Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(n=20) रखने पर \(a_{20}=100-7=93\) मिलता है। परीक्षा में (n) का मान सीधे रखकर जांचें। / Putting (n=20) gives \(a_{20}=100-7=93\). In exams, substitute the required value of (n) directly.
पद \(2^2,3^2,4^2,5^2\) के रूप में हैं। ऐसे प्रश्नों में वर्गों की पहचान पहले करें। / The terms are \(2^2,3^2,4^2,5^2\). In such questions, identify square patterns first.
\(a_8=177\) और \(a_5=66\) है इसलिए अंतर (111) है। पहले दोनों पद अलग निकालना सुरक्षित तरीका है। / \(a_8=177\) and \(a_5=66\), so the difference is (111). Finding both terms separately is the safer method.
यह श्रेढ़ी \(1^2+6,2^2+6,3^2+6\) से बनती है। वर्ग के साथ स्थिर संख्या जांचें। / The sequence is formed by \(1^2+6,2^2+6,3^2+6\). Check a constant added to squares.
(5) स्थानों में वृद्धि (25) है इसलिए सामान्य अंतर (5) है। फिर \(a_4=18\) से स्थिर पद (-2) मिलता है। / The increase over (5) positions is (25), so the common difference is (5). Then \(a_4=18\) gives the constant term (-2).
(n=5) रखने पर \(2\cdot25+15=65\) मिलता है। विकल्पों को सूत्र में रखकर जल्दी जांच सकते हैं। / Putting (n=5) gives \(2\cdot25+15=65\). You can quickly test the options in the formula.
अंश (n) और हर (n+1) के रूप में बढ़ रहा है। भिन्नों में अंश और हर अलग-अलग देखें। / The numerator is (n) and the denominator is (n+1). In fractions, observe numerator and denominator separately.
चिह्न बारी-बारी से बदलता है और मान \(n^2\) हैं। ऋणात्मक पहले पद के लिए ((-1)^n) सही रहता है। / The sign alternates and the magnitudes are \(n^2\). For a negative first term, ((-1)^n) works.
चार स्थानों में वृद्धि (16) है इसलिए (p=4) है। इससे \(a_n=4n-1\) और \(a_{12}=47\) मिलता है। / The increase over (4) positions is (16), so (p=4). Hence \(a_n=4n-1\) and \(a_{12}=47\).
दूसरे अंतर समान (2) हैं इसलिए रूप \(n^2+bn+c\) होगा। मान रखने पर \(n^2+3n+1\) मिलता है। / The second differences are constant (2), so the form is \(n^2+bn+c\). Substitution gives \(n^2+3n+1\).
(4n-1=79) से (4n=80) और (n=20) मिलता है। पद संख्या निकालते समय समीकरण बनाएं। / From (4n-1=79), we get (4n=80) and (n=20). Form an equation to find the term number.
अंतर (2,4,6,8) हैं इसलिए वर्गीय रूप बनेगा। \(n^2-n+1\) सभी दिए पद देता है। / The differences are (2,4,6,8), so a quadratic form is likely. \(n^2-n+1\) gives all given terms.
\(a_{10}=140\) और \(a_1=5\) है इसलिए योग (145) है। छोटे पदों को भी भूलकर न छोड़ें। / \(a_{10}=140\) and \(a_1=5\), so the sum is (145). Do not ignore small terms in calculation.
(7n+2=100) से (7n=98) और (n=14) मिलता है। समीकरण हल करते समय स्थिर पद पहले हटाएं। / From (7n+2=100), we get (7n=98) and (n=14). Remove the constant term first while solving.
यह समांतर श्रेढ़ी है जिसका अंतर (-3) है। (a_n=a_1+(n-1)d) से (13-3n) मिलता है। / It is an arithmetic sequence with difference (-3). Using (a_n=a_1+(n-1)d) gives (13-3n).
(n(n-2)=0) से प्राकृतिक पद संख्या (n=2) मिलती है। (n=0) पद संख्या नहीं मानी जाती। / From (n(n-2)=0), the natural term number is (n=2). (n=0) is not taken as a term number.
(32-4k=24) से (4k=8) और (k=2) है। दिए पद से अज्ञात नियतांक निकालें। / From (32-4k=24), (4k=8) and (k=2). Use the given term to find the unknown constant.
पद \(1^2+2\cdot1+3\), \(2^2+2\cdot2+3\) जैसे हैं। पहले दो पदों से ही विकल्प घट जाते हैं। / The terms are like \(1^2+2\cdot1+3\), \(2^2+2\cdot2+3\). The first two terms eliminate many options.
(n-2-(n-1)2=2n-1) होता है। अंतर निकालते समय पिछले पद में (n-1) रखें। / (n-2-(n-1)2=2n-1). While finding the difference, put (n-1) in the previous term.
हर पद \(n^2+2\) से बनता है। वर्गीय श्रेढ़ी में (n=1,2,3) रखकर मिलान करें। / Every term is formed by \(n^2+2\). In a quadratic sequence, test (n=1,2,3).
\(5n^2-1=124\) से \(5n^2=125\) और (n=5) है। वर्गमूल लेते समय धनात्मक पद संख्या लें। / From \(5n^2-1=124\), \(5n^2=125\) and (n=5). Take the positive term number after square root.
(n=8) रखने पर \(\frac{17}{3}\) मिलता है। भिन्न वाले सूत्र में अंश पहले सरल करें। / Putting (n=8) gives \(\frac{17}{3}\). In fractional formulas, simplify the numerator first.
\(a_1=-5\) और \(a_{15}=37\) है इसलिए योग (32) है। ऋणात्मक पहले पद को ध्यान से जोड़ें। / \(a_1=-5\) and \(a_{15}=37\), so the sum is (32). Add the negative first term carefully.
\(2^{n+2}-4\) से (4,12,28) मिलते हैं। दोगुना होकर स्थिर घटने वाले पैटर्न पहचानें। / \(2^{n+2}-4\) gives (4,12,28). Identify patterns that double with a fixed subtraction.
\(a_1=3\) और \(a_2=3\) सबसे छोटे हैं। छोटे प्राकृतिक मान रखकर न्यूनतम जांचें। / \(a_1=3\) and \(a_2=3\) are the smallest. Test small natural values to check the minimum.
पद \(1^2+4,2^2+4,3^2+4\) जैसे हैं। वर्ग से समान अंतर देखकर सूत्र चुनें। / The terms are like \(1^2+4,2^2+4,3^2+4\). Choose the formula by comparing with squares.
(5) स्थानों में वृद्धि (25) है इसलिए (r=5) है। फिर \(a_n=5n+2\) और \(a_{20}=102\) मिलता है। / The increase over (5) positions is (25), so (r=5). Then \(a_n=5n+2\) and \(a_{20}=102\).
\(a_5=125\) और \(a_3=27\) है इसलिए अंतर (98) है। घन वाले पदों में गणना सावधानी से करें। / \(a_5=125\) and \(a_3=27\), so the difference is (98). Calculate cubic terms carefully.
(a_{n+1}=4(n+1)2+(n+1)) रखकर घटाने पर (8n+5) मिलता है। (n+1) को पूरा विस्तार दें। / Using (a_{n+1}=4(n+1)2+(n+1)) and subtracting gives (8n+5). Expand (n+1) fully.
ये पद वर्गों के संचयी योग \(1^2\), \(1^2+2^2\), \(1^2+2^2+3^2\) हैं। संचयी पैटर्न में जोड़कर देखें। / These terms are cumulative sums of squares \(1^2\), \(1^2+2^2\), \(1^2+2^2+3^2\). In cumulative patterns, inspect the added parts.
(n=4) रखने पर \(\frac{16+1}{4}=\frac{17}{4}\) मिलता है। भिन्न को जल्दबाजी में पूर्णांक न बनाएं। / Putting (n=4) gives \(\frac{16+1}{4}=\frac{17}{4}\). Do not force a fraction into an integer.
(6n-11=55) से (6n=66) और (n=11) है। पद संख्या में केवल प्राकृतिक मान स्वीकार करें। / From (6n-11=55), (6n=66) and (n=11). Accept only natural values for term numbers.
दिए पद \(n^2+3n\) से (4,10,18) मिलते हैं। विकल्पों को शुरुआती पदों से मिलाना सबसे तेज है। / The terms (4,10,18) match \(n^2+3n\). Matching options with initial terms is the fastest method.
दोनों योग घटाने पर (2a=10) इसलिए (a=5) है। फिर (b=-3) और \(a_{10}=47\) मिलता है। / Subtracting the two sums gives (2a=10), so (a=5). Then (b=-3) and \(a_{10}=47\).
अंश विषम संख्याएं (2n+1) और हर (n+1) है। भिन्न श्रेढ़ी में दोनों भागों का अलग नियम बनाएं। / The numerator is odd numbers (2n+1) and the denominator is (n+1). In fractional sequences, make rules for both parts.
\(a_6=37\) और \(a_5=24\) है इसलिए अंतर (13) है। ((-1)^n) में सम और विषम (n) को अलग जांचें। / \(a_6=37\) and \(a_5=24\), so the difference is (13). Check even and odd (n) separately in ((-1)^n).
ये पद त्रिभुज संख्याओं के संचयी योग से बनते हैं। संचयी जोड़ दिखे तो पहले अंतरों को देखें। / These terms are formed by cumulative sums of triangular numbers. When cumulative addition appears, inspect the first differences.
दूसरा अंतर (4) है इसलिए \(n^2\) का गुणांक (2) होगा। मान रखने पर \(2n^2+3n+1\) सही आता है। / The second difference is (4), so the coefficient of \(n^2\) is (2). Substitution gives \(2n^2+3n+1\).
अंश (2,5,8,11) और हर (5,8,11,14) हैं। दोनों में सामान्य अंतर (3) है। / The numerators are (2,5,8,11) and denominators are (5,8,11,14). Both have common difference (3).
दोनों योग घटाने पर (2a=12) इसलिए (a=6) है। फिर (12a+2b=74) से (b=1) और \(a_1=7\) नहीं बल्कि (a+b=7) होता है। / Subtracting the two sums gives (2a=12), so (a=6). Then (12a+2b=74) gives (b=1), so \(a_1=a+b=7\).
