Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पहला पद (17) और अंतर (8) है, इसलिए (a_n=17+(n-1)8=8n+9)। समान्तर श्रेणी में (n-1) अंतर जुड़ते हैं। / The first term is (17) and the difference is (8), so (a_n=17+(n-1)8=8n+9). In an arithmetic sequence, (n-1) differences are added.
(7d=63) से (d=9) और \(a_1=2\), इसलिए \(a_n=9n-7\)। दो दिए पदों से पहले सामान्य अंतर निकालें। / From (7d=63), (d=9) and \(a_1=2\), so \(a_n=9n-7\). From two given terms, find the common difference first.
पद \(4n^2+5n\) से मिलते हैं। द्विघात पैटर्न में विकल्पों को पहले तीन पदों पर जांचें। / The terms match \(4n^2+5n\). In a quadratic pattern, test the options on the first three terms.
(n=2r-1) रखने पर (a_{2r-1}=11(2r-1)-15=22r-26)। सूचकांक का पूरा व्यंजक प्रतिस्थापित करें। / Putting (n=2r-1), (a_{2r-1}=11(2r-1)-15=22r-26). Substitute the whole expression used as the index.
यह गुणोत्तर श्रेणी है और \(a_6=6\cdot5^5=18750\)। गुणोत्तर श्रेणी में घात (n-1) होती है। / This is a geometric sequence and \(a_6=6\cdot5^5=18750\). In a geometric sequence, the exponent is (n-1).
\(a_{10}=279\) और \(a_4=75\), इसलिए अंतर (204) है। दोनों पद अलग निकालकर घटाएं। / \(a_{10}=279\) and \(a_4=75\), so the difference is (204). Find both terms separately before subtracting.
दूसरे अंतर (8) हैं और \(4n^2+1\) सभी शुरुआती पद देता है। दूसरे अंतर का आधा \(n^2\) का गुणांक होता है। / The second differences are (8), and \(4n^2+1\) gives all starting terms. Half of the second difference is the coefficient of \(n^2\).
(35-6n=-43) से (6n=78), इसलिए (n=13)। ऋणात्मक पदों में चिन्हों पर ध्यान दें। / From (35-6n=-43), (6n=78), so (n=13). Be careful with signs in negative terms.
दिए गए पद \(3n^2+4n+1\) से मिलते हैं। विकल्पों को पहले तीन पदों पर जांचना सुरक्षित तरीका है। / The given terms match \(3n^2+4n+1\). Testing options on the first three terms is a safe method.
(n=9) पर ((-1)9=-1) और (5(9)-3=42), इसलिए \(a_9=-42\)। वैकल्पिक चिन्ह में सम-विषम स्थिति देखें। / For (n=9), ((-1)9=-1) and (5(9)-3=42), so \(a_9=-42\). In alternating signs, check the even-odd position.
\(a_9=a_1+8d\) से \(a_1=5\), इसलिए (a_n=5+(n-1)7=7n-2)। मध्य पद से पहला पद निकालना उपयोगी है। / From \(a_9=a_1+8d\), \(a_1=5\), so (a_n=5+(n-1)7=7n-2). Finding the first term from a middle term is useful.
पद \(16-3,32-3,64-3,\ldots\) हैं इसलिए \(a_n=2^{n+3}-3\)। घातीय पैटर्न में शुरुआती घात पहचानें। / The terms are \(16-3,32-3,64-3,\ldots\), so \(a_n=2^{n+3}-3\). In exponential patterns, identify the starting power.
हर पद में \(\frac{11}{6}\) की वृद्धि है इसलिए \(a_n=\frac{11n}{6}\)। भिन्नों में समान हर बनाकर पैटर्न देखें। / Each term increases by \(\frac{11}{6}\), so \(a_n=\frac{11n}{6}\). Use a common denominator to see the pattern in fractions.
पद \(5n^2+1\) नहीं बल्कि \(5n^2+1\) से मिलते हैं, इसलिए दिए विकल्पों में सही पद नहीं है। सही विकल्पों को पहले पद पर अवश्य जांचें। / The terms match \(5n^2+1\), so none of the listed options is correct. Always test options on the first term.
\(a_{n+1}=8n^2+9n+5\), इसलिए अंतर (16n+1) है। (n+1) का वर्ग सावधानी से खोलें। / \(a_{n+1}=8n^2+9n+5\), so the difference is (16n+1). Expand ((n+1)2) carefully.
पहला पद (44) और अंतर (-7) है, इसलिए (a_n=44+(n-1)(-7)=51-7n)। घटती श्रेणी में अंतर ऋणात्मक लें। / The first term is (44) and the difference is (-7), so (a_n=44+(n-1)(-7)=51-7n). Use a negative difference in a decreasing sequence.
दूसरे अंतर (4) हैं और \(2n^2+10n+6\) शुरुआती पद देता है। द्विघात नियम में पहले तीन पदों से पुष्टि करें। / The second differences are (4), and \(2n^2+10n+6\) gives the starting terms. Confirm a quadratic rule using the first three terms.
(13n-19=176) से (13n=195), इसलिए (n=15)। पद संख्या निकालने के लिए समीकरण बनाएं। / From (13n-19=176), (13n=195), so (n=15). Form an equation to find the term number.
हर पद में \(\frac{13}{7}\) की वृद्धि है इसलिए \(a_n=\frac{13n}{7}\)। समान हर वाले भिन्नों में अंश का पैटर्न देखें। / Each term increases by \(\frac{13}{7}\), so \(a_n=\frac{13n}{7}\). In fractions with a common denominator, observe the numerator pattern.
\(a_9=280\) और \(a_6=160\), इसलिए अंतर (120) है। दोनों पद अलग निकालकर घटाएं। / \(a_9=280\) and \(a_6=160\), so the difference is (120). Find both terms separately before subtracting.
पद \(7\cdot1^2,7\cdot2^2,7\cdot3^2,\ldots\) हैं इसलिए \(a_n=7n^2\)। वर्ग पैटर्न के गुणांक को पहचानें। / The terms are \(7\cdot1^2,7\cdot2^2,7\cdot3^2,\ldots\), so \(a_n=7n^2\). Identify the coefficient of the square pattern.
\(a_7=-7\) और \(a_{12}=-32\), इसलिए योग (-39) है। ऋणात्मक संख्याओं का योग सावधानी से करें। / \(a_7=-7\) and \(a_{12}=-32\), so the sum is (-39). Add negative numbers carefully.
पद \(4^3,5^3,6^3,\ldots\) हैं इसलिए (a_n=(n+3)3)। घन श्रेणी में शुरुआती आधार देखें। / The terms are \(4^3,5^3,6^3,\ldots\), so (a_n=(n+3)3). In cube sequences, observe the starting base.
सूचकांक (6) बढ़ा है और सामान्य अंतर (10) है इसलिए अंतर (60) होगा। रैखिक नियम में (n) का गुणांक सामान्य अंतर देता है। / The index increases by (6) and the common difference is (10), so the difference is (60). In a linear rule, the coefficient of (n) gives the common difference.
हर बार गुणन (3) हो रहा है इसलिए \(a_n=8\cdot3^{n-1}\)। गुणोत्तर श्रेणी में पहला पद अलग रहता है। / Each term is multiplied by (3), so \(a_n=8\cdot3^{n-1}\). In a geometric sequence, the first term stays separate.
\(a_{n+2}=5n^2+22n+15\), इसलिए अंतर (20n+24) है। (n+2) का वर्ग सही खोलें। / \(a_{n+2}=5n^2+22n+15\), so the difference is (20n+24). Expand ((n+2)2) correctly.
(9d=108) से (d=12), इसलिए \(a_{26}=181+9\cdot12=289\)। निकट दिए गए पद से दूर का पद निकालना आसान है। / From (9d=108), (d=12), so \(a_{26}=181+9\cdot12=289\). It is easier to find a distant term from a nearby given term.
दिए गए पद \(4n^2-2n\) से मिलते हैं। पहले तीन पदों पर विकल्प जांचने से गलती कम होती है। / The given terms match \(4n^2-2n\). Testing options on the first three terms reduces mistakes.
(n) की जगह (4n+1) रखने पर (7(4n+1)-13=28n-6)। पूरे सूचकांक को ब्रैकेट में रखकर हल करें। / Replacing (n) by (4n+1), (7(4n+1)-13=28n-6). Put the whole index in brackets while solving.
(23+(n-1)15=218) से (n-1=13), इसलिए (n=14)। पद संख्या निकालते समय (n-1) को न भूलें। / From (23+(n-1)15=218), (n-1=13), so (n=14). Do not forget (n-1) while finding the term number.
(a_{12}=\frac{12(19)}{4}=57)। भिन्न में पहले सरल करना गणना आसान बनाता है। / (a_{12}=\frac{12(19)}{4}=57). Simplifying first makes fraction calculation easier.
दूसरे अंतर (8) हैं और \(4n^2+8n-1\) सभी शुरुआती पद देता है। द्विघात श्रेणी में विकल्पों को पहले तीन पदों पर जांचें। / The second differences are (8), and \(4n^2+8n-1\) gives all starting terms. In a quadratic sequence, test options on the first three terms.
विषम (n) पर पद ऋणात्मक और सम (n) पर धनात्मक है, इसलिए (a_n=4(-1)^n n)। वैकल्पिक चिन्ह में पहले (n=1) पर जांचें। / For odd (n), terms are negative and for even (n), terms are positive, so (a_n=4(-1)^n n). In alternating signs, test first at (n=1).
\(n^2+14=183\) से \(n^2=169\), इसलिए (n=13)। पद संख्या धन पूर्णांक ही ली जाती है। / From \(n^2+14=183\), \(n^2=169\), so (n=13). A term number is taken as a positive integer.
हर पद आधा हो रहा है इसलिए (a_n=48\left\(\frac{1}{2}\right\)^{n-1})। गुणोत्तर श्रेणी में घात (n-1) से शुरू होती है। / Each term is halved, so (a_n=48\left\(\frac{1}{2}\right\)^{n-1}). In a geometric sequence, the exponent starts with (n-1).
\(a_{11}=614\) और \(a_5=74\), इसलिए अंतर (540) है। दोनों पद अलग-अलग निकालकर घटाएं। / \(a_{11}=614\) and \(a_5=74\), so the difference is (540). Find both terms separately and subtract.
पहला पद (27) और अंतर (22) है, इसलिए \(a_{20}=27+19\cdot22=445\)। (20)वें पद में (19) अंतर जुड़ते हैं। / The first term is (27) and the difference is (22), so \(a_{20}=27+19\cdot22=445\). The (20)th term includes (19) differences.
\(a_8=312\) और \(a_3=57\), इसलिए अंतर (255) है। विकल्प मिलाने से पहले गणना दोबारा जांचें। / \(a_8=312\) and \(a_3=57\), so the difference is (255). Recheck the calculation before matching options.
पद \(9\cdot1^2,9\cdot2^2,9\cdot3^2,\ldots\) हैं इसलिए \(a_n=9n^2\)। वर्ग पैटर्न के गुणांक को पहचानें। / The terms are \(9\cdot1^2,9\cdot2^2,9\cdot3^2,\ldots\), so \(a_n=9n^2\). Identify the coefficient of the square pattern.
दूसरे अंतर (12) हैं और \(6n^2+9n+1\) सभी शुरुआती पद देता है। द्विघात नियम में दूसरे अंतर का आधा \(n^2\) का गुणांक होता है। / The second differences are (12), and \(6n^2+9n+1\) gives all starting terms. In a quadratic rule, half of the second difference is the coefficient of \(n^2\).
(n=5p-3) रखने पर (6(5p-3)+17=30p-1)। सूचकांक में दिया पूरा व्यंजक प्रतिस्थापित करें। / Putting (n=5p-3), (6(5p-3)+17=30p-1). Substitute the whole expression given in the index.
(n=10) रखने पर (10(10+6)=160)। विकल्पों को सीधे जांचना तेज तरीका हो सकता है। / Putting (n=10), (10(10+6)=160). Directly testing the options can be a quick method.
\(a_n=15n-23\) में (n) का गुणांक (15) है, इसलिए सामान्य अंतर (15) है। रैखिक (n)वें पद में (n) का गुणांक अंतर देता है। / In \(a_n=15n-23\), the coefficient of (n) is (15), so the common difference is (15). In a linear (n)th term, the coefficient of (n) gives the difference.
हर पद \(\frac{1}{5}\) गुना हो रहा है इसलिए (a_n=125\left\(\frac{1}{5}\right\)^{n-1})। पहले पद को सुरक्षित रखकर (n-1) घात लगाएं। / Each term is multiplied by \(\frac{1}{5}\), so (a_n=125\left\(\frac{1}{5}\right\)^{n-1}). Keep the first term fixed and use exponent (n-1).
