Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
दोनों योग घटाने पर (2a=12) इसलिए (a=6) है। फिर (12a+2b=74) से (b=1) और \(a_1=7\) नहीं बल्कि (a+b=7) होता है। / Subtracting the two sums gives (2a=12), so (a=6). Then (12a+2b=74) gives (b=1), so \(a_1=a+b=7\).
अंश (2,5,8,11) और हर (5,8,11,14) हैं। दोनों में सामान्य अंतर (3) है। / The numerators are (2,5,8,11) and denominators are (5,8,11,14). Both have common difference (3).
दूसरा अंतर (4) है इसलिए \(n^2\) का गुणांक (2) होगा। मान रखने पर \(2n^2+3n+1\) सही आता है। / The second difference is (4), so the coefficient of \(n^2\) is (2). Substitution gives \(2n^2+3n+1\).
ये पद त्रिभुज संख्याओं के संचयी योग से बनते हैं। संचयी जोड़ दिखे तो पहले अंतरों को देखें। / These terms are formed by cumulative sums of triangular numbers. When cumulative addition appears, inspect the first differences.
\(a_6=37\) और \(a_5=24\) है इसलिए अंतर (13) है। ((-1)^n) में सम और विषम (n) को अलग जांचें। / \(a_6=37\) and \(a_5=24\), so the difference is (13). Check even and odd (n) separately in ((-1)^n).
अंश विषम संख्याएं (2n+1) और हर (n+1) है। भिन्न श्रेढ़ी में दोनों भागों का अलग नियम बनाएं। / The numerator is odd numbers (2n+1) and the denominator is (n+1). In fractional sequences, make rules for both parts.
दोनों योग घटाने पर (2a=10) इसलिए (a=5) है। फिर (b=-3) और \(a_{10}=47\) मिलता है। / Subtracting the two sums gives (2a=10), so (a=5). Then (b=-3) and \(a_{10}=47\).
दिए पद \(n^2+3n\) से (4,10,18) मिलते हैं। विकल्पों को शुरुआती पदों से मिलाना सबसे तेज है। / The terms (4,10,18) match \(n^2+3n\). Matching options with initial terms is the fastest method.
(6n-11=55) से (6n=66) और (n=11) है। पद संख्या में केवल प्राकृतिक मान स्वीकार करें। / From (6n-11=55), (6n=66) and (n=11). Accept only natural values for term numbers.
(n=4) रखने पर \(\frac{16+1}{4}=\frac{17}{4}\) मिलता है। भिन्न को जल्दबाजी में पूर्णांक न बनाएं। / Putting (n=4) gives \(\frac{16+1}{4}=\frac{17}{4}\). Do not force a fraction into an integer.
ये पद वर्गों के संचयी योग \(1^2\), \(1^2+2^2\), \(1^2+2^2+3^2\) हैं। संचयी पैटर्न में जोड़कर देखें। / These terms are cumulative sums of squares \(1^2\), \(1^2+2^2\), \(1^2+2^2+3^2\). In cumulative patterns, inspect the added parts.
(a_{n+1}=4(n+1)2+(n+1)) रखकर घटाने पर (8n+5) मिलता है। (n+1) को पूरा विस्तार दें। / Using (a_{n+1}=4(n+1)2+(n+1)) and subtracting gives (8n+5). Expand (n+1) fully.
\(a_5=125\) और \(a_3=27\) है इसलिए अंतर (98) है। घन वाले पदों में गणना सावधानी से करें। / \(a_5=125\) and \(a_3=27\), so the difference is (98). Calculate cubic terms carefully.
(5) स्थानों में वृद्धि (25) है इसलिए (r=5) है। फिर \(a_n=5n+2\) और \(a_{20}=102\) मिलता है। / The increase over (5) positions is (25), so (r=5). Then \(a_n=5n+2\) and \(a_{20}=102\).
पद \(1^2+4,2^2+4,3^2+4\) जैसे हैं। वर्ग से समान अंतर देखकर सूत्र चुनें। / The terms are like \(1^2+4,2^2+4,3^2+4\). Choose the formula by comparing with squares.
\(a_1=3\) और \(a_2=3\) सबसे छोटे हैं। छोटे प्राकृतिक मान रखकर न्यूनतम जांचें। / \(a_1=3\) and \(a_2=3\) are the smallest. Test small natural values to check the minimum.
\(2^{n+2}-4\) से (4,12,28) मिलते हैं। दोगुना होकर स्थिर घटने वाले पैटर्न पहचानें। / \(2^{n+2}-4\) gives (4,12,28). Identify patterns that double with a fixed subtraction.
\(a_1=-5\) और \(a_{15}=37\) है इसलिए योग (32) है। ऋणात्मक पहले पद को ध्यान से जोड़ें। / \(a_1=-5\) and \(a_{15}=37\), so the sum is (32). Add the negative first term carefully.
(n=8) रखने पर \(\frac{17}{3}\) मिलता है। भिन्न वाले सूत्र में अंश पहले सरल करें। / Putting (n=8) gives \(\frac{17}{3}\). In fractional formulas, simplify the numerator first.
\(5n^2-1=124\) से \(5n^2=125\) और (n=5) है। वर्गमूल लेते समय धनात्मक पद संख्या लें। / From \(5n^2-1=124\), \(5n^2=125\) and (n=5). Take the positive term number after square root.
हर पद \(n^2+2\) से बनता है। वर्गीय श्रेढ़ी में (n=1,2,3) रखकर मिलान करें। / Every term is formed by \(n^2+2\). In a quadratic sequence, test (n=1,2,3).
(n-2-(n-1)2=2n-1) होता है। अंतर निकालते समय पिछले पद में (n-1) रखें। / (n-2-(n-1)2=2n-1). While finding the difference, put (n-1) in the previous term.
पद \(1^2+2\cdot1+3\), \(2^2+2\cdot2+3\) जैसे हैं। पहले दो पदों से ही विकल्प घट जाते हैं। / The terms are like \(1^2+2\cdot1+3\), \(2^2+2\cdot2+3\). The first two terms eliminate many options.
