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दोनों में वास्तविक सदस्य (2,4,6) ही हैं। सेट में क्रम और दोहराव नहीं गिने जाते। / Both sets have exactly the members (2,4,6). Order and repetition do not matter in a set.
\({\emptyset,1}\), (A) का उपसमुच्चय है, इसलिए यह (\mathcal{P}(A)) का तत्व है। लेकिन यह (A) में सदस्य के रूप में नहीं दिया है। / The set \({\emptyset,1}\) is a subset of (A), so it is an element of (\mathcal{P}(A)). But it is not listed as an element of (A).
(12) के (5) से छोटे धनात्मक भाजक (1,2,3,4) हैं। सदस्य समान हों तो सेट बराबर होते हैं। / The positive divisors of (12) less than (5) are (1,2,3,4). Sets are equal when all members match.
(6) से छोटी विषम प्राकृतिक संख्याएँ (1,3,5) हैं। परिभाषा को सूची में बदलना परीक्षा में सबसे सुरक्षित तरीका है। / The odd natural numbers less than (6) are (1,3,5). Converting set-builder form to roster form is safest in exams.
(A) का हर सदस्य (B) में है और (B) में एक अतिरिक्त सदस्य है। इसलिए (A) उचित उपसमुच्चय है। / Every member of (A) is in (B), and (B) has one extra member. Hence (A) is a proper subset.
कुल उपसमुच्चय \(2^4=16\) हैं और पूरा सेट हटाने पर (15) उचित उपसमुच्चय बचते हैं। अंतिम उत्तर में पूरा सेट घटाना न भूलें। / Total subsets are \(2^4=16\), and removing the whole set leaves (15) proper subsets. Do not forget to subtract the set itself.
A. \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq A\)/\(A\subseteq B\) and \(B\subseteq A\)
Explanation
Simple Explanation
दोनों दिशाओं में उपसमुच्चय संबंध होने पर हर सदस्य समान होता है। केवल सदस्यों की संख्या बराबर होना काफी नहीं है। / If each set is a subset of the other, every member matches. Equal cardinality alone is not enough.
रिक्त समुच्चय हर समुच्चय का उपसमुच्चय होता है। इसमें कोई सदस्य नहीं होता, इसलिए विरोधी उदाहरण नहीं मिल सकता। / The empty set is a subset of every set. It has no element, so no counterexample exists.
यहाँ (A) में एक सदस्य है और वह \(\emptyset\) है। \(\emptyset\) और \({\emptyset}\) को अलग रखें। / Here (A) has one element, namely \(\emptyset\). Keep \(\emptyset\) and \({\emptyset}\) distinct.
({1,2}) यहाँ एक सदस्य के रूप में दिया है। सदस्यता और उपसमुच्चय को अलग पहचानें। / Here ({1,2}) is listed as one element. Distinguish membership from subset relation.
(X) में (A) के सदस्य निश्चित हैं और (4,5) वैकल्पिक हैं। इसलिए \(2^2=4\) समुच्चय बनेंगे। / The elements of (A) are fixed in (X), while (4,5) are optional. Hence \(2^2=4\) sets are possible.
(2) निश्चित है और बाकी (3) सदस्य वैकल्पिक हैं। इसलिए संख्या \(2^3=8\) है। / Element (2) is fixed, and the remaining (3) elements are optional. Therefore the count is \(2^3=8\).
(p) हटाने के बाद (4) सदस्य स्वतंत्र रहते हैं। इसलिए \(2^4=16\) उपसमुच्चय बनते हैं। / After excluding (p), (4) elements remain free. Thus \(2^4=16\) subsets are possible.
(1,2) निश्चित हैं, (5) निषिद्ध है और (3,4) वैकल्पिक हैं। इसलिए \(2^2=4\) उत्तर है। / Elements (1,2) are fixed, (5) is forbidden, and (3,4) are optional. Hence the answer is \(2^2=4\).
पूर्णांक हल (-3) और (3) दोनों हैं। ऋणात्मक हल को छोड़ना सामान्य गलती है। / The integer solutions are both (-3) and (3). Missing the negative solution is a common error.
(A) का हर सदस्य (3) से कम या बराबर है। इसलिए (B) में भी वही सदस्य हैं। / Every element of (A) is less than or equal to (3). Therefore (B) has the same elements.
उपसमुच्चय संबंध संक्रमणीय होता है। बीच वाले समुच्चय से होकर सदस्य (C) तक पहुंचते हैं। / The subset relation is transitive. Elements pass from (A) through (B) into (C).
दो उचित बढ़ाव होने से (C) में (A) से अधिक सदस्य जरूर होंगे। इसलिए (A) (C) का उचित उपसमुच्चय है। / With two proper inclusions, (C) must have more than (A). Hence (A) is a proper subset of (C).
सीमित समुच्चयों में उपसमुच्चय की सदस्य संख्या बराबर हो तो कोई अतिरिक्त सदस्य नहीं बचता। इसलिए समुच्चय बराबर हैं। / For finite sets, if a subset has the same number of elements, no extra element remains. Therefore the sets are equal.
सदस्यों की संख्या बराबर होने से सदस्य समान होना जरूरी नहीं है। जैसे ({1,2}) और ({3,4}) बराबर नहीं हैं। / Equal number of elements does not mean the elements are the same. For example, ({1,2}) and ({3,4}) are not equal.
घात समुच्चय में सभी उपसमुच्चय सदस्य बनते हैं। रिक्त समुच्चय और पूरा समुच्चय दोनों शामिल करें। / The power set contains all subsets as elements. Include both the empty set and the whole set.
(\mathcal{P}(A)) के सदस्य (A) के उपसमुच्चय होते हैं। \({1,3}\subseteq A\) है, इसलिए यह सदस्य है। / Elements of (\mathcal{P}(A)) are subsets of (A). Since \({1,3}\subseteq A\), it is an element.
बराबर समुच्चयों के सभी उपसमुच्चय भी समान होते हैं। इसलिए उनके घात समुच्चय बराबर होते हैं। / Equal sets have exactly the same subsets. Therefore their power sets are equal.
किसी समुच्चय का पूरा समुच्चय स्वयं उसके घात समुच्चय में आता है। बराबर घात समुच्चय मूल समुच्चय भी बराबर बनाते हैं। / A set itself appears in its power set. Equal power sets force the original sets to be equal.
जब (A) पूरी तरह (B) के अंदर है, तो मिलन में कोई नया सदस्य नहीं जुड़ता। इसलिए \(A\cup B=B\) है। / When (A) lies inside (B), union adds no new element to (B). Hence \(A\cup B=B\).
(A) का हर सदस्य (B) में है, इसलिए साझा भाग (A) ही है। चित्र बनाकर यह पहचान जल्दी होती है। / Every element of (A) is in (B), so the common part is (A). A quick Venn diagram helps identify this.
मिलन (B) ही रह गया, इसका अर्थ है (A) ने बाहर का कोई सदस्य नहीं जोड़ा। इसलिए \(A\subseteq B\) है। / The union remains (B), so (A) added no outside element. Therefore \(A\subseteq B\).
साझा भाग (A) है, इसलिए (A) का हर सदस्य (B) में है। यह उपसमुच्चय की पहचान है। / The common part is (A), so every element of (A) is in (B). This is exactly subset relation.
सममित अंतर रिक्त है तो कोई सदस्य केवल एक ही सेट में नहीं है। इसलिए दोनों सेटों के सदस्य समान हैं। / If the symmetric difference is empty, no element belongs to exactly one set. Thus the sets have identical elements.
(18) के अभाज्य भाजक केवल (2) और (3) हैं। भाजक और अभाज्य भाजक में अंतर ध्यान रखें। / The prime divisors of (18) are only (2) and (3). Note the difference between divisors and prime divisors.
\(A=\{2,4,6,8,12,24\}\) है। पहले पूरे सेट को लिखें, फिर हर विकल्प जांचें। / Here \(A=\{2,4,6,8,12,24\}\). Write the full set first, then test every option.
(2,7) निश्चित हैं और (3,5) वैकल्पिक हैं। इसलिए \(2^2=4\) उपसमुच्चय हैं। / Elements (2,7) are fixed, while (3,5) are optional. So there are \(2^2=4\) subsets.
कुल उपसमुच्चय (16) हैं और केवल रिक्त समुच्चय हटाना है। इसलिए (16-1=15) है। / Total subsets are (16), and only the empty set is excluded. Hence (16-1=15).
(\mathcal{P}(A)) में \(2^3=8\) सदस्य हैं। इसके उचित उपसमुच्चय \(2^8-1=255\) होंगे। / (\mathcal{P}(A)) has \(2^3=8\) elements. Its proper subsets are \(2^8-1=255\).
हर सदस्य के लिए तीन स्थितियां हैं: दोनों में नहीं, केवल (Y) में, या दोनों में। इसलिए कुल \(3^3=27\) है। / Each element has three choices: in neither set, in (Y) only, or in both. Thus the total is \(3^3=27\).
बराबर समुच्चयों में (2) और (4) दोनों सदस्य होने चाहिए। \(a\ne4\) से (a=2) और फिर (b=4) होगा। / Equal sets must contain both (2) and (4). Since \(a\ne4\), (a=2) and then (b=4).
(k) भी बड़े समुच्चय का सदस्य होना चाहिए। (k=1) होने पर समुच्चय ({1}) बनता है, जो उपसमुच्चय है। / The value (k) must be an element of the larger set. If (k=1), the set becomes ({1}), which is still a subset.
(0) निश्चित है और दूसरा सदस्य (1,2,3) में से चुना जाएगा। इसलिए (3) उपसमुच्चय बनते हैं। / Element (0) is fixed, and the second element is chosen from (1,2,3). So there are (3) subsets.
(A) में दो अलग सदस्य हैं: \(\emptyset\) और \({\emptyset}\)। इसलिए उपसमुच्चय \(2^2=4\) हैं। / The set (A) has two distinct elements: \(\emptyset\) and \({\emptyset}\). Hence it has \(2^2=4\) subsets.
(2) समुच्चय (A) का सदस्य नहीं है। उपसमुच्चय में हर सदस्य मूल समुच्चय में होना चाहिए। / The element (2) is not in (A). Every element of a subset must belong to the original set.
बड़े समुच्चय का पूरक छोटा होता है। उपसमुच्चय संबंध पूरक लेने पर उलट जाता है। / The complement of the larger set is smaller. The subset relation reverses under complements.
कथन: यदि \(A\subset B\), तो (\mathcal{P}(A)\subset \mathcal{P}(B))। कारण: (A) का हर उपसमुच्चय (B) का भी उपसमुच्चय है और (B) स्वयं (\mathcal{P}(B)) में है पर (\mathcal{P}(A)) में नहीं। सही विकल्प चुनिए।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं, कारण सही व्याख्या है/Both assertion and reason are true, and the reason explains it
Explanation
Simple Explanation
उचित उपसमुच्चय होने पर घात समुच्चय भी उचित रूप से शामिल होता है। कारण में दोनों भाग सही व्याख्या देते हैं। / A proper subset gives a proper inclusion of power sets. The reason correctly explains both inclusion and properness.
समीकरण के मूल (3) और (4) हैं, इसलिए दोनों समुच्चयों के सदस्य समान हैं। पहले हल निकालकर फिर समुच्चय मिलाएं। / The roots are (3) and (4), so both sets have the same elements. First solve, then compare the sets.
(18) के धनात्मक भाजक (1,2,3,6,9,18) हैं। सूची रूप में बदलकर सदस्य मिलाना सबसे अच्छा तरीका है। / The positive divisors of (18) are (1,2,3,6,9,18). Converting to roster form is the best way to compare elements.
शर्त में (-3) शामिल नहीं है और (2) शामिल है। अंतराल में खुले और बंद चिह्न ध्यान से पढ़ें। / The condition excludes (-3) and includes (2). Read open and closed endpoints carefully.
(2) निश्चित है, (4) बाहर है और (1,3,5) स्वतंत्र हैं। इसलिए \(2^3=8\) उपसमुच्चय बनेंगे। / Element (2) is fixed, (4) is excluded, and (1,3,5) are free. Hence \(2^3=8\) subsets are possible.
दोनों समुच्चयों में (2) पहले से समान है, इसलिए दूसरा सदस्य (5) होना चाहिए। समुच्चय में क्रम का महत्व नहीं होता। / Both sets already share (2), so the other element must be (5). Order does not matter in sets.
दोहराए गए सदस्य समुच्चय में अलग से नहीं गिने जाते। दोनों में केवल (1,2,3) सदस्य हैं। / Repeated elements are not counted separately in a set. Both sets contain only (1,2,3).
(1,2) निश्चित हैं और (3,4,5,6) वैकल्पिक हैं। इसलिए \(2^4=16\) समुच्चय मिलते हैं। / Elements (1,2) are fixed and (3,4,5,6) are optional. Thus \(2^4=16\) sets are possible.
(r,s) वैकल्पिक हैं लेकिन (X=A) नहीं होना चाहिए। इसलिए \(2^2-1=3\) उत्तर है। / Elements (r,s) are optional, but \(X\ne A\). Therefore the answer is \(2^2-1=3\).
तीन सदस्य चुनने की संख्या \(\binom{5}{3}=10\) है। उपसमुच्चय में क्रम नहीं गिना जाता। / The number of ways to choose three elements is \(\binom{5}{3}=10\). Order is not counted in subsets.
(1) निश्चित है, (5) निषिद्ध है और (2,3,4) स्वतंत्र हैं। इसलिए \(2^3=8\) है। / Element (1) is fixed, (5) is forbidden, and (2,3,4) are free. Hence \(2^3=8\).
कुल उपसमुच्चय (16) हैं और (a,b) दोनों को बाहर रखने वाले \(2^2=4\) हैं। इसलिए (16-4=12) है। / Total subsets are (16), and those excluding both (a,b) are \(2^2=4\). Hence (16-4=12).
घात समुच्चय में सभी उपसमुच्चय होते हैं, इसलिए संख्या \(2^4=16\) है। (A) के सदस्य और (\mathcal{P}(A)) के सदस्य अलग सोचें। / A power set contains all subsets, so the number is \(2^4=16\). Think separately about elements of (A) and elements of (\mathcal{P}(A)).
({0}) समुच्चय (A) का उपसमुच्चय है, इसलिए यह (\mathcal{P}(A)) का सदस्य है। घात समुच्चय के सदस्य हमेशा उपसमुच्चय होते हैं। / ({0}) is a subset of (A), so it is an element of (\mathcal{P}(A)). Elements of a power set are always subsets.
\(\emptyset\) (A) का सदस्य है और हर समुच्चय का उपसमुच्चय भी है। सदस्यता और उपसमुच्चय दोनों जांचें। / \(\emptyset\) is an element of (A) and also a subset of every set. Check both membership and subset relation.
({3}) का सदस्य (3) (A) में है, इसलिए यह उपसमुच्चय है। लेकिन ({3}) (A) में सदस्य के रूप में नहीं दिया है। / ({3}) is a subset because \(3\in A\). But ({3}) is not listed as an element of (A).
यदि \(\emptyset\) सदस्य है, तो (A) में कम से कम एक सदस्य है। इसे \(\emptyset\subseteq A\) से न मिलाएं। / If \(\emptyset\) is an element, then (A) has at least one element. Do not confuse it with \(\emptyset\subseteq A\).
इन शर्तों से \(A\subseteq C\) है। जब (A) (C) के अंदर हो, तो प्रतिच्छेद (A) होता है। / The conditions imply \(A\subseteq C\). When (A) lies inside (C), the intersection is (A).
मिलन (A) ही रहा, इसलिए (B) ने (A) के बाहर कोई सदस्य नहीं जोड़ा। अतः \(B\subseteq A\) है। / The union remains (A), so (B) adds no element outside (A). Hence \(B\subseteq A\).
साझा भाग पूरा (B) है, इसलिए (B) का हर सदस्य (A) में है। यही \(B\subseteq A\) है। / The common part is the whole of (B), so every element of (B) is in (A). This means \(B\subseteq A\).
(A) से (B) हटाने पर (A) ही बचा, यानी कोई साझा सदस्य नहीं था। इसलिए दोनों असंबद्ध हैं। / Removing (B) from (A) still leaves (A), so there was no common element. Hence they are disjoint.
(A) का हर उपसमुच्चय (B) का भी उपसमुच्चय होगा। इसलिए घात समुच्चय में भी यही दिशा रहती है। / Every subset of (A) is also a subset of (B). So the same direction holds for power sets.
(A) स्वयं (\mathcal{P}(A)) का सदस्य है, इसलिए (A) (\mathcal{P}(B)) में भी होगा। इसका अर्थ \(A\subseteq B\) है। / The set (A) itself is an element of (\mathcal{P}(A)), so it is also in (\mathcal{P}(B)). That means \(A\subseteq B\).
(\mathcal{P}(B)) में (8) और (\mathcal{P}(A)) में (4) सदस्य हैं। अंतर में (8-4=4) सदस्य होंगे। / (\mathcal{P}(B)) has (8) elements and (\mathcal{P}(A)) has (4). The difference contains (8-4=4) elements.
तीन विषम संख्याओं में से दो चुनें और तीन सम संख्याएँ वैकल्पिक हैं। संख्या \(\binom{3}{2}\times2^3=24\) है। / Choose two from the three odd numbers, and the three even numbers are optional. The count is \(\binom{3}{2}\times2^3=24\).
चार-सदस्यीय उपसमुच्चय \(\binom{5}{4}=5\) और पांच-सदस्यीय (1) है। कुल (5+1=6) है। / There are \(\binom{5}{4}=5\) four-element subsets and (1) five-element subset. Total is (5+1=6).
(a) को हटाकर (4) सदस्य बचते हैं, जिनके \(2^4=16\) उपसमुच्चय हैं। ये सभी (A) के उचित उपसमुच्चय हैं। / After excluding (a), (4) elements remain, giving \(2^4=16\) subsets. All of them are proper subsets of (A).
(2,3) के लिए दो वैध स्थितियां हैं और (1,4) स्वतंत्र हैं। इसलिए \(2\times2^2=8\) है। / There are two valid states for (2,3), and (1,4) are free. Hence \(2\times2^2=8\).
प्रतिच्छेद में केवल वे सदस्य आते हैं जो दोनों में हों। यहाँ साझा सदस्य (2) और (3) हैं। / Intersection contains only elements common to both sets. Here the common elements are (2) and (3).
\(A\subseteq B\) है और (B) में (A) के बाहर कोई सदस्य नहीं है। इसलिए दोनों बराबर हैं। / We have \(A\subseteq B\), and (B) has no element outside (A). Therefore the two sets are equal.
जब \(A\subseteq B\), तब सममित अंतर (B-A) ही होता है। इसलिए (B-A={7}) है। / When \(A\subseteq B\), the symmetric difference is just (B-A). Hence (B-A={7}).
(20) से छोटे धनात्मक गुणज (4,8,12,16) हैं। सीमा और धनात्मक शर्त दोनों जांचें। / The positive multiples less than (20) are (4,8,12,16). Check both the boundary and positivity condition.
\(A=\{2,3,5\}\) है और ({2,5}) इसके अंदर है पर बराबर नहीं है। इसलिए यह उचित उपसमुच्चय है। / Here \(A=\{2,3,5\}\), and ({2,5}) lies inside it but is not equal to it. Hence it is a proper subset.
पूर्णांक हल (-4) और (4) दोनों हैं। वर्ग वाले प्रश्नों में ऋणात्मक हल न छोड़ें। / The integer solutions are both (-4) and (4). Do not miss the negative solution in square equations.
(\mathcal{P}(A)) के सदस्य (A) के उपसमुच्चय हैं, और विकल्प A के सभी सदस्य ऐसे हैं। संख्या (1) को ({1}) से अलग समझें। / Elements of (\mathcal{P}(A)) are subsets of (A), and every member in option A is such a subset. Distinguish (1) from ({1}).
यहाँ ({2}) एक सदस्य के रूप में मौजूद है, लेकिन (2) स्वयं सदस्य नहीं है। नेस्टेड सेट में कोष्ठक बहुत महत्वपूर्ण हैं। / Here ({2}) is present as one element, but (2) itself is not an element. Brackets are very important in nested sets.
A. \(A\in B\) और \(A\subseteq B\) दोनों/Both \(A\in B\) and \(A\subseteq B\)
Explanation
Simple Explanation
(B) में \(A=\{1,2\}\) सदस्य के रूप में है और (1,2) भी (B) में हैं। इसलिए दोनों संबंध सही हैं। / (B) contains \(A=\{1,2\}\) as an element, and it also contains (1,2). Hence both relations are true.
उचित उपसमुच्चय में बड़े समुच्चय की सदस्य संख्या अधिक होनी चाहिए। इसलिए (n(B)=6) असंभव है। / For a proper subset, the larger set must have more elements. So (n(B)=6) is impossible.
सीमित सेट में उपसमुच्चय और बराबर सदस्य संख्या होने पर कोई अतिरिक्त सदस्य नहीं बचता। इसलिए सेट बराबर हैं। / For finite sets, a subset with equal cardinality leaves no extra element. Therefore the sets are equal.
(n=1,2,3,4) रखने पर \(B=\{2,4,6,8\}\) मिलता है। नियम वाले सेट को सूची रूप में बदलें। / Putting (n=1,2,3,4) gives \(B=\{2,4,6,8\}\). Convert rule form into roster form.
\(A=\{1,2,5,10\}\) है और (4) इसका सदस्य नहीं है। उपसमुच्चय जांचते समय हर सदस्य जांचें। / Here \(A=\{1,2,5,10\}\), and (4) is not its element. Check every element while testing a subset.
A. कथन और कारण दोनों सही हैं, कारण सही व्याख्या है/Both assertion and reason are true, and the reason explains it
Explanation
Simple Explanation
रिक्त समुच्चय में कोई विरोधी सदस्य नहीं होता। इसलिए यह हर समुच्चय का उपसमुच्चय है। / The empty set has no counterexample element. Therefore it is a subset of every set.
A. कथन और कारण दोनों सही हैं, कारण सही व्याख्या है/Both assertion and reason are true, and the reason explains it
Explanation
Simple Explanation
बराबर समुच्चय होने पर (A) का हर सदस्य (B) में होता है। इसलिए उपसमुच्चय संबंध तुरंत मिलता है। / When sets are equal, every element of (A) is in (B). So the subset relation follows directly.
D. कथन और कारण दोनों गलत हैं/Both assertion and reason are false
Explanation
Simple Explanation
सदस्य संख्या समान होने से सदस्य समान होना जरूरी नहीं है। जैसे ({1,2}) और ({3,4}) बराबर नहीं हैं। / Equal cardinality does not force identical elements. For example, ({1,2}) and ({3,4}) are not equal.
सम योग के लिए चुने गए विषम सदस्यों की संख्या सम होनी चाहिए। चार-सदस्यीय सेट में कुल (16) उपसमुच्चयों में आधे यानी (8) सम योग देते हैं। / For an even sum, the number of selected odd elements must be even. Among the (16) subsets, half, that is (8), give even sum.
हर सदस्य के लिए तीन विकल्प हैं: किसी में नहीं, केवल (Y) में, या दोनों में। इसलिए कुल \(3^3=27\) युग्म हैं। / Each element has three choices: in neither set, in (Y) only, or in both. Hence there are \(3^3=27\) pairs.
