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A. शीर्ष ((2,0)), ((6,0)), ((4,2)) वाला बंद त्रिभुज/Closed triangle with vertices ((2,0)), ((6,0)), ((4,2))
Explanation
Simple Explanation
तीनों अर्द्ध-तल मिलकर बंद त्रिभुज बनाते हैं। परीक्षा में पहले रेखाओं के प्रतिच्छेद बिंदु निकालें। / The three half-planes form a closed triangle. In exams, first find the intersection points of boundary lines.
दोनों सीमा समीकरण हल करने पर \(x=\frac{16}{5}\) और \(y=\frac{27}{5}\) मिलता है। कोना निकालते समय केवल वैध प्रतिच्छेद लें। / Solving the two boundary equations gives \(x=\frac{16}{5}\) and \(y=\frac{27}{5}\). While finding corners, keep only feasible intersections.
मुख्य कोना दोनों तिरछी रेखाओं का प्रतिच्छेद ((3,4)) है। कोनों पर (x+y) जांचने से अधिकतम (7) मिलता है। / The key corner is the intersection ((3,4)) of the two slant lines. Checking (x+y) at the corners gives the maximum (7).
A. ((0,0)), ((6,0)), (\left\(\frac{21}{5},\frac{18}{5}\right\)), ((0,5))
Explanation
Simple Explanation
दोनों तिरछी रेखाओं का प्रतिच्छेद (\left\(\frac{21}{5},\frac{18}{5}\right\)) है। अक्षों पर वैध अवरोध लेकर पूरे बहुभुज के कोने चुनें। / The intersection of the two slant lines is (\left\(\frac{21}{5},\frac{18}{5}\right\)). Use valid intercepts on the axes to choose all polygon corners.
शीर्ष ((2,0)), ((6,0)), ((3,6)), ((2,7)) हैं। शूलेस विधि या भागों में बांटकर क्षेत्रफल (20) मिलता है। / The vertices are ((2,0)), ((6,0)), ((3,6)), and ((2,7)). Using the shoelace method or splitting into parts gives area (20).
शीर्ष ((2,1)), (\left\(\frac{15}{2},1\right\)), (\(2,\frac{14}{3}\)) हैं। आधार \(\frac{11}{2}\) और ऊंचाई \(\frac{11}{3}\) से क्षेत्रफल \(\frac{121}{12}\) नहीं बल्कि सही गणना के लिए अक्षों के समांतर दूरी जांचें। / The vertices are ((2,1)), (\left\(\frac{15}{2},1\right\)), and (\(2,\frac{14}{3}\)). Check parallel distances carefully before using triangle area.
दोनों असमानताएं रेखाओं के ऊपर वाले भाग को चुनती हैं और प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्र ऊपर की ओर अनंत है। \(\geq\) होने से सीमाएं शामिल हैं। / Both inequalities select the upper sides of the lines, and in the first quadrant the region extends infinitely. Since \(\geq\) is used, boundaries are included.
एक ही राशि (2x-y) एक साथ (4) से कम या बराबर और (8) से अधिक नहीं हो सकती। विरोधी शर्तें दिखें तो ग्राफ बनाने से पहले जांच लें। / The same expression (2x-y) cannot be at most (4) and greater than (8) at the same time. Check contradictions before drawing the graph.
न्यूनतम (x+y) बिंदु ((4,3)) पर (7) है। इसलिए हल मिलने के लिए \(m\geq 7\) होना चाहिए। / The minimum value of (x+y) at ((4,3)) is (7). Hence \(m\geq 7\) is required for a solution.
A. मूल-बिंदु वाला अर्द्ध-तल/Half-plane containing the origin
Explanation
Simple Explanation
मूल-बिंदु असमानता को संतुष्ट करता है इसलिए उसी ओर छायांकन होगा। जांच बिंदु रेखा पर न हो। / The origin satisfies the inequality, so shading is on that side. Choose a test point not lying on the line.
B. टूटी रेखा और मूल-बिंदु वाली ओर/Dashed line and toward the origin
Explanation
Simple Explanation
कठोर असमानता में सीमा शामिल नहीं होती इसलिए रेखा टूटी होगी। मूल-बिंदु शर्त पूरी करता है इसलिए उसी ओर छायांकन होगा। / In a strict inequality, the boundary is excluded, so the line is dashed. The origin satisfies the condition, so shade its side.
कोनों पर जांचने से ((0,5)) पर (10), ((4,0)) पर (12), और (\left\(\frac{14}{5},\frac{18}{5}\right\)) पर (16) मिलता है। रैखिक व्यंजक का अधिकतम कोनों पर मिलता है। / Checking the corners gives (10) at ((0,5)), (12) at ((4,0)), and (16) at (\left\(\frac{14}{5},\frac{18}{5}\right\)). A linear expression attains its maximum at a corner.
एक ही ढाल वाली रेखाओं के लिए (2x+1) हमेशा (2x-3) से बड़ा है। इसलिए कोई (y) दोनों शर्तें पूरी नहीं कर सकता। / For parallel lines with the same slope, (2x+1) is always greater than (2x-3). Hence no (y) can satisfy both conditions.
\(\geq\) वाली असमानताएं प्रथम चतुर्थांश में ऊपर की दिशा का क्षेत्र देती हैं। सीमाएं शामिल हैं और क्षेत्र अनंत तक जाता है। / The \(\geq\) inequalities give the upper-side region in the first quadrant. Boundaries are included and the region extends infinitely.
दोनों सीमा समीकरण हल करने पर \(x=\frac{16}{5}\) और \(y=\frac{27}{5}\) मिलता है। प्रतिच्छेद को सभी असमानताओं से जांचना अच्छा तरीका है। / Solving the two boundary equations gives \(x=\frac{16}{5}\) and \(y=\frac{27}{5}\). It is a good method to test the intersection in all inequalities.
पहली और दूसरी असमानता परस्पर विरोधी हैं। समान सीमा पर भी कठोर असमानता बिंदुओं को हटा देती है। / The first and second inequalities contradict each other. Even on the common boundary, the strict inequality removes the points.
बिंदु रखने पर \(k+6\leq 11\) और (3k-3>6) मिलता है। इसलिए \(k\leq 5\) और (k>3) होगा। / Substitution gives \(k+6\leq 11\) and (3k-3>6). Hence \(k\leq 5\) and (k>3).
शीर्ष ((1,2)), ((5,2)), ((1,6)) मिलते हैं। आधार और ऊंचाई (4) हैं इसलिए क्षेत्रफल (8) है। / The vertices are ((1,2)), ((5,2)), and ((1,6)). Base and height are (4), so the area is (8).
मुख्य कोना दोनों तिरछी रेखाओं का प्रतिच्छेद ((3,4)) है। कोनों पर (x+y) जांचने से अधिकतम (7) मिलता है। / The key corner is the intersection ((3,4)) of the two slant lines. Checking (x+y) at the corners gives the maximum (7).
दोनों समीकरण हल करने पर \(x=\frac{18}{5}\) और \(y=\frac{14}{5}\) मिलता है। ग्राफ में यही आंतरिक कोना है। / Solving the two equations gives \(x=\frac{18}{5}\) and \(y=\frac{14}{5}\). This is the inner corner on the graph.
((2,3)) पर (2x+5y=19) सही है लेकिन (x-y=-1) भी सही है इसलिए इसे हटाया नहीं जा सकता। विकल्प जांच में गलत विकल्प पहचानने के लिए सभी शर्तें सावधानी से जांचें। / At ((2,3)), (2x+5y=19) and (x-y=-1), so it cannot be rejected. For such questions, test all conditions carefully.
B. रेखा टूटी हुई और मूल-बिंदु के विपरीत ओर छायांकन/Dashed line and shading opposite to the origin
Explanation
Simple Explanation
चिह्न (>) होने से सीमा शामिल नहीं होगी और मूल-बिंदु असमानता को संतुष्ट नहीं करता। इसलिए विपरीत ओर छायांकन होगा। / Because the sign is (>), the boundary is excluded, and the origin does not satisfy the inequality. So shading is opposite to the origin.
D. आंशिक रूप से खुला सीमित त्रिभुज/Partly open bounded triangle
Explanation
Simple Explanation
क्षेत्र सीमित त्रिभुज है लेकिन (x+y=6) वाली सीमा शामिल नहीं है। मिश्रित असमानताओं में हर सीमा का अलग व्यवहार देखें। / The region is a bounded triangle, but the boundary (x+y=6) is not included. In mixed inequalities, check each boundary separately.
बिंदु रखने पर \(2+k\leq 7\) और (4-k<3) मिलता है। इसलिए \(k\leq 5\) और (k>1) होगा। / Substituting the point gives \(2+k\leq 7\) and (4-k<3). Hence \(k\leq 5\) and (k>1).
((2,4)) तीनों शर्तें पूरी करता है और दो सीमाओं का प्रतिच्छेद है। शीर्ष पहचानने के लिए पहले सीमा-रेखाओं के प्रतिच्छेद जांचें। / The point ((2,4)) satisfies all conditions and is the intersection of two boundaries. To identify vertices, first test boundary intersections.
तीन सीमा रेखाओं के जोड़ीदार प्रतिच्छेद लेकर वैध बिंदु चुनें। वैध कोने ((3,1)), ((7,1)), ((3,5)) हैं। / Take pairwise intersections of the three boundary lines and keep valid points. The valid corners are ((3,1)), ((7,1)), and ((3,5)).
दोनों असमानताएं मिलकर बराबरी (x+2y=12) को मजबूर करती हैं। विपरीत दिशाओं की समान सीमा अक्सर रेखा देती है। / Together the two inequalities force equality (x+2y=12). Opposite inequalities with the same boundary often give the boundary line.
A. दो समानांतर रेखाओं के बीच की बंद पट्टी/Closed strip between two parallel lines
Explanation
Simple Explanation
दोनों रेखाएं समानांतर हैं और \(x-2\leq y\leq x+4\) मिलता है। बराबरी वाले चिन्हों से दोनों सीमाएं शामिल हैं। / The lines are parallel and give \(x-2\leq y\leq x+4\). Equality signs include both boundaries.
A. त्रिभुज जिसके शीर्ष ((2,5)), ((5,2)), ((5,5)) हैं/Triangle with vertices ((2,5)), ((5,2)), ((5,5))
Explanation
Simple Explanation
वर्ग \(0\leq x\leq 5\), \(0\leq y\leq 5\) में रेखा (x+y=7) के ऊपर का कोना बचता है। उसके शीर्ष ((2,5)), ((5,2)), ((5,5)) हैं। / Inside the square \(0\leq x\leq 5\), \(0\leq y\leq 5\), the part above (x+y=7) remains. Its vertices are ((2,5)), ((5,2)), and ((5,5)).
((2,4)) रखने पर तीनों असमानताएं सही मिलती हैं। विकल्प जांच में हर असमानता अलग से जांचें। / Substituting ((2,4)) satisfies all three inequalities. In option checking, test every inequality separately.
A. दोनों समानांतर रेखाओं के बीच की बंद पट्टी/Closed strip between the two parallel lines
Explanation
Simple Explanation
शर्त \(3x-4\leq y\leq 3x+2\) है। बराबरी होने से दोनों सीमा रेखाएं शामिल होंगी। / The condition is \(3x-4\leq y\leq 3x+2\). Since equality is allowed, both boundary lines are included.
A. यह हल है और सीमा पर है/It is a solution and lies on a boundary
Explanation
Simple Explanation
((9,0)) पर (x+y=9) और (x+2y=9) मिलता है। यह दोनों शर्तें पूरी करता है और एक सीमा पर है। / At ((9,0)), (x+y=9) and (x+2y=9). It satisfies both conditions and lies on a boundary.
एक ही सीमा के लिए \(\leq\) और (>) साथ-साथ कोई बिंदु नहीं देते। ऐसे प्रश्नों में पहले तार्किक विरोध देखें। / For the same boundary, \(\leq\) and (>) give no common point. In such questions, first check logical contradiction.
दोनों तिरछी रेखाओं का प्रतिच्छेद ((4,4)) है। कोनों पर (x+y) जांचने से अधिकतम (8) मिलता है। / The two slant lines intersect at ((4,4)). Checking (x+y) at the corner points gives maximum (8).
दोनों समीकरणों को हल करने पर \(x=\frac{44}{7}\) और \(y=\frac{24}{7}\) मिलता है। प्रतिच्छेद को बाद में सभी असमानताओं से जरूर जांचें। / Solving the two equations gives \(x=\frac{44}{7}\) and \(y=\frac{24}{7}\). Always test the intersection in all inequalities afterward.
B. सीमा रेखा ठोस होगी और ऊपर का भाग लिया जाएगा/The boundary line is solid and the upper part is taken
Explanation
Simple Explanation
\(\geq\) होने से सीमा शामिल होती है और (y) रेखा से बड़ा या बराबर है। इसलिए रेखा के ऊपर का भाग छायांकित होगा। / Since the sign is \(\geq\), the boundary is included, and (y) is greater than or equal to the line. So the region above the line is shaded.
B. त्रिभुज जिसके शीर्ष ((2,3)), ((4,1)), ((4,3)) हैं/Triangle with vertices ((2,3)), ((4,1)), ((4,3))
Explanation
Simple Explanation
आयत \(0\leq x\leq 4\), \(0\leq y\leq 3\) से रेखा (x+y=5) के ऊपर का छोटा भाग बचता है। उसके शीर्ष ((2,3)), ((4,1)), ((4,3)) हैं। / From the rectangle \(0\leq x\leq 4\), \(0\leq y\leq 3\), the part above (x+y=5) remains. Its vertices are ((2,3)), ((4,1)), and ((4,3)).
((1,4)) पर (x+2y=9) और (2x+y=6) है। यह सभी शर्तें पूरी करता है और सीमा सहित क्षेत्र में आता है। / At ((1,4)), (x+2y=9) and (2x+y=6). It satisfies all conditions and lies in the region including the boundary.
नीचे या उसी पर होने से \(\leq\) लगेगा और प्रथम चतुर्थांश के लिए \(x\geq 0\), \(y\geq 0\) चाहिए। ठोस सीमा रेखा बनती है। / Below or on the line means \(\leq\), and the first quadrant needs \(x\geq 0\), \(y\geq 0\). The boundary line is solid.
A. यह दोनों तिरछी सीमाओं के प्रतिच्छेद पर स्थित हल है/It is a solution at the intersection of both slant boundaries
Explanation
Simple Explanation
((6,4)) पर (x+y=10) और (x-y=2) दोनों बराबरी देते हैं। इसलिए यह दोनों सीमा-रेखाओं का वैध प्रतिच्छेद है। / At ((6,4)), both (x+y=10) and (x-y=2) hold as equalities. So it is the valid intersection of both boundary lines.
A. दो समानांतर रेखाओं के बीच की बंद पट्टी/A closed strip between two parallel lines
Explanation
Simple Explanation
शर्त \(-3\leq x-y\leq 1\) दो समानांतर रेखाओं के बीच की पट्टी देती है। बराबरी होने से दोनों सीमाएं शामिल हैं। / The condition \(-3\leq x-y\leq 1\) gives a strip between two parallel lines. Equality includes both boundaries.
आयत \(0\leq x\leq 6\), \(0\leq y\leq 4\) में रेखा (x+2y=10) के ऊपर का भाग बचता है। इसलिए शीर्ष ((2,4)), ((6,2)), ((6,4)) हैं। / Inside the rectangle \(0\leq x\leq 6\), \(0\leq y\leq 4\), the part above (x+2y=10) remains. Hence the vertices are ((2,4)), ((6,2)), and ((6,4)).
((2,2)) पर (2<3) और (2>1) दोनों सही हैं। कठोर असमानता में सीमा-बिंदु शामिल नहीं होते। / At ((2,2)), both (2<3) and (2>1) are true. Boundary points are not included in strict inequalities.
(x)-अक्ष के ऊपर का अर्थ \(y\geq 0\) है और रेखा के नीचे या उसी पर का अर्थ \(y\leq 2x-5\) है। शब्दों को सीधे असमानता में बदलें। / Above the (x)-axis means \(y\geq 0\), and below or on the line means \(y\leq 2x-5\). Convert the words directly into inequalities.
कोने ((0,0)), ((6,0)), ((5,1)), ((0,4)) हैं। इसलिए कुल (4) कोने बनते हैं। / The corner points are ((0,0)), ((6,0)), ((5,1)), and ((0,4)). Hence there are (4) corners.
कोनों में ((7,0)) पर (x-y=7) मिलता है जो सबसे बड़ा है। रैखिक व्यंजक का अधिकतम कोनों पर जांचें। / At the corner ((7,0)), (x-y=7), which is the largest value. For a linear expression, check the corner points.
C. केवल (x+y=6) सीमा पर/Only on the boundary (x+y=6)
Explanation
Simple Explanation
((4,2)) पर (x+y=6) है और बाकी शर्तें भी पूरी हैं। इसलिए यह एक सीमा पर स्थित हल-बिंदु है। / At ((4,2)), (x+y=6), and the remaining conditions also hold. So it is a solution point on one boundary.
C. दाएं अर्द्ध-तल में दो समानांतर टूटी रेखाओं के बीच खुली पट्टी/Open strip between two parallel dashed lines in the right half-plane
Explanation
Simple Explanation
पहली दो रेखाएं समानांतर हैं और कठोर असमानताएं खुली पट्टी देती हैं। (x>0) इसे दाएं अर्द्ध-तल तक सीमित करता है लेकिन क्षेत्र फिर भी अनंत है। / The first two lines are parallel and strict inequalities create an open strip. The condition (x>0) restricts it to the right half-plane, but the region remains unbounded.
((0,4)) रेखा (2x+y=4) पर है लेकिन क्षेत्र का कोना नहीं बनता। वास्तविक कोने ((0,5)), ((5,0)), ((2,0)), ((0,4)) में जांच से ((0,4)) भी वैध कोना है इसलिए विकल्पों में भ्रम है। / The point ((0,4)) lies on (2x+y=4), but checking the feasible polygon shows it is a valid corner, so this option set is inconsistent.
