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क्योंकि \(A\times B\) में \(3\times2=6\) अवयव हैं, इसलिए संबंधों की संख्या \(2^6=64\) है। परीक्षा में पहले \(A\times B\) के अवयव गिनें। / Since \(A\times B\) has \(3\times2=6\) elements, the number of relations is \(2^6=64\). In exams, count the elements of \(A\times B\) first.
शर्त (a+2=b) से ordered pairs ((1,3)) और ((2,4)) मिलते हैं। इसलिए प्रांत ({1,2}) है। / The condition (a+2=b) gives the ordered pairs ((1,3)) and ((2,4)). Therefore the domain is ({1,2}).
प्रांत में सभी प्रथम घटक आते हैं, इसलिए ({2,4,6}) मिलेगा। परीक्षा में ordered pair का पहला स्थान देखें। / The domain contains all first components, so it is ({2,4,6}). In exams, look at the first place in each ordered pair.
किसी संबंध का परिसर क्रमित युग्मों के दूसरे घटकों का समुच्चय होता है। यहाँ दूसरे घटक 3, 3, 5 और 7 हैं; समुच्चय में 3 को केवल एक बार लिखा जाता है, इसलिए परिसर \(\{3,5,7\}\) है। विकल्प A प्रथम घटकों का समुच्चय, अर्थात् प्रांत, है। परीक्षा में परिसर ज्ञात करने के लिए प्रत्येक क्रमित युग्म का दूसरा घटक लें और दोहराए गए अवयव हटा दें। / The range of a relation is the set of second components of its ordered pairs. Here the second components are 3, 3, 5, and 7; since a set does not repeat elements, the range is \(\{3,5,7\}\). Option A is the set of first components, called the domain. Exam tip: to find the range, list the second entry of each ordered pair and remove duplicates.
सभी ((a,a)) अवयव मौजूद हैं, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। सममिति के लिए ((2,1)) भी चाहिए था। / All ((a,a)) elements are present, so the relation is reflexive. For symmetry, ((2,1)) would also be needed.
A. क्योंकि \((3,3)\) संबंध में अनुपस्थित है/Because \((3,3)\) is missing from the relation
Explanation
Simple Explanation
किसी संबंध के प्रतिवर्ती होने के लिए समुच्चय के प्रत्येक अवयव \(a\) के लिए \((a,a)\in R\) होना आवश्यक है। यहां \(1\) और \(2\) के लिए \((1,1)\) तथा \((2,2)\) मौजूद हैं, लेकिन \(3\) के लिए \((3,3)\) मौजूद नहीं है। इसलिए संबंध प्रतिवर्ती नहीं है। परीक्षा-युक्ति: प्रतिवर्तिता जांचने के लिए केवल विकर्ण युग्म \((a,a)\) देखें। / For a relation to be reflexive, \((a,a)\in R\) must hold for every element \(a\) of the set. Here, \((1,1)\) and \((2,2)\) are present, but \((3,3)\) is missing. Therefore, the relation is not reflexive. Exam tip: To test reflexivity, check all diagonal pairs \((a,a)\).
हर ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी है, इसलिए संबंध सममित है। प्रतिवर्ती होने के लिए ((1,1),(2,2),(3,3)) भी चाहिए। / For every ((a,b)), ((b,a)) is also present, so the relation is symmetric. For reflexivity, ((1,1),(2,2),(3,3)) are also needed.
A. ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3))/From ((1,2)) and ((2,3)) to ((1,3))
Explanation
Simple Explanation
संक्रामिता में ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) चाहिए। यहां ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मिलता है। / Transitivity needs ((a,b)) and ((b,c)) to imply ((a,c)). Here ((1,2)) and ((2,3)) give ((1,3)).
सभी ((a,a)) मौजूद हैं और ((1,2)) के साथ ((2,1)) भी है। इसलिए यह प्रतिवर्ती और सममित है। / All ((a,a)) are present and ((2,1)) is present with ((1,2)). So it is reflexive and symmetric.
A. प्रतिवर्ती और संक्रामी/Reflexive and transitive
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(a\le a\) सत्य है और \(a\le b,\ b\le c\) से \(a\le c\) मिलता है। यह सामान्यतः सममित नहीं है। / Since \(a\le a\) is true and \(a\le b,\ b\le c\) gives \(a\le c\). It is generally not symmetric.
(a-b) का सम होना प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी तीनों गुण देता है। इसलिए यह समतुल्य संबंध है। / The evenness of (a-b) gives reflexive, symmetric, and transitive properties. Hence it is an equivalence relation.
क्योंकि (3) संख्या (1) को विभाजित नहीं करती। विकल्प जांचते समय पहले विभाज्यता की दिशा देखें। / Since (3) does not divide (1). While checking options, first notice the direction of divisibility.
शर्त x + y = 5 को पूरा करने वाले क्रमित युग्म हैं: (1, 4), (2, 3), (3, 2) और (4, 1)। अतः R में कुल 4 युग्म हैं। (3) चुनना गलत होगा, क्योंकि (3, 2) और (2, 3) जैसे उलटे क्रम वाले युग्म अलग-अलग माने जाते हैं। परीक्षा-युक्ति: क्रमित युग्मों में क्रम बदलने पर युग्म बदल जाता है। / The ordered pairs satisfying x + y = 5 are (1, 4), (2, 3), (3, 2), and (4, 1). Therefore, R contains 4 ordered pairs. Choosing 3 would be incorrect because reversed pairs such as (2, 3) and (3, 2) are distinct. Exam tip: In an ordered pair, changing the order changes the pair.
दिए गए संबंध में a < b होना चाहिए। संभावित युग्म (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4) और (3, 4) हैं। इन युग्मों के दूसरे घटक 2, 3 और 4 हैं, इसलिए परिसर {2, 3, 4} है। विकल्प A प्रथम घटकों से संबंधित है, जो इस प्रश्न में प्रांत के रूप में प्राप्त होते हैं। परीक्षा-युक्ति: संबंध का परिसर ज्ञात करने के लिए सभी क्रमित युग्मों के दूसरे घटक लिखें। / The relation requires a < b. Its ordered pairs are (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), and (3, 4). The second components appearing in these pairs are 2, 3, and 4, so the range is {2, 3, 4}. Option A consists of the first components and represents the domain, not the range. Exam tip: To find the range of a relation, collect the second components of all its ordered pairs.
व्युत्क्रम संबंध में हर ordered pair के घटक उलट जाते हैं। इसलिए ((1,2)) से ((2,1)) और ((2,3)) से ((3,2)) मिलेगा। / In the inverse relation, the components of each ordered pair are reversed. Thus ((1,2)) gives ((2,1)) and ((2,3)) gives ((3,2)).
सममित संबंध की परिभाषा के अनुसार, यदि \((a,b)\in R\), तो \((b,a)\in R\) भी अवश्य होता है। यहाँ \(a=5\) और \(b=8\) हैं, इसलिए \((8,5)\in R\) निश्चित रूप से सत्य है। \((5,5)\in R\) या \((8,8)\in R\) होने के लिए संबंध का प्रतिवर्ती होना आवश्यक होता, जबकि विकल्प D दिए गए तथ्य का विरोध करता है। परीक्षा-युक्ति: सममित संबंध में प्रत्येक क्रमित युग्म के साथ उसका उल्टा क्रमित युग्म भी शामिल होता है। / By definition of a symmetric relation, if \((a,b)\in R\), then \((b,a)\in R\) must also hold. Here, \(a=5\) and \(b=8\), so \((8,5)\in R\) is definitely true. The pairs \((5,5)\) and \((8,8)\) would require reflexivity, which is not implied by symmetry, while option D contradicts the given condition. Exam tip: For a symmetric relation, every ordered pair must be accompanied by its reversed pair.
संक्रामिता में बीच वाला घटक समान हो तो ((a,c)) चाहिए। इसलिए ((1,7)) आवश्यक है। / In transitivity, when the middle component is common, ((a,c)) is required. Therefore ((1,7)) is necessary.
प्रतिवर्ती संबंध में समुच्चय के प्रत्येक अवयव के लिए संबंधित क्रमित युग्म होना आवश्यक है। इसलिए \((1,1),(2,2),(3,3)\) अनिवार्य हैं और न्यूनतम संख्या 3 है। विकल्प 1 और 2 में सभी अवयवों के लिए स्व-संबंध नहीं बनते, जबकि 9 पूरे \(A\times A\) के युग्मों की संख्या है, न्यूनतम संख्या नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(n\) अवयवों वाले समुच्चय पर प्रतिवर्ती संबंध में कम-से-कम \(n\) युग्म होते हैं। / A reflexive relation must contain a self-related ordered pair \((a,a)\) for every element \(a\) of the set. Thus, \((1,1),(2,2),(3,3)\) are compulsory, giving a minimum of 3 ordered pairs. One or two pairs cannot cover all three elements, while 9 is the total number of pairs in \(A\times A\), not the minimum. Exam tip: a reflexive relation on an \(n\)-element set contains at least \(n\) ordered pairs.
\(A\times A\) में (16) युग्म हैं और (4) diagonal युग्म अनिवार्य हैं। शेष (12) युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^{12}\) है। / \(A\times A\) has (16) pairs and (4) diagonal pairs are compulsory. The remaining (12) pairs are free, so the number is \(2^{12}\).
समुच्चय \(A\) में 2 अवयव हैं, इसलिए \(A\times A\) में \(2^2=4\) क्रमित युग्म होंगे। प्रत्येक संबंध, \(A\times A\) का एक उपसमुच्चय होता है। 4 अवयवों वाले समुच्चय के कुल उपसमुच्चय \(2^4=16\) होते हैं, इसलिए सही उत्तर 16 है। विकल्प 4 केवल क्रमित युग्मों की संख्या बताता है, संबंधों की नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(n\) अवयवों वाले समुच्चय पर संबंधों की संख्या हमेशा \(2^{n^2}\) होती है। / Set \(A\) has 2 elements, so \(A\times A\) contains \(2^2=4\) ordered pairs. Every relation on \(A\) is a subset of \(A\times A\). A set with 4 elements has \(2^4=16\) subsets, so the total number of relations is 16. Option 4 is only the number of ordered pairs, not the number of relations. Exam tip: For a set with \(n\) elements, the number of relations on it is \(2^{n^2}\).
रिक्त संबंध में सममिति की शर्त का विरोध करने वाला कोई युग्म नहीं है। लेकिन यह प्रतिवर्ती नहीं है क्योंकि ((1,1),(2,2),(3,3)) नहीं हैं। / The empty relation has no pair that violates symmetry. But it is not reflexive because ((1,1),(2,2),(3,3)) are absent.
सार्वत्रिक संबंध \(A\times A\) के बराबर होता है। यहाँ \(A\times A=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\}\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B केवल तत्समक संबंध है, जिसमें \((a,a)\) वाले युग्म होते हैं। परीक्षा में याद रखें कि सार्वत्रिक संबंध में समुच्चय के सभी संभव क्रमित युग्म शामिल होते हैं। / The universal relation on a set \(A\) is \(A\times A\). For \(A=\{1,2\}\), \(A\times A=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\}\), so option A is correct. Option B is only the identity relation, containing pairs of the form \((a,a)\). Exam tip: a universal relation contains every possible ordered pair formed from the set.
इस संबंध में समुच्चय \(A\) का प्रत्येक अवयव केवल स्वयं से संबंधित होता है; अर्थात प्रत्येक \(x\in A\) के लिए \((x,x)\in R\) होता है। इसलिए इसे सर्वसम संबंध कहते हैं। रिक्त संबंध में कोई क्रमित युग्म नहीं होता, जबकि सार्वत्रिक संबंध में \(A\times A\) के सभी क्रमित युग्म होते हैं। परीक्षा-युक्ति: \(R=\{(x,x):x\in A\}\) दिखे, तो उसे तुरंत सर्वसम संबंध पहचानें। / In this relation, every element of the set \(A\) is related only to itself; that is, \((x,x)\in R\) for every \(x\in A\). Hence, it is called the identity relation. An empty relation contains no ordered pairs, whereas a universal relation contains every ordered pair in \(A\times A\). Exam tip: whenever a relation is written as \(\{(x,x):x\in A\}\), identify it as the identity relation.
शर्त a=b के कारण केवल (1,1), (2,2), (3,3) और (4,4) जैसे diagonal ordered pairs ही R में होंगे। अतः R में कुल 4 ordered pairs हैं। परीक्षा में पहचान संबंध के लिए याद रखें कि n अवयवों वाले समुच्चय पर ऐसे संबंध में n ordered pairs होते हैं। / Since the condition a=b allows only the diagonal pairs (1,1), (2,2), (3,3), and (4,4), relation R contains exactly 4 ordered pairs. Exam tip: the identity relation on a set with n elements has n ordered pairs, not n².
समुच्चय \(A\) से \(B\) तक संबंध की परिभाषा \(A\times B\) के किसी भी उपसमुच्चय के रूप में दी जाती है। इसलिए विकल्प A सही है। हर संबंध फलन नहीं होता, क्योंकि फलन में \(A\) के प्रत्येक अवयव की \(B\) में ठीक एक प्रतिछवि होनी चाहिए। विकल्प D भी गलत है, क्योंकि सर्वसम संबंध सामान्यतः उसी समुच्चय पर परिभाषित होता है। परीक्षा-युक्ति: संबंध के लिए ‘कोई भी उपसमुच्चय’, जबकि फलन के लिए ‘प्रत्येक अवयव की ठीक एक प्रतिछवि’ याद रखें। / A relation from set \(A\) to set \(B\) is defined as any subset of \(A\times B\), so option A is correct. Not every relation is a function: a function must assign exactly one image in \(B\) to each element of \(A\). Option D is incorrect because an identity relation is generally defined on the same set. Exam tip: remember ‘any subset’ for a relation and ‘exactly one image for every element’ for a function.
A. \(p\in A\) और \(q\in B\)/\(p\in A\) and \(q\in B\)
Explanation
Simple Explanation
कार्टेशियन गुणन में पहला घटक पहले समुच्चय से और दूसरा घटक दूसरे समुच्चय से आता है। इसलिए \(p\in A\) और \(q\in B\) है। / In a Cartesian product, the first component comes from the first set and the second from the second set. Therefore \(p\in A\) and \(q\in B\).
A. सममित लेकिन प्रतिवर्ती नहीं/Symmetric but not reflexive
Explanation
Simple Explanation
यदि (a+b) विषम है तो (b+a) भी विषम है, इसलिए सममित है। लेकिन (a+a) सम होता है, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है। / If (a+b) is odd, then (b+a) is also odd, so it is symmetric. But (a+a) is even, so it is not reflexive.
A. प्रतिवर्ती और संक्रामी/Reflexive and transitive
Explanation
Simple Explanation
((1,1)) और ((2,2)) होने से यह प्रतिवर्ती है। ((1,2)) के कारण कोई संक्रामिता भंग नहीं होती, इसलिए यह संक्रामी भी है। / It is reflexive because ((1,1)) and ((2,2)) are present. The pair ((1,2)) causes no violation of transitivity, so it is also transitive.
A. यह सममित है लेकिन प्रतिवर्ती नहीं/It is symmetric but not reflexive
Explanation
Simple Explanation
((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए सममित है। लेकिन ((1,1)) और ((2,2)) नहीं हैं, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है। / Both ((1,2)) and ((2,1)) are present, so it is symmetric. But ((1,1)) and ((2,2)) are absent, so it is not reflexive.
A. क्योंकि \((1,3)\) अनुपस्थित है/Because \((1,3)\) is absent
Explanation
Simple Explanation
संक्रामिता के लिए यदि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\), तो \((a,c)\in R\) भी होना चाहिए। यहाँ \((1,2)\in R\) और \((2,3)\in R\) हैं, इसलिए \((1,3)\) भी R में होना चाहिए; लेकिन \((1,3)\) अनुपस्थित है। अतः R संक्रामी नहीं है। ध्यान रखें कि \((1,1),(2,2),(3,3)\) जैसे युग्म इस कमी को पूरा नहीं करते। / For transitivity, whenever \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\), the pair \((a,c)\) must also belong to R. Here, \((1,2)\in R\) and \((2,3)\in R\), so \((1,3)\) must be in R; however, it is absent. Therefore, R is not transitive. Exam tip: diagonal pairs such as \((1,1),(2,2),(3,3)\) do not compensate for a missing required pair.
(1) से \( \pmod{3}\) में समान शेष देने वाली संख्याएं (1) और (4) हैं। इसलिए वर्ग ({1,4}) है। / The numbers with the same remainder as (1) modulo (3) are (1) and (4). Hence the class is ({1,4}).
दिए गए समुच्चय में सभी अवयव अनऋण हैं, इसलिए \(a^2=b^2\) से (a=b) मिलता है। इसलिए केवल (5) diagonal युग्म हैं। / All elements in the given set are non-negative, so \(a^2=b^2\) gives (a=b). Therefore only (5) diagonal pairs exist.
युग्म \((-2,2)\) के लिए \((-2)^2=2^2=4\), इसलिए \(a^2=b^2\) की शर्त पूरी होती है और \((-2,2)\in R\)। अन्य विकल्पों में दोनों संख्याओं के वर्ग बराबर नहीं हैं। परीक्षा में ऐसी शर्तों में विपरीत चिह्न वाली संख्याओं के वर्ग भी जाँचें। / For the pair \((-2,2)\), \((-2)^2=2^2=4\), so it satisfies the condition \(a^2=b^2\) and hence \((-2,2)\in R\). In the other options, the squares of the two numbers are unequal. Exam tip: when a relation involves squares, check numbers with opposite signs as well.
A. (R) प्रतिवर्ती और संक्रामी है/(R) is reflexive and transitive
Explanation
Simple Explanation
हर (a) अपने को विभाजित करता है और \(a\mid b,\ b\mid c\) से \(a\mid c\) मिलता है। इसलिए यह प्रतिवर्ती और संक्रामी है। / Every (a) divides itself and \(a\mid b,\ b\mid c\) imply \(a\mid c\). Hence it is reflexive and transitive.
A. यह प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी है/It is reflexive, symmetric, and transitive
Explanation
Simple Explanation
यह सर्वसम संबंध है, इसलिए तीनों गुण रखता है। ऐसे संबंध को समतुल्य भी कहा जा सकता है। / It is the identity relation, so it has all three properties. Such a relation is also an equivalence relation.
A. प्रतिवर्ती, सममित, संक्रामी/Reflexive, symmetric, transitive
Explanation
Simple Explanation
समतुल्य संबंध की परिभाषा में प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी तीनों गुण आते हैं। परीक्षा में इन तीनों को अलग-अलग जांचें। / The definition of equivalence relation includes reflexive, symmetric, and transitive properties. In exams, check all three separately.
युग्म \((4,2)\) के लिए \(a+b=4+2=6\) है। संबंध \(R\) में वही युग्म शामिल हैं जिनके लिए \(a+b\le 5\) हो, लेकिन \(6\le 5\) असत्य है। इसलिए \((4,2)\notin R\)। विकल्प B में असमानता की शर्त उलटी समझी गई है। परीक्षा-युक्ति: किसी युग्म की सदस्यता जाँचने के लिए उसके दोनों घटकों को दिए गए संबंध की शर्त में सीधे रखें। / For the ordered pair \((4,2)\), \(a+b=4+2=6\). The relation \(R\) contains only those ordered pairs for which \(a+b\le 5\), but \(6\le 5\) is false. Therefore, \((4,2)\notin R\). Option B incorrectly treats the inequality condition as satisfied. Exam tip: To test whether an ordered pair belongs to a relation, substitute its two components directly into the defining condition.
A. सममित लेकिन प्रतिवर्ती नहीं/Symmetric but not reflexive
Explanation
Simple Explanation
यदि (|a-b|=1), तो (|b-a|=1) भी है, इसलिए सममित है। लेकिन (|a-a|=0), इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है। / If (|a-b|=1), then (|b-a|=1) too, so it is symmetric. But (|a-a|=0), so it is not reflexive.
प्रतिवर्ती होने के लिए ((1,1)) और ((2,2)) दोनों चाहिए। ((1,1)) पहले से है, इसलिए ((2,2)) जोड़ना होगा। / To be reflexive, both ((1,1)) and ((2,2)) are needed. ((1,1)) is already present, so ((2,2)) must be added.
किसी संबंध का प्रांत उसके क्रमित युग्मों के प्रथम घटकों का समुच्चय होता है। यहां प्रथम घटक 1, 2 और 1 हैं, इसलिए दोहराव हटाने पर प्रांत \(\{1,2\}\) मिलता है। विकल्प B केवल द्वितीय घटकों का समुच्चय है, इसलिए वह परास (range) है। परीक्षा-युक्ति: प्रांत के लिए प्रत्येक क्रमित युग्म का पहला अंक लें। / The domain of a relation is the set of first components of its ordered pairs. The first components here are 1, 2, and 1; removing the repetition gives the domain \(\{1,2\}\). Option B contains the second components and therefore represents the range. Exam tip: for the domain, list the first element of every ordered pair and remove duplicates.
किसी संबंध के परास में क्रमित युग्मों के दूसरे घटकों के सभी अलग-अलग मान शामिल होते हैं। यहां दूसरे घटक 2, 3 और 3 हैं, इसलिए परास \(\{2,3\}\) है। विकल्प A और C में पहले तथा दूसरे घटकों का गलत संयोजन है, जबकि विकल्प D में पहले घटक 1 को भी शामिल कर दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: परास ज्ञात करने के लिए प्रत्येक क्रमित युग्म का दूसरा घटक लिखें। / The range of a relation consists of all distinct second components of its ordered pairs. Here, the second components are 2, 3, and 3, so the range is \(\{2,3\}\). Options A and C use incorrect combinations of components, while option D also includes the first component 1. Exam tip: To find the range, list the second component of every ordered pair and remove repetitions.
A से B तक परिभाषित संबंध R का सहप्रांत वह पूरा समुच्चय B होता है जिसमें संबंध के मान स्थित होते हैं, चाहे B का कोई अवयव वास्तव में संबंधित हुआ हो या नहीं। इसलिए सहप्रांत {x,y} है। {1,3} संबंध का प्रांत है, जबकि {x,y} के सभी अवयव यहां प्राप्त होने के कारण इसका परिसर भी {x,y} है। परीक्षा-युक्ति: सहप्रांत दिए गए लक्ष्य समुच्चय B को देखकर, और परिसर संबंध के दूसरे घटकों को देखकर निर्धारित करें। / For a relation R from A to B, the codomain is the entire target set B, whether or not every element of B is actually used. Hence, the codomain is {x,y}. The set {1,3} is the domain, while the range is also {x,y} here because both x and y occur as second components. Exam tip: identify the codomain from the stated target set B, but find the range from the actual second components of the ordered pairs.
A. परिसर सहप्रांत का उपसमुच्चय है/The range is a subset of the codomain
Explanation
Simple Explanation
किसी संबंध का परिसर उन वास्तविक मानों का समुच्चय होता है जो संबंध के माध्यम से प्राप्त होते हैं, जबकि सहप्रांत वह समुच्चय है जिसमें ये मान स्थित होते हैं। इसलिए परिसर हमेशा सहप्रांत का उपसमुच्चय होता है। यहाँ \({p,q}\subset {p,q,r}\), और \(r\) सहप्रांत में है लेकिन परिसर में नहीं; अतः दोनों समान नहीं हैं। परीक्षा में याद रखें: परिसर सहप्रांत का उपसमुच्चय होता है, पर सहप्रांत परिसर का उपसमुच्चय आवश्यक नहीं होता। / The range of a relation consists of the actual output values, whereas the codomain is the set in which those outputs are allowed to lie. Therefore, the range is always a subset of the codomain. Here, \({p,q}\subset {p,q,r}\); the element \(r\) belongs to the codomain but not to the range, so the two sets are not equal. Exam tip: range is always contained in the codomain, but it need not be the whole codomain.
अधिकतम संबंध पूरा \(A\times B\) हो सकता है। इसलिए अधिकतम युग्म \(2\times5=10\) होंगे। / The maximum relation can be the whole \(A\times B\). Therefore the maximum number of pairs is \(2\times5=10\).
सम्बन्ध की शर्त b = a + 3 के अनुसार a = 1 से (1, 4), a = 2 से (2, 5) और a = 3 से (3, 6) प्राप्त होते हैं। अतः R = {(1, 4), (2, 5), (3, 6)} और इसमें 3 क्रमित युग्म हैं। विकल्प 6, A × B के कुल युग्मों की संख्या है, लेकिन दिए गए सम्बन्ध में केवल शर्त पूरी करने वाले युग्म लिए जाते हैं। परीक्षा-युक्ति: सम्बन्ध के क्रमित युग्म गिनने से पहले उसकी दी हुई शर्त प्रत्येक अवयव पर जाँचें। / Using the condition b = a + 3, a = 1 gives (1, 4), a = 2 gives (2, 5), and a = 3 gives (3, 6). Thus, R = {(1, 4), (2, 5), (3, 6)} contains 3 ordered pairs. The value 6 is the number of pairs in the Cartesian product A × B, not in this restricted relation. Exam tip: Apply the defining condition to each element before counting the ordered pairs.
\((1,4)\) के लिए \(a=1\) और \(b=4\), इसलिए \(ab=1\times4=4\) है। अतः \((1,4)\), \(R\) का सदस्य है। अन्य विकल्पों के लिए क्रमशः गुणनफल \(6,3\) और \(8\) है, इसलिए वे \(R\) में नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: किसी क्रमित युग्म की सदस्यता जाँचने के लिए पहले देखें कि दोनों अवयव दिए गए समुच्चय में हैं और फिर संबंध की शर्त संतुष्ट होती है या नहीं। / For \((1,4)\), we have \(a=1\) and \(b=4\), so \(ab=1\times4=4\). Hence, \((1,4)\) belongs to \(R\). The products for the other options are \(6,3\), and \(8\), respectively, so they do not satisfy the relation. Exam tip: To test whether an ordered pair belongs to a relation, verify both the allowed elements and the defining condition.
A. सार्वत्रिक और समतुल्य/Universal and equivalence
Explanation
Simple Explanation
यह \(A\times A\) के सभी युग्म रखता है, इसलिए सार्वत्रिक है। यह प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी भी है। / It contains all pairs of \(A\times A\), so it is universal. It is also reflexive, symmetric, and transitive.
A. \((5,3)\in R\) नहीं हो सकता/\((5,3)\in R\) cannot occur
Explanation
Simple Explanation
प्रतिसममित संबंध में अलग-अलग (a) और (b) के लिए दोनों ((a,b)) और ((b,a)) साथ नहीं हो सकते। क्योंकि \(3\ne5\), ((5,3)) नहीं हो सकता। / In an antisymmetric relation, for distinct (a) and (b), both ((a,b)) and ((b,a)) cannot occur together. Since \(3\ne5\), ((5,3)) cannot occur.
A. यह प्रतिवर्ती और प्रतिसममित है/It is reflexive and antisymmetric
Explanation
Simple Explanation
सभी diagonal युग्म हैं, इसलिए यह प्रतिवर्ती है। ((2,1)) नहीं है, इसलिए ((1,2)) से प्रतिसममिति नहीं टूटती। / All diagonal pairs are present, so it is reflexive. Since ((2,1)) is absent, ((1,2)) does not break antisymmetry.
A. प्रतिवर्ती, प्रतिसममित और संक्रामी/Reflexive, antisymmetric, and transitive
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(a\ge a\) सत्य है, और \(a\ge b,\ b\ge c\) से \(a\ge c\) मिलता है। साथ ही \(a\ge b\) और \(b\ge a\) से (a=b) होता है। / Because \(a\ge a\) is true, and \(a\ge b,\ b\ge c\) imply \(a\ge c\). Also \(a\ge b\) and \(b\ge a\) imply (a=b).
