Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(n=18) रखने पर \(a_{18}=108-5=103\) मिलता है। परीक्षा में पद संख्या को सीधे सूत्र में रखें। / Putting (n=18) gives \(a_{18}=108-5=103\). In exams, substitute the term number directly in the formula.
दिए पद \(n^2+4n+3\) से सही बनते हैं। पहले तीन पदों पर विकल्प जांचना तेज तरीका है। / The given terms are formed by \(n^2+4n+3\). Testing options on the first three terms is a fast method.
\(a_7=177\) और \(a_4=54\) है इसलिए अंतर (123) है। पहले दोनों पद अलग निकालें। / \(a_7=177\) and \(a_4=54\), so the difference is (123). Find both terms separately first.
पद (3) गुणा त्रिभुज संख्याओं जैसे हैं। (n(n+1)) वाले पैटर्न को पहचानें। / The terms are (3) times triangular numbers. Recognize patterns involving (n(n+1)).
(7) स्थानों में वृद्धि (35) है इसलिए अंतर (5) है। सूत्र \(a_n=5n-2\) से \(a_{20}=98\) मिलता है। / The increase over (7) positions is (35), so the difference is (5). The formula \(a_n=5n-2\) gives \(a_{20}=98\).
अंश \(4,7,10,\ldots\) से (3n+1) और हर \(7,10,13,\ldots\) से (3n+4) है। भिन्नों में अंश और हर अलग देखें। / The numerator \(4,7,10,\ldots\) gives (3n+1), and the denominator \(7,10,13,\ldots\) gives (3n+4). Observe numerator and denominator separately.
\(3n^2+2=149\) से \(n^2=49\) और (n=7) मिलता है। पद संख्या के लिए धनात्मक मान लें। / From \(3n^2+2=149\), \(n^2=49\) and (n=7). Take the positive value for the term number.
दूसरा अंतर (8) है इसलिए \(n^2\) का गुणांक (4) होगा। मान रखने पर \(4n^2-3n+1\) सही है। / The second difference is (8), so the coefficient of \(n^2\) is (4). Substitution gives \(4n^2-3n+1\).
दोनों योग घटाने पर (2p=12) इसलिए (p=6) है। फिर (q=-1) और \(a_{10}=59\) मिलता है। / Subtracting the two sums gives (2p=12), so (p=6). Then (q=-1) and \(a_{10}=59\).
दिए पद \(2n^2+4n+1\) से बनते हैं। पहले पद से ही गलत विकल्प हटाने शुरू करें। / The given terms are formed by \(2n^2+4n+1\). Start eliminating wrong options from the first term itself.
\(a_6=\frac{6\cdot11}{3}=22\) है। गुणा करने से पहले कटौती देखना समय बचाता है। / \(a_6=\frac{6\cdot11}{3}=22\). Checking cancellation before multiplying saves time.
\(a_{n+1}\) में (n+1) रखकर घटाने पर (6n+8) मिलता है। विस्तार में कोष्ठक न भूलें। / Putting (n+1) in \(a_{n+1}\) and subtracting gives (6n+8). Do not forget brackets while expanding.
दूसरा अंतर (6) है इसलिए \(n^2\) का गुणांक (3) होगा। जांचने पर \(3n^2-4n+1\) मिलता है। / The second difference is (6), so the coefficient of \(n^2\) is (3). Checking gives \(3n^2-4n+1\).
(n=3) पर \(a_3=4\) सबसे छोटा आता है। वर्गीय सूत्र में शीर्ष के आसपास के मान जांचें। / At (n=3), \(a_3=4\) is the smallest. In a quadratic formula, check values near the vertex.
अंश \(n^2\) और हर (n(n+2)) है। सरल करने पर \(\frac{n}{n+2}\) मिलता है। / The numerator is \(n^2\) and the denominator is (n(n+2)). Simplifying gives \(\frac{n}{n+2}\).
दिए पद \(2n^2-3n+5\) से सही मिलते हैं। दूसरे अंतर से वर्गीय रूप पहचानें। / The given terms match \(2n^2-3n+5\). Use second differences to identify a quadratic form.
(7) स्थानों में वृद्धि (35) है इसलिए (r=5) है। सूत्र \(a_n=5n-1\) से \(a_{15}=74\) मिलता है। / The increase over (7) positions is (35), so (r=5). The formula \(a_n=5n-1\) gives \(a_{15}=74\).
\(a_6=8\) और \(a_7=-9\) है इसलिए योग (-1) है। चिह्न बदलने वाले सूत्रों में सम-विषम जांचें। / \(a_6=8\) and \(a_7=-9\), so the sum is (-1). In sign-changing formulas, check even and odd values.
दिए पद \(4n^2+2n\) से बनते हैं। दूसरे अंतर (8) से गुणांक (4) का संकेत मिलता है। / The given terms are formed by \(4n^2+2n\). The second difference (8) indicates coefficient (4).
((n+1)(n+3)=80) में (n=7) रखने पर \(8\cdot10=80\) मिलता है। विकल्पों को जल्दी जांचें। / Putting (n=7) in ((n+1)(n+3)=80) gives \(8\cdot10=80\). Test the options quickly.
अंश \(5,9,13,\ldots\) से (4n+1) और हर \(6,11,16,\ldots\) से (5n+1) है। दोनों श्रेणियों का अलग नियम बनाएं। / The numerator \(5,9,13,\ldots\) gives (4n+1), and the denominator \(6,11,16,\ldots\) gives (5n+1). Make separate rules for both sequences.
\(a_9=104\) और \(a_1=8\) है इसलिए अंतर (96) है। पहले छोटे पद को सही निकालें। / \(a_9=104\) and \(a_1=8\), so the difference is (96). Find the smaller term correctly first.
दोनों योग घटाने पर (4a=24) इसलिए (a=6) है। फिर (b=-6) और \(a_{12}=66\) मिलता है। / Subtracting the two sums gives (4a=24), so (a=6). Then (b=-6) and \(a_{12}=66\).
दूसरा अंतर (4) है इसलिए \(n^2\) का गुणांक (2) होगा। मान रखने पर \(2n^2+5n+3\) सही है। / The second difference is (4), so the coefficient of \(n^2\) is (2). Substitution gives \(2n^2+5n+3\).
(n=4) रखने पर \(\frac{33}{5}\) मिलता है। भिन्न में अंश और हर अलग सरल करें। / Putting (n=4) gives \(\frac{33}{5}\). Simplify numerator and denominator separately in a fraction.
पद \(4-2,8-2,16-2,\ldots\) हैं। घातीय पैटर्न में स्थिर घटाव देखें। / The terms are \(4-2,8-2,16-2,\ldots\). In exponential patterns, look for fixed subtraction.
दूसरा अंतर (10) है इसलिए \(n^2\) का गुणांक (5) होगा। सही सूत्र \(5n^2-5n+3\) है। / The second difference is (10), so the coefficient of \(n^2\) is (5). The correct formula is \(5n^2-5n+3\).
(n(n+4)=117) में (n=9) रखने पर \(9\cdot13=117\) मिलता है। विकल्पों से जांचना यहां सरल है। / Putting (n=9) in (n(n+4)=117) gives \(9\cdot13=117\). Checking options is simple here.
अंश (3n-1) और हर (7n+2) के रूप में है। अलग-अलग समांतर नियम बनाएं। / The numerator is (3n-1), and the denominator is (7n+2). Make separate arithmetic rules.
\(a_4=124\) और \(a_2=14\) है इसलिए अंतर (110) है। घन वाले पदों में गणना दोबारा जांचें। / \(a_4=124\) and \(a_2=14\), so the difference is (110). Recheck calculations in cubic terms.
दूसरा अंतर (12) है इसलिए \(n^2\) का गुणांक (6) होगा। जांचने पर \(6n^2-5n+4\) सही है। / The second difference is (12), so the coefficient of \(n^2\) is (6). Checking gives \(6n^2-5n+4\).
\(a_{n+1}\) का विस्तार करके घटाने पर (6n-2) मिलता है। ऋणात्मक पद का चिह्न ध्यान रखें। / Expanding \(a_{n+1}\) and subtracting gives (6n-2). Pay attention to the sign of the negative term.
\(\frac{10\cdot11}{2}=55\) और (55+3=58) है। त्रिभुज संख्या के बाद स्थिर जोड़ न भूलें। / \(\frac{10\cdot11}{2}=55\) and (55+3=58). Do not forget the constant addition after the triangular number.
(n=7) रखने पर \(\frac{21-2}{15}=\frac{19}{15}\) मिलता है। अंश और हर को अलग-अलग सरल करें। / Putting (n=7) gives \(\frac{21-2}{15}=\frac{19}{15}\). Simplify numerator and denominator separately.
मान (3n+1) हैं और चिह्न बारी-बारी से बदलता है। धनात्मक पहले पद के लिए ((-1)^{n+1}) सही है। / The magnitudes are (3n+1), and signs alternate. For a positive first term, ((-1)^{n+1}) is correct.
\(a_8=180\) और \(a_3=25\) है इसलिए अंतर (155) है। ऐसे प्रश्नों में दोनों पद अलग-अलग निकालकर घटाएं। / \(a_8=180\) and \(a_3=25\), so the difference is (155). In such questions, find both terms separately and subtract.
