Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
Completing the square is a quick method for finding the range of a quadratic function. चरण 1: (x-2+2x+3=(x+1)2+2) लिखें। चरण 2: ((x+1)2\geq 0), इसलिए सबसे छोटा मान (2) है। चरण 3: द्विघात फलन में वर्ग पूरा करना परास निकालने का तेज तरीका है।
While finding the inverse, replace (y) by (x) at the end. चरण 1: (y=2x-5) मानें। चरण 2: (x) के लिए हल करने पर \(x=\frac{y+5}{2}\) मिलता है। चरण 3: प्रतिलोम निकालते समय अंत में (y) की जगह (x) लिख दें।
For (3) elements, the total number of functions is \(2^3=8\).
Step 3
Exam Tip
In counting functions, the base is the number of elements in the codomain. चरण 1: (A) के प्रत्येक अवयव के लिए (B) में (2) चुनाव हैं। चरण 2: (3) अवयवों के लिए कुल फलन \(2^3=8\) होंगे। चरण 3: फलनों की गिनती में आधार सहप्रांत के अवयवों की संख्या होती है।
Substituting (f(x)=x+3) into (g) gives (g(x+3)=(x+3)2).
Step 3
Exam Tip
In composition, changing the order can change the answer. चरण 1: (\(g\circ f\)(x)) का अर्थ (g(f(x))) है। चरण 2: (f(x)=x+3) को (g) में रखने पर (g(x+3)=(x+3)2) मिलता है। चरण 3: संयोजन में क्रम बदलने से उत्तर बदल सकता है।
A strictly increasing function cannot give the same value for two different inputs.
Step 3
Exam Tip
Monotonic behaviour is useful for checking one-one functions. चरण 1: यदि \(x_1<x_2\), तो \(x^3+x\) का मान बढ़ता है। चरण 2: बढ़ता हुआ फलन दो अलग मानों पर समान मान नहीं देता। चरण 3: एकैकी जांचते समय बढ़ने या घटने का व्यवहार उपयोगी होता है।
A one-one function must give different outputs for different inputs.
Step 2
Why this answer is correct
Here \(1\neq -1\), but (f(1)=1) and (f(-1)=1).
Step 3
Exam Tip
One counterexample is enough to prove that a function is not one-one. चरण 1: एकैकी फलन में अलग-अलग आगतों के लिए अलग-अलग निर्गत होने चाहिए। चरण 2: यहाँ \(1\neq -1\), पर (f(1)=1) और (f(-1)=1)। चरण 3: एक प्रतिवाद एकैकी न होने को सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है।
For every \(y\geq 0\), choosing \(x=\sqrt{y}\) gives (f(x)=y), so it is onto.
Step 2
Why this answer is correct
Since (f(1)=f(-1)), it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
The codomain strongly affects onto behaviour. चरण 1: हर \(y\geq 0\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) लेने पर (f(x)=y), इसलिए आच्छादी है। चरण 2: (f(1)=f(-1)), इसलिए एकैकी नहीं है। चरण 3: प्रांत और सहप्रांत बदलने से आच्छादिता बदल सकती है।
A. क्योंकि (0) का कोई प्रतिचित्र नहीं है/Because (0) has no preimage
Step 1
Concept
\(x^2+1\geq 1\) for every real (x).
Step 2
Why this answer is correct
So (0) is in the codomain but is never attained.
Step 3
Exam Tip
To disprove onto, show one missing element of the codomain. चरण 1: \(x^2+1\geq 1\) हर वास्तविक (x) के लिए। चरण 2: इसलिए (0) सहप्रांत में है पर फलन का मान कभी (0) नहीं बनता। चरण 3: आच्छादी न होने के लिए सहप्रांत का एक छूटा हुआ अवयव दिखाना काफी है।
Putting (y=2) gives (2x+3=2x-2), which is impossible.
Step 3
Exam Tip
For rational functions, solve in terms of (y) to find excluded values. चरण 1: मान लें \(y=\frac{2x+3}{x-1}\)। चरण 2: (y=2) रखने पर (2x+3=2x-2), जो असंभव है। चरण 3: भिन्नात्मक फलन में छूटा मान निकालने के लिए (y) रखकर हल करें।
In composition, apply the inner function first. चरण 1: पहले (g(2)=2-4=-2) निकालें। चरण 2: अब (f(-2)=3(-2)+1=-5) होगा। चरण 3: संयोजन के मान में अंदर वाले फलन को पहले लगाएँ।
B. ऐसा फलन संभव नहीं है/Such a function is not possible
Step 1
Concept
A one-one function sends distinct elements of (A) to distinct elements of (B).
Step 2
Why this answer is correct
(A) has (5) elements but (B) has only (4).
Step 3
Exam Tip
By the pigeonhole idea, such a one-one function cannot exist. चरण 1: एकैकी फलन में (A) के अलग अवयवों को (B) के अलग अवयवों पर जाना चाहिए। चरण 2: (A) में (5) अवयव हैं पर (B) में केवल (4) अवयव हैं। चरण 3: कबूतरखाना सिद्धांत से ऐसा एकैकी फलन संभव नहीं है।
For finite sets of equal size, functions that are one-one and onto are permutations.
Step 2
Why this answer is correct
The number of permutations of (4) elements is (4!=24).
Step 3
Exam Tip
Use (n!) directly in such bijection counting questions. चरण 1: समान आकार के सीमित समुच्चयों में एकैकी और आच्छादी फलन क्रमचय होते हैं। चरण 2: (4) अवयवों के क्रमचय (4!=24) होते हैं। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में सीधे (n!) प्रयोग करें।
If \(a\neq 0\), the linear function takes every real value exactly once.
Step 3
Exam Tip
If (a=0), it becomes constant and is not invertible. चरण 1: प्रतिलोम्य होने के लिए फलन एकैकी और आच्छादी होना चाहिए। चरण 2: \(a\neq 0\) होने पर रैखिक फलन हर वास्तविक मान को ठीक एक बार लेता है। चरण 3: (a=0) होने पर फलन स्थिर हो जाता है, इसलिए प्रतिलोम्य नहीं रहता।
No negative real number can be its output, so it is not onto.
Step 3
Exam Tip
For absolute value functions, check both sign and range. चरण 1: (f(2)=f(-2)), इसलिए फलन एकैकी नहीं है। चरण 2: कोई भी ऋणात्मक वास्तविक संख्या इसका मान नहीं बन सकती, इसलिए आच्छादी नहीं है। चरण 3: निरपेक्ष मान फलन में चिह्न और परास दोनों जांचें।
In inverse values, we find the input from the output. चरण 1: (f^{-1}(8)) का अर्थ है वह (x) जिसके लिए \(x^3=8\)। चरण 2: (x=2) रखने पर \(2^3=8\) मिलता है। चरण 3: प्रतिलोम मान में निर्गत से आगत खोजा जाता है।
Substitute (g(x)=x-2-1) into (f) to get (2\(x^2-1\)+1).
Step 3
Exam Tip
Simplifying gives \(2x^2-1\). चरण 1: (\(f\circ g\)(x)=f(g(x))) होता है। चरण 2: (g(x)=x-2-1) को (f) में रखने पर (2\(x^2-1\)+1) मिलता है। चरण 3: सरल करने पर \(2x^2-1\) आता है।
Different values of (n) give different values of (n+1), so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
The number (1) has no preimage in natural numbers.
Step 3
Exam Tip
For shift functions on natural numbers, the first value is often missed. चरण 1: अलग-अलग (n) के लिए (n+1) भी अलग-अलग होगा, इसलिए एकैकी है। चरण 2: (1) का कोई पूर्वप्रतिबिंब प्राकृतिक संख्याओं में नहीं है। चरण 3: प्राकृतिक संख्याओं पर स्थानांतरण फलन में पहला मान अक्सर छूट जाता है।
(x+2) sends different integers to different integers.
Step 2
Why this answer is correct
For any \(y\in\mathbb{Z}\), choose \(x=y-2\in\mathbb{Z}\).
Step 3
Exam Tip
Shifts on integers are usually bijective. चरण 1: (x+2) अलग-अलग पूर्णांकों को अलग-अलग पूर्णांकों में भेजता है। चरण 2: किसी भी \(y\in\mathbb{Z}\) के लिए \(x=y-2\in\mathbb{Z}\) मिलता है। चरण 3: पूर्णांकों पर आगे या पीछे खिसकाना सामान्यतः द्विआधारी होता है।
The maximum value is (1) at (x=0), and the function approaches (0) but never reaches it.
Step 3
Exam Tip
For rational ranges, watch endpoint inclusion carefully. चरण 1: \(x^2\geq 0\), इसलिए \(1+x^2\geq 1\)। चरण 2: सबसे बड़ा मान (x=0) पर (1) है और मान (0) तक केवल पास जाता है, पहुँचता नहीं। चरण 3: भिन्नात्मक परास में सीमा जैसा व्यवहार ध्यान से देखें।
Hence the inverse function is the same as the original function. चरण 1: \(y=\frac{1}{x}\) मानें। चरण 2: इससे \(x=\frac{1}{y}\) मिलता है। चरण 3: इसलिए प्रतिलोम फलन मूल फलन जैसा ही है।
Completing the square quickly gives the minimum of a quadratic function. चरण 1: (x-2-4x+7=(x-2)2+3) लिखें। चरण 2: ((x-2)2\geq 0), इसलिए न्यूनतम मान (3) है। चरण 3: द्विघात फलन का न्यूनतम मान वर्ग पूरा करके आसानी से मिलता है।
B. ऐसा फलन संभव नहीं है/Such a function is not possible
Step 1
Concept
For an onto function, every element of (B) must be hit by some element of (A).
Step 2
Why this answer is correct
(A) has (3) elements but (B) has (4), so this is impossible.
Step 3
Exam Tip
For finite sets, the domain must not be smaller than the codomain for onto functions. चरण 1: आच्छादी फलन में (B) का हर अवयव किसी न किसी (A) के अवयव से आना चाहिए। चरण 2: (A) में (3) अवयव हैं पर (B) में (4), इसलिए सभी को ढकना संभव नहीं। चरण 3: आच्छादिता के लिए सीमित समुच्चयों में प्रांत का आकार सहप्रांत से कम नहीं होना चाहिए।
The linear function (kx+7) is one-one when \(k\neq 0\).
Step 2
Why this answer is correct
To fail one-one, its slope must be (0).
Step 3
Exam Tip
At (k=0), the function becomes constant. चरण 1: रैखिक फलन (kx+7) तब एकैकी होता है जब \(k\neq 0\)। चरण 2: एकैकी न होने के लिए ढाल (0) होनी चाहिए। चरण 3: (k=0) पर फलन स्थिर बन जाता है।
\(x^5+x\) is strictly increasing on the real line, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
An increasing function covering all real values is bijective. चरण 1: \(x^5+x\) वास्तविक रेखा पर लगातार बढ़ता है, इसलिए एकैकी है। चरण 2: \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) की ओर जाता है। चरण 3: बढ़ता और सभी वास्तविक मानों को ढकता फलन द्विआधारी होता है।
Negative real numbers are not obtained as \(x^4\), so it is not onto.
Step 3
Exam Tip
For even powers, check both symmetry and range. चरण 1: (f(1)=f(-1)), इसलिए यह एकैकी नहीं है। चरण 2: ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ \(x^4\) के रूप में नहीं मिलतीं, इसलिए आच्छादी नहीं है। चरण 3: सम घात वाले फलनों में चिह्न और परास दोनों ध्यान से देखें।
यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=3x-2) और \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (g(x)=\frac{x+2}{3}) से दिया गया है, तो (g) और (f) के बीच क्या संबंध है?
This matches the form of (g(y)), so (g) is the inverse function.
Step 3
Exam Tip
You can also verify an inverse by checking (f(g(x))=x) or (g(f(x))=x). चरण 1: (y=3x-2) से \(x=\frac{y+2}{3}\) मिलता है। चरण 2: यही (g(y)) का रूप है, इसलिए (g) प्रतिलोम फलन है। चरण 3: प्रतिलोम जांचने के लिए (f(g(x))) या (g(f(x))) भी (x) होना चाहिए।
The first element has (4) choices, the second has (3), and the third has (2).
Step 2
Why this answer is correct
Total one-one functions are \(4\cdot3\cdot2=24\).
Step 3
Exam Tip
For one-one functions, choose images without repetition. चरण 1: पहले अवयव के लिए (4) चुनाव, दूसरे के लिए (3), तीसरे के लिए (2) चुनाव हैं। चरण 2: कुल एकैकी फलन \(4\cdot3\cdot2=24\) होंगे। चरण 3: एकैकी फलनों में बिना दोहराव के चुनाव करें।
B. यह एकैकी नहीं और आच्छादी नहीं है/It is neither one-one nor onto
Step 1
Concept
\(\sin 0=\sin 2\pi\), so the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
The range of \(\sin x\) is ([-1,1]), so it does not cover all of \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
For trigonometric functions, check periodicity and range. चरण 1: \(\sin 0=\sin 2\pi\), इसलिए फलन एकैकी नहीं है। चरण 2: \(\sin x\) का परास ([-1,1]) है, इसलिए पूरा \(\mathbb{R}\) नहीं ढकता। चरण 3: त्रिकोणमितीय फलनों में आवर्तिता और परास दोनों जांचें।
On \([0,\infty\)), \(x^2\) is increasing, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
For every \(y\geq0\), \(x=\sqrt{y}\) lies in the domain.
Step 3
Exam Tip
Restricting the domain can make \(x^2\) bijective. चरण 1: \([0,\infty\)) पर \(x^2\) बढ़ता है, इसलिए एकैकी है। चरण 2: हर \(y\geq0\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) इसी प्रांत में है। चरण 3: प्रांत को सीमित करने से \(x^2\) द्विआधारी बन सकता है।
An upward-opening quadratic has range starting from its minimum value. चरण 1: (x-2-2x=(x-1)2-1) लिखें। चरण 2: ((x-1)2\geq0), इसलिए सबसे छोटा मान (-1) है। चरण 3: ऊपर खुलने वाले द्विघात फलन का परास न्यूनतम मान से शुरू होता है।
To find the domain, first remove values that make the denominator zero. चरण 1: भिन्न में हर शून्य नहीं होना चाहिए। चरण 2: (x+1=0) से (x=-1) मिलता है। चरण 3: प्रांत निकालते समय सबसे पहले हर को शून्य बनाने वाले मान हटाएँ।
C. यह स्थिर फलन है और एकैकी नहीं है/It is constant and not one-one
Step 1
Concept
For every (x), the function value is (5).
Step 2
Why this answer is correct
Different inputs give the same output, so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
A constant function gives only one value, so it is usually not onto either. चरण 1: हर (x) के लिए फलन का मान (5) है। चरण 2: अलग-अलग आगतों पर समान निर्गत मिलने से यह एकैकी नहीं है। चरण 3: स्थिर फलन केवल एक मान देता है, इसलिए सामान्यतः आच्छादी भी नहीं होता।
यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) में (f(x)=x+1), (g(x)=2x), तो (\(f\circ g\)(x)) और (\(g\circ f\)(x)) के बारे में सही कथन कौन सा है?
B. (\(f\circ g\)(x)=2x+1) और (\(g\circ f\)(x)=2x+2)/(\(f\circ g\)(x)=2x+1) and (\(g\circ f\)(x)=2x+2)
Step 1
Concept
(f(g(x))=f(2x)=2x+1).
Step 2
Why this answer is correct
(g(f(x))=g(x+1)=2x+2).
Step 3
Exam Tip
Composition of functions is not generally commutative. चरण 1: (f(g(x))=f(2x)=2x+1)। चरण 2: (g(f(x))=g(x+1)=2x+2)। चरण 3: फलनों का संयोजन सामान्यतः क्रमविनिमेय नहीं होता।
For \(x\geq0\), the value is \(\frac{x}{1+x}\), which approaches (1) but never reaches it.
Step 2
Why this answer is correct
For (x<0), the value lies between (-1) and (0).
Step 3
Exam Tip
Combining both parts gives the range ((-1,1)). चरण 1: \(x\geq0\) पर मान \(\frac{x}{1+x}\) होता है, जो (0) से (1) तक जाता है पर (1) नहीं लेता। चरण 2: (x<0) पर मान \(\frac{x}{1-x}\) होता है, जो (-1) से (0) के बीच रहता है। चरण 3: दोनों भाग मिलाकर परास ((-1,1)) है।
Then \(y+1=2x^3\), so \(x=\sqrt[3]{\frac{y+1}{2}}\).
Step 3
Exam Tip
In inverse questions, isolate (x) first and then change the variable. चरण 1: \(y=2x^3-1\) मानें। चरण 2: \(y+1=2x^3\), इसलिए \(x=\sqrt[3]{\frac{y+1}{2}}\)। चरण 3: प्रतिलोम में पहले (x) को अलग करें, फिर चर बदलें।
A. क्योंकि (1) के दो पूर्वप्रतिबिंब (1) और (-1) हैं/Because (1) has two preimages (1) and (-1)
Step 1
Concept
For the inverse to be a function, the original function must be one-one.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=f(-1)=1), so one output has two inputs.
Step 3
Exam Tip
Thus the inverse relation assigns two values and is not a function. चरण 1: प्रतिलोम के फलन होने के लिए मूल फलन एकैकी होना चाहिए। चरण 2: (f(1)=f(-1)=1), इसलिए एक निर्गत के दो आगत हैं। चरण 3: इसलिए प्रतिलोम संबंध एक निर्गत को दो मानों से जोड़ देगा और फलन नहीं बनेगा।
Hence \(x^2+4\geq4\), and (4) is attained at (x=0).
Step 3
Exam Tip
While writing range, check whether the endpoint is included. चरण 1: \(x^2\geq0\) हर वास्तविक (x) के लिए। चरण 2: इसलिए \(x^2+4\geq4\) और (x=0) पर (4) मिल जाता है। चरण 3: परास लिखते समय अंतिम बिंदु शामिल है या नहीं, यह जरूर देखें।
A. क्योंकि (2) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है/Because (2) has no preimage
Step 1
Concept
The range of \(\cos x\) is ([-1,1]).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains (2), but \(\cos x=2\) is impossible.
Step 3
Exam Tip
To test onto, look for values in the codomain that are missed. चरण 1: \(\cos x\) का परास ([-1,1]) है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (2) है, पर \(\cos x=2\) कभी नहीं हो सकता। चरण 3: आच्छादी जांचने में सहप्रांत के छूटे मान खोजें।
A. क्योंकि (f(0)=f\(\sqrt{3}\)) है/Because (f(0)=f\(\sqrt{3}\))
Step 1
Concept
To show a function is not one-one, find two different inputs with the same output.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=0) and (f\(\sqrt{3}\)=\(\sqrt{3}\)3-3\sqrt{3}=0).
Step 3
Exam Tip
A suitable counterexample is enough to disprove one-one behaviour. चरण 1: एकैकी न होने के लिए दो अलग आगतों पर समान मान दिखाना होता है। चरण 2: (f(0)=0) और (f\(\sqrt{3}\)=\(\sqrt{3}\)3-3\sqrt{3}=0)। चरण 3: उपयुक्त प्रतिवाद कठिन फलनों में भी एकैकीपन तोड़ देता है।
\(e^x\) is strictly increasing on the real line, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
Its values are positive, and every positive number can be written as \(e^x\).
Step 3
Exam Tip
With codomain (\(0,\infty\)), it becomes bijective. चरण 1: \(e^x\) वास्तविक रेखा पर सख्ती से बढ़ता है, इसलिए एकैकी है। चरण 2: इसका हर मान धनात्मक होता है और हर धनात्मक संख्या \(e^x\) के रूप में मिल सकती है। चरण 3: सहप्रांत (\(0,\infty\)) लेने से यह द्विआधारी बनता है।
\(e^x\) is increasing, so it gives different outputs for different inputs.
Step 2
Why this answer is correct
It never becomes zero or negative, so it does not cover all of \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
The same formula can have different properties with a different codomain. चरण 1: \(e^x\) बढ़ता है, इसलिए अलग आगतों पर अलग मान देता है। चरण 2: इसका कोई मान शून्य या ऋणात्मक नहीं होता, इसलिए यह \(\mathbb{R}\) को पूरा नहीं ढकता। चरण 3: वही सूत्र अलग सहप्रांत पर अलग प्रकार का फलन बन सकता है।
A. क्योंकि \(\tan x\) सभी वास्तविक (x) पर परिभाषित नहीं है/Because \(\tan x\) is not defined for all real (x)
Step 1
Concept
\(\tan x\) is not defined where \(\cos x=0\).
Step 2
Why this answer is correct
For example, at \(x=\frac{\pi}{2}\), \(\tan x\) is not defined.
Step 3
Exam Tip
A function must assign a value to every element of its domain. चरण 1: \(\tan x\) उन मानों पर परिभाषित नहीं होता जहाँ \(\cos x=0\)। चरण 2: जैसे \(x=\frac{\pi}{2}\) पर \(\tan x\) परिभाषित नहीं है। चरण 3: फलन के लिए प्रांत के हर अवयव पर मान मिलना जरूरी है।
Putting (y=3) gives (3x+1=3x+6), which is impossible.
Step 3
Exam Tip
In linear fractional functions, the horizontal limiting value is often the missed value. चरण 1: \(y=\frac{3x+1}{x+2}\) मानें। चरण 2: (y=3) रखने पर (3x+1=3x+6), जो असंभव है। चरण 3: रैखिक भिन्नात्मक फलन में क्षैतिज मान अक्सर छूटा हुआ मान होता है।
The images of the three elements of (A) are all distinct.
Step 2
Why this answer is correct
The outputs include (1,2,3), so the function is onto.
Step 3
Exam Tip
For finite equal sets, distinct images imply bijection. चरण 1: (A) के तीनों अवयवों के प्रतिबिंब अलग-अलग हैं। चरण 2: निर्गतों में (1,2,3) सभी आ रहे हैं, इसलिए आच्छादी भी है। चरण 3: सीमित समान समुच्चयों में अलग-अलग प्रतिबिंब दिखते ही द्विआधारिता मिलती है।
The minimum of an absolute value function occurs when the inside expression becomes zero. चरण 1: निरपेक्ष मान कभी ऋणात्मक नहीं होता। चरण 2: (x=2) पर (|x-2|=0) मिलता है। चरण 3: निरपेक्ष मान फलन का न्यूनतम तब मिलता है जब अंदर की मात्रा शून्य हो।
C. यह न एकैकी है न आच्छादी/It is neither one-one nor onto
Step 1
Concept
\(\lfloor 1.2\rfloor=\lfloor 1.8\rfloor=1\), so it is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
Its values are always integers, so real values like (0.5) are missed.
Step 3
Exam Tip
For step functions, test one-one and onto separately. चरण 1: \(\lfloor 1.2\rfloor=\lfloor 1.8\rfloor=1\), इसलिए एकैकी नहीं है। चरण 2: इसका मान हमेशा पूर्णांक होता है, इसलिए (0.5) जैसे वास्तविक मान नहीं आते। चरण 3: सीढ़ी जैसे फलन में एकैकीपन और आच्छादिता दोनों अलग से जांचें।
A. ऐसा कोई वास्तविक (a) संभव नहीं है/No real (a) is possible
Step 1
Concept
For any real (a), this is a quadratic function.
Step 2
Why this answer is correct
On all of \(\mathbb{R}\), a quadratic takes equal values on opposite sides of its vertex.
Step 3
Exam Tip
Therefore it cannot be one-one on the entire real domain. चरण 1: किसी भी वास्तविक (a) के लिए यह द्विघात फलन है। चरण 2: पूरे \(\mathbb{R}\) पर द्विघात फलन अपने शीर्ष के दोनों ओर समान मान दे सकता है। चरण 3: इसलिए यह पूरे वास्तविक प्रांत पर एकैकी नहीं हो सकता।
Since (g) is one-one, (f\(x_1\)=f\(x_2\)); since (f) is one-one, \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
The composition of one-one functions is one-one. चरण 1: मान लें (\(g\circ f\)\(x_1\)=\(g\circ f\)\(x_2\))। चरण 2: (g) एकैकी है, इसलिए (f\(x_1\)=f\(x_2\)); फिर (f) एकैकी है, इसलिए \(x_1=x_2\)। चरण 3: एकैकी फलनों का संयोजन फिर एकैकी होता है।
Since (g) is onto, some \(b\in B\) satisfies (g(b)=c); since (f) is onto, some \(a\in A\) satisfies (f(a)=b).
Step 3
Exam Tip
Hence (\(g\circ f\)(a)=c), so the composition is onto. चरण 1: (C) के किसी भी (c) को लें। चरण 2: (g) आच्छादी है, इसलिए कोई \(b\in B\) है जहाँ (g(b)=c); और (f) आच्छादी है, इसलिए कोई \(a\in A\) है जहाँ (f(a)=b)। चरण 3: इसलिए (\(g\circ f\)(a)=c), अतः संयोजन आच्छादी है।
A. प्रांत \(\mathbb{R}\setminus{1}\), छूटा मान (1)/Domain \(\mathbb{R}\setminus{1}\), missed value (1)
Step 1
Concept
The denominator is (x-1), so (x=1) is removed from the domain.
Step 2
Why this answer is correct
Putting (y=1) in \(y=\frac{x+1}{x-1}\) gives (x+1=x-1), impossible.
Step 3
Exam Tip
For rational functions, check domain and missed range values separately. चरण 1: हर (x-1) है, इसलिए (x=1) प्रांत से हटेगा। चरण 2: \(y=\frac{x+1}{x-1}\) में (y=1) रखने पर (x+1=x-1), जो असंभव है। चरण 3: भिन्नात्मक फलनों में प्रांत और छूटे हुए मान दोनों अलग-अलग जांचें।
