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(n\(A\times B\)=n(A)n(B)=3\times2=6) होता है। पहले दोनों समुच्चयों के अवयव गिनना सबसे सुरक्षित तरीका है। / (n\(A\times B\)=n(A)n(B)=3\times2=6). Counting elements of both sets first is the safest method.
\(A\times B\) में पहला घटक (A) से और दूसरा (B) से आता है। हर (A) का अवयव (B) के सभी अवयवों से जुड़ता है। / In \(A\times B\), the first component comes from (A) and the second from (B). Each element of (A) pairs with all elements of (B).
\(B\times A\) में पहला अवयव (B) से और दूसरा (A) से होना चाहिए। इसलिए ((3,2)) सही है। / In \(B\times A\), the first element must be from (B) and the second from (A). Hence ((3,2)) is correct.
क्योंकि \(6\in A\) और \(4\in B\), इसलिए \((6,4)\in A\times B\) सत्य है। सदस्यता में दोनों स्थान अलग-अलग जांचें। / Since \(6\in A\) and \(4\in B\), \((6,4)\in A\times B\) is true. Check both positions separately for membership.
((2,5)) में पहला अवयव (A) से नहीं और दूसरा (B) से नहीं है। कार्तीय गुणन में क्रम बदलना सामान्य गलती है। / In ((2,5)), the first element is not from (A) and the second is not from (B). Reversing order is a common Cartesian product mistake.
\(B\cap C={3}\), इसलिए (n(A\times\(B\cap C\))=3\times1=3)। पहले प्रतिच्छेद निकालें फिर गुणन करें। / \(B\cap C={3}\), so (n(A\times\(B\cap C\))=3\times1=3). Find the intersection first and then multiply.
\(B\cup C={2,4,6,8}\), इसलिए (n(A\times\(B\cup C\))=2\times4=8)। संघ में समान अवयव को दो बार न गिनें। / \(B\cup C={2,4,6,8}\), so (n(A\times\(B\cup C\))=2\times4=8). Do not count common elements twice in a union.
(A-B={2,6}), इसलिए (n\((A-B)\times C\)=2\times3=6)। पहले समुच्चय अंतर निकालना जरूरी है। / (A-B={2,6}), so (n\((A-B)\times C\)=2\times3=6). It is necessary to find the set difference first.
(n\(A\times B\)=n(A)n(B)), इसलिए (48=6n(B)) और (n(B)=8)। ऐसे प्रश्नों में सूत्र को उल्टा लगाएं। / (n\(A\times B\)=n(A)n(B)), so (48=6n(B)) and (n(B)=8). Use the formula in reverse in such questions.
B. दोनों में (20) अवयव होंगे/both have (20) elements
Explanation
Simple Explanation
दोनों की अवयव संख्या \(4\times5=20\) होगी। संख्या समान हो सकती है पर युग्मों का क्रम सामान्यतः अलग होता है। / Both have \(4\times5=20\) elements. The number can be the same but the order of pairs is generally different.
मान लें कि \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}\) है। यदि \(A=\{x:x\in\mathbb{N},\ 2\le x\le5\}\) और \(B=\{y:y\in\mathbb{N},\ y<4\}\) हैं, तो \(n(A\times B)\) का मान क्या है?
यहाँ \(A=\{2,3,4,5\}\), इसलिए \(n(A)=4\), और \(B=\{1,2,3\}\), इसलिए \(n(B)=3\)। कार्तीय गुणनफल के लिए \(n(A\times B)=n(A)\times n(B)\), अतः \(4\times3=12\)। इसलिए सही विकल्प C है। विकल्प D तब मिलता यदि \(\mathbb{N}\) में 0 को शामिल करके \(B\) में 0 भी लिया जाता; प्रश्न में प्राकृतिक संख्याओं को धनात्मक माना गया है। परीक्षा-टिप: \(A\times B\) के क्रमित युग्मों की संख्या हमेशा दोनों समुच्चयों की संख्याओं के गुणनफल के बराबर होती है। / Here, \(A=\{2,3,4,5\}\), so \(n(A)=4\), and \(B=\{1,2,3\}\), so \(n(B)=3\). For a Cartesian product, \(n(A\times B)=n(A)\times n(B)\); therefore, \(4\times3=12\). Hence, option C is correct. Option D would result only if 0 were included in \(\mathbb{N}\) and consequently in \(B\); in this question, natural numbers are explicitly taken as positive integers. Exam tip: The number of ordered pairs in \(A\times B\) is always the product of the cardinalities of the two sets.
दूसरा घटक (B) से लेना होता है पर \(B=\varnothing\) है। इसलिए कोई क्रमित युग्म नहीं बनेगा और गुणन \(\varnothing\) होगा। / The second component must come from (B), but \(B=\varnothing\). Hence no ordered pair is formed and the product is \(\varnothing\).
समुच्चय A में 3 अवयव हैं। इसलिए A × A में क्रमित युग्मों की संख्या n(A × A) = n(A) × n(A) = 3 × 3 = 9 होगी। इसमें (m, m), (n, n) और (o, o) जैसे समान घटकों वाले युग्म भी शामिल होते हैं; इसलिए 6 सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: किसी समुच्चय A के लिए n(A × A) = [n(A)]² होता है। / Set A has 3 elements. Therefore, the number of ordered pairs in A × A is n(A × A) = n(A) × n(A) = 3 × 3 = 9. Pairs with equal components, such as (m, m), (n, n), and (o, o), are also included, so 6 is incorrect. Exam tip: For any set A, n(A × A) = [n(A)]².
शर्त \(x=y\) के कारण दोनों समुच्चयों में समान अवयवों से ही युग्म बनेंगे। \(A\cap B=\{3,4\}\), इसलिए मान्य युग्म \((3,3)\) और \((4,4)\) हैं। अतः कुल 2 युग्म हैं। परीक्षा-युक्ति: \(x=y\) वाले कार्तीय गुणनफल के युग्मों की संख्या हमेशा \(|A\cap B|\) के बराबर होती है। / The condition \(x=y\) means that the common elements of both sets must be used. Since \(A\cap B=\{3,4\}\), the valid ordered pairs are \((3,3)\) and \((4,4)\). Therefore, there are 2 pairs. Exam tip: the number of pairs in \(A\times B\) with equal coordinates is \(|A\cap B|\).
(y=1) के लिए (1) युग्म, (y=3) के लिए (3) युग्म और (y=5) के लिए (4) युग्म मिलते हैं। कुल (1+3+4=8) नहीं, ध्यान से सूची बनाने पर ((0,1),(0,3),(1,3),(2,3),(0,5),(1,5),(2,5),(3,5)) यानी (8) युग्म हैं। / The valid pairs are ((0,1),(0,3),(1,3),(2,3),(0,5),(1,5),(2,5),(3,5)), so the count is (8). Careful listing prevents overcounting.
सही युग्म ((1,4),(2,3),(4,1)) हैं। हर युग्म में दोनों घटकों की सदस्यता जरूर जांचें। / The valid pairs are ((1,4),(2,3),(4,1)). Always check membership of both components in each pair.
A के प्रत्येक मान के लिए y=2x जाँचते हैं: x=1 पर y=2, x=3 पर y=6 और x=5 पर y=10 मिलता है। ये सभी मान B में हैं, इसलिए युग्म (1,2), (3,6) और (5,10) हैं और कुल 3 युग्म मिलते हैं। केवल दो युग्म गिनना अधूरा होगा, क्योंकि x=5 से भी मान्य युग्म बनता है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में A के प्रत्येक अवयव के लिए y=2x निकालकर यह जाँचें कि y, B में उपस्थित है या नहीं। / Check y=2x for every element of A: x=1 gives y=2, x=3 gives y=6, and x=5 gives y=10. All three resulting values belong to B, so the valid ordered pairs are (1,2), (3,6), and (5,10), giving a total of 3. Counting only two pairs overlooks the valid pair obtained from x=5. In an exam, compute y for each element of A and then verify that the result lies in B.
सही युग्म ((4,1),(4,2),(4,4),(6,1),(6,2),(8,1),(8,2),(8,4)) हैं। विभाज्यता में भाजक और भाज्य की जगह ध्यान से देखें। / The valid pairs are ((4,1),(4,2),(4,4),(6,1),(6,2),(8,1),(8,2),(8,4)). In divisibility, note the positions of divisor and dividend carefully.
सही युग्म ((1,1),(2,4),(4,16)) हैं। कार्तीय गुणन पर शर्त लगाने से संबंध बनता है। / The valid pairs are ((1,1),(2,4),(4,16)). Applying a condition to a Cartesian product forms a relation.
पहला घटक (4) तय होने पर दूसरा घटक (B) के (4) अवयवों में से कोई भी हो सकता है। इसलिए (4) युग्म बनते हैं। / When the first component (4) is fixed, the second component can be any of the (4) elements of (B). Hence (4) pairs are formed.
दूसरा घटक (20) तय होने पर पहला घटक (A) के (4) अवयवों में से कोई भी हो सकता है। इसलिए (4) युग्म होंगे। / When the second component (20) is fixed, the first component can be any of the (4) elements of (A). So there are (4) pairs.
(n\(A\times B\)=2\times3=6), और हर संबंध \(A\times B\) का उपसमुच्चय होता है। इसलिए कुल संबंध \(2^6\) हैं। / (n\(A\times B\)=2\times3=6), and every relation is a subset of \(A\times B\). Therefore the total number of relations is \(2^6\).
संबंध \(A\times B\) का उपसमुच्चय होता है। केवल ({(2,1),(6,3)}) के सभी युग्म \(A\times B\) में हैं। / A relation is a subset of \(A\times B\). Only all pairs of ({(2,1),(6,3)}) belong to \(A\times B\).
(n\(A\times B\)=3\times2=6), इसलिए उपसमुच्चयों की संख्या \(2^6\) है। उपसमुच्चय गिनने में \(2^n\) लगाएं। / (n\(A\times B\)=3\times2=6), so the number of subsets is \(2^6\). Use \(2^n\) for counting subsets.
साझा युग्म ((2,2),(2,4),(4,2),(4,4)) हैं। प्रतिच्छेद में पूरा क्रमित युग्म दोनों समुच्चयों में होना चाहिए। / The common pairs are ((2,2),(2,4),(4,2),(4,4)). In intersection, the whole ordered pair must belong to both sets.
A. दोनों में (6) अवयव हैं पर समुच्चय सामान्यतः अलग हैं/both have (6) elements but the sets are generally different
Explanation
Simple Explanation
दोनों की अवयव संख्या \(2\times3=6\) है, पर क्रम बदलने से युग्म बदल जाते हैं। कार्तीय गुणन सामान्यतः क्रमविनिमेय नहीं होता। / Both have \(2\times3=6\) elements, but changing the order changes pairs. Cartesian product is generally not commutative.
B. रेखा \(y=3\) पर \(2\le x\le5\) वाला रेखाखंड/A line segment on \(y=3\) with \(2\le x\le5\)
Explanation
Simple Explanation
कार्तीय गुणनफल \(A\times B\) में पहला निर्देशांक \(A\) से और दूसरा निर्देशांक \(B\) से लिया जाता है। इसलिए \(A\times B=\{(x,3):2\le x\le5\}\), जो \(y=3\) पर स्थित क्षैतिज रेखाखंड है। विकल्प A में निर्देशांकों की भूमिकाएँ उलट दी गई हैं, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: यदि दूसरा समुच्चय एकल अवयव \(\{c\}\) हो, तो गुणनफल \(y=c\) पर रेखाखंड देता है। / In the Cartesian product \(A\times B\), the first coordinate comes from \(A\) and the second coordinate comes from \(B\). Thus, \(A\times B=\{(x,3):2\le x\le5\}\), which is a horizontal line segment on \(y=3\). Option A incorrectly interchanges the roles of the coordinates. Exam tip: when the second set is a singleton \(\{c\}\), the Cartesian product lies on the line \(y=c\).
पहला घटक हमेशा (2) है और दूसरा ([-1,4]) में बदलता है। यह (x=2) पर ऊर्ध्वाधर रेखाखंड है। / The first component is always (2), and the second varies in ([-1,4]). This is a vertical line segment on (x=2).
\(A\) में 3, \(B\) में 2 और \(C\) में 1 अवयव है। इसलिए \(A\times B\) में \(3\times2=6\) क्रमित युग्म होंगे। अब \((A\times B)\times C\) में प्रत्येक ऐसे युग्म को \(C\) के एकमात्र अवयव 6 के साथ जोड़ा जाएगा, अतः अवयवों की संख्या \(6\times1=6\) होगी। 12 चुनना \(C\) के एक से अधिक अवयव मान लेने की भूल है। परीक्षा-युक्ति: \(n(X\times Y)=n(X)\times n(Y)\) का प्रयोग करें। / Set \(A\) has 3 elements, \(B\) has 2, and \(C\) has 1. Thus, \(A\times B\) contains \(3\times2=6\) ordered pairs. Each of these pairs is combined with the only element of \(C\), so \((A\times B)\times C\) has \(6\times1=6\) elements. Choosing 12 incorrectly treats \(C\) as if it had more than one element. Exam tip: use \(n(X\times Y)=n(X)\times n(Y)\).
क्योंकि (B) अरिक्त है, (A) का हर अवयव पहले घटक के रूप में आएगा। इसलिए पहले घटकों का समुच्चय (A) है। / Since (B) is non-empty, every element of (A) appears as a first component. Therefore the set of first components is (A).
दूसरे घटक हमेशा (B) से आते हैं। क्योंकि (A) अरिक्त है, (B) का हर अवयव दूसरे घटक के रूप में आता है। / Second components always come from (B). Since (A) is non-empty, every element of (B) appears as a second component.
योग सम तब होगा जब दोनों घटक समान सम-विषम प्रकृति के हों। यहां ऐसे \(2\times2+2\times1=6\) युग्म हैं। / The sum is even when both components have the same parity. Here such pairs are \(2\times2+2\times1=6\).
शर्त x+y=7 के अनुसार x=2 पर y=5, x=4 पर y=3 और x=6 पर y=1 मिलता है। इसलिए मान्य क्रमित युग्म (2,5), (4,3) और (6,1) हैं, कुल 3। x=0 के लिए y=7 चाहिए, लेकिन 7, B का सदस्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: पहले प्रत्येक x के लिए y=7−x निकालें और फिर जाँचें कि y, B में है या नहीं। / Using x+y=7, we get y=5 for x=2, y=3 for x=4, and y=1 for x=6. Thus the valid ordered pairs are (2,5), (4,3), and (6,1), giving a total of 3. For x=0, y would be 7, but 7 is not in B. Exam tip: calculate y=7−x for each x and then check whether y belongs to B.
सबसे बड़ा पहला घटक (8) और सबसे बड़ा दूसरा घटक (7) है। इसलिए ((8,7)) का योग सबसे बड़ा होगा। / The greatest first component is (8) and the greatest second component is (7). Therefore ((8,7)) has the greatest sum.
शर्त x−y=2 से x=y+2 प्राप्त होता है। B के प्रत्येक मान के लिए युग्म मिलते हैं: y=1 पर (3,1), y=2 पर (4,2), और y=3 पर (5,3)। ये तीनों युग्म A×B में हैं, इसलिए सही उत्तर 3 है। 4 चुनना गलत है, क्योंकि A में चार अवयव होने मात्र से सभी के लिए उपयुक्त युग्म नहीं बनते। परीक्षा-युक्ति: ऐसी शर्त में पहले छोटे समुच्चय के प्रत्येक मान को रखकर दूसरा मान जाँचें। / From x−y=2, we get x=y+2. For each value of y in B, the valid pairs are (3,1), (4,2), and (5,3). All three first components belong to A, so there are 3 ordered pairs. Choosing 4 is incorrect because the number of elements in A alone does not determine the number of valid pairs. Exam tip: substitute each value from the smaller set and check whether the resulting value belongs to the other set.
सही युग्म ((1,6),(2,3),(3,2),(6,1)) हैं। क्रमित युग्मों में ((2,3)) और ((3,2)) अलग हैं। / The valid pairs are ((1,6),(2,3),(3,2),(6,1)). In ordered pairs, ((2,3)) and ((3,2)) are different.
(B-C={3,9}), इसलिए (A) के हर अवयव के साथ (3) और (9) जुड़ेंगे। पहले अंतर निकालें फिर युग्म लिखें। / (B-C={3,9}), so each element of (A) pairs with (3) and (9). Find the difference first and then write the pairs.
कार्तीय गुणन क्रमित युग्मों का समुच्चय है। सही रूप में पहला घटक (A) से और दूसरा (B) से होना चाहिए। / Cartesian product is a set of ordered pairs. In the correct form, the first component is from (A) and the second is from (B).
(y=2) के लिए (2) युग्म, (y=3) के लिए (3) युग्म और (y=4) के लिए (4) युग्म हैं। कुल (2+3+4=9) युग्म मिलते हैं। / For (y=2), there are (2) pairs; for (y=3), (3) pairs; and for (y=4), (4) pairs. Total pairs are (2+3+4=9).
सही युग्म ((3,1),(6,2),(9,3)) हैं। शर्त लगाते समय दोनों समुच्चयों की सीमा याद रखें। / The valid pairs are ((3,1),(6,2),(9,3)). While applying the condition, remember the limits of both sets.
A\(\times\)B के युग्मों में x=1 के लिए योग 3, 5 और 7 होते हैं, इसलिए कोई युग्म मान्य नहीं है। x=2 के लिए केवल (2,6) का योग 8 है, तथा x=5 के लिए (5,4) और (5,6) के योग क्रमशः 9 और 11 हैं। इसलिए कुल 3 युग्म मान्य हैं। ध्यान रखें कि शर्त x+y>7 है, अतः x+y=7 वाले युग्म शामिल नहीं किए जाते। / For x=1, the sums with elements of B are 3, 5, and 7, so none qualifies. For x=2, only (2,6) has a sum greater than 7. For x=5, the pairs (5,4) and (5,6) have sums 9 and 11. Thus, there are 3 valid ordered pairs. Exam tip: a strict inequality such as x+y>7 excludes pairs whose sum is exactly 7.
पहला घटक (A) से आना चाहिए पर \(A=\varnothing\) है। इसलिए कोई क्रमित युग्म नहीं बनेगा। / The first component must come from (A), but \(A=\varnothing\). Therefore no ordered pair is formed.
यदि (A=B), तो दोनों तरफ वास्तव में \(A\times A\) ही है। इसलिए दोनों कार्तीय गुणन समान होंगे। / If (A=B), then both sides are actually \(A\times A\). Therefore both Cartesian products are equal.
संबंध \(R\) में वही क्रमित युग्म \((x,y)\) होगा जिसमें \(x\), \(A\) का सम तत्व और \(y\), \(B\) का तत्व हो। \(4\in A\) सम है तथा \(b\in B\), इसलिए \((4,b)\in R\)। विकल्प \((3,b)\) में पहला तत्व विषम है, जबकि \((a,2)\) में तत्वों का क्रम और समुच्चयों की सदस्यता सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले क्रमित युग्म के पहले घटक की शर्त जाँचें, फिर दूसरे घटक की। / A pair \((x,y)\) belongs to \(R\) only when \(x\) is an even element of \(A\) and \(y\) is an element of \(B\). Since \(4\in A\) is even and \(b\in B\), \((4,b)\in R\). The pair \((3,b)\) fails because 3 is odd, while \((a,2)\) has the elements in the wrong sets and order. Exam tip: check the condition on the first component first, then verify that the second component belongs to \(B\).
(R) के हर युग्म में पहला घटक (A) से और दूसरा (B) से है। इसलिए \(R\subseteq A\times B\)। / In every pair of (R), the first component is from (A) and the second is from (B). Therefore \(R\subseteq A\times B\).
कार्तीय गुणनफल \(A \times B\) के क्रमित युग्म हैं \((1,2),(1,5),(2,2),(2,5)\)। इनके घटकों के योग क्रमशः \(3,6,4,7\) हैं, इसलिए योगों का समुच्चय \(\{3,4,6,7\}\) है। विकल्प D केवल \(3\) और \(7\) देता है तथा \(4\) और \(6\) छोड़ देता है। परीक्षा-टिप: कार्तीय गुणनफल में पहले समुच्चय के प्रत्येक अवयव को दूसरे समुच्चय के प्रत्येक अवयव के साथ युग्मित करें। / The ordered pairs in \(A \times B\) are \((1,2),(1,5),(2,2),(2,5)\). Their component sums are \(3,6,4,7\), so the set of sums is \(\{3,4,6,7\}\). Option D includes only \(3\) and \(7\), omitting \(4\) and \(6\). Exam tip: In a Cartesian product, pair every element of the first set with every element of the second set.
(B) के सभी (3) अवयव सम हैं और (A) के (4) अवयवों से जुड़ते हैं। इसलिए \(4\times3=12\) युग्म बनेंगे। / All (3) elements of (B) are even and pair with (4) elements of (A). Hence \(4\times3=12\) pairs are formed.
(A) में अभाज्य अवयव (2,3,5) हैं और हर एक (B) के (2) अवयवों से जुड़ता है। इसलिए \(3\times2=6\) युग्म होंगे। / The prime elements in (A) are (2,3,5), and each pairs with (2) elements of (B). Therefore \(3\times2=6\) pairs are formed.
\(A\cap B={2,3}\), इसलिए पहला घटक (2) या (3) और दूसरा (C) से होना चाहिए। ((3,0)) यह शर्त पूरी करता है। / \(A\cap B={2,3}\), so the first component must be (2) or (3) and the second must be from (C). ((3,0)) satisfies this condition.
\(B\cup C={2,3,4,5}\) और (\(B\cup C\)-A={4,5}) है। इसलिए (n(A\times(\(B\cup C\)-A))=3\times2=6)। / \(B\cup C={2,3,4,5}\) and (\(B\cup C\)-A={4,5}). Therefore (n(A\times(\(B\cup C\)-A))=3\times2=6).
