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(f(x)=2x-5) is linear with non-zero slope, so distinct inputs give distinct outputs.
Step 2
Why this answer is correct
For any \(y\in\mathbb{R}\), \(x=\frac{y+5}{2}\) is real, so every real output is attained.
Step 3
Exam Tip
In exams, remember that (ax+b) with \(a\neq0\) is both one-one and onto from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\). चरण 1: (f(x)=2x-5) रैखिक फलन है और ढाल शून्य नहीं है, इसलिए अलग-अलग (x) के लिए अलग-अलग मान मिलते हैं। चरण 2: किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=\frac{y+5}{2}\) वास्तविक है, इसलिए हर (y) का पूर्वप्रतिबिंब है। चरण 3: परीक्षा में रैखिक फलन (ax+b) में \(a\neq0\) हो तो \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) पर वह एकैकी और आच्छादी होता है।
A. क्योंकि (0) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है/Because (0) has no preimage
Step 1
Concept
Since \(x^2\ge 0\), we get \(x^2+1\ge 1\).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0), but (f(x)=0) is impossible for real (x).
Step 3
Exam Tip
To test onto, look for a codomain value that is never produced by the function. चरण 1: \(x^2\ge 0\) होता है, इसलिए \(x^2+1\ge 1\) होगा। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) है, पर (f(x)=0) किसी वास्तविक (x) के लिए संभव नहीं है। चरण 3: आच्छादी जाँचते समय सहप्रांत के ऐसे मान खोजें जो फलन से कभी न मिलें।
(\(g\circ f\)(x)) means apply (f) first and then apply (g).
Step 2
Why this answer is correct
(g(f(x))=(3x+1)2=9x-2+6x+1).
Step 3
Exam Tip
In composition, order matters; always simplify the inside function first. चरण 1: (\(g\circ f\)(x)) का अर्थ है पहले (f(x)) लगाएँ, फिर (g) लगाएँ। चरण 2: (g(f(x))=(3x+1)2=9x-2+6x+1)। चरण 3: संयोजन में क्रम बहुत महत्त्वपूर्ण है, इसलिए पहले अंदर वाले फलन को हल करें।
Then (3y=x-2), so (x=3y+2). Replacing (y) by (x), we get (f^{-1}(x)=3x+2).
Step 3
Exam Tip
To find an inverse, isolate (x) first and then interchange the variables. चरण 1: \(y=\frac{x-2}{3}\) मान लें। चरण 2: (3y=x-2), अतः (x=3y+2)। अब (y) की जगह (x) लिखने पर (f^{-1}(x)=3x+2) मिलेगा। चरण 3: व्युत्क्रम निकालते समय (x) को अकेला करें और अंत में चर बदलें।
A. कम से कम दो अवयवों का प्रतिबिंब समान होगा/At least two elements have the same image
Step 1
Concept
Onto means every element of (B) is hit by at least one element of (A).
Step 2
Why this answer is correct
Since (A) has (7) elements and (B) has (5), all images cannot be distinct.
Step 3
Exam Tip
For finite sets, compare cardinalities to judge one-one and onto quickly. चरण 1: आच्छादी होने का अर्थ है (B) का हर अवयव किसी न किसी (A) के अवयव से प्राप्त हो। चरण 2: (A) में (7) और (B) में (5) अवयव हैं, इसलिए सभी प्रतिबिंब अलग-अलग नहीं हो सकते। चरण 3: सीमित समुच्चयों में अवयवों की संख्या देखकर एकैकी और आच्छादी का निर्णय जल्दी हो सकता है।
If \(n_1+2=n_2+2\), then \(n_1=n_2\), so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
For any \(m\in\mathbb{Z}\), (n=m-2) is also an integer, so every integer is obtained.
Step 3
Exam Tip
On integers, adding or subtracting a fixed integer usually gives a bijection. चरण 1: यदि \(n_1+2=n_2+2\), तो \(n_1=n_2\), इसलिए फलन एकैकी है। चरण 2: किसी भी \(m\in\mathbb{Z}\) के लिए (n=m-2) भी पूर्णांक है, इसलिए (m) प्राप्त हो जाता है। चरण 3: पूर्णांकों पर स्थिर जोड़ या घटाव वाला फलन सामान्यतः एकैकी और आच्छादी रहता है।
A. (1) और (2) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है/(1) and (2) have no preimage
Step 1
Concept
For \(n\in\mathbb{N}\), \(n+2\ge 3\).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{N}\) contains (1) and (2), but they are not values of (f(n)).
Step 3
Exam Tip
Changing the domain can change whether a function is onto. चरण 1: \(n\in\mathbb{N}\) होने पर \(n+2\ge 3\) होगा। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{N}\) में (1) और (2) हैं, पर वे (f(n)) के रूप में नहीं मिलते। चरण 3: प्रांत बदलने से फलन की आच्छादी प्रकृति बदल सकती है।
On \([0,\infty\)), \(x^2\) is increasing, so two different inputs do not give the same square.
Step 2
Why this answer is correct
For any \(y\ge0\), \(x=\sqrt{y}\) belongs to the domain and gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
The nature of the square function depends strongly on its domain. चरण 1: \([0,\infty\)) पर \(x^2\) बढ़ता है, इसलिए दो अलग निवेशों का समान वर्ग नहीं होगा। चरण 2: किसी भी \(y\ge0\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) प्रांत में है और (f(x)=y) देता है। चरण 3: वर्ग फलन की प्रकृति प्रांत पर बहुत निर्भर करती है।
(f(2)=4) and (f(-2)=4), so the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
Every \(y\ge0\) in the codomain is obtained by taking \(x=\sqrt{y}\).
Step 3
Exam Tip
Read the codomain carefully because it decides the onto test. चरण 1: (f(2)=4) और (f(-2)=4), इसलिए यह एकैकी नहीं है। चरण 2: सहप्रांत का हर \(y\ge0\) मान \(x=\sqrt{y}\) से मिल जाता है। चरण 3: सहप्रांत को सही पढ़ना जरूरी है, क्योंकि वही आच्छादी होने की जाँच तय करता है।
Then \(x=\sqrt[3]{y}\), so after interchanging variables (f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}).
Step 3
Exam Tip
The cube function is bijective on \(\mathbb{R}\), so its inverse exists. चरण 1: \(y=x^3\) मानें। चरण 2: \(x=\sqrt[3]{y}\), इसलिए चर बदलने पर (f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x})। चरण 3: घन फलन \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) पर एकैकी और आच्छादी होता है, इसलिए उसका व्युत्क्रम होता है।
In a rational function, the denominator must not be zero.
Step 2
Why this answer is correct
Solving (x-3=0) gives (x=3), so this value cannot be in the domain.
Step 3
Exam Tip
In such questions, first set the denominator equal to zero to find excluded values. चरण 1: परिमेय फलन में हर शून्य नहीं होना चाहिए। चरण 2: (x-3=0) रखने पर (x=3) मिलता है, इसलिए यह मान प्रांत में नहीं हो सकता। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले हर को शून्य बनाकर निषिद्ध मान निकालें।
Thus (x(y-2)=3y+1), so \(x=\frac{3y+1}{y-2}\), defined for \(y\neq2\).
Step 3
Exam Tip
If each allowed (y) gives a unique (x), the function is bijective. चरण 1: \(y=\frac{2x+1}{x-3}\) से (yx-3y=2x+1) मिलेगा। चरण 2: (x(y-2)=3y+1), अतः \(x=\frac{3y+1}{y-2}\), जो \(y\neq2\) पर परिभाषित है। चरण 3: जब हर अनुमत (y) के लिए एक अद्वितीय (x) मिले, तो फलन एकैकी और आच्छादी होता है।
Then (g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))); since (g) is one-one, (f\(a_1\)=f\(a_2\)), and since (f) is one-one, \(a_1=a_2\).
Step 3
Exam Tip
The composition of two one-one functions is always one-one. चरण 1: मान लें (\(g\circ f\)\(a_1\)=\(g\circ f\)\(a_2\))। चरण 2: (g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))), और (g) एकैकी है, इसलिए (f\(a_1\)=f\(a_2\)); फिर (f) एकैकी होने से \(a_1=a_2\)। चरण 3: दो एकैकी फलनों का संयोजन हमेशा एकैकी होता है।
Take any \(c\in C\). Since (g) is onto, there is \(b\in B\) such that (g(b)=c).
Step 2
Why this answer is correct
Since (f) is onto, there is \(a\in A\) such that (f(a)=b), so (g(f(a))=c).
Step 3
Exam Tip
The composition of two onto functions is onto. चरण 1: (C) के किसी भी (c) को लें। (g) आच्छादी है, इसलिए कोई \(b\in B\) होगा जिससे (g(b)=c)। चरण 2: (f) आच्छादी है, इसलिए कोई \(a\in A\) होगा जिससे (f(a)=b)। तब (g(f(a))=c)। चरण 3: दो आच्छादी फलनों का संयोजन आच्छादी होता है।
For every (x), (f(x)=5), so many inputs have the same image and the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) has many values other than (5) that are not obtained.
Step 3
Exam Tip
A constant function on a large codomain is generally neither one-one nor onto. चरण 1: हर (x) के लिए (f(x)=5), इसलिए अनेक निवेशों का समान प्रतिबिंब है और फलन एकैकी नहीं है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (5) के अलावा बहुत से मान हैं जो नहीं मिलते। चरण 3: स्थिर फलन बड़े सहप्रांत पर सामान्यतः न एकैकी होता है और न आच्छादी।
For finite sets of equal size, a one-one function is automatically onto.
Step 2
Why this answer is correct
The number of ways to match (4) elements with (4) distinct images is (4!=24).
Step 3
Exam Tip
The number of bijections between two sets of size (n) is (n!). चरण 1: समान संख्या वाले सीमित समुच्चयों में एकैकी फलन अपने आप आच्छादी भी होगा। चरण 2: (4) अवयवों को (4) अलग स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीके (4!=24) हैं। चरण 3: समान आकार के दो समुच्चयों के बीच द्वैकी फलनों की संख्या (n!) होती है।
The first element has (5) choices, the second has (4), and the third has (3).
Step 2
Why this answer is correct
Thus the number of one-one functions is \(5\times4\times3=60\).
Step 3
Exam Tip
For one-one functions, choose images without repetition. चरण 1: पहले अवयव के लिए (5), दूसरे के लिए (4), और तीसरे के लिए (3) विकल्प बचेंगे। चरण 2: कुल एकैकी फलन \(5\times4\times3=60\) होंगे। चरण 3: एकैकी फलन गिनते समय बिना दोहराव के प्रतिबिंब चुनें।
In a one-one function, distinct elements of (A) must have distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
(A) has (5) elements but (B) has only (3), so (5) distinct images are impossible.
Step 3
Exam Tip
For finite sets, if the domain is larger than the codomain, no one-one function exists. चरण 1: एकैकी फलन में अलग-अलग (A) अवयवों के प्रतिबिंब अलग-अलग होने चाहिए। चरण 2: (A) में (5) अवयव हैं पर (B) में केवल (3), इसलिए (5) अलग प्रतिबिंब संभव नहीं हैं। चरण 3: यदि प्रांत का आकार सहप्रांत से बड़ा हो, तो सीमित समुच्चयों में एकैकी फलन नहीं बन सकता।
The value of \(x^3+x\) keeps increasing as (x) increases.
Step 2
Why this answer is correct
More formally, (f'(x)=3x-2+1>0), so the function is strictly increasing.
Step 3
Exam Tip
A strictly increasing function is one-one. चरण 1: \(x^3+x\) का मान (x) बढ़ने पर लगातार बढ़ता है। चरण 2: अधिक औपचारिक रूप से (f'(x)=3x-2+1>0), इसलिए फलन सख्ती से बढ़ता है। चरण 3: सख्ती से बढ़ता फलन एकैकी होता है।
A. क्योंकि इसका परिसर ([-1,1]) है/Because its range is ([-1,1])
Step 1
Concept
\(\sin x\) always lies between (-1) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain is \(\mathbb{R}\), which contains values like (2), but these are not obtained by \(\sin x\).
Step 3
Exam Tip
Remembering the range of trigonometric functions helps in onto questions. चरण 1: \(\sin x\) का मान हमेशा (-1) और (1) के बीच रहता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) है, जिसमें (2) जैसे मान भी हैं, पर वे \(\sin x\) से नहीं मिलते। चरण 3: त्रिकोणमितीय फलनों में परिसर याद रखना आच्छादी जाँच में बहुत मदद करता है।
On the given interval, \(\sin x\) is strictly increasing, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
Its values over this interval cover all of ([-1,1]).
Step 3
Exam Tip
Restricting a trigonometric function to a suitable interval can make it bijective. चरण 1: दिए गए अंतराल पर \(\sin x\) सख्ती से बढ़ता है, इसलिए यह एकैकी है। चरण 2: इस अंतराल में \(\sin x\) के सभी मान ([-1,1]) में मिल जाते हैं। चरण 3: त्रिकोणमितीय फलन को उपयुक्त अंतराल पर सीमित करने से वह द्वैकी बन सकता है।
For every (y>0), \(x=\ln y\) is real and gives \(e^x=y\).
Step 3
Exam Tip
The exponential function becomes bijective when the codomain is (\(0,\infty\)). चरण 1: \(e^x\) सख्ती से बढ़ता है, इसलिए यह एकैकी है। चरण 2: हर (y>0) के लिए \(x=\ln y\) वास्तविक है और \(e^x=y\) देता है। चरण 3: घातीय फलन का सहप्रांत (\(0,\infty\)) रखने पर वह द्वैकी हो जाता है।
By the definition of logarithm, \(x=e^y\), so (f^{-1}(x)=e^x).
Step 3
Exam Tip
\(\ln x\) and \(e^x\) are inverse functions of each other. चरण 1: \(y=\ln x\) मानें। चरण 2: लघुगणक की परिभाषा से \(x=e^y\), इसलिए (f^{-1}(x)=e^x)। चरण 3: \(\ln x\) और \(e^x\) परस्पर व्युत्क्रम फलन हैं।
Completing the square is a fast way to find the range of a quadratic function. चरण 1: पूर्ण वर्ग बनाएं: (x-2-4x+7=(x-2)2+3)। चरण 2: ((x-2)2\ge0), इसलिए न्यूनतम मान (3) है। चरण 3: द्विघात फलन में पूर्ण वर्ग विधि से परिसर जल्दी मिलता है।
(f(1)=4) and (f(3)=4), so the function is not one-one.
Step 3
Exam Tip
If the codomain equals the range, the function is onto. चरण 1: (f(x)=(x-2)2+3), इसलिए परिसर \([3,\infty\)) है। चरण 2: (f(1)=4) और (f(3)=4), इसलिए फलन एकैकी नहीं है। चरण 3: यदि सहप्रांत ठीक परिसर के बराबर हो, तो फलन आच्छादी होता है।
A. (A) के एक अवयव के दो अलग प्रतिबिंब हों/One element of (A) has two different images
Step 1
Concept
In a function, every element of the domain must have exactly one image.
Step 2
Why this answer is correct
If one element has two different images, the relation is not a function.
Step 3
Exam Tip
A function need not be one-one or onto, but each input must have exactly one output. चरण 1: फलन में प्रांत के हर अवयव का ठीक एक ही प्रतिबिंब होना चाहिए। चरण 2: यदि एक ही अवयव के दो अलग प्रतिबिंब हैं, तो वह संबंध फलन नहीं रहेगा। चरण 3: फलन होने के लिए एकैकी या आच्छादी होना जरूरी नहीं, पर प्रत्येक निवेश का एक ही निर्गत जरूरी है।
Every element of (A) has exactly one image, so it is a function.
Step 2
Why this answer is correct
The images (1,2,3) are all distinct and cover the whole set (A).
Step 3
Exam Tip
On a finite set, if all images are distinct and the sizes match, the function is bijective. चरण 1: (A) के हर अवयव का ठीक एक प्रतिबिंब है, इसलिए यह फलन है। चरण 2: प्रतिबिंब (1,2,3) सभी अलग-अलग और पूरे (A) को ढकते हैं। चरण 3: सीमित समुच्चय पर यदि सभी प्रतिबिंब अलग हों और संख्या बराबर हो, तो फलन द्वैकी होता है।
A. क्योंकि (1) के दो अलग प्रतिबिंब हैं/Because (1) has two different images
Step 1
Concept
The relation contains both ((1,2)) and ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
This means the same input (1) has two different outputs (2) and (3), which violates the definition of a function.
Step 3
Exam Tip
In ordered pairs, check the first component to test whether the relation is a function. चरण 1: दिए गए संबंध में ((1,2)) और ((1,3)) दोनों हैं। चरण 2: इसका अर्थ है कि एक ही निवेश (1) के दो अलग निर्गत (2) और (3) हैं, जो फलन की परिभाषा के विरुद्ध है। चरण 3: क्रमित युग्मों में पहले अवयव को देखकर फलन की जाँच करें।
If \(a\neq0\), the slope of (ax+b) is non-zero, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
For any (y), \(x=\frac{y-b}{a}\) exists, so it is onto.
Step 3
Exam Tip
For a linear function, the key condition is \(a\neq0\); (b) may be any real number. चरण 1: यदि \(a\neq0\), तो (ax+b) की ढाल शून्य नहीं है, इसलिए यह एकैकी है। चरण 2: किसी भी (y) के लिए \(x=\frac{y-b}{a}\) मिल जाता है, इसलिए यह आच्छादी है। चरण 3: रैखिक फलन में मुख्य शर्त \(a\neq0\) है, (b) कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है।
For even-power functions, compare (x) and (-x). चरण 1: किसी भी \(t\neq0\) के लिए (t) और (-t) अलग हैं। चरण 2: लेकिन (a(t)2=a(-t)2), इसलिए दोनों का प्रतिबिंब समान है। चरण 3: सम घात वाले फलनों में (x) और (-x) की तुलना करना उपयोगी रहता है।
To disprove one-one, it is enough to show two distinct inputs with the same image. चरण 1: (f(0)=03-3\cdot0=0)। चरण 2: (f\(\sqrt{3}\)=\(\sqrt{3}\)3-3\sqrt{3}=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0)। चरण 3: एकैकी न होने के लिए दो अलग निवेशों का एक ही प्रतिबिंब दिखाना पर्याप्त है।
Applying (g) to both sides gives (g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))), so \(a_1=a_2\).
Step 3
Exam Tip
If a left inverse exists, the original function is one-one. चरण 1: मान लें (f\(a_1\)=f\(a_2\))। चरण 2: दोनों ओर (g) लगाने पर (g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))), अर्थात \(a_1=a_2\)। चरण 3: यदि बायाँ व्युत्क्रम मौजूद हो, तो मूल फलन एकैकी होता है।
Since (f(g(b))=b), (b) is the image of the element \(g(b)\in A\).
Step 3
Exam Tip
If a right inverse exists, the original function is onto. चरण 1: (B) के किसी भी (b) को लें। चरण 2: (f(g(b))=b), इसलिए (b) किसी (A) के अवयव (g(b)) का प्रतिबिंब है। चरण 3: यदि दायाँ व्युत्क्रम मौजूद हो, तो मूल फलन आच्छादी होता है।
If applying a function twice gives the original input, the function is its own inverse. चरण 1: (\(f\circ f\)(x)=f(f(x)))। चरण 2: (f\left\(\frac{1}{x}\right\)=\frac{1}{\frac{1}{x}}=x)। चरण 3: जब किसी फलन को दो बार लगाने पर वही निवेश मिल जाए, तो वह अपना ही व्युत्क्रम होता है।
यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=2x+3) और \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (g(x)=\frac{x-3}{2}) से परिभाषित किया गया है, तो सही कथन कौन सा है?
If both compositions give the identity function, the two functions are inverses. चरण 1: (g(f(x))=g(2x+3)=\frac{2x+3-3}{2}=x)। चरण 2: (f(g(x))=2\cdot\frac{x-3}{2}+3=x)। चरण 3: दोनों संयोजन पहचान फलन दें, तो दोनों फलन परस्पर व्युत्क्रम होते हैं।
A. क्योंकि (f) एकैकी नहीं है/Because (f) is not one-one
Step 1
Concept
(f(2)=4) and (f(-2)=4), so two different inputs have the same image.
Step 2
Why this answer is correct
In the inverse, (4) would point to both (2) and (-2), violating the function rule.
Step 3
Exam Tip
For an inverse function to exist, the original function must be one-one. चरण 1: (f(2)=4) और (f(-2)=4), इसलिए दो अलग निवेशों का समान प्रतिबिंब है। चरण 2: व्युत्क्रम में (4) से (2) और (-2) दोनों मिलेंगे, जिससे एक निर्गत की शर्त टूटेगी। चरण 3: व्युत्क्रम फलन के लिए मूल फलन का एकैकी होना जरूरी है।
When writing the range, include the minimum or maximum value correctly. चरण 1: (x-2+2x=(x+1)2-1)। चरण 2: ((x+1)2\ge0), इसलिए न्यूनतम मान (-1) है। चरण 3: परिसर लिखते समय न्यूनतम या अधिकतम मान को सही प्रकार से शामिल करें।
In functional equations, move step by step from the given value. चरण 1: (x=0) रखने पर (f(1)=f(0)+2=5)। चरण 2: (x=1) रखने पर (f(2)=f(1)+2=7)। चरण 3: ऐसे फलन संबंधों में क्रम से दिए गए मान आगे बढ़ाएँ।
Remembering even and odd function definitions helps solve value-based questions quickly. चरण 1: विषम फलन के लिए (f(-x)=-f(x)) होता है। चरण 2: (x=4) रखने पर (f(-4)=-f(4)=-9)। चरण 3: सम और विषम फलनों की परिभाषाएँ याद रखने से मान जल्दी निकाले जा सकते हैं।
For even functions, changing the sign of the input does not change the value. चरण 1: सम फलन के लिए (f(-x)=f(x)) होता है। चरण 2: (f(-6)=f(6)), इसलिए (f(6)=11)। चरण 3: सम फलन में चिह्न बदलने से फलन का मान नहीं बदलता।
Hence (f(-x)=f(x)), which is the condition for an even function.
Step 3
Exam Tip
Polynomials containing only even powers are often even functions. चरण 1: (f(-x)=(-x)4+(-x)2=x-4+x-2)। चरण 2: इसलिए (f(-x)=f(x)), जो सम फलन की शर्त है। चरण 3: केवल सम घातों वाले बहुपद अक्सर सम फलन होते हैं।
If (f(-x)=-f(x)), the function is odd. चरण 1: (f(-x)=(-x)5-3(-x)=-x-5+3x)। चरण 2: यह (-\(x^5-3x\)=-f(x)) के बराबर है। चरण 3: (f(-x)=-f(x)) होने पर फलन विषम कहलाता है।
In modulus questions, first evaluate (|x|) according to the sign of (x). चरण 1: (x=-5) के लिए (|-5|=5)। चरण 2: इसलिए (f(-5)=-5+5=0)। चरण 3: परिमाण वाले प्रश्नों में पहले चिन्ह के अनुसार (|x|) का मान निकालें।
If \(x\ge0\), then (x+|x|=2x), which gives all values in \([0,\infty\)).
Step 3
Exam Tip
For modulus functions, split the function into cases to find the range. चरण 1: यदि (x<0), तो (x+|x|=x-x=0)। चरण 2: यदि \(x\ge0\), तो (x+|x|=2x), जो \([0,\infty\)) में सभी मान देता है। चरण 3: परिमाण वाले फलन को टुकड़ों में बाँटकर परिसर निकालना आसान होता है।
A. यह एकैकी नहीं और आच्छादी नहीं है/It is neither one-one nor onto
Step 1
Concept
(f(1.2)=1) and (f(1.8)=1), so it is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
Its values are always integers, so a real number like (0.5) is not obtained.
Step 3
Exam Tip
The greatest integer function maps many values in an interval to the same integer. चरण 1: (f(1.2)=1) और (f(1.8)=1), इसलिए यह एकैकी नहीं है। चरण 2: इसका मान हमेशा पूर्णांक होता है, इसलिए (0.5) जैसा वास्तविक मान नहीं मिलता। चरण 3: महत्तम पूर्णांक फलन में अंतराल के कई मानों का समान प्रतिबिंब होता है।
For every integer (n), taking (x=n) gives \(\lfloor x\rfloor=n\), so it is onto \(\mathbb{Z}\).
Step 2
Why this answer is correct
But \(\lfloor 2.1\rfloor=\lfloor 2.9\rfloor=2\), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
Changing the codomain to \(\mathbb{Z}\) makes this function onto. चरण 1: हर पूर्णांक (n) के लिए (x=n) लेने पर \(\lfloor x\rfloor=n\), इसलिए यह \(\mathbb{Z}\) पर आच्छादी है। चरण 2: लेकिन \(\lfloor 2.1\rfloor=\lfloor 2.9\rfloor=2\), इसलिए एकैकी नहीं है। चरण 3: सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) करने से यही फलन आच्छादी बन जाता है।
For \(x\ge0\), (f(x)=\frac{x}{1+x}), which increases from (0) and approaches (1) but never equals (1).
Step 2
Why this answer is correct
For (x<0), the value stays greater than (-1) and less than (0).
Step 3
Exam Tip
Approaching an endpoint and attaining it are different things. चरण 1: \(x\ge0\) पर (f(x)=\frac{x}{1+x}), जो (0) से बढ़कर (1) के पास जाता है पर (1) नहीं होता। चरण 2: (x<0) पर मान (-1) से बड़ा और (0) से छोटा रहता है। चरण 3: सीमा के पास पहुँचना और सीमा को प्राप्त करना अलग बातें हैं।
Once two distinct inputs have the same image, the function is not one-one. चरण 1: (f(2)=\frac{2}{1+4}=\frac{2}{5})। चरण 2: (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{5}{4}}=\frac{2}{5})। चरण 3: दो अलग निवेशों का समान प्रतिबिंब मिलते ही फलन एकैकी नहीं रहता।
Then (yx-y=2x+3), so (x(y-2)=y+3) and \(x=\frac{y+3}{y-2}\).
Step 3
Exam Tip
Replacing (y) by (x), we get (f^{-1}(x)=\frac{x+3}{x-2}). चरण 1: \(y=\frac{2x+3}{x-1}\) मानें। चरण 2: (yx-y=2x+3), इसलिए (x(y-2)=y+3) और \(x=\frac{y+3}{y-2}\)। चरण 3: अब (y) की जगह (x) लिखने पर (f^{-1}(x)=\frac{x+3}{x-2}) मिलता है।
Then (g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))), so (\(g\circ f\)\(a_1\)=\(g\circ f\)\(a_2\)).
Step 3
Exam Tip
Since \(g\circ f\) is one-one, \(a_1=a_2\); therefore (f) is one-one. चरण 1: मान लें (f\(a_1\)=f\(a_2\))। चरण 2: तब (g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))), अर्थात (\(g\circ f\)\(a_1\)=\(g\circ f\)\(a_2\))। चरण 3: क्योंकि \(g\circ f\) एकैकी है, इसलिए \(a_1=a_2\); अतः (f) एकैकी है।
