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बहुपद में चर की घात पूर्ण अशून्य या शून्य संख्या होनी चाहिए। \(3x^2-5x+1\) में घातें (2), (1), और (0) हैं। / In a polynomial, powers of the variable must be whole numbers including zero. In \(3x^2-5x+1\), the powers are (2), (1), and (0).
\(\frac{5}{x}\) में चर हर में है, अर्थात घात (-1) है। ऋणात्मक घात वाला व्यंजक बहुपद नहीं होता। / In \(\frac{5}{x}\), the variable is in the denominator, meaning the power is (-1). An expression with a negative power is not a polynomial.
C. पूर्ण अशून्य या शून्य पूर्णांक/Non-negative integers including zero
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घात (0,1,2,3) जैसी हो सकती है। भिन्न या ऋणात्मक घात बहुपद की परिभाषा में नहीं आती। / In a polynomial, powers can be like (0,1,2,3). Fractional or negative powers do not fit the definition of a polynomial.
सबसे बड़ी घात (3) है। बहुपद की डिग्री सबसे बड़ी घात से पहचानी जाती है। / The highest power is (3). The degree of a polynomial is identified by the highest power.
इस बहुपद की सबसे बड़ी घात (1) है। घात (1) वाला बहुपद रेखीय बहुपद कहलाता है। / The highest power of this polynomial is (1). A polynomial of degree (1) is called a linear polynomial.
इसमें सबसे बड़ी घात (2) है। घात (2) वाला बहुपद द्विघात बहुपद होता है। / Its highest power is (2). A polynomial of degree (2) is a quadratic polynomial.
इस बहुपद की सबसे बड़ी घात (3) है। घात (3) वाला बहुपद त्रिघात बहुपद कहलाता है। / The highest power of this polynomial is (3). A polynomial of degree (3) is called a cubic polynomial.
(12) में कोई चर नहीं है, इसलिए यह नियतांक बहुपद है। अशून्य नियतांक बहुपद की डिग्री (0) होती है। / (12) has no variable, so it is a constant polynomial. A non-zero constant polynomial has degree (0).
नियतांक बहुपद में चर नहीं होता। (-8) केवल एक संख्या है, इसलिए यह नियतांक बहुपद है। / A constant polynomial has no variable. (-8) is only a number, so it is a constant polynomial.
\(x^2+4x+4\) में चर की घातें अशून्य या शून्य पूर्णांक हैं। इसलिए यह बहुपद है। / In \(x^2+4x+4\), the powers of the variable are non-negative integers. Therefore it is a polynomial.
B. क्योंकि इसमें घात भिन्न है/Because it has a fractional power
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घात भिन्न नहीं हो सकती। \(x^{\frac{1}{2}}\) की घात \(\frac{1}{2}\) है। / In a polynomial, the power of the variable cannot be fractional. The power of \(x^{\frac{1}{2}}\) is \(\frac{1}{2}\).
A. क्योंकि घात ऋणात्मक है/Because the power is negative
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घात ऋणात्मक नहीं हो सकती। यहां (x) की घात (-3) है। / In a polynomial, the power of the variable cannot be negative. Here the power of (x) is (-3).
\(\frac{3}{x}\) में (x) हर में है, इसलिए यह \(x^{-1}\) जैसा है। ऋणात्मक घात बहुपद में स्वीकार नहीं होती। / In \(\frac{3}{x}\), (x) is in the denominator, so it is like \(x^{-1}\). Negative powers are not accepted in polynomials.
सबसे बड़ी घात (2) है, जो \(x^2\) पद में है। डिग्री खोजते समय सबसे बड़ी घात देखें। / The highest power is (2), which is in the term \(x^2\). While finding degree, look at the highest power.
\(\sqrt{3}\) एक वास्तविक गुणांक है और (x) की घात (1) है। इसलिए यह बहुपद है। / \(\sqrt{3}\) is a real coefficient and the power of (x) is (1). So it is a polynomial.
\(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\) होता है, जिसमें चर की घात भिन्न है। इसलिए यह बहुपद नहीं है। / \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\), which has a fractional power of the variable. Therefore it is not a polynomial.
\(9x^2\) में बिना चर वाला कोई पद नहीं लिखा है। इसलिए नियतांक पद (0) माना जाता है। / In \(9x^2\), no term without a variable is written. So the constant term is taken as (0).
इस बहुपद में \(x^3\) पद नहीं है। इसलिए \(x^3\) का गुणांक (0) माना जाता है। / The term \(x^3\) is not present in this polynomial. So the coefficient of \(x^3\) is taken as (0).
त्रिपदी में तीन पद होते हैं। \(x^2+3x+2\) में तीन पद हैं और सभी घातें मान्य हैं। / A trinomial has three terms. \(x^2+3x+2\) has three terms and all powers are valid.
B. हां, क्योंकि चर की घात (1) है/Yes, because the power of the variable is (1)
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{x}{2}\) में (x) की घात (1) है और गुणांक \(\frac{1}{2}\) है। इसलिए यह बहुपद है। / In \(\frac{x}{2}\), the power of (x) is (1) and the coefficient is \(\frac{1}{2}\). Therefore it is a polynomial.
A. हां, क्योंकि गुणांक भिन्न हो सकता है/Yes, because the coefficient can be a fraction
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में गुणांक वास्तविक संख्या हो सकते हैं। यहां (x) की घात (2) है, इसलिए यह बहुपद है। / Coefficients in a polynomial can be real numbers. Here the power of (x) is (2), so it is a polynomial.
\(\frac{3}{2}\) भिन्न घात है। बहुपद में चर की घात केवल अशून्य या शून्य पूर्णांक होती है। / \(\frac{3}{2}\) is a fractional power. In a polynomial, the variable power must be only a non-negative integer.
अशून्य नियतांक बहुपद की डिग्री (0) होती है। उदाहरण के लिए \(5=5x^0\) माना जा सकता है। / A non-zero constant polynomial has degree (0). For example, (5) can be considered as \(5x^0\).
C. इसकी डिग्री परिभाषित नहीं है/Its degree is not defined
Explanation
Simple Explanation
शून्य बहुपद की डिग्री परिभाषित नहीं होती। परीक्षा में इसे अशून्य नियतांक बहुपद से अलग समझें। / The degree of the zero polynomial is not defined. In exams, distinguish it from a non-zero constant polynomial.
\(2x^2+3x-1\) में केवल (x) है और घातें मान्य हैं। इसलिए यह (x) में बहुपद है। / \(2x^2+3x-1\) has only (x) and valid powers. Therefore it is a polynomial in (x).
\(x^2+x+1\) में घातें (2), (1), और (0) हैं। ये बहुपद के लिए मान्य घातें हैं। / In \(x^2+x+1\), the powers are (2), (1), and (0). These are valid powers for a polynomial.
सबसे बड़ी घात वाला पद अग्रणी पद होता है। यहां सबसे बड़ी घात (3) है, इसलिए अग्रणी पद \(4x^3\) है। / The term with the highest power is the leading term. Here the highest power is (3), so the leading term is \(4x^3\).
B. नहीं, क्योंकि \(\frac{3}{x}\) में चर हर में है/No, because in \(\frac{3}{x}\) the variable is in the denominator
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{3}{x}\) में (x) की घात (-1) है। इसलिए पूरा व्यंजक बहुपद नहीं है। / In \(\frac{3}{x}\), the power of (x) is (-1). Therefore the whole expression is not a polynomial.
\(\frac{1}{x}=x^{-1}\) है, इसलिए यह बहुपद नहीं है। एक पद होना पर्याप्त नहीं है, घात भी मान्य होनी चाहिए। / \(\frac{1}{x}=x^{-1}\), so it is not a polynomial. Having one term is not enough; the power must also be valid.
(3x+7) में \(x^2\) पद नहीं है। इसलिए \(x^2\) का गुणांक (0) माना जाता है। / In (3x+7), the \(x^2\) term is absent. So the coefficient of \(x^2\) is taken as (0).
C. क्योंकि इसमें \(x^{-1}\) है/Because it has \(x^{-1}\)
Explanation
Simple Explanation
\(x^{-1}\) में चर की घात ऋणात्मक है। बहुपद में ऋणात्मक घात नहीं हो सकती। / In \(x^{-1}\), the power of the variable is negative. A polynomial cannot have a negative power.
मानक रूप में पदों को घटती घातों में लिखते हैं। \(x^3+2x^2+x+5\) में घातें (3), (2), (1), (0) क्रम में हैं। / In standard form, terms are written in descending powers. In \(x^3+2x^2+x+5\), powers are in the order (3), (2), (1), (0).
C. ऐसा व्यंजक जिसमें चर की घातें अशून्य या शून्य पूर्णांक हों/An expression in which variable powers are non-negative integers
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घातें (0,1,2,3) जैसी होती हैं। यही बहुपद की मूल परिभाषा है। / In a polynomial, variable powers are like (0,1,2,3). This is the basic definition of a polynomial.
\(x^{\frac{2}{3}}\) में घात भिन्न है। बहुपद में ऐसी घात नहीं होती। / In \(x^{\frac{2}{3}}\), the power is fractional. Such a power is not allowed in a polynomial.
