Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. ((0,0)), ((4,0)), (\left\(\frac{14}{5},\frac{18}{5}\right\)), ((0,5))
Explanation
Simple Explanation
दोनों तिरछी सीमाओं का प्रतिच्छेद (\left\(\frac{14}{5},\frac{18}{5}\right\)) है। अक्षों पर वैध अवरोध लेकर सभी कोने चुनें। / The slant boundaries intersect at (\left\(\frac{14}{5},\frac{18}{5}\right\)). Use valid intercepts on the axes to list all corners.
शीर्ष ((0,0)), ((6,0)), ((4,4)), ((0,6)) हैं। शूलेस विधि से क्षेत्रफल (24) वर्ग इकाई मिलता है। / The vertices are ((0,0)), ((6,0)), ((4,4)), and ((0,6)). The shoelace method gives area (24) square units.
((4,2)) पर (2x+y=10) और (x+3y=10) मिलता है। सभी असमानताओं में बिंदु रखकर ही अंतिम विकल्प चुनें। / At ((4,2)), (2x+y=10) and (x+3y=10). Choose the final option only after substituting the point in all inequalities.
C. \(\frac{25}{2}\) वर्ग इकाई/\(\frac{25}{2}\) square units
Explanation
Simple Explanation
शीर्ष ((2,1)), ((7,1)), ((2,6)) हैं। आधार और ऊंचाई (5) हैं इसलिए क्षेत्रफल \(\frac{25}{2}\) है। / The vertices are ((2,1)), ((7,1)), and ((2,6)). The base and height are (5), so the area is \(\frac{25}{2}\).
((3,3)) रखने पर (2x+y=9) और (x+2y=9) मिलता है। बिंदु जांच में सभी असमानताओं को अलग-अलग जांचें। / Substituting ((3,3)) gives (2x+y=9) and (x+2y=9). In point testing, check every inequality separately.
\(\geq\) वाली शर्तें प्रथम चतुर्थांश में ऊपर की ओर क्षेत्र देती हैं। सीमाएं शामिल हैं और क्षेत्र अनंत तक जाता है। / The \(\geq\) conditions give an upper-side region in the first quadrant. Boundaries are included and the region extends infinitely.
किसी भी (x) के लिए (x+4), (x+1) से बड़ा है। इसलिए (y) दोनों शर्तें साथ में पूरी नहीं कर सकता। / For every (x), (x+4) is greater than (x+1). Hence (y) cannot satisfy both conditions together.
न्यूनतम (x+y) बिंदु ((3,4)) पर (7) है। इसलिए हल मिलने के लिए \(m\geq 7\) होना जरूरी है। / The minimum value of (x+y) at ((3,4)) is (7). Hence \(m\geq 7\) is required for a solution.
कोनों पर जांचने से ((0,6)) पर (2x+3y=18) सबसे बड़ा है। रैखिक व्यंजक का अधिकतम कोनों पर जांचें। / Checking the corners shows (2x+3y=18) at ((0,6)), which is largest. For a linear expression, check the corner points.
दोनों तिरछी सीमाएं ((2,2)) पर मिलती हैं। कोनों जैसे बिंदुओं पर जांचने से न्यूनतम (x+y=4) मिलता है। / The two slant boundaries meet at ((2,2)). Checking corner-like boundary points gives the minimum (x+y=4).
A. दो समानांतर रेखाओं के बीच की बंद पट्टी/A closed strip between two parallel lines
Explanation
Simple Explanation
शर्त \(-4\leq x-y\leq 2\) दो समानांतर रेखाओं के बीच की पट्टी देती है। बराबरी होने से दोनों सीमाएं शामिल हैं। / The condition \(-4\leq x-y\leq 2\) gives a strip between two parallel lines. Equality includes both boundaries.
C. दो समानांतर टूटी रेखाओं के बीच खुली पट्टी/Open strip between two parallel dashed lines
Explanation
Simple Explanation
दोनों रेखाएं समानांतर हैं और ( -x+2<y<-x+6) मिलता है। कठोर असमानताओं के कारण दोनों सीमाएं शामिल नहीं होंगी। / The two lines are parallel and give ( -x+2<y<-x+6). Because the inequalities are strict, neither boundary is included.
दोनों असमानताएं मिलकर बराबरी (x+3y=9) को मजबूर करती हैं। विपरीत दिशाओं की समान सीमा अक्सर केवल रेखा देती है। / Together the two inequalities force equality (x+3y=9). Opposite inequalities with the same boundary often give only the line.
A. हल-क्षेत्र में और सीमा (x+y=5) पर/In the solution region and on the boundary (x+y=5)
Explanation
Simple Explanation
((2,3)) पर (x+y=5) है और बाकी शर्तें भी पूरी हैं। इसलिए यह सीमा पर स्थित हल-बिंदु है। / At ((2,3)), (x+y=5), and the remaining conditions also hold. Therefore it is a solution point on the boundary.
आयत में रेखा (x+y=4) के ऊपर का भाग बचता है। इसके शीर्ष ((1,3)), ((5,3)), ((5,0)), ((4,0)) हैं। / Inside the rectangle, the part above (x+y=4) remains. Its vertices are ((1,3)), ((5,3)), ((5,0)), and ((4,0)).
(x)-अक्ष के ऊपर का अर्थ \(y\geq 0\) है। रेखा के नीचे या उसी पर होने से \(y\leq -x+5\) लगेगा। / Above the (x)-axis means \(y\geq 0\). Below or on the line gives \(y\leq -x+5\).
दोनों समीकरण हल करने पर \(x=\frac{27}{7}\) और \(y=\frac{32}{7}\) मिलता है। प्रतिच्छेद को बाद में असमानताओं में जांचना चाहिए। / Solving the two equations gives \(x=\frac{27}{7}\) and \(y=\frac{32}{7}\). The intersection should then be checked in the inequalities.
B. टूटी सीमा और मूल-बिंदु वाली ओर/Dashed boundary and toward the origin
Explanation
Simple Explanation
मूल-बिंदु रखने पर (0<10) सही है। कठोर असमानता के कारण सीमा टूटी होगी और छायांकन मूल-बिंदु वाली ओर होगा। / Substituting the origin gives (0<10), which is true. Because the inequality is strict, the boundary is dashed and shading is toward the origin.
(x) को अधिकतम करने के लिए (y) का न्यूनतम मान (1) लें। तब \(x+2\leq 8\) से \(x\leq 6\) मिलता है। / To maximize (x), take the minimum allowed value (y=1). Then \(x+2\leq 8\) gives \(x\leq 6\).
(y=0) पर \(4\leq x\leq 12\) संभव है और (x=0) पर अधिकतम (y=4) मिलता है। इसलिए \(0\leq y\leq 4\) है। / At (y=0), \(4\leq x\leq 12\) is possible, and at (x=0), the maximum is (y=4). Hence \(0\leq y\leq 4\).
एक ही राशि (x+y) एक साथ (3) से छोटी या बराबर और (5) से बड़ी या बराबर नहीं हो सकती। ऐसे विरोध को ग्राफ से पहले पहचानें। / The same expression (x+y) cannot be at most (3) and at least (5) at the same time. Identify such contradictions before graphing.
यदि \(a\geq 0\) है तो कम से कम ((0,0)) हल में आता है और क्षेत्र सीमित रहता है। (a<0) होने पर प्रथम चतुर्थांश में कोई हल नहीं मिलेगा। / If \(a\geq 0\), at least ((0,0)) is in the solution and the region remains bounded. If (a<0), there is no solution in the first quadrant.
दो तिरछी सीमाएं ((3,2)) पर मिलती हैं। (x=1) और (y=0) की वैध सीमाओं से बाकी कोने मिलते हैं। / The two slant boundaries meet at ((3,2)). The remaining corners come from valid parts of (x=1) and (y=0).
शीर्ष ((1,0)), ((4,0)), ((3,2)), ((1,3)) हैं। शूलेस विधि से क्षेत्रफल (6) वर्ग इकाई मिलता है। / The vertices are ((1,0)), ((4,0)), ((3,2)), and ((1,3)). The shoelace method gives area (6) square units.
((5,1)) पर (x-y=4) है जो (2) से बड़ा है। विकल्प जांच में एक भी गलत असमानता बिंदु को बाहर कर देती है। / At ((5,1)), (x-y=4), which is greater than (2). In option testing, one failed inequality excludes the point.
कोनों पर (x+2y) जांचने से ((2,5)) पर अधिकतम (12) मिलता है। रैखिक व्यंजक के लिए कोनों की जांच पर्याप्त होती है। / Checking (x+2y) at the corners gives the maximum (12) at ((2,5)). For a linear expression, checking corners is sufficient.
तीनों कठोर असमानताएं एक सीमित त्रिभुज बनाती हैं लेकिन कोई सीमा शामिल नहीं होती। इसलिए क्षेत्र खुला और सीमित है। / The three strict inequalities form a bounded triangle, but no boundary is included. Therefore the region is open and bounded.
कोने ((0,0)), ((6,0)), ((4,2)), ((0,4)) हैं। इसलिए कुल (4) कोने बनते हैं। / The corners are ((0,0)), ((6,0)), ((4,2)), and ((0,4)). Hence there are (4) corner points.
ठोस सीमा के लिए बराबरी शामिल होगी। मूल-बिंदु पर (0<12) है इसलिए मूल-बिंदु के विपरीत ओर \(3x+2y\geq 12\) होगा। / A solid boundary includes equality. Since the origin gives (0<12), the side opposite the origin is \(3x+2y\geq 12\).
रेखा सहित दाईं ओर का अर्थ (x) का मान (-2) से बड़ा या बराबर है। लंबवत रेखाओं में सीधे (x)-मान देखें। / Right side including the line means the value of (x) is greater than or equal to (-2). For vertical lines, read the (x)-value directly.
रेखा को शामिल न करने के लिए कठोर असमानता चाहिए। नीचे का भाग (y<3) से दर्शाया जाता है। / A strict inequality is needed to exclude the line. The region below it is represented by (y<3).
(y) को अधिकतम करने के लिए (x) का न्यूनतम मान (1) लें। तब \(2+y\leq 9\) और \(1+y\leq 7\) से \(y\leq 6\) मिलता है। / To maximize (y), take the minimum allowed (x=1). Then \(2+y\leq 9\) and \(1+y\leq 7\) give \(y\leq 6\).
(y) को न्यूनतम करने के लिए (x) को अधिकतम (4) लें। तब \(x+y\geq 6\) से \(y\geq 2\) मिलता है। / To minimize (y), take the maximum allowed (x=4). Then \(x+y\geq 6\) gives \(y\geq 2\).
एक ही (x) के लिए (2x+3), (2x-1) से बड़ा है। इसलिए कोई (y) दोनों शर्तें पूरी नहीं कर सकता। / For the same (x), (2x+3) is greater than (2x-1). Hence no (y) can satisfy both conditions.
पहली दो शर्तें (x+y=6) और अगली दो शर्तें (x-y=2) देती हैं। दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद ((4,2)) है। / The first two conditions give (x+y=6), and the next two give (x-y=2). Their intersection is ((4,2)).
(x=0) से (4) तक क्रमशः (5,4,3,2,1) मान मिलते हैं। कुल (15) पूर्णांक बिंदु हैं। / For (x=0) to (4), the numbers of possible (y)-values are (5,4,3,2,1). The total is (15) integer points.
(x=1,2,3,4) के लिए क्रमशः (4,3,2,1) मान मिलते हैं। इसलिए कुल (10) बिंदु हैं। / For (x=1,2,3,4), the possible counts are (4,3,2,1). Hence the total is (10) points.
पूरे वर्ग का क्षेत्रफल (25) है और रेखा (x+y=4) के नीचे का त्रिभुज क्षेत्रफल (8) है। इसलिए बचा क्षेत्रफल (17) है। / The square has area (25), and the triangle below (x+y=4) has area (8). Therefore the remaining area is (17).
(x=3) को (x+2y=11) में रखने पर (3+2y=11) मिलता है। इसलिए (y=4) और प्रतिच्छेद ((3,4)) है। / Substituting (x=3) in (x+2y=11) gives (3+2y=11). Thus (y=4), and the intersection is ((3,4)).
यदि \(x\geq 0\) और \(y\geq 5\), तो \(x+y\geq 5\) होगा। यह \(x+y\leq 4\) से विरोध करता है। / If \(x\geq 0\) and \(y\geq 5\), then \(x+y\geq 5\). This contradicts \(x+y\leq 4\).
दो अर्द्ध-तल कटकर एक अनंत कोणीय क्षेत्र बनाते हैं। दोनों में बराबरी शामिल है इसलिए क्षेत्र बंद है। / The two half-planes intersect to form an infinite angular region. Since equality is included in both, the region is closed.
पहली शर्त से (k<3) और दूसरी से \(k\geq 3\) मिलता है। दोनों साथ संभव नहीं हैं। / The first condition gives (k<3), and the second gives \(k\geq 3\). They cannot hold together.
बिंदु रखने पर \(2k+2\leq 10\) और (k-2>1) मिलता है। इसलिए \(k\leq 4\) और (k>3) होगा। / Substitution gives \(2k+2\leq 10\) and (k-2>1). Hence \(k\leq 4\) and (k>3).
(x)-अवरोध ((3,0)) को रेखा में रखने पर (3a=12) मिलता है। इसलिए (a=4) है। / Putting the (x)-intercept ((3,0)) in the line gives (3a=12). Therefore (a=4).
यदि (p>0), तो (x)-अवरोध \(\frac{6}{p}\) सीमित होता है। \(p\leq 0\) होने पर प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्र (x) दिशा में सीमित नहीं रहता। / If (p>0), the (x)-intercept \(\frac{6}{p}\) is finite. If \(p\leq 0\), the region is not bounded in the (x)-direction in the first quadrant.
((2,3)) पर (x+2y=8) और (x-y=-1) है। इसलिए यह सीमा पर भी है और दूसरी असमानता को भी पूरा करता है। / At ((2,3)), (x+2y=8) and (x-y=-1). Thus it lies on the boundary and also satisfies the second inequality.
D. एक ओर बंद और दूसरी ओर खुली पट्टी/Strip closed on one side and open on the other
Explanation
Simple Explanation
शर्त \(4<x+2y\leq 8\) मिलती है। (x+2y=8) शामिल है लेकिन (x+2y=4) शामिल नहीं है। / The condition becomes \(4<x+2y\leq 8\). The boundary (x+2y=8) is included, but (x+2y=4) is excluded.
आयत \([2,6]\times[1,5]\) को रेखा (x+y=8) काटती है। कोने ((2,1)), ((6,1)), ((6,2)), ((3,5)), ((2,5)) हैं। / The rectangle \([2,6]\times[1,5]\) is cut by the line (x+y=8). The corners are ((2,1)), ((6,1)), ((6,2)), ((3,5)), and ((2,5)).
कोनों पर जांचने से ((6,0)) पर (x-y=6) सबसे बड़ा है। रैखिक व्यंजक का अधिकतम कोनों पर मिलता है। / Checking the corners gives the largest value (x-y=6) at ((6,0)). A linear expression attains its maximum at a corner.
कोनों जैसे सीमा-बिंदुओं में ((0,6)) पर (2x+y=6) सबसे छोटा है। सीमा रहित क्षेत्र में भी न्यूनतम अक्सर किसी सीमा-कोने पर मिलता है। / Among boundary corner-like points, (2x+y=6) at ((0,6)) is the smallest. Even in an unbounded region, a minimum often occurs at a boundary corner.
