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Subjects
Class 11 Mathematics Sets Expert Level 8

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) है, तो ऐसे कितने उपसमुच्चय हैं जो तत्व \(2\) को अवश्य शामिल करते हैं?

If \(A=\{1,2,3,4\}\), how many subsets of \(A\) contain the element \(2\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

C. 8

Explanation

Simple Explanation

तत्व \(2\) को अवश्य शामिल रखना है, इसलिए वह तय है। शेष तीन तत्व \(1,3,4\) के लिए प्रत्येक के दो‑दो विकल्प हैं — या तो शामिल होगा या नहीं। अतः कुल उपसमुच्चयों की संख्या \(2^3=8\) होगी। विकल्प (16) गलत है क्योंकि वह पूरे सेट के सभी उपसमुच्च्यों की संख्या \(2^4\) है; (4) और (6) गलत गिनती के परिणाम हैं (उदा. केवल एक अतिरिक्त चुनने या आंशिक संयोजन)। परीक्षा संकेत: सामान्य सूत्र — यदि n‑तत्व वाले सेट में r तत्व तय हैं तो ऐसे उपसमुच्चयों की संख्या \(2^{n-r}\) होती है। / Element \(2\) is fixed (must be present), so only the remaining three elements \(1,3,4\) are free; each can be either included or excluded. Thus the number of subsets is \(2^3=8\). Option 16 is the total number of all subsets of \(A\) (\(2^4\)), while 4 and 6 result from incorrect counting strategies. Exam tip: for an n‑element set with r fixed elements, the count of subsets containing those r elements is \(2^{n-r}\).

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Correct Answer: C. 8. Explanation: तत्व \(2\) को अवश्य शामिल रखना है, इसलिए वह तय है। शेष तीन तत्व \(1,3,4\) के लिए प्रत्येक के दो‑दो विकल्प हैं — या तो शामिल होगा या नहीं। अतः कुल उपसमुच्चयों की संख्या \(2^3=8\) होगी। विकल्प (16) गलत है क्योंकि वह पूरे सेट के सभी उपसमुच्च्यों की संख्या \(2^4\) है; (4) और (6) गलत गिनती के परिणाम हैं (उदा. केवल एक अतिरिक्त चुनने या आंशिक संयोजन)। परीक्षा संकेत: सामान्य सूत्र — यदि n‑तत्व वाले सेट में r तत्व तय हैं तो ऐसे उपसमुच्चयों की संख्या \(2^{n-r}\) होती है। / Element \(2\) is fixed (must be present), so only the remaining three elements \(1,3,4\) are free; each can be either included or excluded. Thus the number of subsets is \(2^3=8\). Option 16 is the total number of all subsets of \(A\) (\(2^4\)), while 4 and 6 result from incorrect counting strategies. Exam tip: for an n‑element set with r fixed elements, the count of subsets containing those r elements is \(2^{n-r}\).