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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर संबंध (R) इस प्रकार है कि \((a,b)\in R\) तभी जब (a-b) (3) से विभाज्य हो। इस संबंध के तुल्यता वर्गों की संख्या कितनी है?
Elements with the same remainder modulo (3) belong to one class.
Step 2
Why this answer is correct
The possible remainders are (0,1,2), so there are three classes.
Step 3
Exam Tip
In exams, first group the elements by their remainders. चरण 1: समान शेषफल वाले अवयव एक ही वर्ग में आते हैं। चरण 2: (3) से भाग देने पर शेषफल (0,1,2) ही संभव हैं, इसलिए तीन वर्ग बनते हैं। चरण 3: परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में शेषफलों को अलग-अलग समूहों में लिखें।
B. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
For every (a), (a+a=2a) is even, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a+b) is even, then (b+a) is even, and parity also gives transitivity.
Step 3
Exam Tip
For such questions, separate even and odd integers first. चरण 1: किसी भी (a) के लिए (a+a=2a) सम है, इसलिए संबंध स्वतुल्य है। चरण 2: यदि (a+b) सम है तो (b+a) भी सम है और समान समता से संक्रामकता भी मिलती है। चरण 3: सम और विषम के समूह बनाकर ऐसे संबंध जल्दी जांचे जा सकते हैं।
Since ((1,1)) and ((1,2)) are in (R), the class of (1) is ({1,2}).
Step 3
Exam Tip
In exams, fix the first element and list all related second elements. चरण 1: (1) के साथ जुड़े सभी अवयव देखें। चरण 2: (R) में ((1,1)) और ((1,2)) हैं, इसलिए (1) का वर्ग ({1,2}) है। चरण 3: तुल्यता वर्ग निकालते समय पहले दिए गए युग्मों में पहला अवयव तय करके देखें।
Reflexivity holds because all three ((a,a)) pairs are present.
Step 2
Why this answer is correct
Symmetry also holds for the given non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
Since ((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is missing, transitivity fails. चरण 1: स्वतुल्यता के लिए तीनों ((a,a)) मौजूद हैं। चरण 2: सममिति के लिए दिए गए उल्टे युग्म भी मौजूद हैं। चरण 3: ((1,2)) और ((2,3)) हैं, पर ((1,3)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता टूटती है।
A. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
\(x-x=0\in \mathbb{Z}\), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
If \(x-y\in \mathbb{Z}\), then \(y-x=-(x-y)\in \mathbb{Z}\), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
The sum of integers is an integer, so transitivity holds. चरण 1: \(x-x=0\in \mathbb{Z}\), इसलिए स्वतुल्यता है। चरण 2: यदि \(x-y\in \mathbb{Z}\), तो \(y-x=-(x-y)\in \mathbb{Z}\), इसलिए सममिति है। चरण 3: पूर्णांकों का योग भी पूर्णांक होता है, इसलिए संक्रामकता मिलती है।
In (A), elements with the same remainder are (1) and (5).
Step 3
Exam Tip
For modulo relations, use remainders as the fastest method. चरण 1: (5) को (4) से भाग देने पर शेषफल (1) आता है। चरण 2: (A) में वही अवयव लें जिनका शेषफल (1) है, यानी (1) और (5)। चरण 3: मापांक वाले प्रश्नों में शेषफल सबसे तेज तरीका है।
In an equivalence relation, two equivalence classes are either disjoint or identical.
Step 2
Why this answer is correct
If they have a common element, they must be the same class.
Step 3
Exam Tip
In exams, a non-empty intersection of classes directly implies equality. चरण 1: तुल्यता संबंध में तुल्यता वर्ग या तो अलग-अलग होते हैं या बिल्कुल समान। चरण 2: यदि दो वर्गों में कोई साझा अवयव है, तो वे एक ही वर्ग बन जाते हैं। चरण 3: परीक्षा में साझा अवयव दिखते ही वर्गों की समानता याद रखें।
Elements inside the same block are related to each other.
Step 2
Why this answer is correct
The block ({1,3,5}) gives \(3^2=9\) pairs and ({2,4}) gives \(2^2=4\) pairs.
Step 3
Exam Tip
Add the squares of block sizes to get the total pairs. चरण 1: एक ही खंड के अवयव आपस में संबंधित होते हैं। चरण 2: ({1,3,5}) से \(3^2=9\) युग्म और ({2,4}) से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। चरण 3: कुल युग्मों के लिए खंडों के आकारों के वर्ग जोड़ें।
Within one equivalence class, every element is related to every element of that class.
Step 2
Why this answer is correct
Since (1) and (4) are in the same class, ((4,1)) must be present.
Step 3
Exam Tip
Do not relate elements from different classes unless the class says so. चरण 1: एक वर्ग के अंदर हर अवयव हर अवयव से संबंधित होता है। चरण 2: (1) और (4) एक ही वर्ग में हैं, इसलिए ((4,1)) अवश्य होगा। चरण 3: अलग वर्गों के अवयवों को संबंधित मानने की गलती न करें।
Every number has the same count of prime factors as itself, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
Equality of counts remains true when the order is reversed.
Step 3
Exam Tip
If two counts are equal through a third number, then the first and third counts are also equal. चरण 1: हर संख्या में अभाज्य गुणनखंडों की संख्या अपने समान होती है, इसलिए स्वतुल्यता है। चरण 2: समानता की बात उलटने पर भी सही रहती है। चरण 3: यदि दो संख्याओं की गिनती तीसरी से समान है, तो पहली और तीसरी की गिनती भी समान है।
In (A), the elements whose gcd with (6) is (2) are (2) and (4).
Step 3
Exam Tip
First compute the assigned value, then collect elements with the same value. चरण 1: (\gcd(4,6)=2) है। चरण 2: (A) में जिन अवयवों का (6) के साथ महत्तम समापवर्तक (2) है, वे (2) और (4) हैं। चरण 3: पहले दिए गए फलन जैसा मान निकालें, फिर समान मान वाले अवयव चुनें।
A. यह हमेशा तुल्यता संबंध है/It is always an equivalence relation
Step 1
Concept
Both relations contain every ((a,a)), so the intersection does too.
Step 2
Why this answer is correct
Symmetry and transitivity are preserved in the intersection.
Step 3
Exam Tip
The intersection of two equivalence relations is again an equivalence relation. चरण 1: दोनों संबंधों में हर ((a,a)) होता है, इसलिए प्रतिच्छेद में भी होगा। चरण 2: दोनों में सममिति और संक्रामकता होने से समान गुण प्रतिच्छेद में बचे रहते हैं। चरण 3: दो तुल्यता संबंधों का प्रतिच्छेद फिर तुल्यता संबंध होता है।
If \(a^2\equiv b^2 \pmod{5}\), then \(b^2\equiv a^2 \pmod{5}\), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
Congruence is transitive, so the third condition also holds. चरण 1: \(a^2\equiv a^2 \pmod{5}\), इसलिए स्वतुल्यता है। चरण 2: यदि \(a^2\equiv b^2 \pmod{5}\), तो \(b^2\equiv a^2 \pmod{5}\), इसलिए सममिति है। चरण 3: समरूपता की संक्रामकता से तीसरी शर्त भी पूरी होती है।
\(\frac{x}{y}>0\) means (x) and (y) have the same sign.
Step 2
Why this answer is correct
All positive numbers form one class and all negative numbers form another.
Step 3
Exam Tip
For sign-based relations, split the set into positive and negative groups. चरण 1: \(\frac{x}{y}>0\) तब होता है जब (x) और (y) का चिह्न समान हो। चरण 2: सभी धनात्मक संख्याएँ एक वर्ग में और सभी ऋणात्मक संख्याएँ दूसरे वर्ग में आती हैं। चरण 3: चिह्न आधारित संबंधों में धनात्मक और ऋणात्मक समूह अलग करें।
The odd class is ({1,3,5}) and the even class is ({2,4,6}).
Step 2
Why this answer is correct
Each class gives \(3^2=9\) ordered pairs.
Step 3
Exam Tip
Total pairs are (9+9=18). चरण 1: विषम वर्ग ({1,3,5}) और सम वर्ग ({2,4,6}) बनते हैं। चरण 2: प्रत्येक वर्ग से \(3^2=9\) युग्म मिलते हैं। चरण 3: कुल (9+9=18) युग्म होंगे।
B. (R) तुल्यता संबंध नहीं है/(R) is not an equivalence relation
Step 1
Concept
An equivalence relation needs all three properties.
Step 2
Why this answer is correct
Here transitivity is missing, so a necessary condition fails.
Step 3
Exam Tip
Even if two properties hold, always test the third one. चरण 1: तुल्यता संबंध के लिए तीनों गुण जरूरी हैं। चरण 2: यहाँ संक्रामकता नहीं है, इसलिए एक जरूरी शर्त टूट गई। चरण 3: दो गुण सही होने पर भी तीसरा गुण अवश्य जांचें।
All pairs inside ({1,2,5}) must be in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
If ((1,3)) were in the relation, then (3) would belong to the same class.
Step 3
Exam Tip
A pair with an outside element changes the class, so it is not possible here. चरण 1: ({1,2,5}) के भीतर सभी युग्म संबंध में होंगे। चरण 2: यदि ((1,3)) संबंध में हो, तो (3) भी उसी वर्ग में आ जाएगा। चरण 3: किसी वर्ग के बाहर के अवयव से संबंध जुड़ना वर्ग को बदल देता है।
A. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
(x-x=0) is rational, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
If (x-y) is rational, then (y-x) is also rational.
Step 3
Exam Tip
The sum of two rational differences is rational, so transitivity holds. चरण 1: (x-x=0) परिमेय है, इसलिए स्वतुल्यता है। चरण 2: यदि (x-y) परिमेय है तो (y-x) भी परिमेय है। चरण 3: दो परिमेय अंतरों का योग परिमेय रहता है, इसलिए संक्रामकता भी है।
Divisibility of (a-b) by (2) means the numbers have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
Odd elements form ({1,3,5,7}), and even elements form ({2,4,6}).
Step 3
Exam Tip
For parity relations, separate odd and even elements first. चरण 1: (a-b) का (2) से विभाज्य होना समान समता दिखाता है। चरण 2: विषम अवयव ({1,3,5,7}) और सम अवयव ({2,4,6}) अलग वर्ग बनाते हैं। चरण 3: समता के प्रश्नों में पहले सम और विषम छांटें।
For (b) to be related to (0), (0-b) must be divisible by (6).
Step 2
Why this answer is correct
This means (b) is a multiple of (6).
Step 3
Exam Tip
For infinite sets, write the class in general form as \({6k:k\in\mathbb{Z}}\). चरण 1: (0) से संबंधित संख्या (b) के लिए (0-b) (6) से विभाज्य होना चाहिए। चरण 2: इसका अर्थ है कि (b) (6) का गुणज है। चरण 3: अनंत समुच्चय में वर्ग को सामान्य रूप \({6k:k\in\mathbb{Z}}\) से लिखें।
A. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
\(A\times A\) contains every possible ordered pair.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore reflexivity, symmetry, and transitivity all hold automatically.
Step 3
Exam Tip
Treat the universal relation as a basic example of an equivalence relation. चरण 1: \(A\times A\) में हर संभव क्रमित युग्म होता है। चरण 2: इसलिए स्वतुल्यता, सममिति और संक्रामकता तीनों अपने आप पूरी होती हैं। चरण 3: सार्वत्रिक संबंध को तुल्यता संबंध का सरल उदाहरण मानें।
B. यह स्वतुल्य नहीं है, इसलिए तुल्यता संबंध नहीं है/It is not reflexive, so it is not an equivalence relation
Step 1
Concept
For non-empty (A), each ((a,a)) is required for reflexivity.
Step 2
Why this answer is correct
The empty relation has no pair, so reflexivity fails.
Step 3
Exam Tip
When testing equivalence, check reflexivity first. चरण 1: अरिक्त (A) में हर (a) के लिए ((a,a)) चाहिए। चरण 2: रिक्त संबंध में कोई युग्म नहीं है, इसलिए स्वतुल्यता नहीं है। चरण 3: तुल्यता संबंध जांचते समय सबसे पहले स्वतुल्यता देखें।
Exactly two equivalence classes mean splitting (A) into two non-empty blocks.
Step 2
Why this answer is correct
The number of ways to divide (4) elements into two unnamed non-empty blocks is (7).
Step 3
Exam Tip
Counting equivalence relations is the same as counting partitions. चरण 1: ठीक दो तुल्यता वर्गों का अर्थ है (A) को दो अरिक्त भागों में बांटना। चरण 2: (4) अवयवों को दो अरिक्त अनाम समूहों में बांटने के तरीके (7) हैं। चरण 3: तुल्यता संबंधों की गिनती विभाजनों की गिनती से जुड़ी होती है।
A. हमेशा तुल्यता संबंध/Always an equivalence relation
Step 1
Concept
(f(a)=f(a)), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
If (f(a)=f(b)), then (f(b)=f(a)), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
Equality is transitive, so the relation is always an equivalence relation. चरण 1: (f(a)=f(a)), इसलिए स्वतुल्यता है। चरण 2: यदि (f(a)=f(b)), तो (f(b)=f(a)), इसलिए सममिति है। चरण 3: समानता संक्रामक होती है, इसलिए संबंध हमेशा तुल्यता संबंध है।
In (A), the elements whose square is (4) are (-2) and (2).
Step 3
Exam Tip
For square-based relations, check both positive and negative values. चरण 1: \(2^2=4\) है। चरण 2: (A) में जिन अवयवों का वर्ग (4) है, वे (-2) और (2) हैं। चरण 3: वर्ग वाले संबंध में धन और ऋण दोनों मानों को जांचें।
By transitivity of equality, (|x|=|z|) also follows. चरण 1: (|x|=|x|), इसलिए स्वतुल्यता है। चरण 2: यदि (|x|=|y|), तो (|y|=|x|), इसलिए सममिति है। चरण 3: समानता की संक्रामकता से (|x|=|z|) भी मिलेगा।
A. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
(a+a=2a), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b) and (b+a) are the same, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
If two pairs show the same parity, the first and third also have the same parity. चरण 1: (a+a=2a), इसलिए स्वतुल्यता है। चरण 2: (a+b) और (b+a) समान हैं, इसलिए सममिति है। चरण 3: यदि दो संख्याएँ समान समता रखती हैं, तो पहली और तीसरी भी समान समता रखती हैं।
Compute \(\lfloor\frac{a}{2}\rfloor\) for each element.
Step 2
Why this answer is correct
The values (0,1,2,3) give the classes ({1},{2,3},{4,5},{6}).
Step 3
Exam Tip
Elements giving the same value form one equivalence class. चरण 1: हर अवयव के लिए \(\lfloor\frac{a}{2}\rfloor\) निकालें। चरण 2: मान (0,1,2,3) क्रमशः वर्ग ({1},{2,3},{4,5},{6}) देते हैं। चरण 3: समान मान देने वाले अवयव हमेशा एक वर्ग में आते हैं।
\((a,b)\in R\) means (a) and (b) are in the same equivalence class.
Step 2
Why this answer is correct
Elements in the same class have equal equivalence classes.
Step 3
Exam Tip
Remember, ([a]=[b]) does not necessarily mean (a=b). चरण 1: \((a,b)\in R\) का अर्थ है कि (a) और (b) समान तुल्यता वर्ग में हैं। चरण 2: समान वर्ग में होने पर उनके तुल्यता वर्ग बराबर होते हैं। चरण 3: ध्यान रखें कि ([a]=[b]) से (a=b) जरूरी नहीं होता।
Division by (3) gives three classes, each with (3) elements.
Step 2
Why this answer is correct
Each class gives \(3^2=9\) ordered pairs.
Step 3
Exam Tip
Total pairs are (9+9+9=27). चरण 1: (3) से भाग देने पर तीन वर्ग बनते हैं और प्रत्येक में (3) अवयव हैं। चरण 2: हर वर्ग से \(3^2=9\) युग्म मिलते हैं। चरण 3: कुल युग्म (9+9+9=27) होंगे।
A. हाँ, सभी तीन गुण पूरे हैं/Yes, all three properties hold
Step 1
Concept
All ((a,a)) pairs are present, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
((2,1)) is present with ((1,2)), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
The classes are ({1,2}), ({3}), and ({4}), so transitivity also holds. चरण 1: सभी ((a,a)) युग्म मौजूद हैं, इसलिए स्वतुल्यता है। चरण 2: ((1,2)) के साथ ((2,1)) भी है, इसलिए सममिति है। चरण 3: ({1,2}), ({3}), ({4}) वर्ग बनते हैं, इसलिए संक्रामकता भी पूरी है।
Distance is the same in both directions, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
(1R3) and (3R5), but (1R5) is false, so transitivity fails. चरण 1: (|a-a|=0), इसलिए स्वतुल्यता है। चरण 2: दूरी दोनों दिशाओं में समान होती है, इसलिए सममिति है। चरण 3: (1R3) और (3R5), पर (1R5) नहीं, इसलिए संक्रामकता टूटती है।
A. तुल्यता संबंध और समानता संबंध/Equivalence relation and equality relation
Step 1
Concept
(x-y=0) means (x=y).
Step 2
Why this answer is correct
Equality is reflexive, symmetric, and transitive.
Step 3
Exam Tip
The equality relation is the most basic example of an equivalence relation. चरण 1: (x-y=0) का अर्थ (x=y) है। चरण 2: समानता स्वतुल्य, सममित और संक्रामक होती है। चरण 3: समानता संबंध तुल्यता संबंध का सबसे मूल उदाहरण है।
Since ((1,2)) and ((2,3)) are present, transitivity connects (1) and (3).
Step 2
Why this answer is correct
With symmetry and reflexivity, all three elements are in one class.
Step 3
Exam Tip
One class of size (3) gives \(3^2=9\) pairs. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) होने से संक्रामकता के कारण (1) और (3) भी जुड़े होंगे। चरण 2: सममिति और स्वतुल्यता से तीनों अवयव एक ही वर्ग में आ जाते हैं। चरण 3: एक तीन-अवयवी वर्ग से \(3^2=9\) युग्म मिलते हैं।
Hence ([2]={2,5}). चरण 1: (2) को (3) से भाग देने पर शेषफल (2) है। चरण 2: (A) में (5) भी (3) से भाग देने पर शेषफल (2) देता है। चरण 3: इसलिए ([2]={2,5})।
Division by (4) gives possible remainders (0,1,2,3).
Step 2
Why this answer is correct
Each remainder gives one equivalence class.
Step 3
Exam Tip
For integers modulo (n), there are usually (n) classes. चरण 1: (4) से भाग देने पर शेषफल (0,1,2,3) हो सकते हैं। चरण 2: हर शेषफल एक अलग तुल्यता वर्ग देता है। चरण 3: पूर्णांकों में मापांक (n) के लिए सामान्यतः (n) वर्ग बनते हैं।
The class sizes are (2,1,3), so the count is \(2^2+1^2+3^2=4+1+9\).
Step 3
Exam Tip
Total pairs are (14). चरण 1: हर वर्ग के भीतर सभी क्रमित युग्म शामिल होते हैं। चरण 2: आकार (2,1,3) हैं, इसलिए युग्म \(2^2+1^2+3^2=4+1+9\) होंगे। चरण 3: कुल (14) युग्म मिलते हैं।
A. यह समानता संबंध जैसा तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation like equality
Step 1
Concept
For real numbers, \(x^3=y^3\) implies (x=y).
Step 2
Why this answer is correct
So the relation behaves like equality.
Step 3
Exam Tip
Equality-based relations are reflexive, symmetric, and transitive. चरण 1: वास्तविक संख्याओं के लिए \(x^3=y^3\) से (x=y) मिलता है। चरण 2: इसलिए यह समानता संबंध जैसा व्यवहार करता है। चरण 3: समानता आधारित संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक होता है।
The reverse pair does not always hold, so symmetry fails. चरण 1: (x-x=0), इसलिए स्वतुल्यता है। चरण 2: यदि (3R2) सही है, तो (2R3) सही नहीं है। चरण 3: उल्टा युग्म हमेशा नहीं मिलता, इसलिए सममिति टूटती है।
For reflexivity, (a+a) must be divisible by (3) for every (a).
Step 2
Why this answer is correct
(1+1=2), which is not divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
One counterexample is enough to break reflexivity. चरण 1: स्वतुल्यता के लिए हर (a) पर (a+a) को (3) से विभाज्य होना चाहिए। चरण 2: (1+1=2), जो (3) से विभाज्य नहीं है। चरण 3: एक ही प्रतिवाद से स्वतुल्यता टूट जाती है।
B. सार्वत्रिक संबंध \(A\times A\)/Universal relation \(A\times A\)
Step 1
Concept
A single equivalence class means every element is related to every other element.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore all possible ordered pairs are present.
Step 3
Exam Tip
This is exactly \(A\times A\), the universal relation. चरण 1: एक ही तुल्यता वर्ग का अर्थ है कि हर अवयव हर दूसरे अवयव से संबंधित है। चरण 2: इसलिए सभी संभव क्रमित युग्म संबंध में होंगे। चरण 3: यह ठीक \(A\times A\) यानी सार्वत्रिक संबंध है।
Equivalence classes divide the set into separate blocks.
Step 2
Why this answer is correct
Distinct blocks have no common element.
Step 3
Exam Tip
Therefore the intersection of distinct classes is empty. चरण 1: तुल्यता वर्ग समुच्चय को अलग-अलग भागों में बांटते हैं। चरण 2: अलग-अलग वर्गों में कोई साझा अवयव नहीं होता। चरण 3: इसलिए अलग वर्गों का प्रतिच्छेद रिक्त होता है।
Equality of digit sums remains true in reverse order.
Step 3
Exam Tip
If two numbers have the same digit sum as a third, then they have the same digit sum as each other. चरण 1: हर संख्या के अंकों का योग अपने बराबर ही होता है। चरण 2: समान अंकीय योग की बात उलटने पर भी सही रहती है। चरण 3: यदि दो संख्याओं का अंकीय योग तीसरी के समान है, तो पहली और तीसरी का भी समान होगा।
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (aRb) तभी जब (a) और (b) दोनों एक ही अंतराल ({1,2}), ({3,4,5}), ({6,7,8}) में हों। संबंध में कुल कितने युग्म होंगे?
Their sizes are (2,3,3), so the pair count is \(2^2+3^2+3^2=4+9+9\).
Step 3
Exam Tip
Total pairs are (22). चरण 1: दिए गए खंड ही तुल्यता वर्ग हैं। चरण 2: आकार (2,3,3) हैं, इसलिए युग्म \(2^2+3^2+3^2=4+9+9\) होंगे। चरण 3: कुल (22) युग्म मिलते हैं।
No integer is both even and odd, so the intersection is empty. चरण 1: ([1]) सभी विषम पूर्णांकों का वर्ग है। चरण 2: ([2]) सभी सम पूर्णांकों का वर्ग है। चरण 3: कोई संख्या एक साथ सम और विषम नहीं हो सकती, इसलिए प्रतिच्छेद रिक्त है।
Same remainder modulo (2) means both numbers are even or both are odd.
Step 2
Why this answer is correct
(3) is odd and (4) is even, so they are in different classes.
Step 3
Exam Tip
Pairs from different classes are not in the relation. चरण 1: समान शेषफल का अर्थ है दोनों सम हों या दोनों विषम। चरण 2: (3) विषम है और (4) सम है, इसलिए वे अलग वर्गों में हैं। चरण 3: अलग वर्गों के युग्म संबंध में नहीं आते।
The equality relation contains only pairs of the form ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
With (5) elements, there are (5) such pairs.
Step 3
Exam Tip
Remember that the equality relation and universal relation have different counts. चरण 1: समानता संबंध में केवल ((a,a)) प्रकार के युग्म होते हैं। चरण 2: (5) अवयवों के लिए ऐसे (5) युग्म बनेंगे। चरण 3: समानता संबंध और सार्वत्रिक संबंध की गिनती अलग-अलग याद रखें।
In \(A\times A\), every element is related to every element.
Step 2
Why this answer is correct
Thus all (5) elements lie in one class.
Step 3
Exam Tip
The universal relation always has exactly one equivalence class. चरण 1: \(A\times A\) में हर अवयव हर अवयव से संबंधित होता है। चरण 2: इसलिए सभी (5) अवयव एक ही वर्ग में आ जाते हैं। चरण 3: सार्वत्रिक संबंध में हमेशा केवल एक तुल्यता वर्ग होता है।
If \(\sin x=\sin y\), then \(\sin y=\sin x\), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
Transitivity of equality makes this an equivalence relation. चरण 1: \(\sin x=\sin x\), इसलिए स्वतुल्यता है। चरण 2: यदि \(\sin x=\sin y\), तो \(\sin y=\sin x\), इसलिए सममिति है। चरण 3: समानता की संक्रामकता से यह संबंध तुल्यता संबंध बनता है।
Pairs inside the same class belong to the relation.
Step 2
Why this answer is correct
(1) is in ({1,6}), while (3) is in ({2,3,5}).
Step 3
Exam Tip
Elements from different classes are not related, so ((1,3)) will not be present. चरण 1: एक ही वर्ग के अंदर के युग्म संबंध में होते हैं। चरण 2: (1) वर्ग ({1,6}) में है और (3) वर्ग ({2,3,5}) में है। चरण 3: अलग वर्गों के अवयव संबंधित नहीं होते, इसलिए ((1,3)) नहीं होगा।
