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वर्ग करने पर \(2=\frac{a^2}{b^2}\) मिलता है। इसलिए \(a^2=2b^2\) सही संबंध है। / Squaring gives \(2=\frac{a^2}{b^2}\). Therefore \(a^2=2b^2\) is the correct relation.
B. (a) सम है क्योंकि \(a^2\) सम है/(a) is even because \(a^2\) is even
Explanation
Simple Explanation
दाएँ पक्ष में (2) है इसलिए \(a^2\) सम है। वर्ग सम हो तो संख्या भी सम होती है। / The right side has (2), so \(a^2\) is even. If a square is even, the number is also even.
\(p^2\) में (3) का गुणनखंड है इसलिए (p) भी (3) से विभाज्य होगा। अभाज्य गुणनखंड का नियम लगाएं। / \(p^2\) has factor (3), so (p) is also divisible by (3). Use the prime factor rule.
\(b^2\) सम है इसलिए (b) भी सम होगा। यही दोनों को सम बनाकर विरोधाभास देता है। / \(b^2\) is even, so (b) is also even. This makes both numbers even and gives contradiction.
\(q^2\) (3) से विभाज्य है इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य होगा। यह अंतिम विरोधाभास की ओर ले जाता है। / \(q^2\) is divisible by (3), so (q) is also divisible by (3). This leads to the final contradiction.
B. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं जबकि वे सहभाज्य माने गए थे/Both (p) and (q) are divisible by (3) though assumed coprime
Explanation
Simple Explanation
दोनों का (3) से विभाज्य होना सामान्य गुणनखंड (3) देता है। यह सरलतम रूप से विरोधाभास है। / Both being divisible by (3) gives common factor (3). This contradicts the lowest form.
C. (a) और (b) दोनों सम हैं/Both (a) and (b) are even
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप में सामान्य गुणनखंड (1) के अलावा नहीं होना चाहिए। दोनों सम हों तो (2) सामान्य होता है। / In lowest form, there should be no common factor except (1). If both are even, (2) is common.
D. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं/Both (p) and (q) are divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
दोनों (3) से विभाज्य हों तो (3) सामान्य गुणनखंड बन जाता है। यह सहभाज्य शर्त को तोड़ता है। / If both are divisible by (3), common factor (3) appears. This breaks the coprime condition.
A. परिमेय मानना फिर वर्ग करना फिर दोनों सम का विरोधाभास/Assume rational then square then contradiction of both even
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास विधि में पहले परिमेय मानते हैं। फिर वर्ग करके दोनों सम होने का विरोधाभास मिलता है। / In contradiction method, rationality is assumed first. Then squaring gives the contradiction that both are even.
B. परिमेय मानना फिर वर्ग करना फिर दोनों (3) से विभाज्य होने का विरोधाभास/Assume rational then square then contradiction of both divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) में पहले परिमेय मानकर वर्ग करते हैं। फिर (3) से विभाज्यता सहभाज्य शर्त से टकराती है। / For \(\sqrt{3}\), we first assume rationality and square. Then divisibility by (3) conflicts with coprime condition.
A. पहले (m) सम सिद्ध करके (m=2r) रखना पड़ता है/First (m) must be proved even and (m=2r) must be used
Explanation
Simple Explanation
\(m^2=2n^2\) से पहले (m) सम मिलता है। (m=2r) रखने पर ही \(n^2=2r^2\) बनता है। / From \(m^2=2n^2\), (m) is proved even first. Only after putting (m=2r), \(n^2=2r^2\) is obtained.
B. पहले (p) (3) से विभाज्य सिद्ध करके (p=3k) रखना पड़ता है/First (p) must be proved divisible by (3) and (p=3k) must be used
Explanation
Simple Explanation
पहले \(p^2\) से (p) का (3) से विभाज्य होना सिद्ध होता है। फिर (p=3k) रखने पर (q) के लिए निष्कर्ष आता है। / First (p) is proved divisible by (3) from \(p^2\). Then after putting (p=3k), the conclusion for (q) follows.
D. यदि \(p^2\) (3) से विभाज्य है तो (p) (3) से विभाज्य है/If \(p^2\) is divisible by (3), then (p) is divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
अभाज्य गुणनखंड (3) वर्ग में तभी आता है जब संख्या में (3) हो। यही प्रमाण का मुख्य नियम है। / Prime factor (3) appears in the square only when the number has factor (3). This is the key rule of the proof.
A. क्योंकि शून्य से भाग परिभाषित नहीं है/Because division by zero is not defined
Explanation
Simple Explanation
भिन्न में हर शून्य नहीं हो सकता। इसलिए परिमेय रूप में \(n\neq0\) आवश्यक है। / The denominator of a fraction cannot be zero. Therefore \(n\neq0\) is necessary in rational form.
B. क्योंकि परिमेय संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जाता है/Because a rational number is written in lowest fraction
Explanation
Simple Explanation
सरलतम भिन्न में अंश और हर सहभाज्य होते हैं। यही बाद में विरोधाभास दिखाने में काम आता है। / In lowest fraction, numerator and denominator are coprime. This helps show contradiction later.
D. दोनों में सामान्य गुणनखंड (3) है/Both have common factor (3)
Explanation
Simple Explanation
सहभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा कोई सामान्य गुणनखंड नहीं होता। (3) सामान्य होना विरोधाभास है। / Coprime numbers have no common factor except (1). Having common factor (3) is a contradiction.
A. \(m^2\) विषम होना चाहिए पर समीकरण से सम मिलता है/\(m^2\) should be odd but the equation gives even
Explanation
Simple Explanation
विषम संख्या का वर्ग विषम होता है। लेकिन \(m^2=2n^2\) \(m^2\) को सम दिखाता है। / The square of an odd number is odd. But \(m^2=2n^2\) shows \(m^2\) is even.
B. \(p^2\) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए पर समीकरण से विभाज्य मिलता है/\(p^2\) should not be divisible by (3) but the equation gives divisible
Explanation
Simple Explanation
यदि (p) में (3) का गुणनखंड नहीं है तो \(p^2\) में भी नहीं होगा। लेकिन समीकरण \(p^2\) को (3) से विभाज्य बताता है। / If (p) has no factor (3), then \(p^2\) also has none. But the equation shows \(p^2\) divisible by (3).
C. क्योंकि प्रमाण समता और सहभाज्य विरोधाभास पर आधारित है/Because the proof is based on evenness and coprime contradiction
Explanation
Simple Explanation
प्रमाण में दशमलव की आवश्यकता नहीं होती। समता और सरलतम भिन्न की शर्त पर्याप्त हैं। / The proof does not require decimals. Evenness and the lowest fraction condition are enough.
D. क्योंकि अनुमान पूर्ण प्रमाण नहीं देता/Because approximation does not give a complete proof
Explanation
Simple Explanation
दशमलव अनुमान केवल पास का मान देता है। प्रमाण के लिए विभाज्यता और विरोधाभास चाहिए। / Decimal approximation only gives a nearby value. A proof needs divisibility and contradiction.
दोनों को परिमेय मानने पर सहभाज्य शर्त से विरोधाभास मिलता है। इसलिए दोनों अपरिमेय हैं। / Assuming either rational gives a contradiction with the coprime condition. Therefore both are irrational.
A. (m,n) सहभाज्य और \(n\neq0\)/(m,n) coprime and \(n\neq0\)
Explanation
Simple Explanation
परिमेय संख्या सरलतम रूप में सहभाज्य पूर्णांकों के अनुपात में लिखी जाती है। हर शून्य नहीं हो सकता। / A rational number is written in lowest form as a ratio of coprime integers. The denominator cannot be zero.
B. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य होना/Both (p) and (q) being divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप में (p) और (q) सहभाज्य होते हैं। दोनों (3) से विभाज्य हों तो यह संभव नहीं है। / In lowest form (p) and (q) are coprime. If both are divisible by (3), this is impossible.
दोनों सम होने पर दोनों (2) से विभाज्य हैं। इसलिए महत्तम समापवर्तक (1) नहीं रह सकता। / If both are even, both are divisible by (2). So the highest common factor cannot remain (1).
A. परिमेय मान्यता से (m,n) दोनों सम निकलते हैं इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/Rational assumption makes both (m,n) even, so \(\sqrt{2}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम होना सरलतम सहभाज्य भिन्न से विरोधाभास है। यही अपरिमेयता सिद्ध करता है। / Both even contradicts the lowest coprime fraction. This proves irrationality.
B. परिमेय मान्यता से (p,q) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/Rational assumption makes both (p,q) divisible by (3), so \(\sqrt{3}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
दोनों में (3) सामान्य गुणनखंड मिलना सहभाज्य शर्त से विरोधाभास है। इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / Common factor (3) in both contradicts the coprime condition. Therefore \(\sqrt{3}\) is irrational.
C. सम संख्या को (2) के गुणज के रूप में लिखना/Writing an even number as a multiple of (2)
Explanation
Simple Explanation
(a) सम सिद्ध हो चुका होता है। इसलिए उसे (2) के गुणज (2r) के रूप में लिखा जाता है। / (a) has already been proved even. So it is written as the multiple (2r) of (2).
\(p^2\) (3) से विभाज्य होने के बाद (p) भी (3) से विभाज्य होता है। इसलिए (p=3k) लिखा जाता है। / After \(p^2\) is divisible by (3), (p) is also divisible by (3). Therefore (p=3k) is written.
हर शून्य होने पर भिन्न परिभाषित नहीं होती। इसलिए \(\frac{a}{0}\) गलत है। / A fraction is undefined when the denominator is zero. Therefore \(\frac{a}{0}\) is wrong.
\(\frac{p}{0}\) परिभाषित नहीं है। परिमेय भिन्न में हर शून्य नहीं हो सकता। / \(\frac{p}{0}\) is undefined. The denominator of a rational fraction cannot be zero.
C. \(\sqrt{2}\) परिमेय है/\(\sqrt{2}\) is rational
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास केवल परिमेय मान्यता को अस्वीकार करता है। इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय सिद्ध होता है। / The contradiction rejects only the rationality assumption. Therefore \(\sqrt{2}\) is proved irrational.
D. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{3}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास परिमेय मान्यता को गलत दिखाता है। इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / The contradiction shows the rational assumption is false. Therefore \(\sqrt{3}\) is irrational.
A. वे सरलतम भिन्न के सहभाज्य पूर्णांक हैं/They are coprime integers of the lowest fraction
Explanation
Simple Explanation
परिमेय मान्यता में \(\sqrt{2}\) को \(\frac{m}{n}\) के सरलतम रूप में लिखा जाता है। इसलिए (m) और (n) सहभाज्य पूर्णांक हैं। / In the rational assumption, \(\sqrt{2}\) is written as \(\frac{m}{n}\) in lowest form. Therefore (m) and (n) are coprime integers.
B. वे सरलतम भिन्न के सहभाज्य पूर्णांक हैं/They are coprime integers of the lowest fraction
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) को परिमेय मानते समय \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में लिया जाता है। इसलिए (p) और (q) सहभाज्य पूर्णांक हैं। / When \(\sqrt{3}\) is assumed rational, \(\frac{p}{q}\) is taken in lowest form. Therefore (p) and (q) are coprime integers.
C. पहले (m) सम और फिर (n) सम सिद्ध करना/To prove first (m) even and then (n) even
Explanation
Simple Explanation
दोनों के सम सिद्ध होने पर सरलतम भिन्न से विरोधाभास मिलता है। यही मध्य उद्देश्य है। / Once both are proved even, a contradiction with lowest fraction is obtained. This is the middle objective.
D. पहले (p) और फिर (q) को (3) से विभाज्य सिद्ध करना/To prove first (p) and then (q) divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
दोनों का (3) से विभाज्य होना सहभाज्य शर्त से विरोधाभास देता है। यही प्रमाण का मध्य लक्ष्य है। / Both being divisible by (3) gives contradiction with coprime condition. This is the middle goal of the proof.
A. वर्गमूल लेने पर सीधे ऐसा निष्कर्ष नहीं मिलता/Taking square root does not directly give that conclusion
Explanation
Simple Explanation
\(a^2=2b^2\) से केवल \(a^2\) सम और फिर (a) सम मिलता है। सीधे (a=2b) लिखना सही नहीं है। / From \(a^2=2b^2\), we get only that \(a^2\) is even and then (a) is even. Writing (a=2b) directly is not correct.
A. वर्ग संबंध से सीधे (p=3q) नहीं मिलता/The square relation does not directly give (p=3q)
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से केवल \(p^2\) का (3) से विभाज्य होना मिलता है। फिर नियम से (p) को (3k) लिखा जाता है। / From \(p^2=3q^2\), we only get that \(p^2\) is divisible by (3). Then by the rule, (p) is written as (3k).
A. यह सरलतम रूप में नहीं हो सकता/It cannot be in lowest form
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम हों तो (2) सामान्य गुणनखंड है। सरलतम भिन्न में ऐसा नहीं हो सकता। / If both are even, (2) is a common factor. This cannot happen in a lowest fraction.
A. यह सरलतम रूप नहीं रहेगा/It will not remain in lowest form
Explanation
Simple Explanation
दोनों में सामान्य गुणनखंड (3) होने से भिन्न घटाई जा सकती है। इसलिए सरलतम रूप की मान्यता टूटती है। / Since both have common factor (3), the fraction can be reduced. So the lowest form assumption breaks.
\(a^2\) सम होने से (a) सम होता है। इसलिए (a=2r) लिखना अगला सही कदम है। / Since \(a^2\) is even, (a) is even. So writing (a=2r) is the next correct step.
A. (p) (3) से विभाज्य है इसलिए (p=3k)/(p) is divisible by (3), so (p=3k)
Explanation
Simple Explanation
\(p^2\) (3) से विभाज्य है इसलिए (p) भी (3) से विभाज्य है। इसी से (p=3k) रखा जाता है। / \(p^2\) is divisible by (3), so (p) is also divisible by (3). Hence (p=3k) is taken.
A. \(a^2\) सम \(\Rightarrow\) (a) सम \(\Rightarrow\) (a=2r)/\(a^2\) even \(\Rightarrow\) (a) even \(\Rightarrow\) (a=2r)
Explanation
Simple Explanation
वर्ग सम होने से संख्या सम होती है। सम संख्या को (2) के गुणज रूप में लिखा जाता है। / If a square is even, the number is even. An even number is written as a multiple of (2).
A. \(p^2\) (3) से विभाज्य \(\Rightarrow\) (p) (3) से विभाज्य \(\Rightarrow\) (p=3k)/\(p^2\) divisible by (3) \(\Rightarrow\) (p) divisible by (3) \(\Rightarrow\) (p=3k)
Explanation
Simple Explanation
अभाज्य (3) वर्ग को विभाजित करे तो संख्या को भी विभाजित करता है। इसलिए (p=3k) लिखना सही है। / If prime (3) divides the square, it divides the number too. So writing (p=3k) is correct.
A. भिन्न को पहले सरलतम सहभाज्य रूप में मानना चाहिए/The fraction should first be assumed in lowest coprime form
Explanation
Simple Explanation
सरलतम सहभाज्य रूप के बिना अंतिम विरोधाभास स्पष्ट नहीं बनता। परीक्षा में यह शर्त जरूर लिखें। / Without lowest coprime form, the final contradiction is not clear. Write this condition in exams.
