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\(n\) के पूर्णांक मान के लिए \(\frac{(n+2)!}{(n-2)!}=(n+2)(n+1)n(n-1)\)। विकल्पों में \(n=7\) रखने पर \(9\times8\times7\times6=3024\), इसलिए सही उत्तर 7 है। निकटतम विकल्प 8 पर गुणनफल \(10\times9\times8\times7=5040\) आता है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: फैक्टोरियल का भाग देने पर समान प्रारंभिक गुणनखंड काटकर केवल लगातार चार गुणनखंड लिखें। / For an integer value of \(n\), \(\frac{(n+2)!}{(n-2)!}=(n+2)(n+1)n(n-1)\). Substituting \(n=7\) gives \(9\times8\times7\times6=3024\), so the correct answer is 7. The nearby option 8 gives \(10\times9\times8\times7=5040\), so it is incorrect. Exam tip: when dividing factorials, cancel the common initial factors and write only the four consecutive remaining factors.
पहले \(\frac{10!}{2!\cdot 8!}=\frac{10\times 9}{2}=45\) प्राप्त होता है। अतः \(45\times\frac{8}{9}=5\times 8=40\)। इसलिए सही विकल्प C है। परीक्षा में फैक्टोरियल को पूरा फैलाने के बजाय समान गुणकों को पहले काटना समय बचाता है। / First, \(\frac{10!}{2!\cdot 8!}=\frac{10\times 9}{2}=45\). Therefore, \(45\times\frac{8}{9}=5\times 8=40\), so option C is correct. In an exam, cancel common factors before expanding the entire factorial to save time.
कुल \(\binom{20}{3}=1140\) त्रिक हैं और असफल त्रिक \(\binom{8}{3}+\binom{5}{3}=66\) हैं। इसलिए (1140-66=1074) है। / Total triples are \(\binom{20}{3}=1140\) and failed triples are \(\binom{8}{3}+\binom{5}{3}=66\). Hence (1140-66=1074).
पुरुषों की संख्या (2), (3) या (4) हो सकती है। कुल \(\binom{10}{2}\binom{8}{4}+\binom{10}{3}\binom{8}{3}+\binom{10}{4}\binom{8}{2}=15750\) है। / The number of men can be (2), (3), or (4). The total is \(\binom{10}{2}\binom{8}{4}+\binom{10}{3}\binom{8}{3}+\binom{10}{4}\binom{8}{2}=15750\).
कुल \(\binom{12}{5}=792\) में से किसी विषय के न होने वाले चयन घटाएं। सही गिनती (621) है। / Subtract selections missing at least one subject from \(\binom{12}{5}=792\). The correct count is (621).
मामले (2) विशेष और (3) विशेष के हैं। कुल \(\binom{4}{2}\binom{10}{4}+\binom{4}{3}\binom{10}{3}=2100\) है। / The cases are (2) special and (3) special students. The total is \(\binom{4}{2}\binom{10}{4}+\binom{4}{3}\binom{10}{3}=2100\).
विशेष वस्तुएं (3), (4), (5) या (6) हो सकती हैं। कुल \(\sum_{r=3}^{6}\binom{6}{r}\binom{10}{7-r}=6960\) है। / The number of special objects can be (3), (4), (5), or (6). The total is \(\sum_{r=3}^{6}\binom{6}{r}\binom{10}{7-r}=6960\).
(a,b) में से (1) चुनकर बाकी (4) ऐसे चुनें कि (c,d) दोनों साथ न आएं। तरीके \(\binom{2}{1}\left(\binom{10}{4}-\binom{8}{2}\right)=364\) नहीं, सही \(\binom{2}{1}\left(\binom{10}{4}-\binom{8}{2}\right)=364\) है। / Choose (1) from (a,b), then choose the remaining (4) so that (c,d) are not both included. The correct expression is \(\binom{2}{1}\left(\binom{10}{4}-\binom{8}{2}\right)=364\).
(4) की (10) गुणज और (30) गैर-गुणज संख्याएं हैं। तरीके \(\binom{10}{2}\binom{30}{3}=122760\) हैं। / There are (10) multiples of (4) and (30) non-multiples. The ways are \(\binom{10}{2}\binom{30}{3}=122760\).
विशेष खिलाड़ी (1) या (2) चुने जा सकते हैं। कुल \(\binom{3}{1}\binom{10}{5}+\binom{3}{2}\binom{10}{4}=1470\) है। / The number of special players can be (1) or (2). The total is \(\binom{3}{1}\binom{10}{5}+\binom{3}{2}\binom{10}{4}=1470\).
(10) विज्ञान और (6) कला विद्यार्थियों में से (6) विद्यार्थी चुनने हैं जिनमें विज्ञान विद्यार्थियों की संख्या कला विद्यार्थियों की संख्या से ठीक (2) अधिक हो। कितने तरीके हैं?
यदि विज्ञान (x) और कला (y) हों तो (x+y=6) और (x=y+2), इसलिए (x=4), (y=2)। तरीके \(\binom{10}{4}\binom{6}{2}=3150\) हैं। / If science students are (x) and arts students are (y), then (x+y=6) and (x=y+2), so (x=4), (y=2). The ways are \(\binom{10}{4}\binom{6}{2}=3150\).
कुल \(\binom{16}{3}=560\) त्रिक हैं। असफल त्रिक \(\binom{6}{3}+\binom{4}{3}=24\) हैं इसलिए (560-24=536) है। / Total triples are \(\binom{16}{3}=560\). Failed triples are \(\binom{6}{3}+\binom{4}{3}=24\), so (560-24=536).
टीमों की जोड़ियां \(\binom{14}{2}=91\) हैं। हर जोड़ी के (3) मैच होने से कुल (273) मैच होंगे। / The pairs of teams are \(\binom{14}{2}=91\). With (3) matches for each pair the total is (273).
कुल \(\binom{11}{5}=462\) हैं और दोनों विशेष साथ हों तो \(\binom{9}{3}=84\) हैं। इसलिए (462-84=378) तरीके हैं। / Total ways are \(\binom{11}{5}=462\) and ways with both special persons are \(\binom{9}{3}=84\). Hence (462-84=378).
कम से कम 3 गणित पुस्तकें चुनने के लिए गणित पुस्तकों की संख्या 3, 4, 5 या 6 हो सकती है। अतः कुल तरीके हैं:
\(\binom{10}{3}\binom{7}{3}+\binom{10}{4}\binom{7}{2}+\binom{10}{5}\binom{7}{1}+\binom{10}{6}\binom{7}{0}\)
\(=4200+4410+1764+210=10584\)। इसलिए सही उत्तर 10584 है। केवल 3 गणित पुस्तकों वाला मामला लेने पर अन्य वैध मामले छूट जाएंगे। परीक्षा टिप: “कम से कम” वाले प्रश्नों में सभी संभव मामलों का योग करें। / With at least 3 mathematics books, the number of mathematics books selected can be 3, 4, 5, or 6. Hence, the total number of selections is
\(\binom{10}{3}\binom{7}{3}+\binom{10}{4}\binom{7}{2}+\binom{10}{5}\binom{7}{1}+\binom{10}{6}\binom{7}{0}\)
\(=4200+4410+1764+210=10584\). Therefore, 10584 is correct. Counting only the case of exactly 3 mathematics books misses the other valid cases. Exam tip: for “at least” conditions, add all permissible cases.
कुल \(\binom{17}{5}=6188\) हैं। केवल अंग्रेजी \(\binom{8}{5}=56\) और केवल हिंदी \(\binom{9}{5}=126\) हटाने पर (6006) मिलते हैं। / Total ways are \(\binom{17}{5}=6188\). Removing only English \(\binom{8}{5}=56\) and only Hindi \(\binom{9}{5}=126\) gives (6006).
डॉक्टरों की संख्या (4), (5) या (6) होगी। कुल \(\binom{9}{4}\binom{7}{2}+\binom{9}{5}\binom{7}{1}+\binom{9}{6}=3612\) है। / The number of doctors will be (4), (5), or (6). The total is \(\binom{9}{4}\binom{7}{2}+\binom{9}{5}\binom{7}{1}+\binom{9}{6}=3612\).
चयन (3), (4) या (5) उपहारों का होगा। कुल \(\binom{13}{3}+\binom{13}{4}+\binom{13}{5}=2288\) है। / The selection can be of (3), (4), or (5) gifts. The total is \(\binom{13}{3}+\binom{13}{4}+\binom{13}{5}=2288\).
एक रंग तय है और एक हट गया है इसलिए बाकी (4) रंग (9) में से चुनेंगे। तरीके \(\binom{9}{4}=126\) हैं। / One color is fixed and one is removed so choose the remaining (4) colors from (9). The ways are \(\binom{9}{4}=126\).
(5) विशेष में से (3) और बाकी (7) में से (3) चुनेंगे। तरीके \(\binom{5}{3}\binom{7}{3}=350\) हैं। / Choose (3) from (5) special students and (3) from the remaining (7). The ways are \(\binom{5}{3}\binom{7}{3}=350\).
कुल \(\binom{15}{6}=5005\) हैं। (0) और (1) विशेष वाले चयन हटाने पर \(5005-\binom{10}{6}-\binom{5}{1}\binom{10}{5}=3535\) है। / Total ways are \(\binom{15}{6}=5005\). Removing selections with (0) and (1) special student gives \(5005-\binom{10}{6}-\binom{5}{1}\binom{10}{5}=3535\).
समिति में ठीक 3 पुरुष होने हैं, इसलिए शेष 3 सदस्य महिलाएँ होंगी। 10 पुरुषों में से 3 चुनने के
\(\binom{10}{3}=120\) तरीके और 8 महिलाओं में से 3 चुनने के \(\binom{8}{3}=56\) तरीके हैं। अतः कुल तरीके \(\binom{10}{3}\binom{8}{3}=120\times56=6720\) हैं। विकल्प 5040 में महिलाओं के चयन की संख्या सही नहीं ली गई है। परीक्षा टिप: “ठीक” शब्द आने पर प्रत्येक समूह से आवश्यक संख्या अलग-अलग चुनकर गुणा करें। / Since the committee must contain exactly 3 men, the remaining 3 members must be women. The number of ways to choose 3 men from 10 is \(\binom{10}{3}=120\), and the number of ways to choose 3 women from 8 is \(\binom{8}{3}=56\). Therefore, the total number of committees is \(\binom{10}{3}\binom{8}{3}=120\times56=6720\). Option 5040 results from an incorrect count for selecting the women. Exam tip: When “exactly” is specified, choose the required members from each group separately and multiply.
पेन (2), (3) या (4) हो सकते हैं। कुल \(\binom{9}{2}\binom{8}{4}+\binom{9}{3}\binom{8}{3}+\binom{9}{4}\binom{8}{2}=10752\) है। / The number of pens can be (2), (3), or (4). The total is \(\binom{9}{2}\binom{8}{4}+\binom{9}{3}\binom{8}{3}+\binom{9}{4}\binom{8}{2}=10752\).
हम जानते हैं कि \(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\)। अतः \(\frac{n(n-1)}{2}=120\), इसलिए \(n(n-1)=240\)। \(16\times15=240\), इसलिए \(n=16\)। विकल्प 15 के लिए \(\binom{15}{2}=105\) होता है, 120 नहीं। परीक्षा टिप: \(\binom{n}{2}\) वाले प्रश्नों में लगातार दो पूर्णांकों का गुणनफल \(2\) से गुणा किए गए दिए गए मान के बराबर रखें। / Using \(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\), we get \(\frac{n(n-1)}{2}=120\), so \(n(n-1)=240\). Since \(16\times15=240\), \(n=16\). For the close distractor 15, \(\binom{15}{2}=105\), not 120. Exam tip: In \(\binom{n}{2}\) questions, look for two consecutive integers whose product is twice the given value.
संयोजन का सममिति गुण है: \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\)। यहाँ \(\binom{n}{5}=\binom{n}{9}\) होने के लिए 9, 5 का पूरक होना चाहिए। अतः \(n-5=9\), इसलिए \(n=14\)। विकल्प 13 में \(n-5=8\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: समान संयोजनों में पहले \(r\) और \(n-r\) की सममिति जाँचें। / Use the symmetry property of combinations: \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\). For \(\binom{n}{5}=\binom{n}{9}\), 9 must be the complement of 5. Thus, \(n-5=9\), so \(n=14\). For option 13, \(n-5=8\), so it does not satisfy the equality. Exam tip: when two combinations are equal, first check whether their lower indices are complementary.
\(r\) वस्तुएँ चुनना ठीक उतना ही है जितना शेष \(n-r\) वस्तुओं को छोड़ना। इसलिए \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\)। विकल्प B में कुल उपलब्ध वस्तुएँ बदल जाती हैं। परीक्षा टिप: पूरक चयन दिखे तो \(r\) को \(n-r\) से बदलें। / Choosing \(r\) objects uniquely determines the \(n-r\) objects left out, so \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\). In option B, the total number of available objects changes. Exam tip: use \(r\leftrightarrow n-r\) for complementary selections.
पास्कल पहचान से \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\) होता है। इसलिए उत्तर \(\binom{12}{5}\) है। / By Pascal's identity \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\). Hence the answer is \(\binom{12}{5}\).
पास्कल के सर्वसमिका सूत्र के अनुसार \(\binom{n}{r}-\binom{n-1}{r}=\binom{n-1}{r-1}\)। इसलिए \(\binom{13}{6}-\binom{12}{6}=\binom{12}{5}=792\)। विकल्प 924, \(\binom{12}{6}\) का मान है; यह घटाने के बाद का मान नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे अंतर को अलग-अलग संयोजन निकालने के बजाय पास्कल की सर्वसमिका से तुरंत सरल करें। / Using Pascal’s identity, \(\binom{n}{r}-\binom{n-1}{r}=\binom{n-1}{r-1}\). Hence, \(\binom{13}{6}-\binom{12}{6}=\binom{12}{5}=792\). The value 924 is \(\binom{12}{6}\) itself, not the required difference. Exam tip: simplify such differences directly with Pascal’s identity instead of evaluating both combinations separately.
(1) और (2) तय हैं और (3) हट गया है। बाकी (3) तत्व (9) में से चुने जाएंगे इसलिए \(\binom{9}{3}=84\) है। / The elements (1) and (2) are fixed and (3) is excluded. The remaining (3) elements are chosen from (9), so \(\binom{9}{3}=84\).
कुल \(\binom{11}{6}=462\) हैं और (4), (5) दोनों हों तो \(\binom{9}{4}=126\) हैं। इसलिए (462-126=336) है। / Total subsets are \(\binom{11}{6}=462\) and those containing both (4), (5) are \(\binom{9}{4}=126\). Hence (462-126=336).
(3) की (10) गुणज और (20) गैर-गुणज संख्याएं हैं। तरीके \(\binom{10}{3}\binom{20}{2}=22800\) हैं। / There are (10) multiples of (3) and (20) non-multiples. The ways are \(\binom{10}{3}\binom{20}{2}=22800\).
विषम संख्याएं (13) और सम संख्याएं (12) हैं। तरीके \(\binom{13}{3}\binom{12}{2}=18876\) हैं। / There are (13) odd numbers and (12) even numbers. The ways are \(\binom{13}{3}\binom{12}{2}=18876\).
(5) विशेष विद्यार्थियों को हटाने पर (13) विद्यार्थी बचते हैं। इसलिए \(\binom{13}{7}=1716\) तरीके हैं। / After removing (5) special students (13) students remain. Hence there are \(\binom{13}{7}=1716\) ways.
समूह में शिक्षकों की संख्या 3, 4, 5 या 6 हो सकती है। अतः कुल तरीके हैं: \(\binom{9}{3}\binom{11}{3}+\binom{9}{4}\binom{11}{2}+\binom{9}{5}\binom{11}{1}+\binom{9}{6}\binom{11}{0}\) = \(13860+6930+1386+84=22260\)। इसलिए सही उत्तर 22260 है। विकल्प 13860 केवल ठीक 3 शिक्षक चुनने के तरीकों को दर्शाता है, जबकि प्रश्न में कम से कम 3 शिक्षक हैं। परीक्षा टिप: ‘कम से कम’ वाले प्रश्नों में सभी संभव मामलों का योग करें। / The group can contain 3, 4, 5, or 6 teachers. Hence, the total number of ways is \(\binom{9}{3}\binom{11}{3}+\binom{9}{4}\binom{11}{2}+\binom{9}{5}\binom{11}{1}+\binom{9}{6}\binom{11}{0}\) = \(13860+6930+1386+84=22260\). Therefore, 22260 is correct. Option 13860 counts only the case of exactly 3 teachers, whereas the question requires at least 3 teachers. Exam tip: For ‘at least’ conditions, add all permitted cases.
कुल \(\binom{17}{6}=12376\) हैं। सभी सफेद \(\binom{8}{6}=28\) और सभी काली \(\binom{9}{6}=84\) हटाने पर (12264) मिलते हैं। / Total ways are \(\binom{17}{6}=12376\). Removing all-white \(\binom{8}{6}=28\) and all-black \(\binom{9}{6}=84\) gives (12264).
सभी पुरस्कार समान हैं, इसलिए चुने गए 5 उम्मीदवारों के क्रम का कोई महत्व नहीं है। अतः संयोजन लगेगा: \(\binom{13}{5}=\frac{13!}{5!8!}=1287\)। विकल्प 154440, \(^{13}P_5\) है, जो पुरस्कार अलग-अलग होने पर लागू होता। परीक्षा टिप: “समान” वस्तुओं या पुरस्कारों में क्रम नहीं गिना जाता, इसलिए संयोजन प्रयोग करें। / Since all prizes are identical, the order of the 5 selected candidates does not matter. Hence, use combinations: \(\binom{13}{5}=\frac{13!}{5!8!}=1287\). The value 154440 is \(^{13}P_5\), which would apply if the prizes were distinct. Exam tip: When identical objects or prizes are involved, order is not counted, so use combinations.
कुल \(\binom{11}{5}=462\) हैं और कोई विशेष मित्र न जाए तो \(\binom{8}{5}=56\) हैं। इसलिए (462-56=406) है। / Total ways are \(\binom{11}{5}=462\) and if no special friend goes then \(\binom{8}{5}=56\). Hence (462-56=406).
विशेष फलों में से (2) और बाकी (7) में से (3) चुनेंगे। तरीके \(\binom{5}{2}\binom{7}{3}=350\) हैं। / Choose (2) from the special fruits and (3) from the remaining (7). The ways are \(\binom{5}{2}\binom{7}{3}=350\).
हर रंग की शर्त अलग गिनी जाएगी। तरीके \(\binom{7}{2}\binom{8}{2}\binom{9}{1}=5292\) हैं। / Each color condition is counted separately. The ways are \(\binom{7}{2}\binom{8}{2}\binom{9}{1}=5292\).
(a) तय है और (b) हट गया है। (c,d) में से (1) और शेष (6) में से (3) चुनेंगे इसलिए \(\binom{2}{1}\binom{6}{3}=40\) है। / The letter (a) is fixed and (b) is excluded. Choose (1) from (c,d) and (3) from the remaining (6), so \(\binom{2}{1}\binom{6}{3}=40\).
रसायन तय है इसलिए बाकी (3) विषय (8) में से चुनेंगे। गणित और भौतिकी दोनों साथ वाले (6) चयन हटाने पर (50) तरीके बचते हैं। / Chemistry is fixed so choose the remaining (3) subjects from (8). Removing (6) selections containing both mathematics and physics leaves (50) ways.
(2) संख्याएं तय हैं और (2) हट गई हैं। बाकी (4) संख्याएं (11) में से \(\binom{11}{4}=330\) तरीकों से चुनी जाएंगी। / The (2) numbers are fixed and (2) are excluded. The remaining (4) numbers are chosen from (11) in \(\binom{11}{4}=330\) ways.
असफल त्रिभुज के लिए (8) समरेखीय बिंदुओं में से (3) चुने जाते हैं। इसलिए संख्या \(\binom{8}{3}\) है। / For a failed triangle (3) points are chosen from the (8) collinear points. So the number is \(\binom{8}{3}\).
(4) खराब कुर्सियां हटाने पर (8) अच्छी कुर्सियां बचती हैं। (6) चुनने के तरीके \(\binom{8}{6}=28\) हैं। / After removing (4) broken chairs (8) good chairs remain. The ways to choose (6) are \(\binom{8}{6}=28\).
दोनों शामिल हों तो \(\binom{10}{4}=210\) और दोनों बाहर हों तो \(\binom{10}{6}=210\) तरीके हैं। कुल (420) है। / If both are included there are \(\binom{10}{4}=210\) ways and if both are excluded there are \(\binom{10}{6}=210\) ways. The total is (420).
अंतिम (5) में से (3), (4) या (5) प्रश्न चुने जा सकते हैं। कुल \(\binom{5}{3}\binom{7}{4}+\binom{5}{4}\binom{7}{3}+\binom{5}{5}\binom{7}{2}=546\) है। / You can choose (3), (4), or (5) from the last (5) questions. The total is \(\binom{5}{3}\binom{7}{4}+\binom{5}{4}\binom{7}{3}+\binom{5}{5}\binom{7}{2}=546\).
वरिष्ठों की संख्या (0), (1) या (2) हो सकती है। कुल \(\binom{8}{0}\binom{10}{6}+\binom{8}{1}\binom{10}{5}+\binom{8}{2}\binom{10}{4}=8106\) है। / The number of seniors can be (0), (1), or (2). The total is \(\binom{8}{0}\binom{10}{6}+\binom{8}{1}\binom{10}{5}+\binom{8}{2}\binom{10}{4}=8106\).
दो निश्चित कार्डों में से (1) चुनें और बाकी (4) कार्ड (11) में से चुनें। तरीके \(\binom{2}{1}\binom{11}{4}=660\) हैं। / Choose (1) of the two fixed cards and (4) cards from the remaining (11). The ways are \(\binom{2}{1}\binom{11}{4}=660\).
12 सिक्कों के सभी उपसमुच्चयों की संख्या \(2^{12}\) है। द्विपद प्रसार में सम आकार वाले और विषम आकार वाले चयन बराबर होते हैं, इसलिए सम संख्या के चयन \(\frac{2^{12}}{2}=2^{11}=2048\) हैं। इसमें 0 सिक्कों का चयन भी शामिल है; उसे हटाने पर संख्या 2047 होती। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में सम और विषम आकार के उपसमुच्चयों की संख्या \(2^{n-1}\) याद रखें। / The total number of subsets of 12 coins is \(2^{12}\). The numbers of selections of even size and odd size are equal, so the number of even-size selections is \(\frac{2^{12}}{2}=2^{11}=2048\). This includes the selection of 0 coins; excluding it would give 2047. Exam tip: for \(n\) distinct objects, the number of even-sized subsets is \(2^{n-1}\).
विषम चयन की संख्या \(2^{11-1}=1024\) होती है। परीक्षा में सम और विषम चयन की संख्या बराबर याद रखें। / The number of odd selections is \(2^{11-1}=1024\). Remember that even and odd selections are equal in such questions.
(11) खिलाड़ियों में से (5) खिलाड़ियों का चयन करना है। एक कप्तान पहले से तय है और उसे चुना नहीं जाना है लेकिन उपकप्तान अवश्य चुना जाना है। कितने तरीके हैं?
कप्तान हट गया और उपकप्तान तय है। बाकी (4) खिलाड़ी (9) में से चुने जाएंगे इसलिए \(\binom{9}{4}=126\) है। / The captain is excluded and the vice-captain is fixed. The remaining (4) players are chosen from (9), so \(\binom{9}{4}=126\).
विशेष वस्तुएं (0), (1) या (2) चुनी जा सकती हैं। कुल \(\binom{5}{0}\binom{11}{6}+\binom{5}{1}\binom{11}{5}+\binom{5}{2}\binom{11}{4}=6072\) है। / The number of special objects can be (0), (1), or (2). The total is \(\binom{5}{0}\binom{11}{6}+\binom{5}{1}\binom{11}{5}+\binom{5}{2}\binom{11}{4}=6072\).
लड़कों की संख्या (2), (3) या (4) हो सकती है। कुल \(\binom{10}{2}\binom{9}{4}+\binom{10}{3}\binom{9}{3}+\binom{10}{4}\binom{9}{2}=23310\) है। / The number of boys can be (2), (3), or (4). The total is \(\binom{10}{2}\binom{9}{4}+\binom{10}{3}\binom{9}{3}+\binom{10}{4}\binom{9}{2}=23310\).
(4) विशेष विद्यार्थियों को हटाने पर (13) विद्यार्थी बचते हैं। इसलिए \(\binom{13}{6}=1716\) तरीके होंगे। / After excluding (4) special students (13) students remain. So the number of ways is \(\binom{13}{6}=1716\).
चयन में ठीक 4 लड़के होने हैं, इसलिए शेष 2 विद्यार्थी लड़कियाँ होंगी। 10 लड़कों में से 4 लड़कों को
\(\binom{10}{4}=210\) तरीकों से और 8 लड़कियों में से 2 लड़कियों को \(\binom{8}{2}=28\) तरीकों से चुना जा सकता है। अतः कुल तरीके \(\binom{10}{4}\binom{8}{2}=210\times28=5880\) हैं। यहाँ \(\binom{10}{6}\) लेना गलत होगा, क्योंकि उसमें लड़कों की संख्या ठीक 4 होने की शर्त सुनिश्चित नहीं होती। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में प्रत्येक समूह से आवश्यक संख्या अलग-अलग चुनकर गुणा करें। / Exactly 4 boys must be selected, so the remaining 2 students must be girls. The 4 boys can be chosen from 10 in \(\binom{10}{4}=210\) ways, and the 2 girls can be chosen from 8 in \(\binom{8}{2}=28\) ways. Therefore, the total number of selections is \(\binom{10}{4}\binom{8}{2}=210\times28=5880\). Using \(\binom{10}{6}\) alone would be incorrect because it does not enforce the condition of selecting exactly 4 boys. Exam tip: choose the required members from each group separately and multiply the results.
महिलाएं (3), (4), (5) या (6) हो सकती हैं। कुल \(\binom{7}{3}\binom{9}{3}+\binom{7}{4}\binom{9}{2}+\binom{7}{5}\binom{9}{1}+\binom{7}{6}=4396\) है। / The number of women can be (3), (4), (5), or (6). The total is \(\binom{7}{3}\binom{9}{3}+\binom{7}{4}\binom{9}{2}+\binom{7}{5}\binom{9}{1}+\binom{7}{6}=4396\).
संचय में चुनी गई वस्तुओं का क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं होता; जैसे A, B, C और C, B, A एक ही चयन हैं। क्रमचय में क्रम बदलने पर नया विन्यास बनता है। परीक्षा में “क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं” दिखे, तो संचय पहचानें। / In a combination, order does not matter: choosing A, B, C is the same as choosing C, B, A. In a permutation, changing the order gives a new arrangement. Exam tip: the phrase “order does not matter” indicates combinations.
पहले (5) में से (3), (4) या (5) प्रश्न चुने जा सकते हैं। कुल \(\binom{5}{3}\binom{7}{4}+\binom{5}{4}\binom{7}{3}+\binom{5}{5}\binom{7}{2}=462\) है। / You can choose (3), (4), or (5) from the first (5) questions. The total is \(\binom{5}{3}\binom{7}{4}+\binom{5}{4}\binom{7}{3}+\binom{5}{5}\binom{7}{2}=462\).
कुल \(\binom{14}{6}=3003\) हैं और दोनों विशेष साथ हों तो \(\binom{12}{4}=495\) हैं। इसलिए (3003-495=2508) तरीके हैं। / Total ways are \(\binom{14}{6}=3003\) and ways with both special books are \(\binom{12}{4}=495\). Hence (3003-495=2508).
(4) विशेष में से (2) और बाकी (9) में से (4) चुनेंगे। तरीके \(\binom{4}{2}\binom{9}{4}=756\) हैं। / Choose (2) from (4) special players and (4) from the remaining (9). The ways are \(\binom{4}{2}\binom{9}{4}=756\).
कुल \(\binom{20}{2}=190\) जोड़ियां हैं। समरेखीय समूहों के लिए \(\binom{8}{2}\) और \(\binom{5}{2}\) के स्थान पर (1), (1) रेखा लेने से (154) मिलता है। / Total pairs are \(\binom{20}{2}=190\). Replacing \(\binom{8}{2}\) and \(\binom{5}{2}\) by (1), (1) for collinear groups gives (154).
कुल \(\binom{18}{3}=816\) त्रिक हैं। असफल त्रिक \(\binom{7}{3}+\binom{5}{3}=45\) हैं इसलिए (816-45=771) है। / Total triples are \(\binom{18}{3}=816\). Failed triples are \(\binom{7}{3}+\binom{5}{3}=45\), so (816-45=771).
टीमों की जोड़ियां \(\binom{16}{2}=120\) हैं। हर जोड़ी के (3) मैच होने से कुल (360) मैच होंगे। / The pairs of teams are \(\binom{16}{2}=120\). With (3) matches for each pair the total is (360).
कुल \(\binom{12}{6}=924\) हैं और दोनों विशेष साथ हों तो \(\binom{10}{4}=210\) हैं। इसलिए (924-210=714) तरीके हैं। / Total ways are \(\binom{12}{6}=924\) and ways with both special persons are \(\binom{10}{4}=210\). Hence (924-210=714).
मामले (4), (5) और (6) गणित पुस्तकों के हैं। कुल \(\binom{11}{4}\binom{8}{2}+\binom{11}{5}\binom{8}{1}+\binom{11}{6}=13398\) है। / The cases are (4), (5), and (6) mathematics books. The total is \(\binom{11}{4}\binom{8}{2}+\binom{11}{5}\binom{8}{1}+\binom{11}{6}=13398\).
अंग्रेजी पुस्तकों की संख्या (2), (3) या (4) हो सकती है। कुल \(\binom{9}{2}\binom{10}{4}+\binom{9}{3}\binom{10}{3}+\binom{9}{4}\binom{10}{2}=23310\) है। / The number of English books can be (2), (3), or (4). The total is \(\binom{9}{2}\binom{10}{4}+\binom{9}{3}\binom{10}{3}+\binom{9}{4}\binom{10}{2}=23310\).
डॉक्टरों की संख्या (4), (5) या (6) होगी। कुल \(\binom{10}{4}\binom{8}{2}+\binom{10}{5}\binom{8}{1}+\binom{10}{6}=8106\) है। / The number of doctors will be (4), (5), or (6). The total is \(\binom{10}{4}\binom{8}{2}+\binom{10}{5}\binom{8}{1}+\binom{10}{6}=8106\).
चयन (4), (5) या (6) उपहारों का होगा। कुल \(\binom{14}{4}+\binom{14}{5}+\binom{14}{6}=6006\) है। / The selection can be of (4), (5), or (6) gifts. The total is \(\binom{14}{4}+\binom{14}{5}+\binom{14}{6}=6006\).
एक रंग तय और एक हट गया है। बाकी (5) रंग (10) में से चुनें और दोनों अन्य रंग न आने वाले \(\binom{8}{5}\) चयन घटाएं तो (196) मिलेगा। / One color is fixed and one is excluded. Choose the remaining (5) colors from (10) and subtract \(\binom{8}{5}\) selections missing both other colors to get (196).
(5) विशेष में से (3) और बाकी (8) में से (3) चुनेंगे। तरीके \(\binom{5}{3}\binom{8}{3}=560\) हैं। / Choose (3) from (5) special students and (3) from the remaining (8). The ways are \(\binom{5}{3}\binom{8}{3}=560\).
कुल \(\binom{16}{7}=11440\) हैं। (0) और (1) विशेष वाले चयन हटाने पर \(11440-\binom{11}{7}-\binom{5}{1}\binom{11}{6}=8800\) है। / Total ways are \(\binom{16}{7}=11440\). Removing selections with (0) and (1) special student gives \(11440-\binom{11}{7}-\binom{5}{1}\binom{11}{6}=8800\).
समिति में ठीक 3 पुरुष होने पर शेष 3 सदस्य महिलाएँ होंगी। 11 पुरुषों में से 3 चुनने के \(\binom{11}{3}=165\) तरीके और 9 महिलाओं में से 3 चुनने के \(\binom{9}{3}=84\) तरीके हैं। अतः कुल तरीके \(\binom{11}{3}\binom{9}{3}=165\times84=13860\) हैं। केवल \(\binom{20}{6}\) लेना गलत होगा, क्योंकि उससे ठीक 3 पुरुष होने की शर्त सुनिश्चित नहीं होती। परीक्षा टिप: ‘ठीक’ दिए होने पर प्रत्येक समूह से आवश्यक संख्या अलग-अलग चुनकर गुणा करें। / With exactly 3 men in the committee, the remaining 3 members must be women. There are \(\binom{11}{3}=165\) ways to choose the men and \(\binom{9}{3}=84\) ways to choose the women. Hence, the total number of committees is \(\binom{11}{3}\binom{9}{3}=165\times84=13860\). Using only \(\binom{20}{6}\) would be incorrect because it does not enforce the condition of exactly 3 men. Exam tip: When ‘exactly’ is specified, choose from each group separately and multiply.
पेन (2), (3), (4) या (5) हो सकते हैं। कुल \(\binom{10}{2}\binom{9}{5}+\binom{10}{3}\binom{9}{4}+\binom{10}{4}\binom{9}{3}+\binom{10}{5}\binom{9}{2}=47502\) है। / The number of pens can be (2), (3), (4), or (5). The total is \(\binom{10}{2}\binom{9}{5}+\binom{10}{3}\binom{9}{4}+\binom{10}{4}\binom{9}{3}+\binom{10}{5}\binom{9}{2}=47502\).
\(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\) होता है। अतः \(\frac{n(n-1)}{2}=153\), यानी \(n(n-1)=306\)। क्योंकि \(18\times17=306\), इसलिए \(n=18\) है। विकल्प 17 सही नहीं है, क्योंकि \(\binom{17}{2}=136\) होता है। परीक्षा टिप: संयोजन के ऐसे प्रश्नों में पहले \(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\) लिखकर क्रमागत संख्याओं का गुणनफल जाँचें। / \(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\). Hence, \(\frac{n(n-1)}{2}=153\), so \(n(n-1)=306\). Since \(18\times17=306\), \(n=18\). Option 17 is not correct because \(\binom{17}{2}=136\). Exam tip: For such questions, first use \(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\) and look for consecutive integers whose product matches the result.
संयोजन का गुणधर्म है कि \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\)। यहाँ \(\binom{n}{6}=\binom{n}{10}\) होने के लिए 6 और 10, \(n\) के सापेक्ष पूरक होने चाहिए। अतः \(n-6=10\), इसलिए \(n=16\)। विकल्प 14 में \(14-6=8\) होता है, इसलिए वह समानता नहीं देता। परीक्षा टिप: जब \(\binom{n}{r}=\binom{n}{s}\) और \(r\ne s\) हो, तो सामान्यतः \(r+s=n\) का उपयोग करें। / Use the identity \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\). For \(\binom{n}{6}=\binom{n}{10}\), 6 and 10 must be complementary with respect to \(n\). Thus, \(n-6=10\), giving \(n=16\). For option 14, \(14-6=8\), so it does not give the stated equality. Exam tip: when \(\binom{n}{r}=\binom{n}{s}\) and \(r\ne s\), usually use \(r+s=n\).
एक समूह में n भिन्न वस्तुएँ हैं। उनमें से r वस्तुओं का चयन करते समय यदि एक निश्चित वस्तु का चयन अनिवार्य हो, तो चयन की संख्या किस व्यंजक से दर्शाई जाएगी?
निश्चित वस्तु पहले ही चुनी जा चुकी है। इसलिए शेष n−1 वस्तुओं में से केवल r−1 वस्तुएँ चुननी होती हैं, अतः संख्या \(\binom{n-1}{r-1}\) है। \(\binom{n-1}{r}\) में निश्चित वस्तु शामिल नहीं मानी जाती। परीक्षा टिप: ‘अनिवार्य’ वस्तु को पहले चुनें। / The specified object is already fixed in the selection. Thus, choose the remaining r−1 objects from the other n−1 objects, giving \(\binom{n-1}{r-1}\). \(\binom{n-1}{r}\) instead excludes the specified object. Exam tip: fix every compulsory object first.
पास्कल पहचान से \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\) होता है। इसलिए उत्तर \(\binom{13}{6}\) है। / By Pascal's identity \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\). Hence the answer is \(\binom{13}{6}\).
पास्कल के सर्वसमिका के अनुसार \(\binom{n}{r}-\binom{n-1}{r}=\binom{n-1}{r-1}\)। अतः \(\binom{14}{7}-\binom{13}{7}=\binom{13}{6}=1716\)। इसलिए सही विकल्प B है। \(3432\), \(\binom{14}{7}\) का मान है, अंतर का नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे अंतर वाले प्रश्नों में सीधे पास्कल की सर्वसमिका लगाकर गणना कम करें। / Using Pascal’s identity, \(\binom{n}{r}-\binom{n-1}{r}=\binom{n-1}{r-1}\). Therefore, \(\binom{14}{7}-\binom{13}{7}=\binom{13}{6}=1716\). Hence, option B is correct. The value \(3432\) is \(\binom{14}{7}\), not the difference. Exam tip: For differences of adjacent binomial coefficients, apply Pascal’s identity to avoid lengthy calculation.
(1) और (2) तय हैं तथा (3), (4) हट गए हैं। बाकी (4) तत्व (9) में से चुने जाएंगे इसलिए \(\binom{9}{4}=126\) है। / The elements (1), (2) are fixed and (3), (4) are excluded. The remaining (4) elements are chosen from (9), so \(\binom{9}{4}=126\).
(1) तय है इसलिए (5) तत्व (11) में से चुनेंगे। (5), (6) दोनों होने पर \(\binom{9}{3}=84\) घटाने से (462-84=378) मिलता है। / The element (1) is fixed so choose (5) elements from (11). Subtracting \(\binom{9}{3}=84\) cases containing both (5), (6) gives (462-84=378).
(4) की (9) गुणज और (27) गैर-गुणज संख्याएं हैं। तरीके \(\binom{9}{3}\binom{27}{2}=29484\) हैं। / There are (9) multiples of (4) and (27) non-multiples. The ways are \(\binom{9}{3}\binom{27}{2}=29484\).
विषम संख्याएं (15) और सम संख्याएं (15) हैं। तरीके \(\binom{15}{3}\binom{15}{3}=207025\) हैं। / There are (15) odd numbers and (15) even numbers. The ways are \(\binom{15}{3}\binom{15}{3}=207025\).
(6) विशेष विद्यार्थियों को हटाने पर (14) विद्यार्थी बचते हैं। इसलिए \(\binom{14}{7}=3432\) तरीके हैं। / After removing (6) special students (14) students remain. Hence there are \(\binom{14}{7}=3432\) ways.
समूह में शिक्षकों की संख्या 3, 4, 5, 6 या 7 हो सकती है। अतः कुल तरीके हैं: \(\binom{10}{3}\binom{12}{4}+\binom{10}{4}\binom{12}{3}+\binom{10}{5}\binom{12}{2}+\binom{10}{6}\binom{12}{1}+\binom{10}{7}\binom{12}{0}\) = \(59400+46200+16632+2520+120=124872\)। इसलिए सही विकल्प C है। केवल \(\binom{10}{3}\binom{12}{4}\) लेने पर केवल ठीक 3 शिक्षकों वाला मामला गिना जाएगा, जबकि प्रश्न में कम से कम 3 शिक्षक हैं। परीक्षा टिप: “कम से कम” वाले प्रश्नों में सभी संभव मामलों का योग करें। / The number of teachers in the group can be 3, 4, 5, 6, or 7. Hence, the total number of groups is \(\binom{10}{3}\binom{12}{4}+\binom{10}{4}\binom{12}{3}+\binom{10}{5}\binom{12}{2}+\binom{10}{6}\binom{12}{1}+\binom{10}{7}\binom{12}{0}\) = \(59400+46200+16632+2520+120=124872\). Therefore, option C is correct. Using only \(\binom{10}{3}\binom{12}{4}\) counts exactly 3 teachers, not at least 3 teachers. Exam tip: for “at least” conditions, add all the valid cases.
कुल \(\binom{19}{6}=27132\) हैं। सभी सफेद \(\binom{9}{6}=84\) और सभी काली \(\binom{10}{6}=210\) हटाने पर (26838) मिलते हैं। / Total ways are \(\binom{19}{6}=27132\). Removing all-white \(\binom{9}{6}=84\) and all-black \(\binom{10}{6}=210\) gives (26838).
सभी पुरस्कार समान हैं, इसलिए चुने गए 5 उम्मीदवारों का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है। अतः संयोजनों की संख्या
\(\binom{15}{5}=\frac{15!}{5!\,10!}=3003\) होगी। विकल्प 360360 क्रमचय \(^{15}P_5\) है, जो तब लिया जाता जब पुरस्कार अलग-अलग होते। परीक्षा टिप: ‘समान’ वस्तुओं के चयन में क्रम नहीं गिनते, इसलिए संयोजन लगाएँ। / Since all the prizes are identical, the order of the 5 selected candidates does not matter. Hence, the number of selections is
\(\binom{15}{5}=\frac{15!}{5!\,10!}=3003\). The value 360360 is \(^{15}P_5\), which would apply if the prizes were distinct. Exam tip: when identical items are awarded, use combinations because order is irrelevant.
कुल \(\binom{12}{6}=924\) हैं और कोई विशेष मित्र न जाए तो \(\binom{8}{6}=28\) हैं। इसलिए (924-28=896) है। / Total ways are \(\binom{12}{6}=924\) and if no special friend goes then \(\binom{8}{6}=28\). Hence (924-28=896).
विशेष फलों में से (2) और बाकी (8) में से (4) चुनेंगे। तरीके \(\binom{5}{2}\binom{8}{4}=700\) हैं। / Choose (2) from the special fruits and (4) from the remaining (8). The ways are \(\binom{5}{2}\binom{8}{4}=700\).
हर रंग की शर्त अलग गिनी जाएगी। तरीके \(\binom{8}{2}\binom{9}{2}\binom{10}{2}=45360\) हैं। / Each color condition is counted separately. The ways are \(\binom{8}{2}\binom{9}{2}\binom{10}{2}=45360\).
(a) तय है और (b) हट गया है। (c,d) में से (1) और शेष (8) में से (3) चुनेंगे इसलिए \(\binom{2}{1}\binom{8}{3}=112\) है। / The letter (a) is fixed and (b) is excluded. Choose (1) from (c,d) and (3) from the remaining (8), so \(\binom{2}{1}\binom{8}{3}=112\).
रसायन तय और जीवविज्ञान हट गया है। बाकी (4) विषय (8) में से चुनें और गणित-भौतिकी दोनों वाले \(\binom{6}{2}\) चयन घटाएं तो (55) मिलते हैं। / Chemistry is fixed and biology is excluded. Choose the remaining (4) subjects from (8) and subtract \(\binom{6}{2}\) selections containing both mathematics and physics to get (55).
(3) संख्याएं तय हैं और (2) हट गई हैं। बाकी (4) संख्याएं (11) में से \(\binom{11}{4}=330\) नहीं, बल्कि (16-3-2=11) से \(\binom{11}{4}=330\) होती हैं। / The (3) numbers are fixed and (2) are excluded. The remaining (4) numbers are chosen from (16-3-2=11), so \(\binom{11}{4}=330\).
असफल त्रिभुज के लिए (9) समरेखीय बिंदुओं में से (3) चुने जाते हैं। इसलिए संख्या \(\binom{9}{3}\) है। / For a failed triangle (3) points are chosen from the (9) collinear points. So the number is \(\binom{9}{3}\).
(5) खराब कुर्सियां हटाने पर (9) अच्छी कुर्सियां बचती हैं। (7) चुनने के तरीके \(\binom{9}{7}=36\) हैं। / After removing (5) broken chairs (9) good chairs remain. The ways to choose (7) are \(\binom{9}{7}=36\).
दोनों शामिल हों तो \(\binom{11}{4}=330\) और दोनों बाहर हों तो \(\binom{11}{6}=462\) तरीके हैं। कुल (792) है। / If both are included there are \(\binom{11}{4}=330\) ways and if both are excluded there are \(\binom{11}{6}=462\) ways. The total is (792).
अंतिम (6) में से (4), (5) या (6) प्रश्न चुने जा सकते हैं। कुल \(\binom{6}{4}\binom{8}{4}+\binom{6}{5}\binom{8}{3}+\binom{6}{6}\binom{8}{2}=1414\) है। / You can choose (4), (5), or (6) from the last (6) questions. The total is \(\binom{6}{4}\binom{8}{4}+\binom{6}{5}\binom{8}{3}+\binom{6}{6}\binom{8}{2}=1414\).
वरिष्ठों की संख्या (0), (1), (2) या (3) हो सकती है। कुल \(\binom{9}{0}\binom{11}{7}+\binom{9}{1}\binom{11}{6}+\binom{9}{2}\binom{11}{5}+\binom{9}{3}\binom{11}{4}=48840\) है। / The number of seniors can be (0), (1), (2), or (3). The total is \(\binom{9}{0}\binom{11}{7}+\binom{9}{1}\binom{11}{6}+\binom{9}{2}\binom{11}{5}+\binom{9}{3}\binom{11}{4}=48840\).
दो निश्चित कार्डों में से (1) चुनें और बाकी (5) कार्ड (12) में से चुनें। तरीके \(\binom{2}{1}\binom{12}{5}=1584\) हैं। / Choose (1) of the two fixed cards and (5) cards from the remaining (12). The ways are \(\binom{2}{1}\binom{12}{5}=1584\).
14 अलग-अलग सिक्कों के सभी उपसमुच्चयों की संख्या \(2^{14}=16384\) है। प्रत्येक विषम संख्या वाले चयन को एक निश्चित सिक्के को शामिल/हटाकर सम संख्या वाले चयन से जोड़ा जा सकता है; इसलिए सम और विषम चयन बराबर होते हैं। अतः सम संख्या में सिक्के चुनने के तरीके \(\frac{2^{14}}{2}=2^{13}=8192\) हैं। \(16384\) सभी चयन हैं, केवल सम संख्या वाले चयन नहीं। परीक्षा टिप: \(n\geq1\) अलग-अलग वस्तुओं में सम तथा विषम आकार के उपसमुच्चयों की संख्या प्रत्येक \(2^{n-1}\) होती है। / The total number of subsets of 14 distinct coins is \(2^{14}=16384\). Every odd-sized selection can be paired with an even-sized selection by including or removing one fixed coin, so the numbers of even and odd selections are equal. Hence, the number of ways to select an even number of coins is \(\frac{2^{14}}{2}=2^{13}=8192\). \(16384\) counts all selections, not only the even-sized ones. Exam tip: For \(n\geq1\) distinct objects, the number of even-sized subsets and odd-sized subsets is \(2^{n-1}\) each.
विषम चयन की संख्या \(2^{13-1}=4096\) होती है। परीक्षा में सम और विषम चयन बराबर याद रखें। / The number of odd selections is \(2^{13-1}=4096\). Remember that even and odd selections are equal in such questions.
(13) खिलाड़ियों में से (6) खिलाड़ियों का चयन करना है। एक कप्तान पहले से तय है और उसे चुना नहीं जाना है लेकिन उपकप्तान अवश्य चुना जाना है। कितने तरीके हैं?
कप्तान हट गया और उपकप्तान तय है। बाकी (5) खिलाड़ी (11) में से चुने जाएंगे इसलिए \(\binom{11}{5}=462\) है। / The captain is excluded and the vice-captain is fixed. The remaining (5) players are chosen from (11), so \(\binom{11}{5}=462\).
विशेष वस्तुएं (0), (1) या (2) चुनी जा सकती हैं। कुल \(\binom{6}{0}\binom{12}{7}+\binom{6}{1}\binom{12}{6}+\binom{6}{2}\binom{12}{5}=18216\) है। / The number of special objects can be (0), (1), or (2). The total is \(\binom{6}{0}\binom{12}{7}+\binom{6}{1}\binom{12}{6}+\binom{6}{2}\binom{12}{5}=18216\).
(3) सदस्य तय हैं इसलिए बाकी (4) सदस्य (13) में से चुने जाएंगे। अतः \(\binom{13}{4}=715\) होगा। / The (3) members are fixed so the remaining (4) are chosen from (13). Hence \(\binom{13}{4}=715\).
(4) विशेष विद्यार्थियों को हटाने पर (14) विद्यार्थी बचते हैं। इसलिए \(\binom{14}{7}=3432\) तरीके होंगे। / After excluding (4) special students (14) students remain. So the number of ways is \(\binom{14}{7}=3432\).
चयन में ठीक 4 लड़कियाँ होनी हैं, इसलिए शेष 3 विद्यार्थी लड़के होंगे। 8 लड़कियों में से 4 चुनने के
\(\binom{8}{4}=70\) तरीके और 10 लड़कों में से 3 चुनने के \(\binom{10}{3}=120\) तरीके हैं। अतः कुल तरीके \(\binom{8}{4}\binom{10}{3}=70\times120=8400\) हैं। विकल्प 11760 में लड़कों और लड़कियों की आवश्यक संख्या का सही संयोजन नहीं लिया गया है। परीक्षा टिप: “ठीक” शब्द आने पर पहले प्रत्येक समूह से चुनी जाने वाली संख्या तय करें, फिर संयोजनों का गुणन करें। / Exactly 4 girls must be selected, so the remaining 3 students must be boys. The number of ways to choose 4 of the 8 girls is \(\binom{8}{4}=70\), and the number of ways to choose 3 of the 10 boys is \(\binom{10}{3}=120\). Hence, the total number of selections is \(\binom{8}{4}\binom{10}{3}=70\times120=8400\). Option 11760 does not use the required split of 4 girls and 3 boys. Exam tip: when “exactly” is specified, first fix the number chosen from each group and then multiply the combinations.
महिलाएं (3), (4), (5) या (6) हो सकती हैं। सही योग \(\binom{8}{3}\binom{9}{3}+\binom{8}{4}\binom{9}{2}+\binom{8}{5}\binom{9}{1}+\binom{8}{6}=7756\) है। / The number of women can be (3), (4), (5), or (6). The correct sum is \(\binom{8}{3}\binom{9}{3}+\binom{8}{4}\binom{9}{2}+\binom{8}{5}\binom{9}{1}+\binom{8}{6}=7756\).
ठीक 3 लाल गेंदें लेने पर कुल 6 गेंदें पूरी करने के लिए 3 नीली गेंदें भी लेनी होंगी। 9 लाल गेंदों में से 3 चुनने के \\(\binom{9}{3}=84\\) और 8 नीली गेंदों में से 3 चुनने के \\(\binom{8}{3}=56\\) तरीके हैं। अतः कुल तरीके \\(\binom{9}{3}\binom{8}{3}=84\times56=4704\\) हैं। विकल्प 2352 इस गुणनफल का आधा है, इसलिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: अलग-अलग रंगों की निश्चित संख्या चुनने पर प्रत्येक रंग के संयोजनों को गुणा करें। / If exactly 3 red balls are selected, the remaining 3 of the 6 balls must be blue. The number of ways to choose 3 of the 9 red balls is \\(\binom{9}{3}=84\\), and to choose 3 of the 8 blue balls is \\(\binom{8}{3}=56\\). Therefore, the total number of selections is \\(\binom{9}{3}\binom{8}{3}=84\times56=4704\\). Option 2352 is only half of this product, so it is not correct. Exam tip: when fixed numbers are chosen from separate groups, multiply the corresponding combinations.
पहले (5) में से (3), (4) या (5) प्रश्न चुने जा सकते हैं। कुल \(\binom{5}{3}\binom{8}{5}+\binom{5}{4}\binom{8}{4}+\binom{5}{5}\binom{8}{3}=966\) है। / You can choose (3), (4), or (5) from the first (5) questions. The total is \(\binom{5}{3}\binom{8}{5}+\binom{5}{4}\binom{8}{4}+\binom{5}{5}\binom{8}{3}=966\).
कुल \(\binom{15}{6}=5005\) हैं और दोनों विशेष साथ हों तो \(\binom{13}{4}=715\) हैं। इसलिए (5005-715=4290) तरीके हैं। / Total ways are \(\binom{15}{6}=5005\) and ways with both special books are \(\binom{13}{4}=715\). Hence (5005-715=4290).
(6) विशेष में से (3) और बाकी (9) में से (4) चुनेंगे। तरीके \(\binom{6}{3}\binom{9}{4}=2520\) हैं। / Choose (3) from (6) special players and (4) from the remaining (9). The ways are \(\binom{6}{3}\binom{9}{4}=2520\).
कुल \(\binom{22}{2}=231\) जोड़ियां हैं। समरेखीय समूहों में \(\binom{9}{2}\) और \(\binom{6}{2}\) की जगह (1), (1) रेखा लेने से (182) मिलता है। / Total pairs are \(\binom{22}{2}=231\). Replacing \(\binom{9}{2}\) and \(\binom{6}{2}\) by (1), (1) for collinear groups gives (182).
कुल \(\binom{19}{3}=969\) त्रिक हैं। असफल त्रिक \(\binom{8}{3}+\binom{6}{3}=76\) हैं इसलिए (969-76=893) है। / Total triples are \(\binom{19}{3}=969\). Failed triples are \(\binom{8}{3}+\binom{6}{3}=76\), so (969-76=893).
टीमों की जोड़ियां \(\binom{18}{2}=153\) हैं। हर जोड़ी के (4) मैच होने से कुल (612) मैच होंगे। / The pairs of teams are \(\binom{18}{2}=153\). With (4) matches for each pair the total is (612).
कुल \(\binom{13}{6}=1716\) हैं और दोनों विशेष साथ हों तो \(\binom{11}{4}=330\) हैं। इसलिए (1716-330=1386) तरीके हैं। / Total ways are \(\binom{13}{6}=1716\) and ways with both special persons are \(\binom{11}{4}=330\). Hence (1716-330=1386).
कम से कम 4 गणित पुस्तकें लेने के लिए गणित पुस्तकों की संख्या 4, 5, 6 या 7 हो सकती है। अतः कुल तरीके हैं: \(\binom{12}{4}\binom{9}{3}+\binom{12}{5}\binom{9}{2}+\binom{12}{6}\binom{9}{1}+\binom{12}{7}\binom{9}{0}\) = \(41580+28512+8316+792=79200\)। इसलिए सही उत्तर 79200 है। केवल \(\binom{12}{4}\binom{9}{3}\) लेने पर केवल 4 गणित पुस्तकों वाला मामला गिना जाएगा, जबकि प्रश्न में 4 से अधिक गणित पुस्तकें भी अनुमत हैं। परीक्षा टिप: “कम से कम” वाले प्रश्नों में सभी सम्भव अधिक मानों के मामले जोड़ें। / With at least 4 mathematics books, the number of mathematics books selected can be 4, 5, 6, or 7. Hence the total number of selections is \(\binom{12}{4}\binom{9}{3}+\binom{12}{5}\binom{9}{2}+\binom{12}{6}\binom{9}{1}+\binom{12}{7}\binom{9}{0}\) = \(41580+28512+8316+792=79200\). Therefore, 79200 is correct. Using only \(\binom{12}{4}\binom{9}{3}\) counts exactly 4 mathematics books, but the question also allows more than 4. Exam tip: for “at least” conditions, add all the permitted cases above the minimum.
अंग्रेजी पुस्तकों की संख्या (2), (3), (4) या (5) हो सकती है। सभी वैध मामलों का योग (108900) है। / The number of English books can be (2), (3), (4), or (5). The sum of all valid cases is (108900).
डॉक्टरों की संख्या (4), (5), (6) या (7) होगी। कुल \(\binom{11}{4}\binom{8}{3}+\binom{11}{5}\binom{8}{2}+\binom{11}{6}\binom{8}{1}+\binom{11}{7}=35442\) है। / The number of doctors will be (4), (5), (6), or (7). The total is \(\binom{11}{4}\binom{8}{3}+\binom{11}{5}\binom{8}{2}+\binom{11}{6}\binom{8}{1}+\binom{11}{7}=35442\).
चयन (4), (5) या (6) उपहारों का होगा। कुल \(\binom{15}{4}+\binom{15}{5}+\binom{15}{6}=9373\) है। / The selection can be of (4), (5), or (6) gifts. The total is \(\binom{15}{4}+\binom{15}{5}+\binom{15}{6}=9373\).
एक रंग तय और एक हट गया है। बाकी (5) रंग (11) में से चुनें और दोनों अन्य रंग न आने वाले \(\binom{9}{5}\) चयन घटाएं तो (336) मिलेगा। / One color is fixed and one is excluded. Choose the remaining (5) colors from (11) and subtract \(\binom{9}{5}\) selections missing both other colors to get (336).
(6) विशेष में से (3) और बाकी (9) में से (4) चुनेंगे। तरीके \(\binom{6}{3}\binom{9}{4}=2520\) हैं। / Choose (3) from (6) special students and (4) from the remaining (9). The ways are \(\binom{6}{3}\binom{9}{4}=2520\).
विशेष छात्र (3), (4), (5) या (6) हो सकते हैं। कुल \(\binom{6}{3}\binom{11}{5}+\binom{6}{4}\binom{11}{4}+\binom{6}{5}\binom{11}{3}+\binom{6}{6}\binom{11}{2}=15235\) है। / The number of special students can be (3), (4), (5), or (6). The total is \(\binom{6}{3}\binom{11}{5}+\binom{6}{4}\binom{11}{4}+\binom{6}{5}\binom{11}{3}+\binom{6}{6}\binom{11}{2}=15235\).
समिति में ठीक 4 पुरुष होने पर शेष 3 सदस्य महिलाएँ होंगी। 12 पुरुषों में से 4 चुनने के
\(\binom{12}{4}=495\) तरीके और 10 महिलाओं में से 3 चुनने के \(\binom{10}{3}=120\) तरीके हैं। अतः कुल तरीके \(\binom{12}{4}\binom{10}{3}=495\times120=59400\) हैं। केवल \(\binom{22}{7}\) लेना गलत होगा, क्योंकि उसमें पुरुषों की संख्या ठीक 4 होने की शर्त लागू नहीं होती। परीक्षा टिप: ‘ठीक’ दी गई संख्या के लिए प्रत्येक समूह से अलग-अलग चयन करके परिणामों का गुणन करें। / With exactly 4 men in the committee, the remaining 3 members must be women. There are \(\binom{12}{4}=495\) ways to choose 4 men and \(\binom{10}{3}=120\) ways to choose 3 women. Hence, the total number of committees is \(\binom{12}{4}\binom{10}{3}=495\times120=59400\). Using only \(\binom{22}{7}\) would be incorrect because it does not enforce the condition of exactly 4 men. Exam tip: For an “exactly” condition, choose separately from each group and multiply the results.
पेन (2), (3), (4) या (5) हो सकते हैं। कुल \(\binom{10}{2}\binom{8}{5}+\binom{10}{3}\binom{8}{4}+\binom{10}{4}\binom{8}{3}+\binom{10}{5}\binom{8}{2}=29736\) है। / The number of pens can be (2), (3), (4), or (5). The total is \(\binom{10}{2}\binom{8}{5}+\binom{10}{3}\binom{8}{4}+\binom{10}{4}\binom{8}{3}+\binom{10}{5}\binom{8}{2}=29736\).
संयोजन का सूत्र \(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\) है। अतः \(\frac{n(n-1)}{2}=190\), यानी \(n(n-1)=380\)। क्योंकि \(20\times19=380\), इसलिए \(n=20\) है। \(n=19\) लेने पर \(\binom{19}{2}=171\) मिलता है, जो 190 नहीं है। परीक्षा टिप: \(\binom{n}{2}\) वाले प्रश्न में पहले \(n(n-1)/2\) का सूत्र लगाकर क्रमागत संख्याएँ जाँचें। / Using \(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\), we get \(\frac{n(n-1)}{2}=190\), or \(n(n-1)=380\). Since \(20\times19=380\), \(n=20\). For comparison, \(\binom{19}{2}=171\), not 190. Exam tip: For questions involving \(\binom{n}{2}\), apply \(n(n-1)/2\) and look for consecutive factors of the resulting product.
पूरकता के गुण के अनुसार \,\(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\)। यहाँ \(\binom{n}{7}=\binom{n}{11}\) होने के लिए \(11=n-7\) होगा। अतः \(n=7+11=18\)। 17 लेने पर 7 और 11 पूरक स्थानों पर नहीं होंगे। परीक्षा टिप: जब दो अलग-अलग संयोजन गुणांक बराबर हों, तो उनके निचले सूचकांकों का योग प्रायः \(n\) होता है। / Using the symmetry property, \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\). For \(\binom{n}{7}=\binom{n}{11}\), we need \(11=n-7\). Thus, \(n=7+11=18\). If \(n=17\), 7 and 11 are not complementary lower indices. Exam tip: when two distinct binomial coefficients are equal, their lower indices usually add up to \(n\).
ठीक एक विशेष वस्तु चुनने के लिए पहले उन दो में से 2 विकल्प हैं। फिर शेष \(r-1\) वस्तुएँ बाकी \(n-2\) वस्तुओं में से चुनी जाती हैं, इसलिए संख्या \(2\binom{n-2}{r-1}\) है। परीक्षा में “ठीक एक” को दो अलग मामलों में बाँटें। / There are 2 choices for the particular object that is included. The remaining \(r-1\) objects must then be chosen from the other \(n-2\) objects, giving \(2\binom{n-2}{r-1}\). Exam tip: split “exactly one” into mutually exclusive cases.
पास्कल पहचान से \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\) होता है। इसलिए उत्तर \(\binom{14}{7}\) है। / By Pascal's identity \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\). Hence the answer is \(\binom{14}{7}\).
पास्कल के सर्वसमिका के अनुसार \(\binom{n}{r}-\binom{n-1}{r}=\binom{n-1}{r-1}\)। अतः \(\binom{15}{7}-\binom{14}{7}=\binom{14}{6}=3003\)। विकल्प 3432, \(\binom{14}{7}\) का मान है, अंतर का नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे अंतर में पास्कल की सर्वसमिका लगाकर लंबी गणना से बचें। / Using Pascal’s identity, \(\binom{n}{r}-\binom{n-1}{r}=\binom{n-1}{r-1}\). Therefore, \(\binom{15}{7}-\binom{14}{7}=\binom{14}{6}=3003\). The value 3432 is \(\binom{14}{7}\), not the required difference. Exam tip: Use Pascal’s identity for such differences instead of expanding factorials.
(1) और (2) तय हैं तथा (3), (4) हट गए हैं। बाकी (5) तत्व (10) में से चुने जाएंगे इसलिए \(\binom{10}{5}=252\) है। / The elements (1), (2) are fixed and (3), (4) are excluded. The remaining (5) elements are chosen from (10), so \(\binom{10}{5}=252\).
(1) तय है इसलिए (5) तत्व (12) में से चुनेंगे। (5), (6) दोनों होने पर \(\binom{10}{3}=120\) घटाने से (792-120=672) मिलता है। / The element (1) is fixed so choose (5) elements from (12). Subtracting \(\binom{10}{3}=120\) cases containing both (5), (6) gives (792-120=672).
(6) की (8) गुणज और (40) गैर-गुणज संख्याएं हैं। तरीके \(\binom{8}{4}\binom{40}{2}=54600\) हैं। / There are (8) multiples of (6) and (40) non-multiples. The ways are \(\binom{8}{4}\binom{40}{2}=54600\).
विषम संख्याएं (18) और सम संख्याएं (17) हैं। तरीके \(\binom{18}{4}\binom{17}{2}=416160\) हैं। / There are (18) odd numbers and (17) even numbers. The ways are \(\binom{18}{4}\binom{17}{2}=416160\).
(7) विशेष विद्यार्थियों को हटाने पर (15) विद्यार्थी बचते हैं। इसलिए \(\binom{15}{8}=6435\) तरीके हैं। / After removing (7) special students (15) students remain. Hence there are \(\binom{15}{8}=6435\) ways.
समूह में शिक्षकों की संख्या 4, 5, 6 या 7 हो सकती है। अतः कुल तरीके हैं: \(\binom{11}{4}\binom{13}{3}+\binom{11}{5}\binom{13}{2}+\binom{11}{6}\binom{13}{1}+\binom{11}{7}\binom{13}{0}\) = \(94380+36036+6006+330=136752\)। इसलिए सही उत्तर 136752 है। विकल्प 94380 केवल ठीक 4 शिक्षक चुनने वाले मामले को दर्शाता है, ‘कम से कम 4’ के सभी मामलों को नहीं। परीक्षा टिप: ‘कम से कम’ में दी गई संख्या से लेकर संभव अधिकतम संख्या तक सभी मामले जोड़ें। / The group can contain 4, 5, 6, or 7 teachers. Therefore, the total number of ways is \(\binom{11}{4}\binom{13}{3}+\binom{11}{5}\binom{13}{2}+\binom{11}{6}\binom{13}{1}+\binom{11}{7}\binom{13}{0}\) = \(94380+36036+6006+330=136752\). Hence, 136752 is correct. Option 94380 counts only the case of exactly 4 teachers, not every case covered by “at least 4”. Exam tip: For “at least,” add all cases from the stated number up to the maximum possible number.
कुल \(\binom{21}{7}=116280\) हैं। सभी सफेद \(\binom{10}{7}=120\) और सभी काली \(\binom{11}{7}=330\) हटाने पर (115830) मिलते हैं। / Total ways are \(\binom{21}{7}=116280\). Removing all-white \(\binom{10}{7}=120\) and all-black \(\binom{11}{7}=330\) gives (115830).
सभी पुरस्कार समान हैं, इसलिए चुने गए 6 उम्मीदवारों के क्रम का कोई महत्व नहीं है। अतः संयोजन का प्रयोग होगा: \(\binom{16}{6}=\frac{16!}{6!\,10!}=8008\)। विकल्प 5765760 क्रमचय \(^{16}P_6\) के अनुरूप है, जिसमें पुरस्कारों को अलग-अलग मानकर क्रम भी गिना जाता है। परीक्षा टिप: वस्तुएँ समान हों और केवल चयन करना हो, तो \(nCr\) लगाएँ। / Since all prizes are identical, the order of the 6 selected candidates does not matter. Hence, use combinations: \(\binom{16}{6}=\frac{16!}{6!\,10!}=8008\). The value 5765760 corresponds to the permutation \(^{16}P_6\), which would count arrangements if the prizes were distinct. Exam tip: use \(nCr\) when only selection matters and order is irrelevant.
कुल \(\binom{13}{6}=1716\) हैं और कोई विशेष मित्र न जाए तो \(\binom{8}{6}=28\) हैं। इसलिए (1716-28=1688) है। / Total ways are \(\binom{13}{6}=1716\) and if no special friend goes then \(\binom{8}{6}=28\). Hence (1716-28=1688).
विशेष फलों में से (3) और बाकी (8) में से (3) चुनेंगे। तरीके \(\binom{6}{3}\binom{8}{3}=1120\) हैं। / Choose (3) from the special fruits and (3) from the remaining (8). The ways are \(\binom{6}{3}\binom{8}{3}=1120\).
हर रंग की शर्त अलग गिनी जाएगी। तरीके \(\binom{9}{2}\binom{10}{2}\binom{11}{2}=89100\) हैं। / Each color condition is counted separately. The ways are \(\binom{9}{2}\binom{10}{2}\binom{11}{2}=89100\).
(a) तय है और (b) हट गया है। (c,d) में से (1) और शेष (9) में से (4) चुनेंगे इसलिए \(\binom{2}{1}\binom{9}{4}=252\) है। / The letter (a) is fixed and (b) is excluded. Choose (1) from (c,d) and (4) from the remaining (9), so \(\binom{2}{1}\binom{9}{4}=252\).
रसायन तय और जीवविज्ञान हट गया है। बाकी (4) विषय (9) में से चुनें और गणित-भौतिकी दोनों वाले \(\binom{7}{2}\) चयन घटाएं तो (105) मिलते हैं। / Chemistry is fixed and biology is excluded. Choose the remaining (4) subjects from (9) and subtract \(\binom{7}{2}\) selections containing both mathematics and physics to get (105).
(3) संख्याएं तय हैं और (2) हट गई हैं। बाकी (5) संख्याएं (13) में से चुनी जाएंगी इसलिए \(\binom{13}{5}=1287\) है। / The (3) numbers are fixed and (2) are excluded. The remaining (5) numbers are chosen from (13), so \(\binom{13}{5}=1287\).
असफल त्रिभुज के लिए (10) समरेखीय बिंदुओं में से (3) चुने जाते हैं। इसलिए संख्या \(\binom{10}{3}\) है। / For a failed triangle (3) points are chosen from the (10) collinear points. So the number is \(\binom{10}{3}\).
(5) खराब कुर्सियां हटाने पर (10) अच्छी कुर्सियां बचती हैं। (8) चुनने के तरीके \(\binom{10}{8}=45\) हैं। / After removing (5) broken chairs (10) good chairs remain. The ways to choose (8) are \(\binom{10}{8}=45\).
सभी विशेष शामिल हों तो \(\binom{11}{4}=330\) और सभी बाहर हों तो \(\binom{11}{7}=330\) तरीके हैं। कुल (660) है। / If all special students are included there are \(\binom{11}{4}=330\) ways and if all are excluded there are \(\binom{11}{7}=330\) ways. The total is (660).
अंतिम (7) में से (4), (5), (6) या (7) प्रश्न चुने जा सकते हैं। सभी वैध मामलों का योग (3850) है। / You can choose (4), (5), (6), or (7) from the last (7) questions. The sum of all valid cases is (3850).
वरिष्ठों की संख्या (0), (1), (2) या (3) हो सकती है। कुल \(\binom{10}{0}\binom{12}{7}+\binom{10}{1}\binom{12}{6}+\binom{10}{2}\binom{12}{5}+\binom{10}{3}\binom{12}{4}=105072\) है। / The number of seniors can be (0), (1), (2), or (3). The total is \(\binom{10}{0}\binom{12}{7}+\binom{10}{1}\binom{12}{6}+\binom{10}{2}\binom{12}{5}+\binom{10}{3}\binom{12}{4}=105072\).
दो निश्चित कार्डों में से (1) चुनें और बाकी (5) कार्ड (13) में से चुनें। तरीके \(\binom{2}{1}\binom{13}{5}=2574\) हैं। / Choose (1) of the two fixed cards and (5) cards from the remaining (13). The ways are \(\binom{2}{1}\binom{13}{5}=2574\).
16 अलग-अलग सिक्कों के सभी उपसमुच्चयों की संख्या \(2^{16}\) है। सम संख्या वाले और विषम संख्या वाले चयन बराबर होते हैं, इसलिए सम संख्या में चयन के तरीके \(\frac{2^{16}}{2}=2^{15}=32768\) हैं। इसमें 0 सिक्के चुनने का एक तरीका भी शामिल है। विकल्प 32767 तब मिलता जब रिक्त चयन को अलग कर दिया जाए। परीक्षा टिप: \(n\geq1\) अलग वस्तुओं के सम-आकार और विषम-आकार वाले उपसमुच्चयों की संख्या प्रत्येक \(2^{n-1}\) होती है। / There are \(2^{16}\) subsets of 16 distinct coins. The numbers of selections with an even number and an odd number of coins are equal, so the number of even selections is \(\frac{2^{16}}{2}=2^{15}=32768\). This includes the one selection in which no coin is chosen. The value 32767 would result if the empty selection were excluded. Exam tip: for \(n\geq1\) distinct objects, the numbers of even-sized and odd-sized subsets are each \(2^{n-1}\).
विषम चयन की संख्या \(2^{15-1}=16384\) होती है। परीक्षा में सम और विषम चयन की संख्या बराबर याद रखें। / The number of odd selections is \(2^{15-1}=16384\). Remember that even and odd selections are equal in such questions.
(14) खिलाड़ियों में से (7) खिलाड़ियों का चयन करना है। एक कप्तान पहले से तय है और उसे चुना नहीं जाना है लेकिन उपकप्तान अवश्य चुना जाना है। कितने तरीके हैं?
कप्तान हट गया और उपकप्तान तय है। बाकी (6) खिलाड़ी (12) में से चुने जाएंगे इसलिए \(\binom{12}{6}=924\) है। / The captain is excluded and the vice-captain is fixed. The remaining (6) players are chosen from (12), so \(\binom{12}{6}=924\).
विशेष वस्तुएं (0), (1) या (2) चुनी जा सकती हैं। कुल \(\binom{7}{0}\binom{13}{8}+\binom{7}{1}\binom{13}{7}+\binom{7}{2}\binom{13}{6}=49335\) है। / The number of special objects can be (0), (1), or (2). The total is \(\binom{7}{0}\binom{13}{8}+\binom{7}{1}\binom{13}{7}+\binom{7}{2}\binom{13}{6}=49335\).
