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\(A\times B\) में पहला अवयव (A) से और दूसरा (B) से आता है। परीक्षा में क्रम का ध्यान रखें। / In \(A\times B\), the first component comes from (A) and the second from (B). In exams, always check the order.
शर्त (|a-b|=2) से युग्म ((1,3),(2,4),(3,1),(4,2)) मिलते हैं। क्रमित युग्मों में उलटे युग्म अलग गिने जाते हैं। / The condition (|a-b|=2) gives the pairs ((1,3),(2,4),(3,1),(4,2)). In ordered pairs, reversed pairs are counted separately.
\(|A\times B|=|A|\cdot |B|=2\cdot3=6\) होता है। कार्डिनलिटी वाले प्रश्नों में सीधे गुणा करें। / \(|A\times B|=|A|\cdot |B|=2\cdot3=6\). For cardinality questions, multiply the sizes directly.
\(B\times A\) में पहला अवयव (B) से और दूसरा (A) से लिया जाता है। \(A\times B\) और \(B\times A\) को अलग समझें। / In \(B\times A\), the first component is from (B) and the second from (A). Do not confuse \(A\times B\) with \(B\times A\).
A. क्रमित युग्मों में क्रम महत्त्वपूर्ण होता है/Order matters in ordered pairs
Explanation
Simple Explanation
क्रमित युग्म में ((1,3)) और ((3,1)) समान नहीं होते। इसलिए \(A\times B\) सामान्यतः \(B\times A\) के बराबर नहीं होता। / In ordered pairs, ((1,3)) and ((3,1)) are not the same. Hence \(A\times B\) is generally not equal to \(B\times A\).
\(|A\times B|=2\cdot1=2\) और फिर (|\(A\times B\)\times C|=2\cdot3=6)। संयुक्त गुणनफल में भी कार्डिनलिटी गुणा होती है। / \(|A\times B|=2\cdot1=2\), then (|\(A\times B\)\times C|=2\cdot3=6). Cardinalities multiply in nested products too.
(2+5=7) और (3+4=7), इसलिए यही युग्म आते हैं। संबंध बनाने से पहले पूरा \(A\times B\) सोचें। / Since (2+5=7) and (3+4=7), these pairs belong to (R). Think of all pairs in \(A\times B\) before filtering.
\(x\) के तीनों मान जाँचें: \((-1)^2=1\), इसलिए \((-1,1)\); \(0^2=0\), इसलिए \((0,0)\); और \(1^2=1\), इसलिए \((1,1)\) मिलता है। अतः कुल 3 क्रमित युग्म हैं। विकल्प 6 पूरे \(A\times B\) के युग्मों की संख्या है, लेकिन उनमें से सभी \(x^2=y\) को संतुष्ट नहीं करते। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले प्रत्येक \(x\) के लिए \(x^2\) निकालकर जाँचें कि प्राप्त \(y\), \(B\) में है या नहीं। / Check all three values of \(x\): \((-1)^2=1\) gives \((-1,1)\), \(0^2=0\) gives \((0,0)\), and \(1^2=1\) gives \((1,1)\). Thus, there are 3 ordered pairs. Option 6 is the total number of pairs in \(A\times B\), but not all of them satisfy \(x^2=y\). Exam tip: For this type of question, compute \(x^2\) for each \(x\) and verify whether the resulting \(y\) belongs to \(B\).
(a=2,3,4) के लिए क्रमशः (1,2,3) मान मिलते हैं, कुल (6)। असमानता में पहले अवयव को आधार बनाकर गिनें। / For (a=2,3,4), the counts are (1,2,3), giving (6). For inequalities, count using the first component.
समुच्चयों के कार्तीय गुणनफल के लिए |A×B|=|A|×|B| होता है। यहाँ |A|=3 और |A×B|=12, इसलिए 3×|B|=12 तथा |B|=12÷3=4। विकल्प 12 केवल दिए गए गुणनफल की संख्या है, B की कार्डिनैलिटी नहीं। परीक्षा में पहले |A| ज्ञात करके गुणनफल की कार्डिनैलिटी को उससे भाग दें। / For the Cartesian product, |A×B|=|A|×|B|. Here, |A|=3 and |A×B|=12, so 3×|B|=12 and hence |B|=12÷3=4. The value 12 is the cardinality of the product, not of B. In an exam, first find |A| and divide the product cardinality by it.
\(|A\times B|=mn\), इसलिए इसके उपसमुच्चयों की संख्या \(2^{mn}\) होगी। पहले मूल समुच्चय की कार्डिनलिटी निकालें। / \(|A\times B|=mn\), so the number of subsets is \(2^{mn}\). First find the cardinality of the base set.
संबंध \(A\times B\) का कोई भी उपसमुच्चय है और \(|A\times B|=6\)। इसलिए संबंधों की संख्या \(2^6=64\) है। / A relation is any subset of \(A\times B\), and \(|A\times B|=6\). Hence the number of relations is \(2^6=64\).
\(|A\times B|=3\cdot2=6\), इसलिए गैर-रिक्त उपसमुच्चय \(2^6-1=63\) हैं। रिक्त समुच्चय घटाना न भूलें। / \(|A\times B|=3\cdot2=6\), so non-empty subsets are \(2^6-1=63\). Do not forget to subtract the empty set.
((4,3)) में पहला अवयव (4) है, जो (A) में नहीं है। सदस्यता में दोनों स्थान अलग-अलग जाँचें। / In ((4,3)), the first component (4) is not in (A). Check both positions separately for membership.
दूसरे अवयवों का समुच्चय \(B=\{a,b\}\) है। कार्तीय गुणनफल से मूल समुच्चय पहचानते समय स्थान देखें। / The set of second components is \(B=\{a,b\}\). When identifying original sets, observe the positions.
यदि (A) रिक्त नहीं है और \(A\times B=\varnothing\), तो \(B=\varnothing\) होना चाहिए। रिक्त गुणनफल में कम से कम एक समुच्चय रिक्त होता है। / If (A) is non-empty and \(A\times B=\varnothing\), then \(B=\varnothing\). A Cartesian product is empty if at least one set is empty.
पहला समुच्चय रिक्त है, इसलिए कोई क्रमित युग्म बन नहीं सकता। रिक्त समुच्चय को (0) अवयव वाला समुच्चय मानें। / The first set is empty, so no ordered pair can be formed. Treat the empty set as a set with (0) elements.
क्योंकि (R) अधिकतम पूरे \(A\times B\) के बराबर हो सकता है और \(|A\times B|=20\)। अधिकतम अवयव पूछे जाएँ तो \(2^{20}\) नहीं लिखें। / Since (R) can be at most the whole \(A\times B\), and \(|A\times B|=20\). If maximum elements are asked, do not write \(2^{20}\).
तीन समुच्चयों के कार्तीय गुणनफल में कार्डिनलिटी \(2\cdot3\cdot4=24\) है। क्रमित त्रिक के प्रश्न में तीनों आकार गुणा करें। / For Cartesian product of three sets, the cardinality is \(2\cdot3\cdot4=24\). For ordered triples, multiply all three sizes.
\(B\cup C={3,4,5}\), इसलिए (|A\times\(B\cup C\)|=2\cdot3=6)। पहले कोष्ठक के भीतर का समुच्चय निकालें। / \(B\cup C={3,4,5}\), so (|A\times\(B\cup C\)|=2\cdot3=6). First evaluate the set inside the brackets.
\(B\cap C={3,4}\), इसलिए (|A\times\(B\cap C\)|=3\cdot2=6)। प्रतिच्छेद के बाद ही गुणा करें। / \(B\cap C={3,4}\), so (|A\times\(B\cap C\)|=3\cdot2=6). Multiply only after finding the intersection.
(\(A\times B\)\cap\(A\times C\)=A\times\(B\cap C\)) और \(B\cap C={3}\)। इसलिए युग्म ((1,3)) और ((2,3)) हैं। / (\(A\times B\)\cap\(A\times C\)=A\times\(B\cap C\)), and \(B\cap C={3}\). Thus the pairs are ((1,3)) and ((2,3)).
(B-C={1}), इसलिए \(A\times(B-C)={(0,1),(1,1)}\)। अंतर निकालने में केवल (B) के अवयव देखें। / (B-C={1}), so \(A\times(B-C)={(0,1),(1,1)}\). For difference, keep only elements of (B) not in (C).
\(|A\times B|=6\) और (2) अवयव चुनने के तरीके \(\binom{6}{2}=15\) हैं। ठीक (2) अवयव का अर्थ संयोजन है। / \(|A\times B|=6\), and choosing (2) elements gives \(\binom{6}{2}=15\). Exactly (2) elements means a combination.
\(|A\times B|=6\), इसलिए (1) अवयव वाला संबंध चुनने के (6) तरीके हैं। एकल संबंध सीधे एक क्रमित युग्म होता है। / \(|A\times B|=6\), so there are (6) ways to choose a one-element relation. A singleton relation is just one ordered pair.
दो संख्याओं का योग तभी सम होता है जब दोनों संख्याएँ समान समता वाली हों—या तो दोनों सम हों या दोनों विषम। प्रत्येक समुच्चय में 2 सम संख्याएँ \(\{2,4\}\) और 2 विषम संख्याएँ \(\{1,3\}\) हैं। इसलिए अनुकूल युग्मों की संख्या \(2\times2+2\times2=8\) है। परीक्षा-युक्ति: सम योग के लिए ‘समान समता’ और विषम योग के लिए ‘विपरीत समता’ याद रखें। / The sum of two numbers is even when they have the same parity—both must be even or both must be odd. Each set contains 2 even elements, \(\{2,4\}\), and 2 odd elements, \(\{1,3\}\). Hence, the number of favourable ordered pairs is \(2\times2+2\times2=8\). Exam tip: remember that an even sum requires equal parity, while an odd sum requires opposite parity. The value 16 would count every pair in \(A\times B\), including pairs with one even and one odd component.
युग्म ((1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)) हैं, इसलिए कुल (5) हैं। क्रमित युग्मों में उलटे युग्म अलग गिने जाते हैं। / The pairs are ((1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)), so there are (5). Reversed pairs count separately in ordered pairs.
(a=1) से (4), (a=2) से (2), (a=3) से (1), (a=4) से (1) युग्म मिलते हैं, कुल (8)। विभाज्यता में हर (a) अलग जाँचें। / For (a=1,2,3,4), the counts are (4,2,1,1), totaling (8). In divisibility, check each (a) separately.
\(1^2=1\), \(2^2=4\), और \(3^2=9\), इसलिए (3) युग्म हैं। नियम आधारित संबंध में हर पहला अवयव जाँचें। / Since \(1^2=1\), \(2^2=4\), and \(3^2=9\), there are (3) pairs. For rule-based relations, check each first component.
(a=0,1,2) के लिए (b) के क्रमशः (3,2,1) मान हैं, कुल (6)। असमानता में सीमा को सावधानी से देखें। / For (a=0,1,2), the possible values of (b) are (3,2,1), totaling (6). Read the inequality boundary carefully.
विकर्ण युग्म ((1,1),(2,2),(3,3)) हैं, इसलिए संख्या (3) है। समान समुच्चयों में विकर्ण की संख्या सामान्यतः (|A|) होती है। / The diagonal pairs are ((1,1),(2,2),(3,3)), so the count is (3). For equal sets, the diagonal count is usually (|A|).
कुल युग्म (16) हैं और बराबर युग्म (4) हैं, इसलिए (16-4=12)। पूरक गिनती जल्दी उत्तर देती है। / There are (16) total pairs and (4) equal pairs, so (16-4=12). Complement counting gives a quick answer.
शर्त (a=2b) देती है, इसलिए ((2,1),(4,2),(6,3)) मिलते हैं। भिन्न को सरल रैखिक संबंध में बदलें। / The condition gives (a=2b), so the pairs are ((2,1),(4,2),(6,3)). Convert a fraction condition into a simple linear relation.
\(A\) के प्रत्येक अवयव के लिए \(b=2a\) निकालते हैं: \(a=1\) पर \(b=2\), \(a=2\) पर \(b=4\), और \(a=3\) पर \(b=6\)। ये सभी \(B\) में हैं, इसलिए युग्म \((1,2),(2,4),(3,6)\) प्राप्त होते हैं और कुल \(3\) युग्म हैं। \(4\) लेना गलत है, क्योंकि \(a\) के केवल तीन संभावित मान हैं। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में शर्त पूरी करने वाले युग्मों को सीधे सूचीबद्ध करके गिनें। / For each element of \(A\), calculate \(b=2a\): when \(a=1\), \(b=2\); when \(a=2\), \(b=4\); and when \(a=3\), \(b=6\). All three resulting values belong to \(B\), giving the ordered pairs \((1,2),(2,4),(3,6)\). Hence, the total is \(3\). Choosing \(4\) is incorrect because \(A\) has only three possible values of \(a\). Exam tip: list the ordered pairs satisfying the condition and then count them.
(b=1,2,3) के लिए (a) के क्रमशः (1,2,3) मान हैं, कुल (6)। कभी-कभी दूसरे अवयव से गिनना आसान होता है। / For (b=1,2,3), the possible values of (a) are (1,2,3), totaling (6). Sometimes counting by the second component is easier.
योग (5) या अधिक के युग्म ((2,3),(3,2),(3,3)) हैं, कुल (3)। सीमा सहित शर्त में बराबरी भी गिनें। / The pairs with sum (5) or more are ((2,3),(3,2),(3,3)), totaling (3). Include equality when the condition has a boundary.
विषम संख्या और सम संख्या का योग हमेशा विषम होता है। समता वाले प्रश्न में सभी युग्म लिखना आवश्यक नहीं। / The sum of an odd number and an even number is always odd. For parity questions, writing all pairs is not necessary.
यहाँ (A=B), इसलिए \(A\times B\) और \(B\times A\) समान हैं। सामान्य नियम में बराबरी तभी स्पष्ट होती है जब समुच्चय समान हों। / Here (A=B), so \(A\times B\) and \(B\times A\) are the same. Equality is clear when the two sets are identical.
\((1,4)\in A\times B\), पर \((1,4)\notin B\times A\) क्योंकि \(1\notin B\)। एक प्रतिउदाहरण पर्याप्त है। / \((1,4)\in A\times B\), but \((1,4)\notin B\times A\) because \(1\notin B\). One counterexample is enough.
चूँकि \(A\) और \(B\) में कोई समान अवयव नहीं है, इसलिए \(A\cup B=\{1,2,3,4\}\) और \(|A\cup B|=4\)। साथ ही \(|C|=2\)। कार्तीय गुणनफल के लिए \(|X\times Y|=|X|\cdot|Y|\), अतः \(|(A\cup B)\times C|=4\times2=8\)। विकल्प 16 में तीनों समुच्चयों की कार्डिनालिटी को अनुचित रूप से गुणा किया गया है। परीक्षा-युक्ति: पहले संघ की कार्डिनालिटी ज्ञात करें, फिर कार्तीय गुणनफल का नियम लगाएँ। / Since \(A\) and \(B\) have no common element, \(A\cup B=\{1,2,3,4\}\) and \(|A\cup B|=4\). Also, \(|C|=2\). For Cartesian products, \(|X\times Y|=|X|\cdot|Y|\); therefore, \(|(A\cup B)\times C|=4\times2=8\). Option 16 incorrectly multiplies the cardinalities of all three original sets. Exam tip: find the size of the union first, then apply the Cartesian-product rule.
\(A\cap B={2,3}\) और (|C|=3), इसलिए कार्डिनलिटी \(2\cdot3=6\) है। प्रतिच्छेद को पहले सरल करें। / \(A\cap B={2,3}\) and (|C|=3), so the cardinality is \(2\cdot3=6\). Simplify the intersection first.
(\(A\times B\)\cup\(A\times C\)=A\times\(B\cup C\)) और \(B\cup C={2,3,4}\)। इसलिए कार्डिनलिटी \(2\cdot3=6\) है। / (\(A\times B\)\cup\(A\times C\)=A\times\(B\cup C\)), and \(B\cup C={2,3,4}\). Hence the cardinality is \(2\cdot3=6\).
शर्त से (a=b+1), इसलिए ((2,1)) और ((3,2)) मिलते हैं। समीकरण को युग्मों पर लागू करें। / The condition gives (a=b+1), so the pairs are ((2,1)) and ((3,2)). Apply the equation to ordered pairs.
प्रत्येक \(a\in A\) के लिए \(b=2^a\) ज्ञात करते हैं: \(a=1\) पर \(b=2\), \(a=2\) पर \(b=4\), \(a=3\) पर \(b=8\), और \(a=4\) पर \(b=16\)। पहले तीन मान \(B\) में हैं, इसलिए युग्म \((1,2),(2,4),(3,8)\) मिलते हैं। \(16\notin B\), इसलिए \((4,16)\) मान्य नहीं है। अतः कुल 3 युग्म हैं। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में \(a\) के प्रत्येक मान के लिए \(2^a\) निकालकर जाँचें कि प्राप्त मान दूसरे समुच्चय में है या नहीं। / For each \(a\in A\), calculate \(b=2^a\): when \(a=1,2,3,4\), the corresponding values are \(2,4,8,16\). The first three values belong to \(B\), giving the ordered pairs \((1,2),(2,4),(3,8)\). Since \(16\notin B\), \((4,16)\) is not in \(A\times B\). Therefore, the total number of valid pairs is 3. Exam tip: For this type of question, evaluate the given rule for every first component and retain only those pairs whose second component belongs to the second set.
जाँचने पर अभाज्य योग वाले (6) युग्म मिलते हैं। ऐसे प्रश्नों में सभी संभावित योगों को व्यवस्थित रूप से जाँचें। / Checking systematically gives (6) pairs with prime sum. In such questions, test all possible sums in an organized way.
दो संख्याओं का योग विषम तभी होता है जब एक संख्या सम और दूसरी विषम हो। सम और विषम अवयवों की संख्या इस प्रकार है: \(A\) में 2 सम और 2 विषम, जबकि \(B\) में 2 सम और 1 विषम अवयव हैं। इसलिए अनुकूल युग्मों की संख्या \((2\times1)+(2 imes2)=2+4=6\) है। परीक्षा में क्रमित युग्मों के लिए पहले अवयव के दोनों parity-विकल्पों को अलग-अलग गिनना न भूलें। / The sum of two numbers is odd only when one number is even and the other is odd. Set \(A\) has 2 even and 2 odd elements, while set \(B\) has 2 even and 1 odd element. Hence, the number of suitable ordered pairs is \((2\times1)+(2\times2)=2+4=6\). As an exam tip, count separately the cases where the first component is even and where it is odd, since the pairs are ordered.
(a=1,2,3) के लिए (b) के क्रमशः (4,3,3) मान मिलते हैं, कुल (10)। गुणन वाली शर्त में प्रत्येक (a) पर सीमा बदलती है। / For (a=1,2,3), the possible values of (b) are (4,3,3), totaling (10). In product conditions, the limit changes for each (a).
(\gcd(a,b)=1) वाले युग्म गिनने पर (11) मिलते हैं। (1) के साथ हर संख्या परस्पर अभाज्य मानी जाती है। / Counting pairs with (\gcd(a,b)=1) gives (11). Remember that (1) is coprime with every number.
दो पूर्णांकों का अंतर तभी सम होता है जब दोनों की समता समान हो—अर्थात दोनों सम या दोनों विषम हों। समता के आधार पर \(A\) में 1 सम और 2 विषम संख्याएँ हैं, जबकि \(B\) में 2 सम और 2 विषम संख्याएँ हैं। इसलिए अनुकूल युग्मों की संख्या \(1\times2+2\times2=6\) है। परीक्षा-युक्ति: अंतर के सम होने के लिए समान समता वाले तत्त्वों की ही जोड़ी बनाएँ। / The difference of two integers is even exactly when they have the same parity—both even or both odd. Set \(A\) has 1 even and 2 odd elements, while set \(B\) has 2 even and 2 odd elements. Hence, the number of favourable ordered pairs is \(1\times2+2\times2=6\). Exam tip: For an even difference, count pairs formed by elements of matching parity.
(a=1,2,3,4) के लिए (b) के क्रमशः (4,3,2,1) मान मिलते हैं, कुल (10)। ऐसी गिनती में सीमा के अनुसार पंक्तियाँ बनाएं। / For (a=1,2,3,4), the possible values of (b) are (4,3,2,1), totaling (10). Make rows according to the boundary in such counts.
