ratio is (4), so \(a_n=6\cdot4^{n-1}\). In exams, keep (a) and (r) correct in \(ar^{n-1}\).
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What is the sum of the first (7) terms of the geometric progression \(3,9,27,81,\ldots\)?
B. (3279)
\(S_7=\frac{3(3^7-1)}{3-1}=3279\) है। परीक्षा में \(r>1\) के लिए \(\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) लगाएँ। / \(S_7=\frac{3(3^7-1)}{3-1}=3279\). In exams, use \(\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) for \(r>1\).
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If (12,x,108) are in geometric progression and (x>0), what is (x)?
C. (36)
मध्य पद के लिए \(x^2=12\cdot108=1296\), इसलिए (x=36) है। परीक्षा में तीन GP पदों में मध्य पद का वर्ग बाहरी पदों के गुणनफल के बराबर होता है। / For the middle term, \(x^2=12\cdot108=1296\), so (x=36). In exams, the square of the middle GP term equals the product of the outer terms.
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What is the sum of the first (8) terms of the geometric progression \(8,16,32,64,\ldots\)?
C. 2040
यहाँ प्रथम पद \(a=8\), सार्व अनुपात \(r=2\) और पदों की संख्या \(n=8\) है। गुणोत्तर श्रेणी के पहले \(n\) पदों का योग \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) होता है। अतः \(S_8=\frac{8(2^8-1)}{2-1}=8(256-1)=2040\)। इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प 4080 में योग को अनावश्यक रूप से दोगुना कर दिया गया है। परीक्षा टिप: पहले \(a\), \(r\) और \(n\) पहचानकर ही सूत्र लगाएँ। / Here, the first term is \(a=8\), the common ratio is \(r=2\), and the number of terms is \(n=8\). The sum of the first \(n\) terms of a geometric progression is \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\). Thus, \(S_8=\frac{8(2^8-1)}{2-1}=8(256-1)=2040\). Therefore, option C is correct. Option 4080 incorrectly doubles the sum. Exam tip: identify \(a\), \(r\), and \(n\) before applying the GP sum formula.
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What is the main mistake in writing (m=3n) directly from \(m^2=3n^2\) in the proof of \(\sqrt{3}\)?
B. वर्ग समीकरण से गलत रैखिक निष्कर्ष लेनाTaking a wrong linear conclusion from a squared equation
वर्ग संबंध से सीधे (m=3n) नहीं मिलता। सही निष्कर्ष (m) का (3) से विभाज्य होना है। / The squared relation does not directly give (m=3n). The correct conclusion is that (m) is divisible by (3).
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A. \(a_n^2=a_{n-1}a_{n+1}\)
गुणोत्तर अनुक्रम में \(a_{n-1}=a_n/r\) और \(a_{n+1}=a_nr\) होते हैं। दोनों का गुणन करने पर \(a_{n-1}a_{n+1}=a_n^2\) मिलता है। विकल्प B और D समान अंतर वाले समांतर श्रेणी के गुण हैं। परीक्षा टिप: GP में बीच के पद का वर्ग जाँचें। / In a GP, \(a_{n-1}=a_n/r\) and \(a_{n+1}=a_nr\). Multiplying gives \(a_{n-1}a_{n+1}=a_n^2\). Options B and D describe the equal-difference property of an AP. Exam tip: square the middle term to test a GP quickly.
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What is the general term of the geometric progression \(243,81,27,9,\ldots\)?
B. \(a_n=243\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\)
पहला पद (243) और अनुपात \(\frac{1}{3}\) है, इसलिए सही नियम \(243\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\) है। परीक्षा में घटती GP में भिन्न अनुपात लिखें। / The first term is (243) and the ratio is \(\frac{1}{3}\), so the correct rule is \(243\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\). In exams, write the fractional ratio in a decreasing GP.
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For a geometric progression with (a=3) and \(a_6=96\), if (r) is positive, what is (r)?
A. \(2\)
गुणोत्तर श्रेणी का \(n\)वाँ पद \(a_n=ar^{n-1}\) होता है। अतः \(a_6=3r^5=96\), इसलिए \(r^5=32=2^5\)। चूँकि \(r\) धनात्मक है, \(r=2\) होगा। \(r=3\) लेने पर \(3\times3^5\), 96 के बराबर नहीं होता। परीक्षा टिप: छठे पद में घात \(6-1=5\) लगती है। / The \(n\)th term of a GP is \(a_n=ar^{n-1}\). Thus, \(a_6=3r^5=96\), so \(r^5=32=2^5\). Since \(r\) is positive, \(r=2\). If \(r=3\), then \(3\times3^5\) is not equal to 96. Exam tip: for the sixth term, the exponent of \(r\) is \(6-1=5\).
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In the geometric progression \(5,20,80,320,\ldots\), which term is (5120)?
B. छठा पद(6)th term
\(5\cdot4^{n-1}=5120\) से \(4^{n-1}=1024=4^5\), इसलिए (n=6) है। परीक्षा में घातों को बराबर करके (n) निकालें। / From \(5\cdot4^{n-1}=5120\), \(4^{n-1}=1024=4^5\), so (n=6). In exams, equate powers to find (n).
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If \(a=160\) and \(r=\frac{1}{2}\), what is the value of \(a_6\)?
A. (5)
\(a_6=160\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^5=5\) है। परीक्षा में भिन्न अनुपात के घात सावधानी से लगाएँ। / \(a_6=160\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^5=5\). In exams, apply powers of fractional ratios carefully.
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A. सही क्योंकि \(S_5=363\)True because \(S_5=363\)
(S_5=\frac{3\(3^5-1\)}{3-1}=363) है, इसलिए कथन सही है। परीक्षा में कथन की जाँच सूत्र से करें। / (S_5=\frac{3\(3^5-1\)}{3-1}=363), so the statement is true. In exams, verify the statement using the formula.
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What is the sum of the first (6) terms of the geometric progression \(1,4,16,64,\ldots\)?
A. (1365)
\(S_6=\frac{4^6-1}{4-1}=1365\) है। परीक्षा में (r>1) के लिए \(\frac{r^n-1}{r-1}\) रूप उपयोगी है। / \(S_6=\frac{4^6-1}{4-1}=1365\). In exams, the form \(\frac{r^n-1}{r-1}\) is useful for (r>1).
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In a geometric progression \(a_4=48\) and \(a_8=768\). If (r) is positive, what is (r)?
A. (2)
\(\frac{a_8}{a_4}=r^4=\frac{768}{48}=16\), इसलिए (r=2) है। परीक्षा में दूर के पदों का अनुपात पद-अंतर की घात देता है। / \(\frac{a_8}{a_4}=r^4=\frac{768}{48}=16\), so (r=2). In exams, the ratio of distant terms gives a power based on the position gap.
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Which of the following sequences is not a geometric progression?
B. \(5, 10, 20, 35\)
गुणोत्तर श्रेणी में लगातार पदों का अनुपात समान होता है। विकल्प B में \(10/5=2\) और \(20/10=2\), लेकिन \(35/20=7/4\) है। अतः यह GP नहीं है। परीक्षा में हर लगातार अनुपात जाँचें। / In a GP, the ratio of every term to its preceding term must remain constant. In option B, \(10/5=2\) and \(20/10=2\), but \(35/20=7/4\). Hence it is not a GP. Exam tip: check all consecutive ratios.
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What is \(a_9\div a_5\) for the geometric progression \(4,12,36,108,\ldots\)?
B. (81)
पद-संख्या का अंतर (4) है और (r=3), इसलिए अनुपात \(3^4=81\) है। परीक्षा में \(\frac{a_m}{a_n}=r^{m-n}\) लगाएँ। / The position gap is (4) and (r=3), so the ratio is \(3^4=81\). In exams, use \(\frac{a_m}{a_n}=r^{m-n}\).
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If \(a_n=9\cdot2^{n-1}\), what is the sum of the first (8) terms?
A. (2295)
यहाँ (a=9) और (r=2) है, इसलिए (S_8=9\(2^8-1\)=2295) है। परीक्षा में सामान्य पद से (a) और (r) पहचानें। / Here (a=9) and (r=2), so (S_8=9\(2^8-1\)=2295). In exams, identify (a) and (r) from the general term.
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Which term of the geometric progression \(3,15,75,\ldots\) is (9375)?
B. छठा पद(6)th term
\(3\cdot5^{n-1}=9375\) से \(5^{n-1}=3125=5^5\), इसलिए (n=6) है। परीक्षा में पद संख्या के लिए घात की तुलना करें। / From \(3\cdot5^{n-1}=9375\), \(5^{n-1}=3125=5^5\), so (n=6). In exams, compare powers to find the term number.
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If \(a_2=18\) and \(a_6=1458\), what is the positive value of (r)?
B. (3)
\(\frac{a_6}{a_2}=r^4=\frac{1458}{18}=81\), इसलिए (r=3) है। परीक्षा में पद-अंतर (4) हो तो \(r^4\) बनेगा। / \(\frac{a_6}{a_2}=r^4=\frac{1458}{18}=81\), so (r=3). In exams, a gap of (4) positions gives \(r^4\).
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If (a=6) and \(a_7=384\), and (r) is positive, what is (r)?
A. \(2\)
गुणोत्तर श्रेणी में सातवाँ पद \(a_7=ar^6\) होता है। अतः \(384=6r^6\), इसलिए \(r^6=64=2^6\)। चूँकि \(r\) धनात्मक दिया है, इसलिए \(r=2\) होगा। \(r=-2\) भी \(r^6=64\) को संतुष्ट करता, पर वह दी गई शर्त के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के सूत्र \(a_n=ar^{n-1}\) में घात \(n-1\) होती है। / In a geometric progression, the seventh term is \(a_7=ar^6\). Thus, \(384=6r^6\), so \(r^6=64=2^6\). Since \(r\) is stated to be positive, \(r=2\). Although \(r=-2\) also satisfies \(r^6=64\), it violates the given condition. Exam tip: in \(a_n=ar^{n-1}\), the exponent of \(r\) is always \(n-1\).
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What is the sum of the first (7) terms of the geometric progression \(6,18,54,\ldots\)?
A. 6558
यहाँ प्रथम पद \(a=6\), सार्व अनुपात \(r=3\) और पदों की संख्या \(n=7\) है। गुणोत्तर श्रेणी के पहले \(n\) पदों का योग \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) होता है। अतः \(S_7=\frac{6(3^7-1)}{3-1}=\frac{6(2187-1)}{2}=6558\)। इसलिए विकल्प A सही है। \(6560\) जैसा निकट विकल्प सामान्यतः अंतिम गणना में गलती से मिल सकता है। परीक्षा टिप: सूत्र लगाने से पहले \(a\), \(r\) और \(n\) को अलग से लिखें। / Here, the first term is \(a=6\), the common ratio is \(r=3\), and the number of terms is \(n=7\). The sum of the first \(n\) terms of a GP is \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\). Therefore, \(S_7=\frac{6(3^7-1)}{3-1}=\frac{6(2187-1)}{2}=6558\). Hence, option A is correct. A nearby value such as \(6560\) can result from an arithmetic error in the final calculation. Exam tip: write down \(a\), \(r\), and \(n\) separately before applying the formula.
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In a geometric progression \(a_3=50\) and \(a_6=6250\). If (r) is positive, what is \(a_1\)?
B. (2)
\(\frac{6250}{50}=125=r^3\) से (r=5) और \(a_1=\frac{50}{5^2}=2\) है। परीक्षा में पहले (r) निकालें फिर पहला पद। / \(\frac{6250}{50}=125=r^3\), so (r=5) and \(a_1=\frac{50}{5^2}=2\). In exams, find (r) first and then the first term.
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If the fifth term of the geometric progression \(x,,5x,,25x,\ldots\) is (3125), what is (x)?
D. (5)
पाँचवाँ पद \(x\cdot5^4=625x=3125\) है, इसलिए (x=5) है। परीक्षा में बीजीय पहले पद को भी \(ar^{n-1}\) में रखें। / The fifth term is \(x\cdot5^4=625x=3125\), so (x=5). In exams, put the algebraic first term in \(ar^{n-1}\) too.
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How many terms are there up to (4096) in the geometric progression \(4,16,64,\ldots\)?
B. (6)
\(4\cdot4^{n-1}=4096\) से \(4^n=4096=4^6\), इसलिए (n=6) है। परीक्षा में अंतिम पद को सामान्य पद के बराबर रखें। / \(4\cdot4^{n-1}=4096\) gives \(4^n=4096=4^6\), so (n=6). In exams, equate the last term to the general term.
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If the first (4) terms of a geometric progression are (7,21,63,189), what is \(S_4\)?
A. 280
यहाँ पहले चार पद 7, 21, 63 और 189 हैं। अतः \(S_4=7+21+63+189=280\)। इसे गुणोत्तर श्रेणी के सूत्र \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) से भी जाँचा जा सकता है, जहाँ \(a=7\) और \(r=3\)। विकल्प 294 अंतिम पद 189 को गलत जोड़ने पर मिल सकता है। परीक्षा टिप: कम पदों वाली श्रेणी में सीधे जोड़कर उत्तर को सूत्र से सत्यापित करें। / The first four terms are 7, 21, 63, and 189. Therefore, \(S_4=7+21+63+189=280\). This can also be checked using \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\), where \(a=7\) and \(r=3\). The option 294 may result from an incorrect addition involving the last term. Exam tip: for a small number of terms, add directly and verify with the GP sum formula if needed.
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Which term of the geometric progression \(2,8,32,\ldots\) is (8192)?
B. सातवाँ पद(7)th term
\(2\cdot4^{n-1}=8192\) से \(4^{n-1}=4096=4^6\), इसलिए (n=7) है। परीक्षा में घात बराबर करके पद संख्या निकालें। / From \(2\cdot4^{n-1}=8192\), \(4^{n-1}=4096=4^6\), so (n=7). In exams, equate powers to find the term number.
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If \(a_1=9\) and (r=-2), what is \(a_8\)?
A. -1152
ज्यामितीय प्रगति में nवाँ पद का सूत्र \(a_n=a_1r^{n-1}\) होता है। अतः \(a_8=9(-2)^{8-1}=9(-2)^7=9(-128)=-1152\)। इसलिए विकल्प A सही है। \(1152\) चिन्ह की गलती से मिल सकता है, क्योंकि \((-2)\) की विषम घात ऋणात्मक होती है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक सामान्य अनुपात में घात सम है या विषम, यह पहले जाँचें। / In a geometric progression, the nth term is given by \(a_n=a_1r^{n-1}\). Therefore, \(a_8=9(-2)^{8-1}=9(-2)^7=9(-128)=-1152\). Hence, option A is correct. \(1152\) results from a sign error, since an odd power of \((-2)\) is negative. Exam tip: When the common ratio is negative, first check whether the exponent is even or odd.
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What is the sum of the first (4) terms of the geometric progression \(5,30,180,1080,\ldots\)?
B. (1295)
पहले चार पदों का योग (5+30+180+1080=1295) है। परीक्षा में पद कम हों तो सीधे जोड़ना सुरक्षित है। / The sum of the first four terms is (5+30+180+1080=1295). In exams, direct addition is safe when the number of terms is small.
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If \(a_4=162\) and (r=3), what is the value of \(a_9\)?
B. (39366)
चौथे से नौवें पद तक (5) कदम हैं, इसलिए \(a_9=162\cdot3^5=39366\) है। परीक्षा में पद-संख्या का अंतर गिनें। / There are (5) steps from the fourth to the ninth term, so \(a_9=162\cdot3^5=39366\). In exams, count the position gap.
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In the geometric progression \(486,162,54,\ldots\), which term is (2)?
B. छठा पद(6)th term
हर बार \(\frac{1}{3}\) से गुणा होता है, इसलिए पद (486,162,54,18,6,2) हैं। परीक्षा में घटती GP को क्रम से भी जाँच सकते हैं। / Each term is multiplied by \(\frac{1}{3}\), so the terms are (486,162,54,18,6,2). In exams, you can also check a decreasing GP in order.
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If (a=8), (r=4), and \(S_4=680\), what is the statement?
A. सही क्योंकि \(S_4=680\)True because \(S_4=680\)
(S_4=\frac{8\(4^4-1\)}{4-1}=680) है। परीक्षा में कथन-प्रकार प्रश्न में सूत्र से पुष्टि करें। / (S_4=\frac{8\(4^4-1\)}{4-1}=680). In exams, confirm statement-type questions with the formula.
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What is the value of \(a_5+a_6\) for the geometric progression \(3,12,48,\ldots\)?
B. (3840)
\(a_5=768\) और \(a_6=3072\), इसलिए योग (3840) है। परीक्षा में दोनों पद अलग-अलग निकालकर जोड़ें। / \(a_5=768\) and \(a_6=3072\), so the sum is (3840). In exams, find both terms separately and add.
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If \(a_n=405\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\), which term will be equal to (5)?
C. पाँचवाँ पद(5)th term
\(405\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=5\) से \(\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=\frac{1}{81}\), इसलिए \(n=5\) है। परीक्षा में भिन्नों को पहले सरल करें। / From \(405\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=5\), \(\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=\frac{1}{81}\), so \(n=5\). In exams, simplify fractions first.
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What is the sum of the first (9) terms of the geometric progression \(10,20,40,\ldots\)?
B. 5110
यहाँ प्रथम पद \(a=10\), सार्व अनुपात \(r=2\) और पदों की संख्या \(n=9\) है। गुणोत्तर श्रेणी के पहले \(n\) पदों का योग \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) होता है। अतः \(S_9=\frac{10(2^9-1)}{2-1}=10(512-1)=5110\)। विकल्प 5120 केवल \(10\times 2^9\) है; इसमें योग के सूत्र में आवश्यक \(-1\) शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: \(r\ne1\) होने पर योग का सूत्र लगाने से पहले \(a\), \(r\) और \(n\) स्पष्ट लिखें। / Here, the first term is \(a=10\), the common ratio is \(r=2\), and the number of terms is \(n=9\). The sum of the first \(n\) terms of a GP is \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\). Thus, \(S_9=\frac{10(2^9-1)}{2-1}=10(512-1)=5110\). Option 5120 is only \(10\times2^9\); it misses the required \(-1\) in the sum formula. Exam tip: before applying the formula, identify \(a\), \(r\), and \(n\).
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A. \(a_n^2=a_{n-1}a_{n+1}\)
गुणोत्तर श्रेणी में \(a_{n-1}=a_n/r\) तथा \(a_{n+1}=a_nr\) होता है। दोनों का गुणन करने पर \(a_{n-1}a_{n+1}=a_n^2\) मिलता है। विकल्प D अंकगणितीय श्रेणी का गुण है। परीक्षा टिप: बीच के पद का वर्ग लें। / In a GP, \(a_{n-1}=a_n/r\) and \(a_{n+1}=a_nr\). Multiplying gives \(a_{n-1}a_{n+1}=a_n^2\). Option D describes an arithmetic progression, where the common difference is constant. Exam tip: square the middle term.
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C. पद लगातार घटते जाते हैंThe terms keep decreasing
धनात्मक प्रथम पद के लिए प्रत्येक अगला पद पिछले पद को 0 और 1 के बीच की संख्या से गुणा करके मिलता है। इसलिए अगला पद छोटा होता है और पद लगातार घटते हैं। परीक्षा टिप: 0<r<1 होने पर धनात्मक GP घटती है। / With a positive first term, each next term is obtained by multiplying the previous term by a number between 0 and 1. Hence every next term is smaller, so the GP decreases. Exam tip: for 0<r<1, a positive GP is decreasing.
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If \(a=96\) and \(r=\frac{1}{2}\), what is the sum of the first \(6\) terms?
B. (189)
पद \(96,48,24,12,6,3\) हैं और योग (189) है। परीक्षा में छोटे घटते पदों को सीधे जोड़ना भी आसान है। / The terms are \(96,48,24,12,6,3\), and their sum is \(189\). In exams, direct addition is also easy for small decreasing terms.
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In a geometric progression, \(a_2=20\) and \(a_5=2500\). What is \(a_1\)?
B. (4)
\(\frac{2500}{20}=125=r^3\) से (r=5) और \(a_1=20\div5=4\) है। परीक्षा में पहले (r) निकालें फिर \(a_1\)। / From \(\frac{2500}{20}=125=r^3\), (r=5) and \(a_1=20\div5=4\). In exams, find (r) first and then \(a_1\).
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If \(a_n=6\cdot5^{n-1}\), what is the value of \(a_4+a_5\)?
A. (4500)
\(a_4=750\) और \(a_5=3750\), इसलिए योग (4500) है। परीक्षा में दोनों पद अलग निकालकर जोड़ें। / \(a_4=750\) and \(a_5=3750\), so the sum is (4500). In exams, find both terms separately and add.
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In the geometric progression \(15,30,60,\ldots\), if \(a_n=3840\), what is (n)?
B. (9)
\(15\cdot2^{n-1}=3840\) से \(2^{n-1}=256=2^8\), इसलिए (n=9) है। परीक्षा में गुणनखंड निकालकर घात तुलना करें। / From \(15\cdot2^{n-1}=3840\), \(2^{n-1}=256=2^8\), so (n=9). In exams, factor first and compare powers.
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If \(a_1=10\) and \(a_4=270\), and (r) is positive, what is \(a_5\)?
B. (810)
\(270=10r^3\) से \(r^3=27\) और (r=3), इसलिए \(a_5=270\cdot3=810\) है। परीक्षा में पहले अनुपात निकालें। / From \(270=10r^3\), \(r^3=27\) and (r=3), so \(a_5=270\cdot3=810\). In exams, find the ratio first.
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What is the sum of the first (10) terms of the geometric progression \(12,24,48,\ldots\)?
A. 12276
यहाँ प्रथम पद \(a=12\), सार्व अनुपात \(r=2\) और पदों की संख्या \(n=10\) है। गुणोत्तर श्रेणी के पहले \(n\) पदों के योग का सूत्र \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) है। अतः \(S_{10}=\frac{12(2^{10}-1)}{2-1}=12(1024-1)=12276\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प 12288, \(12\times1024\) है, जिसमें \(-1\) वाला भाग शामिल नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: \(r=2\) होने पर \(2^{10}=1024\) याद रखने से गणना तेज होती है। / Here, the first term is \(a=12\), the common ratio is \(r=2\), and \(n=10\). Using the GP sum formula \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\), we get \(S_{10}=\frac{12(2^{10}-1)}{2-1}=12(1024-1)=12276\). Hence, option A is correct. The close distractor 12288 equals \(12\times1024\) and results from omitting the \(-1\) term. Exam tip: remembering \(2^{10}=1024\) makes this calculation quicker.
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If \(a_8=1280\) and (a=10), and (r) is positive, what is (r)?
A. \(2\)
ज्यामितीय प्रगति में आठवाँ पद \(a_8=ar^7\) होता है। अतः \(1280=10r^7\), इसलिए \(r^7=128=2^7\)। चूँकि \(r\) धनात्मक है, इसलिए \(r=2\)। \(r=3\) लेने पर \(10\times3^7\), 1280 नहीं होगा। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद में \(r\) की घात हमेशा \(n-1\) होती है। / In a geometric progression, the eighth term is \(a_8=ar^7\). Thus, \(1280=10r^7\), so \(r^7=128=2^7\). Since \(r\) is positive, \(r=2\). If \(r=3\), then \(10\times3^7\) would not equal 1280. Exam tip: in the \(n\)th term, the exponent of \(r\) is always \(n-1\).
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A. छठा पद(6)th term
हर बार \(\frac{1}{3}\) से गुणा होता है और छठा पद \(\frac{40}{81}\) आता है। परीक्षा में भिन्न पदों को क्रम से भी जाँच सकते हैं। / Each term is multiplied by \(\frac{1}{3}\), and the sixth term is \(\frac{40}{81}\). In exams, fractional terms can also be checked in order.
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If (a=4) and (r=6), what is the value of \(a_4+a_5\)?
A. (6048)
\(a_4=4\cdot6^3=864\) और \(a_5=5184\), इसलिए योग (6048) है। परीक्षा में बड़े घातों को अलग-अलग निकालें। / \(a_4=4\cdot6^3=864\) and \(a_5=5184\), so the sum is (6048). In exams, calculate large powers separately.
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