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B. (a) एक पूर्ण वर्ग नहीं है/(a) is not a perfect square
Explanation
Simple Explanation
यदि (a) पूर्ण वर्ग नहीं है तो \(\sqrt{a}\) अपरिमेय हो सकता है। परीक्षा में पहले पूर्ण वर्ग पहचानें। / If (a) is not a perfect square then \(\sqrt{a}\) can be irrational. In exams first identify perfect squares.
\(\sqrt{32}=\sqrt{16\times2}=4\sqrt{2}\) होता है। \(\sqrt{2}\) बचने से यह अपरिमेय है। / \(\sqrt{32}=\sqrt{16\times2}=4\sqrt{2}\). Since \(\sqrt{2}\) remains, it is irrational.
\( \sqrt{25}=5 \) है और (5) परिमेय है। पूर्ण वर्ग का वर्गमूल परिमेय होता है। / \( \sqrt{25}=5 \), and (5) is rational. The square root of a perfect square is rational.
(13) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \( \sqrt{13} \) अपरिमेय है। अपरिमेय संख्या \( \frac{p}{q} \) के रूप में नहीं लिखी जाती। / (13) is not a perfect square, so \( \sqrt{13} \) is irrational. An irrational number cannot be written as \( \frac{p}{q} \).
\( \sqrt{49}=7 \) है और (7) परिमेय है। पूर्ण वर्ग देखकर वर्गमूल का प्रकार तय करें। / \( \sqrt{49}=7 \), and (7) is rational. Use perfect squares to decide the type of square root.
(8) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \( \sqrt{8} \) अपरिमेय है। वर्गमूल में अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं, यह देखें। / (8) is not a perfect square, so \( \sqrt{8} \) is irrational. Check whether the number under the radical is a perfect square.
(15) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \( \sqrt{15} \) अपरिमेय है। आवर्ती दशमलव को अपरिमेय न मानें। / (15) is not a perfect square, so \( \sqrt{15} \) is irrational. Do not treat recurring decimals as irrational.
\( \sqrt{81}=9 \) है, इसलिए यह परिमेय संख्या है। पूर्ण वर्गों के वर्गमूल याद रखें। / \( \sqrt{81}=9 \), so it is a rational number. Remember square roots of perfect squares.
\( \sqrt{6} \) अपरिमेय है, इसलिए इसका दशमलव असांत अनावर्ती होगा। अपरिमेय संख्या का दशमलव न समाप्त होता है न दोहरता है। / \( \sqrt{6} \) is irrational, so its decimal is non-terminating non-recurring. An irrational decimal neither terminates nor repeats.
(50) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \( \sqrt{50} \) अपरिमेय है। केवल पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्णांक होता है। / (50) is not a perfect square, so \( \sqrt{50} \) is irrational. Only the square root of a perfect square is an integer.
B. \( \sqrt{2} \) और \( \sqrt{3} \)/\( \sqrt{2} \) and \( \sqrt{3} \)
Explanation
Simple Explanation
(2) और (3) पूर्ण वर्ग नहीं हैं, इसलिए \( \sqrt{2} \) और \( \sqrt{3} \) अपरिमेय हैं। अपूर्ण वर्गों के वर्गमूल अपरिमेय होते हैं। / (2) and (3) are not perfect squares, so \( \sqrt{2} \) and \( \sqrt{3} \) are irrational. Square roots of non-perfect squares are irrational.
\(0.6=\frac{3}{5}\) है, इसलिए परिमेय है। सांत दशमलव अपरिमेय नहीं होता। / \(0.6=\frac{3}{5}\), so it is rational. A terminating decimal is not irrational.
\( \sqrt{121}=11 \) है, इसलिए यह परिमेय है। पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्णांक होता है। / \( \sqrt{121}=11 \), so it is rational. The square root of a perfect square is an integer.
\( \sqrt{18} \) अपरिमेय है, इसलिए इसका दशमलव असांत अनावर्ती होगा। आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। / \( \sqrt{18} \) is irrational, so its decimal expansion is non-terminating non-recurring. Recurring decimals are rational.
\( \sqrt{14} \) अपरिमेय है और हर अपरिमेय संख्या वास्तविक संख्या भी होती है। वास्तविक संख्याओं में परिमेय और अपरिमेय दोनों आते हैं। / \( \sqrt{14} \) is irrational, and every irrational number is also real. Real numbers include both rational and irrational numbers.
(27) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \( \sqrt{27} \) अपरिमेय है। पूर्ण वर्गों और अपूर्ण वर्गों में फर्क करें। / (27) is not a perfect square, so \( \sqrt{27} \) is irrational. Distinguish perfect squares from non-perfect squares.
\( \sqrt{0.04}=0.2 \) है और (0.2) परिमेय है। दशमलव पूर्ण वर्गों को भी पहचानें। / \( \sqrt{0.04}=0.2 \), and (0.2) is rational. Identify decimal perfect squares too.
\(0.\overline{45}\) असांत आवर्ती दशमलव है, इसलिए परिमेय है। आवर्ती दशमलव को अपरिमेय न मानें। / \(0.\overline{45}\) is a non-terminating recurring decimal, so it is rational. Do not treat recurring decimals as irrational.
(32) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \( \sqrt{32} \) अपरिमेय है। वर्गमूल देखते समय पूर्ण वर्ग जांचें। / (32) is not a perfect square, so \( \sqrt{32} \) is irrational. Check perfect squares when seeing a square root.
\( \sqrt{26} \) अपूर्ण वर्ग का वर्गमूल है, इसलिए अपरिमेय है। \( \frac{22}{7} \) परिमेय है, \( \pi \) नहीं। / \( \sqrt{26} \) is the square root of a non-perfect square, so it is irrational. \( \frac{22}{7} \) is rational, but \( \pi \) is not.
अपरिमेय संख्या का दशमलव विस्तार असांत अनावर्ती होता है। यह परीक्षा में सबसे महत्वपूर्ण पहचान है। / The decimal expansion of an irrational number is non-terminating non-recurring. This is a key exam identification.
\( \sqrt{0.09}=0.3 \) है और (0.3) परिमेय है। दशमलव वर्गों के वर्गमूल भी परिमेय हो सकते हैं। / \( \sqrt{0.09}=0.3 \), and (0.3) is rational. Square roots of decimal squares can also be rational.
\(0.4040040004\ldots\) में निश्चित दोहराव नहीं है। ऐसा दशमलव अपरिमेय संख्या को दर्शाता है। / \(0.4040040004\ldots\) has no fixed repetition. Such a decimal represents an irrational number.
\( \sqrt{1}=1 \) है और (1) परिमेय है। सबसे छोटे पूर्ण वर्गों को भी ध्यान में रखें। / \( \sqrt{1}=1 \), and (1) is rational. Remember even the smallest perfect squares.
A. \( \sqrt{4} \) और \( \sqrt{7} \)/\( \sqrt{4} \) and \( \sqrt{7} \)
Explanation
Simple Explanation
\( \sqrt{4}=2 \) परिमेय है और \( \sqrt{7} \) अपरिमेय है। जोड़ी में दोनों संख्याओं का प्रकार अलग-अलग जांचें। / \( \sqrt{4}=2 \) is rational and \( \sqrt{7} \) is irrational. Check the type of both numbers in a pair.
\( \sqrt{5} \) लगभग (2) और (3) के बीच है और अपरिमेय है। अपूर्ण वर्ग का वर्गमूल अच्छा उदाहरण होता है। / \( \sqrt{5} \) lies approximately between (2) and (3) and is irrational. A square root of a non-perfect square is a good example.
परिमेय संख्या में अपरिमेय संख्या जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय रहता है। (3) परिमेय है और \( \sqrt{2} \) अपरिमेय है। / Adding a rational number to an irrational number gives an irrational number. (3) is rational and \( \sqrt{2} \) is irrational.
गैर-शून्य परिमेय संख्या (5) को अपरिमेय \( \sqrt{3} \) से गुणा करने पर अपरिमेय संख्या मिलती है। गुणन में शून्य का मामला अलग होता है। / Multiplying non-zero rational (5) by irrational \( \sqrt{3} \) gives an irrational number. The zero case is different.
A. पूर्ण वर्ग का वर्गमूल/Square root of a perfect square
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्णांक होता है, इसलिए परिमेय होता है। जैसे \( \sqrt{64}=8 \)। / The square root of a perfect square is an integer, so it is rational. For example, \( \sqrt{64}=8 \).
\( \sqrt{20} \) अपरिमेय है और सभी अपरिमेय संख्याएं वास्तविक होती हैं। वास्तविक लेकिन परिमेय नहीं होने का अर्थ अपरिमेय है। / \( \sqrt{20} \) is irrational and all irrational numbers are real. Real but not rational means irrational.
\( \sqrt{3} \) अपरिमेय है, इसलिए इसका दशमलव असांत अनावर्ती होता है। अपरिमेय संख्या का दशमलव कभी आवर्ती नहीं होता। / \( \sqrt{3} \) is irrational, so its decimal is non-terminating non-recurring. The decimal of an irrational number is never recurring.
A. \( \sqrt{6} \), \( \sqrt{10} \), \( \sqrt{11} \)
Explanation
Simple Explanation
(6), (10) और (11) पूर्ण वर्ग नहीं हैं, इसलिए तीनों वर्गमूल अपरिमेय हैं। सभी संख्याओं को अलग-अलग जांचें। / (6), (10), and (11) are not perfect squares, so all three square roots are irrational. Check each number separately.
\( \sqrt{2}\times\sqrt{2}=2 \) है, इसलिए परिमेय है। दो अपरिमेय संख्याओं का गुणन हमेशा अपरिमेय नहीं होता। / \( \sqrt{2}\times\sqrt{2}=2 \), so it is rational. The product of two irrational numbers is not always irrational.
\(28=4\times7\), इसलिए \( \sqrt{28}=2\sqrt{7} \) है। वर्गमूल सरल करने में पूर्ण वर्ग अलग करें। / \(28=4\times7\), so \( \sqrt{28}=2\sqrt{7} \). Separate perfect-square factors while simplifying square roots.
\(18=9\times2\), इसलिए \( \sqrt{18}=3\sqrt{2} \) है। पूर्ण वर्ग (9) को वर्गमूल से बाहर निकालें। / \(18=9\times2\), so \( \sqrt{18}=3\sqrt{2} \). Take the perfect square (9) out of the radical.
(2) परिमेय है और \( \sqrt{5} \) अपरिमेय है, इसलिए योग अपरिमेय है। परिमेय में अपरिमेय जोड़ने से अपरिमेय मिलता है। / (2) is rational and \( \sqrt{5} \) is irrational, so the sum is irrational. Adding rational and irrational gives irrational.
समान पद जोड़ने पर \( \sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2} \) होता है। समान वर्गमूलों को बीजीय पदों की तरह जोड़ें। / Adding like terms gives \( \sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2} \). Add like radicals like algebraic terms.
\(12=4\times3\), इसलिए \( \sqrt{12}=2\sqrt{3} \) है। वर्गमूल में पूर्ण वर्ग को बाहर निकालें। / \(12=4\times3\), so \( \sqrt{12}=2\sqrt{3} \). Take the perfect-square factor out of the radical.
\(48=16\times3\), इसलिए \( \sqrt{48}=4\sqrt{3} \) है। सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग निकालने से उत्तर सरल मिलता है। / \(48=16\times3\), so \( \sqrt{48}=4\sqrt{3} \). Taking out the largest perfect square gives the simplest answer.
\( \sqrt{3}\times\sqrt{12}=\sqrt{36}=6 \) है, इसलिए परिमेय है। दो अपरिमेय संख्याओं का गुणन हमेशा अपरिमेय नहीं होता। / \( \sqrt{3}\times\sqrt{12}=\sqrt{36}=6 \), so it is rational. The product of two irrational numbers is not always irrational.
\(72=36\times2\), इसलिए \( \sqrt{72}=6\sqrt{2} \) है। पूर्ण वर्ग (36) को वर्गमूल से बाहर निकालें। / \(72=36\times2\), so \( \sqrt{72}=6\sqrt{2} \). Take the perfect square (36) out of the radical.
\( \sqrt{11} \) अपरिमेय है और उसका ऋणात्मक भी अपरिमेय रहता है। चिन्ह बदलने से संख्या का परिमेय-अपरिमेय प्रकार नहीं बदलता। / \( \sqrt{11} \) is irrational, and its negative remains irrational. Changing the sign does not change rational or irrational type.
\(1.01001000100001\ldots\) में निश्चित दोहराव नहीं है और यह समाप्त भी नहीं होता। ऐसा दशमलव अपरिमेय होता है। / \(1.01001000100001\ldots\) has no fixed repetition and does not terminate. Such a decimal is irrational.
\( \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \) है, इसलिए यह अपरिमेय है। हर में अपरिमेय हो तो पहले सरल रूप सोचें। / \( \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \), so it is irrational. If the denominator is irrational, first think of the simplified form.
परिमेय संख्या (4) में से अपरिमेय \( \sqrt{6} \) घटाने पर परिणाम अपरिमेय रहता है। परिमेय और अपरिमेय का योग या अंतर सामान्यतः अपरिमेय होता है। / Subtracting irrational \( \sqrt{6} \) from rational (4) gives an irrational number. The sum or difference of rational and irrational is generally irrational.
\(108=36\times3\), इसलिए \( \sqrt{108}=6\sqrt{3} \) है। वर्गमूल सरल करते समय सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग निकालें। / \(108=36\times3\), so \( \sqrt{108}=6\sqrt{3} \). While simplifying radicals, take out the largest perfect square.
(9<13<16), इसलिए \(3<\sqrt{13}<4\) और (13) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए \( \sqrt{13} \) अपरिमेय है। / Since (9<13<16), \(3<\sqrt{13}<4\), and (13) is not a perfect square. Therefore, \( \sqrt{13} \) is irrational.
\( \sqrt{18}=3\sqrt{2} \), इसलिए \( \frac{\sqrt{18}}{3}=\sqrt{2} \) है। पहले वर्गमूल सरल करें और फिर समान गुणक काटें। / \( \sqrt{18}=3\sqrt{2} \), so \( \frac{\sqrt{18}}{3}=\sqrt{2} \). First simplify the radical and then cancel common factors.
B. जिसे (p/q) के रूप में नहीं लिखा जा सके / Cannot be written as (p / q)
Explanation
Simple Explanation
अपरिमेय संख्या को (p/q) के रूप में नहीं लिखा जा सकता। परीक्षा में दशमलव रूप भी देखें। / An irrational number cannot be written as (p/q). In exams also check its decimal form.
\(\sqrt{2}\) अपरिमेय संख्या है। पूर्ण वर्ग का वर्गमूल ही आसानी से परिमेय होता है। / \(\sqrt{2}\) is an irrational number. A square root is easily rational only for perfect squares.
\(\sqrt{16}=4\) होता है इसलिए यह परिमेय है। पूर्ण वर्ग का वर्गमूल परिमेय होता है। / \(\sqrt{16}=4\) so it is rational. The square root of a perfect square is rational.
(7) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \(\sqrt{7}\) अपरिमेय है। परीक्षा में पहले पूर्ण वर्ग पहचानें। / (7) is not a perfect square so \(\sqrt{7}\) is irrational. In exams first identify perfect squares.
\(\pi\) अपरिमेय है और (22/7) केवल उसका मानक निकट मान है। बराबरी और निकट मान में फर्क रखें। / \(\pi\) is irrational and (22/7) is only a common approximation. Keep equality and approximation different.
\(\sqrt{3}\) अपरिमेय है इसलिए इसका दशमलव असांत और अनावर्ती है। यही अपरिमेय की मुख्य पहचान है। / \(\sqrt{3}\) is irrational so its decimal is non-terminating and non-repeating. This is the main test for irrational numbers.
\(0.333\ldots\) आवर्ती दशमलव है इसलिए परिमेय है। आवर्ती दशमलव को भिन्न में बदला जा सकता है। / \(0.333\ldots\) is repeating so it is rational. A repeating decimal can be converted into a fraction.
\(5+\sqrt{2}\) अपरिमेय है क्योंकि परिमेय में अपरिमेय जोड़ने से अपरिमेय मिलता है। ऐसे सवाल में अपरिमेय भाग देखें। / \(5+\sqrt{2}\) is irrational because adding a rational and an irrational gives an irrational. In such questions watch the irrational part.
\(3\sqrt{5}\) अपरिमेय है क्योंकि शून्येतर परिमेय से गुणा करने पर अपरिमेय ही रहता है। गुणक (0) न हो यह ध्यान रखें। / \(3\sqrt{5}\) is irrational because multiplying by a non-zero rational keeps it irrational. Remember the multiplier must not be (0).
\(0\times\sqrt{11}=0\) होता है और (0) परिमेय है। शून्य से गुणा करने पर परिणाम हमेशा शून्य होता है। / \(0\times\sqrt{11}=0\) and (0) is rational. Multiplication by zero always gives zero.
(10) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \(\sqrt{10}\) अपरिमेय है। पूर्ण वर्गों की सूची याद रखना उपयोगी है। / (10) is not a perfect square so \(\sqrt{10}\) is irrational. Remembering perfect squares is useful.
\(\sqrt{49}=7\) इसलिए यह परिमेय है। पूर्ण वर्ग का वर्गमूल हमेशा परिमेय पूर्णांक होता है। / \(\sqrt{49}=7\) so it is rational. The square root of a perfect square is a rational integer.
\(\sqrt{2}\) का मान (1) और (2) के बीच होता है और यह अपरिमेय है। अंतराल में वर्गों से अनुमान लगाएं। / \(\sqrt{2}\) lies between (1) and (2) and is irrational. Estimate using nearby squares.
यह दशमलव असांत और अनावर्ती है इसलिए अपरिमेय है। केवल दोहराव दिखने से पहले पूरा पैटर्न समझें। / This decimal is non-terminating and non-repeating so it is irrational. Understand the pattern before calling it repeating.
(12) बार-बार दोहर रहा है इसलिए यह आवर्ती दशमलव है। आवर्ती दशमलव परिमेय होता है। / (12) repeats again and again so it is a repeating decimal. A repeating decimal is rational.
\(\sqrt{13}\) अपरिमेय है इसलिए उसका ऋणात्मक भी अपरिमेय है। चिन्ह बदलने से प्रकार नहीं बदलता। / \(\sqrt{13}\) is irrational so its negative is also irrational. Changing the sign does not change the type.
(\(\sqrt{3}\)2=3) होता है जो परिमेय है। अपरिमेय का वर्ग कभी-कभी परिमेय हो सकता है। / (\(\sqrt{3}\)2=3) which is rational. The square of an irrational can sometimes be rational.
दोनों पद एक-दूसरे के विपरीत हैं इसलिए योग (0) है। दो अपरिमेयों का योग परिमेय भी हो सकता है। / The two terms are opposites so the sum is (0). The sum of two irrationals can also be rational.
\(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\) होता है। दो अपरिमेयों का गुणनफल परिमेय हो सकता है। / \(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\). The product of two irrationals can be rational.
\(\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}\) होता है और \(\sqrt{6}\) अपरिमेय है। गुणन में अंदर की संख्याएँ गुणा करें। / \(\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}\) and \(\sqrt{6}\) is irrational. In multiplication multiply the numbers inside roots.
परिमेय (2) में अपरिमेय \(\sqrt{5}\) जोड़ने से अपरिमेय संख्या मिलती है। अपरिमेय भाग को अलग पहचानें। / Adding irrational \(\sqrt{5}\) to rational (2) gives an irrational number. Identify the irrational part separately.
\(\sqrt{7}\) अपरिमेय है इसलिए \(9-\sqrt{7}\) भी अपरिमेय है। परिमेय घटाने या जोड़ने से अपरिमेयता बनी रहती है। / \(\sqrt{7}\) is irrational so \(9-\sqrt{7}\) is also irrational. Adding or subtracting a rational keeps irrationality.
\(\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}\) है इसलिए यह परिमेय है। भिन्न में अंश और हर दोनों का वर्गमूल लें। / \(\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}\) so it is rational. Take square roots of numerator and denominator.
\(\sqrt{\frac{2}{9}}=\frac{\sqrt{2}}{3}\) है जो अपरिमेय है। यदि अंश पूर्ण वर्ग न हो तो ध्यान रखें। / \(\sqrt{\frac{2}{9}}=\frac{\sqrt{2}}{3}\) which is irrational. Be careful when the numerator is not a perfect square.
\(\sqrt{25}=5\) है इसलिए यह परिमेय है। पूर्ण वर्गों के वर्गमूल अपरिमेय नहीं होते। / \(\sqrt{25}=5\) so it is rational. Square roots of perfect squares are not irrational.
यह दशमलव असांत और अनावर्ती है इसलिए अपरिमेय है। दोहराने वाला निश्चित ब्लॉक नहीं है। / This decimal is non-terminating and non-repeating so it is irrational. It has no fixed repeating block.
(p/q) रूप परिमेय संख्या की पहचान है। अपरिमेय को ऐसे नहीं लिखा जा सकता। / The form (p/q) identifies a rational number. An irrational number cannot be written so.
(3.14) सांत दशमलव है इसलिए परिमेय है। सांत दशमलव को भिन्न में बदला जा सकता है। / (3.14) is a terminating decimal so it is rational. A terminating decimal can be converted into a fraction.
\(\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}\) होता है। इसलिए \(\sqrt{18}\) अपरिमेय है। / \(\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}\). Therefore \(\sqrt{18}\) is irrational.
\(\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=5\sqrt{2}\) है। \(\sqrt{2}\) बचने से यह अपरिमेय है। / \(\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=5\sqrt{2}\). Since \(\sqrt{2}\) remains, it is irrational.
\(\sqrt{0.25}=0.5\) है इसलिए यह परिमेय है। दशमलव को वर्ग रूप में पहचानें। / \(\sqrt{0.25}=0.5\) so it is rational. Recognize decimals as squares when possible.
मापांक ऋणात्मक चिन्ह हटाता है इसलिए मान \(\sqrt{5}\) है। \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। / Absolute value removes the negative sign so the value is \(\sqrt{5}\). \(\sqrt{5}\) is irrational.
\(\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=\sqrt{4}=2\) होता है। सरलीकरण के बाद प्रकार बदल सकता है। / \(\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=\sqrt{4}=2\). The type can change after simplification.
\(\sqrt{2}\) अपरिमेय है इसलिए \(1+\sqrt{2}\) भी अपरिमेय है। परिमेय संख्या जोड़ने से अपरिमेय भाग खत्म नहीं होता। / \(\sqrt{2}\) is irrational so \(1+\sqrt{2}\) is also irrational. Adding a rational number does not remove the irrational part.
\(1.010010001\ldots\) में निश्चित दोहराव नहीं है। इसलिए यह अपरिमेय दशमलव का उदाहरण है। / \(1.010010001\ldots\) has no fixed repetition. So it is an example of an irrational decimal.
\(\sqrt{20}=\sqrt{4\times5}=2\sqrt{5}\) है। \(\sqrt{5}\) के कारण यह अपरिमेय है। / \(\sqrt{20}=\sqrt{4\times5}=2\sqrt{5}\). Because of \(\sqrt{5}\), it is irrational.
\(\sqrt{64}=8\) परिमेय है लेकिन (65) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए \(\sqrt{65}\) अपरिमेय है। / \(\sqrt{64}=8\) is rational but (65) is not a perfect square. Therefore \(\sqrt{65}\) is irrational.
(23) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \(\sqrt{23}\) अपरिमेय है। भिन्न और सांत दशमलव परिमेय होते हैं। / (23) is not a perfect square so \(\sqrt{23}\) is irrational. Fractions and terminating decimals are rational.
\(\sqrt{3}\) अपरिमेय है इसलिए \(4\sqrt{3}\) अपरिमेय है। शून्येतर परिमेय गुणक प्रकार नहीं बदलता। / \(\sqrt{3}\) is irrational so \(4\sqrt{3}\) is irrational. A non-zero rational multiplier does not change the type.
\(\sqrt{81}=9\) है और \(9+\sqrt{2}\) अपरिमेय है। पहले सरल करें फिर संख्या का प्रकार तय करें। / \(\sqrt{81}=9\) and \(9+\sqrt{2}\) is irrational. Simplify first then decide the type.
\(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) और \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) इसलिए अंतर \(\sqrt{3}\) है। परिणाम अपरिमेय है। / \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) and \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) so the difference is \(\sqrt{3}\). The result is irrational.
D. उसे (p/q) रूप में नहीं लिखा जा सकता / It cannot be written as (p / q)
Explanation
Simple Explanation
अपरिमेय संख्या को (p/q) रूप में नहीं लिखा जा सकता। परीक्षा में यही मूल परिभाषा याद रखें। / An irrational number cannot be written in the form (p/q). Remember this basic definition for exams.
\(\sqrt[3]{8}=2\) है इसलिए यह परिमेय है। पूर्ण घन का घनमूल परिमेय होता है। / \(\sqrt[3]{8}=2\) so it is rational. The cube root of a perfect cube is rational.
समान मूलों को जोड़ने पर \(\sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2}\) मिलता है। यह अभी भी अपरिमेय है। / Adding like radicals gives \(\sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2}\). It is still irrational.
\(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) इसलिए योग \(3\sqrt{5}\) है। पहले मूल को सरल करें। / \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) so the sum is \(3\sqrt{5}\). Simplify radicals first.
\(\sqrt{98}=\sqrt{49\times2}=7\sqrt{2}\) होता है। \(\sqrt{2}\) बचने से यह अपरिमेय है। / \(\sqrt{98}=\sqrt{49\times2}=7\sqrt{2}\). Since \(\sqrt{2}\) remains, it is irrational.
समान मूलों को घटाने पर \(2\sqrt{6}-\sqrt{6}=\sqrt{6}\) मिलता है। \(\sqrt{6}\) अपरिमेय संख्या है। / Subtracting like radicals gives \(2\sqrt{6}-\sqrt{6}=\sqrt{6}\). \(\sqrt{6}\) is an irrational number.
परिमाप \(4\sqrt{7}\) होगा और \(\sqrt{7}\) अपरिमेय है। शून्येतर परिमेय गुणक से अपरिमेयता बनी रहती है। / The perimeter is \(4\sqrt{7}\) and \(\sqrt{7}\) is irrational. A non-zero rational multiplier keeps irrationality.
B. असांत अनावर्ती दशमलव/Non-terminating non-repeating decimal
Explanation
Simple Explanation
अपरिमेय संख्या का दशमलव असांत और अनावर्ती होता है। परीक्षा में दोहराने वाले भाग को ध्यान से देखें। / An irrational number has a non-terminating and non-repeating decimal. In exams check the repeating part carefully.
भुजा \(\sqrt{11}\) होगी और (11) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए \(\sqrt{11}\) अपरिमेय है। / The side will be \(\sqrt{11}\) and (11) is not a perfect square. So \(\sqrt{11}\) is irrational.
इसमें निश्चित दोहराव नहीं है इसलिए यह अपरिमेय है। अनावर्ती पैटर्न को आवर्ती मानने की गलती न करें। / It has no fixed repetition so it is irrational. Do not mistake a non-repeating pattern for a repeating one.
\(\sqrt{121}=11\) है इसलिए यह परिमेय है। पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्णांक होता है। / \(\sqrt{121}=11\) so it is rational. The square root of a perfect square is an integer.
\(\sqrt{64}=8\) इसलिए यह परिमेय है। पूर्ण वर्गों के वर्गमूल अपरिमेय नहीं होते। / \(\sqrt{64}=8\) so it is rational. Square roots of perfect squares are not irrational.
\(2x=2\sqrt{6}\) होगा जो अपरिमेय है। शून्येतर परिमेय से गुणा करने पर अपरिमेयता बनी रहती है। / \(2x=2\sqrt{6}\), which is irrational. Multiplication by a non-zero rational keeps irrationality.
\(\sqrt{3}\times\sqrt{27}=\sqrt{81}=9\) होता है। दो अपरिमेयों का गुणनफल परिमेय हो सकता है। / \(\sqrt{3}\times\sqrt{27}=\sqrt{81}=9\). The product of two irrationals can be rational.
क्योंकि (10<10.5<11), इसलिए \(\sqrt{10.5}\) दोनों के बीच है। वर्गमूल की तुलना अंदर की संख्याओं से करें। / Since (10<10.5<11), \(\sqrt{10.5}\) lies between them. Compare square roots using the numbers inside.
\(\sqrt{48}=\sqrt{16\times3}=4\sqrt{3}\) है। पूर्ण वर्ग गुणनखंड बाहर निकालें। / \(\sqrt{48}=\sqrt{16\times3}=4\sqrt{3}\). Take the perfect-square factor outside.
(a-2=\(\sqrt{5}\)2=5) है इसलिए यह परिमेय है। अपरिमेय का वर्ग कभी-कभी परिमेय होता है। / (a-2=\(\sqrt{5}\)2=5), so it is rational. The square of an irrational can sometimes be rational.
\(\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}}=\sqrt{9}=3\) है। सरलीकरण के बाद परिणाम परिमेय हो सकता है। / \(\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}}=\sqrt{9}=3\). After simplification the result can be rational.
\(\sqrt[3]{27}=3\) है इसलिए यह परिमेय है। पूर्ण घन का घनमूल परिमेय होता है। / \(\sqrt[3]{27}=3\) so it is rational. The cube root of a perfect cube is rational.
(5) पूर्ण घन नहीं है इसलिए \(\sqrt[3]{5}\) अपरिमेय है। घनमूल में पूर्ण घन देखना चाहिए। / (5) is not a perfect cube so \(\sqrt[3]{5}\) is irrational. In cube roots check perfect cubes.
\(\sqrt{5}\) का मान (1) और (3) के बीच है और यह अपरिमेय है। निकट पूर्ण वर्गों से अनुमान लगाएं। / \(\sqrt{5}\) lies between (1) and (3) and is irrational. Estimate using nearby perfect squares.
परिमेय (6) में से अपरिमेय \(\sqrt{2}\) घटाने पर अपरिमेय संख्या मिलती है। अपरिमेय भाग खत्म नहीं होता। / Subtracting irrational \(\sqrt{2}\) from rational (6) gives an irrational number. The irrational part does not disappear.
समान मूलों को जोड़ने पर \(2\sqrt{7}\) मिलता है। यह अपरिमेय है क्योंकि \(\sqrt{7}\) बचता है। / Adding like radicals gives \(2\sqrt{7}\). It is irrational because \(\sqrt{7}\) remains.
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) और \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), इसलिए योग \(7\sqrt{3}\) है। पहले दोनों मूल सरल करें। / \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) and \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), so the sum is \(7\sqrt{3}\). Simplify both radicals first.
\(\sqrt{80}=4\sqrt{5}\) और \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), इसलिए अंतर \(\sqrt{5}\) है। समान मूलों को घटाएं। / \(\sqrt{80}=4\sqrt{5}\) and \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), so the difference is \(\sqrt{5}\). Subtract like radicals.
\(\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\) होता है। हर में मूल हो तो सरलीकरण ध्यान से करें। / \(\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\). Simplify carefully when the denominator has a radical.
\(\frac{1}{\sqrt{3}}\) को \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\) से गुणा करने पर \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) मिलता है। इसे हर का परिमेयकरण कहते हैं। / Multiplying \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) by \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\) gives \(\frac{\sqrt{3}}{3}\). This is called rationalising the denominator.
\(0.454545\ldots\) आवर्ती दशमलव है इसलिए परिमेय है। आवर्ती दशमलव को भिन्न में बदला जा सकता है। / \(0.454545\ldots\) is repeating so it is rational. A repeating decimal can be converted into a fraction.
\(\pi\) अपरिमेय है और (2) परिमेय है, इसलिए योग अपरिमेय है। \(\pi\) को (22/7) के बराबर न मानें। / \(\pi\) is irrational and (2) is rational, so the sum is irrational. Do not treat \(\pi\) as equal to (22/7).
A. यह \(\pi\) का निकट मान है/It is an approximation of \(\pi\)
Explanation
Simple Explanation
(22/7) परिमेय है और \(\pi\) का निकट मान है। निकट मान को वास्तविक बराबरी न समझें। / (22/7) is rational and an approximation of \(\pi\). Do not treat an approximation as exact equality.
यह दशमलव असांत और अनावर्ती है इसलिए अपरिमेय है। निश्चित दोहराने वाला ब्लॉक नहीं है। / This decimal is non-terminating and non-repeating so it is irrational. There is no fixed repeating block.
\(\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}\) है इसलिए यह परिमेय है। अंश और हर दोनों पूर्ण वर्ग हैं। / \(\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}\), so it is rational. Both numerator and denominator are perfect squares.
\(\sqrt{\frac{7}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{2}\) है और \(\sqrt{7}\) अपरिमेय है। भिन्न में भी पूर्ण वर्ग जाँचें। / \(\sqrt{\frac{7}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{2}\) and \(\sqrt{7}\) is irrational. Check perfect squares even in fractions.
\(10\sqrt{2}\div5=2\sqrt{2}\) है जो अपरिमेय है। संख्यात्मक गुणांक को अलग सरल करें। / \(10\sqrt{2}\div5=2\sqrt{2}\), which is irrational. Simplify the numerical coefficient separately.
\(\sqrt{11}\) अपरिमेय है और (-3) शून्येतर परिमेय गुणक है। इसलिए परिणाम अपरिमेय है। / \(\sqrt{11}\) is irrational and (-3) is a non-zero rational multiplier. So the result is irrational.
विपरीत संख्या जोड़ने पर (0) देती है, इसलिए \(-\sqrt{13}\) सही है। यह भी अपरिमेय है। / The additive inverse gives (0) when added, so \(-\sqrt{13}\) is correct. It is also irrational.
व्युत्क्रम वह है जिसका गुणनफल (1) देता है। \(\sqrt{13}\times\frac{1}{\sqrt{13}}=1\) होता है। / The reciprocal is the number whose product gives (1). \(\sqrt{13}\times\frac{1}{\sqrt{13}}=1\).
\(\sqrt{2}\) के पद कट जाते हैं और मान (1) है। कभी-कभी अपरिमेय पद हटकर परिमेय परिणाम दे सकते हैं। / The \(\sqrt{2}\) terms cancel and the value is (1). Sometimes irrational terms can cancel to give a rational result.
यह ((a+b)(a-b)=a-2-b-2) है, इसलिए मान (6-4=2) है। संयुग्मी रूप परिणाम को परिमेय बना सकता है। / This is ((a+b)(a-b)=a-2-b-2), so the value is (6-4=2). Conjugates can make the result rational.
(\(\sqrt{5}+1\)2=5+2\sqrt{5}+1=6+2\sqrt{5}) है। मध्य पद भूलना नहीं चाहिए। / (\(\sqrt{5}+1\)2=5+2\sqrt{5}+1=6+2\sqrt{5}). Do not forget the middle term.
क्योंकि (2<3), इसलिए \(\sqrt{2}<\sqrt{3}\)। धनात्मक संख्याओं के वर्गमूल में अंदर की संख्या की तुलना करें। / Since (2<3), \(\sqrt{2}<\sqrt{3}\). For positive square roots compare the numbers inside.
क्योंकि (16<17<25), इसलिए \(4<\sqrt{17}<5\)। निकट पूर्ण वर्गों से सीमा तय करें। / Since (16<17<25), \(4<\sqrt{17}<5\). Use nearby perfect squares to decide bounds.
A. समकोण त्रिभुज जिसकी भुजाएँ (1) और (1) हों/Right triangle with legs (1) and (1)
Explanation
Simple Explanation
समकोण त्रिभुज में कर्ण \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\) होता है। पाइथागोरस प्रमेय से निर्माण समझें। / In a right triangle, the hypotenuse is \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\). Understand construction using Pythagoras theorem.
C. परिमेय और अपरिमेय दोनों/Both rational and irrational numbers
Explanation
Simple Explanation
संख्या रेखा पर वास्तविक संख्याएँ दिखाई जाती हैं जिनमें परिमेय और अपरिमेय दोनों शामिल हैं। अपरिमेयों का निर्माण ज्यामिति से किया जा सकता है। / The number line represents real numbers, including both rational and irrational numbers. Irrationals can be constructed geometrically.
क्षेत्रफल (\(\sqrt{3}\)2=3) है। अपरिमेय भुजा का क्षेत्रफल परिमेय हो सकता है। / The area is (\(\sqrt{3}\)2=3). A square with irrational side can have rational area.
धनात्मक संख्या \(\sqrt{19}\) है क्योंकि (\(\sqrt{19}\)2=19)। (19) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए यह अपरिमेय है। / The positive number is \(\sqrt{19}\) because (\(\sqrt{19}\)2=19). Since (19) is not a perfect square, it is irrational.
\(\sqrt{2}\) अपरिमेय है इसलिए इसका दशमलव असांत और अनावर्ती होता है। दशमलव के कुछ अंक देखकर निष्कर्ष न लगाएं। / \(\sqrt{2}\) is irrational so its decimal is non-terminating and non-repeating. Do not conclude from only a few decimal digits.
D. हर वास्तविक संख्या परिमेय होती है/Every real number is rational
Explanation
Simple Explanation
हर वास्तविक संख्या परिमेय नहीं होती क्योंकि अपरिमेय संख्याएँ भी वास्तविक हैं। संख्या तंत्र में दोनों प्रकार शामिल हैं। / Every real number is not rational because irrational numbers are also real. The number system includes both types.
B. \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{5}\)/\(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{5}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{5}\) दोनों अपरिमेय हैं क्योंकि (2) और (5) पूर्ण वर्ग नहीं हैं। प्रत्येक संख्या को अलग जाँचें। / \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{5}\) are both irrational because (2) and (5) are not perfect squares. Check each number separately.
\(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\) और \(\sqrt{63}=3\sqrt{7}\), इसलिए योग \(5\sqrt{7}\) है। समान मूलों को जोड़ें। / \(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\) and \(\sqrt{63}=3\sqrt{7}\), so the sum is \(5\sqrt{7}\). Add like radicals.
\(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\) और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), इसलिए अंतर \(4\sqrt{2}\) है। पहले समान मूलों को सरल करें। / \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so the difference is \(4\sqrt{2}\). Simplify like radicals first.
\(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) है, इसलिए \(\frac{\sqrt{27}}{3}=\sqrt{3}\) होता है। परिणाम अभी भी अपरिमेय है। / \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\), so \(\frac{\sqrt{27}}{3}=\sqrt{3}\). The result is still irrational.
धनात्मक संख्या \(\sqrt{37}\) है क्योंकि (\(\sqrt{37}\)2=37)। (37) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए यह अपरिमेय है। / The positive number is \(\sqrt{37}\) because (\(\sqrt{37}\)2=37). Since (37) is not a perfect square, it is irrational.
इस दशमलव में निश्चित दोहराने वाला खंड नहीं है। इसलिए यह असांत अनावर्ती दशमलव और अपरिमेय संख्या है। / This decimal has no fixed repeating block. So it is a non-terminating non-repeating decimal and an irrational number.
\(\sqrt{96}=\sqrt{16\times6}=4\sqrt{6}\) है। \(\sqrt{6}\) बचने से यह अपरिमेय है। / \(\sqrt{96}=\sqrt{16\times6}=4\sqrt{6}\). Since \(\sqrt{6}\) remains, it is irrational.
\(\sqrt{44}=2\sqrt{11}\) और \(\sqrt{99}=3\sqrt{11}\), इसलिए योग \(5\sqrt{11}\) है। समान मूलों को जोड़ने से पहले सरल करें। / \(\sqrt{44}=2\sqrt{11}\) and \(\sqrt{99}=3\sqrt{11}\), so the sum is \(5\sqrt{11}\). Simplify before adding like radicals.
