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A. (A) के हर तत्व का (B) में ठीक एक प्रतिबिंब हो/Each element of (A) has exactly one image in (B)
Explanation
Simple Explanation
फलन में (A) के प्रत्येक तत्व से (B) का ठीक एक तत्व जुड़ता है। परीक्षा में ठीक एक शब्द पर ध्यान दें। / In a function each element of (A) is related to exactly one element of (B). In exams focus on the phrase exactly one.
यहां (1) और (2) दोनों का ठीक एक प्रतिबिंब है। फलन जांचते समय पहले अवयवों को देखें। / Here both (1) and (2) have exactly one image. To test a function check the first components.
A. क्योंकि (1) के दो प्रतिबिंब हैं/Because (1) has two images
Explanation
Simple Explanation
एक ही प्रथम अवयव (1) दो अलग द्वितीय अवयवों से जुड़ा है। ऐसी स्थिति फलन नहीं बनाती। / The same first component (1) is related to two different second components. Such a relation is not a function.
(a), (b), और (c) में से हर एक का ठीक एक प्रतिबिंब है। दो अलग तत्वों का समान प्रतिबिंब होना फलन में मान्य है। / Each of (a), (b), and (c) has exactly one image. Two different elements may have the same image in a function.
A. प्रत्येक इनपुट का ठीक एक आउटपुट होता है/Every input has exactly one output
Explanation
Simple Explanation
फलन में इनपुट को एक ही आउटपुट मिलना जरूरी है। आउटपुट अलग हों यह जरूरी नहीं। / A function requires each input to have one output. The outputs need not be distinct.
\(f:A\to B\) में (A) फलन का प्रांत होता है। संकेत \(f:A\to B\) को ध्यान से पढ़ें। / In \(f:A\to B\), (A) is the domain of the function. Read the notation \(f:A\to B\) carefully.
\(f:A\to B\) में (B) सहप्रांत कहलाता है। परिसर सहप्रांत का उपसमुच्चय हो सकता है। / In \(f:A\to B\), (B) is called the codomain. The range may be a subset of the codomain.
परिसर में केवल प्राप्त मान आते हैं इसलिए (5) और (6) हैं। दोहराए गए मान को एक बार लिखते हैं। / The range contains only the obtained values, so it is (5) and (6). A repeated value is written once.
क्रमित युग्मों के प्रथम अवयव प्रांत बनाते हैं। इसलिए प्रांत ({2,3,4}) है। / The first components of ordered pairs form the domain. Hence the domain is ({2,3,4}).
(x=2) रखने पर (f(2)=2+2=4) मिलता है। फलन मान में दिए गए इनपुट को सावधानी से रखें। / Putting (x=2), we get (f(2)=2+2=4). Substitute the given input carefully.
A. प्रत्येक प्रांत तत्व से केवल एक तीर निकले/Only one arrow leaves each domain element
Explanation
Simple Explanation
फलन में हर प्रांत तत्व से ठीक एक तीर निकलना चाहिए। सहप्रांत के हर तत्व पर तीर आना आवश्यक नहीं। / In a function exactly one arrow must leave every domain element. It is not necessary that every codomain element receives an arrow.
हर प्रांत तत्व का ठीक एक प्रतिबिंब है। समान प्रतिबिंब होना गलती नहीं है। / Every domain element has exactly one image. Having the same image is not an error.
A. हर फलन एक संबंध है/Every function is a relation
Explanation
Simple Explanation
फलन संबंध का विशेष प्रकार है। हर संबंध फलन नहीं होता क्योंकि शर्तें अतिरिक्त हैं। / A function is a special type of relation. Every relation is not a function because extra conditions are required.
युग्म ((1,2)) से (1) का प्रतिबिंब (2) है। (f(x)) में प्रथम अवयव इनपुट होता है। / From the pair ((1,2)), the image of (1) is (2). In (f(x)), the first component is the input.
((0,1)) दिखाता है कि (0) का प्रतिबिंब (1) है। युग्म की दिशा बदलकर उत्तर न निकालें। / ((0,1)) shows that the image of (0) is (1). Do not reverse the ordered pair while answering.
पहले विकल्प में (1) के दो अलग प्रतिबिंब (5) और (6) हैं। इसलिए यह फलन नहीं है। / In the first option, (1) has two different images (5) and (6). Hence it is not a function.
(2) और (4) दोनों का ठीक एक प्रतिबिंब है। बाकी विकल्पों में कोई इनपुट छूटा है या दो बार आया है। / Both (2) and (4) have exactly one image. In the other options an input is missing or repeated with different images.
A. सहप्रांत के एक ही निश्चित तत्व से/The same fixed element of the codomain
Explanation
Simple Explanation
स्थिर फलन में प्रत्येक इनपुट का मान समान रहता है। यह भी वैध फलन है। / In a constant function every input has the same value. It is still a valid function.
हर इनपुट पर फलन का मान (7) है इसलिए यह स्थिर फलन है। स्थिर फलन में सभी प्रतिबिंब समान होते हैं। / The function value is (7) for every input, so it is a constant function. In a constant function all images are the same.
तत्समक फलन में हर तत्व स्वयं से जुड़ता है। इसलिए सभी युग्म ((x,x)) रूप में हैं। / In the identity function each element maps to itself. Therefore all pairs are of the form ((x,x)).
A. क्रमित युग्म ((x,f(x)))/Ordered pairs ((x,f(x)))
Explanation
Simple Explanation
फलन का ग्राफ सभी ((x,f(x))) युग्मों से बनता है। इसमें पहला अवयव इनपुट और दूसरा आउटपुट होता है। / The graph of a function is made of all pairs ((x,f(x))). The first component is input and the second is output.
\(1^2=1\), \(2^2=4\), और \(3^2=9\) हैं। इसलिए सही युग्म (\(x,x^2\)) हैं। / Since \(1^2=1\), \(2^2=4\), and \(3^2=9\), the correct pairs are (\(x,x^2\)).
(2,3,4) पर नियम लगाने से (1,2,3) मिलते हैं। प्राप्त मानों का समुच्चय (f(A)) है। / Applying the rule to (2,3,4) gives (1,2,3). The set of obtained values is (f(A)).
एक ही इनपुट (2) दो आउटपुट (5) और (6) से जुड़ा है। यह फलन की शर्त तोड़ता है। / The same input (2) is related to two outputs (5) and (6). This breaks the condition of a function.
(A) से (B) में संबंध हमेशा \(A\times B\) का उपसमुच्चय होता है। फलन उसी संबंध का विशेष रूप है। / A relation from (A) to (B) is always a subset of \(A\times B\). A function is a special form of such a relation.
फलन में प्रांत (A) के हर तत्व के लिए एक युग्म होता है। इसलिए युग्मों की संख्या (|A|=2) है। / A function has one ordered pair for each element of the domain (A). Hence the number of pairs is (|A|=2).
फलन में प्रत्येक प्रांत तत्व के लिए ठीक एक युग्म होता है। इसलिए कुल युग्म (4) होंगे। / A function has exactly one pair for every domain element. Therefore there will be (4) pairs.
हर तत्व (p) और (q) के लिए (2) विकल्प हैं इसलिए कुल \(2^2=4\) फलन हैं। गिनती में \(|B|^{|A|}\) प्रयोग करें। / Each element (p) and (q) has (2) choices, so total functions are \(2^2=4\). Use \(|B|^{|A|}\) for counting.
(A) के प्रत्येक तत्व के लिए (B) में (2) विकल्प हैं। इसलिए संख्या \(|B|^{|A|}=2^3\) है। / Each element of (A) has (2) choices in (B). Therefore the number is \(|B|^{|A|}=2^3\).
सूत्र \(|B|^{|A|}\) लगाने पर \(3^2\) मिलता है। आधार सहप्रांत की संख्या होती है। / Using the formula \(|B|^{|A|}\), we get \(3^2\). The base is the number of elements in the codomain.
दो अलग इनपुट (1) और (2) एक ही आउटपुट (a) से जुड़ते हैं। फिर भी हर इनपुट का ठीक एक प्रतिबिंब है। / Two different inputs (1) and (2) map to the same output (a). Still each input has exactly one image.
A. एक इनपुट के दो अलग आउटपुट हो सकते हैं/One input can have two different outputs
Explanation
Simple Explanation
एक इनपुट के दो अलग आउटपुट फलन में स्वीकार नहीं होते। यही सबसे सामान्य गलती है। / One input cannot have two different outputs in a function. This is the most common mistake.
युग्म ((c,2)) से (c) का प्रतिबिंब (2) है। फलन मान के लिए संबंधित युग्म खोजें। / From the pair ((c,2)), the image of (c) is (2). Find the corresponding pair for the function value.
तीनों प्रांत तत्व (1,2,3) ठीक एक-एक बार आए हैं। यही फलन की मुख्य जांच है। / All three domain elements (1,2,3) appear exactly once. This is the main test for a function.
\(f:A\to B\) में हर फलन मान (B) में होता है। इसलिए \(f(x)\in B\) लिखा जा सकता है। / In \(f:A\to B\), every function value lies in (B). Hence we can write \(f(x)\in B\).
फलन में एक ही इनपुट के दो अलग आउटपुट नहीं हो सकते। इसलिए (b=c) होना चाहिए। / In a function the same input cannot have two different outputs. Therefore (b=c) must hold.
A. एक (x) के लिए केवल एक (f(x))/For one (x), only one (f(x))
Explanation
Simple Explanation
अद्वितीयता का अर्थ है कि एक इनपुट का केवल एक मान हो। यह फलन की मूल शर्त है। / Uniqueness means one input has only one value. This is the basic condition of a function.
हर प्रांत तत्व के लिए (B) में केवल (0) एक ही विकल्प है। इसलिए कुल फलन \(1^3=1\) है। / For each domain element, (B) has only one choice (0). Hence the total number of functions is \(1^3=1\).
रिक्त प्रांत से एक रिक्त फलन माना जाता है। गिनती से भी \(|B|^0=1\) मिलता है। / From an empty domain, one empty function is considered. Counting also gives \(|B|^0=1\).
एक प्रांत तत्व के लिए (B) में (3) विकल्प हैं। इसलिए कुल \(3^1=3\) फलन हैं। / One domain element has (3) choices in (B). Therefore the total number of functions is \(3^1=3\).
पहले विकल्प में (1) और (2) दोनों एक-एक बार प्रथम अवयव हैं। इसलिए यह फलन है। / In the first option, both (1) and (2) appear once as first components. Therefore it is a function.
A. क्योंकि इसमें हर प्रांत तत्व का ठीक एक प्रतिबिंब होता है/Because every domain element has exactly one image
Explanation
Simple Explanation
फलन संबंध है लेकिन उस पर ठीक एक प्रतिबिंब की अतिरिक्त शर्त लगती है। इसलिए इसे विशेष संबंध कहते हैं। / A function is a relation with the extra condition of exactly one image. Hence it is called a special relation.
हर \(x\in A\) के लिए (2x) लेने पर सही युग्म मिलते हैं। नियम लागू करते समय प्रत्येक इनपुट अलग से जांचें। / For each \(x\in A\), taking (2x) gives the correct pairs. Check every input separately while applying a rule.
सभी इनपुट का प्रतिबिंब (4) है इसलिए यह स्थिर फलन है। समान आउटपुट फलन को गलत नहीं बनाता। / All inputs have image (4), so it is a constant function. Same output does not make a function wrong.
युग्म ((2,4)) से (2) का प्रतिबिंब (4) है। क्रमित युग्म में पहला अवयव इनपुट होता है। / From the pair ((2,4)), the image of (2) is (4). In an ordered pair the first component is the input.
\(\sqrt{1}=1\), \(\sqrt{4}=2\), और \(\sqrt{9}=3\) हैं। प्राप्त मानों का समुच्चय (f(A)) है। / \(\sqrt{1}=1\), \(\sqrt{4}=2\), and \(\sqrt{9}=3\). The set of obtained values is (f(A)).
यहां (c) के दो प्रतिबिंब (1) और (2) हैं। एक इनपुट के दो अलग आउटपुट फलन में मान्य नहीं हैं। / Here (c) has two images (1) and (2). One input with two different outputs is not allowed in a function.
फलन के ग्राफ में प्रांत के हर तत्व के लिए ठीक एक युग्म होता है। इसलिए कुल युग्म (|A|=4) होंगे। / The graph of a function has exactly one pair for each domain element. So the total number of pairs is (|A|=4).
पहले विकल्प में (3) और (6) दोनों ठीक एक बार प्रथम अवयव हैं। यही फलन की आवश्यक शर्त है। / In the first option, (3) and (6) each appear exactly once as first components. This is the necessary condition for a function.
(g(8)=\frac{8}{2}=4) है। फलन मान निकालते समय दिए गए (x) को नियम में रखें। / (g(8)=\frac{8}{2}=4). To find a function value, put the given (x) in the rule.
परिसर क्रमित युग्मों के द्वितीय अवयवों का समुच्चय है। इसलिए परिसर ({7,9,11}) है। / The range is the set of second components of ordered pairs. Hence the range is ({7,9,11}).
प्रांत सभी प्रथम अवयवों से बनता है। यहां प्रथम अवयव (5), (6), और (7) हैं। / The domain is formed by all first components. Here the first components are (5), (6), and (7).
कुल फलनों की संख्या \(|B|^{|A|}=2^3=8\) होती है। आधार सहप्रांत के तत्वों की संख्या होती है। / The number of functions is \(|B|^{|A|}=2^3=8\). The base is the number of elements in the codomain.
सूत्र \(|B|^{|A|}\) से उत्तर \(4^2\) है। प्रांत की संख्या घात में जाती है। / By the formula \(|B|^{|A|}\), the answer is \(4^2\). The number of domain elements goes in the exponent.
A. हर \(x\in A\) के लिए \(f(x)\in B\) होता है/For every \(x\in A\), \(f(x)\in B\)
Explanation
Simple Explanation
\(f:A\to B\) में इनपुट (A) से और आउटपुट (B) में होता है। संकेत पढ़ना परीक्षा में बहुत जरूरी है। / In \(f:A\to B\), the input comes from (A) and the output lies in (B). Reading the notation is very important in exams.
A. क्योंकि हर \(x\in A\) का प्रतिबिंब होना चाहिए/Because every \(x\in A\) must have an image
Explanation
Simple Explanation
फलन में प्रांत का कोई तत्व छूट नहीं सकता। हर \(x\in A\) का ठीक एक प्रतिबिंब जरूरी है। / No element of the domain can be left out in a function. Every \(x\in A\) must have exactly one image.
एक ही इनपुट (p) के दो मान तभी मान्य होंगे जब वे समान हों। यहां \(5\ne7\), इसलिए सामान्यतः यह फलन नहीं है। / Two values for the same input (p) are allowed only if they are the same. Here \(5\ne7\), so generally it is not a function.
\(R=\{(1,2),(1,3)\}\) में (1) दो अलग मानों से जुड़ा है। इसलिए यह संबंध है लेकिन फलन नहीं है। / In \(R=\{(1,2),(1,3)\}\), (1) is related to two different values. So it is a relation but not a function.
तत्समक फलन में प्रत्येक तत्व स्वयं से जुड़ता है। इसलिए सभी युग्म ((x,x)) रूप में हैं। / In an identity function, every element maps to itself. Therefore all pairs are of the form ((x,x)).
सभी इनपुट का मान (10) है इसलिए केवल (10) प्राप्त होता है। परिसर दोहराव नहीं लिखता। / All inputs have value (10), so only (10) is obtained. The range does not list repetitions.
(B) में केवल (a) है इसलिए हर प्रांत तत्व (a) से जुड़ता है। सभी (1), (2), और (3) शामिल होने चाहिए। / Since (B) has only (a), every domain element maps to (a). All (1), (2), and (3) must be included.
(x=1,2,3) रखने पर (2x+1) से (3,5,7) मिलते हैं। नियम पहचानने के लिए सभी युग्म जांचें। / Putting (x=1,2,3) in (2x+1) gives (3,5,7). Check all pairs to identify the rule.
(x+4) लगाने पर (1,2,3) के मान (5,6,7) हैं। ग्राफ में युग्म ((x,f(x))) लिखते हैं। / Applying (x+4), the values for (1,2,3) are (5,6,7). In the graph we write pairs ((x,f(x))).
पहले विकल्प में (1), (2), और (3) सभी ठीक एक बार आए हैं। फलन के लिए प्रत्येक इनपुट का एक ही आउटपुट होना चाहिए। / In the first option, (1), (2), and (3) each appear exactly once. A function needs exactly one output for each input.
फलन में हर इनपुट का ठीक एक मान होता है। यही अद्वितीयता की शर्त है। / In a function, every input has exactly one value. This is the uniqueness condition.
पहले उपसमुच्चय में (1) और (2) का एक-एक प्रतिबिंब है। बाकी में कोई इनपुट दो अलग मानों से जुड़ा है या छूट गया है। / In the first subset, (1) and (2) each have one image. In the others an input has two different values or is missing.
युग्म ((4,8)) बताता है कि (4) का प्रतिबिंब (8) है। संबंधित प्रथम अवयव वाला युग्म चुनें। / The pair ((4,8)) shows that the image of (4) is (8). Choose the pair with the related first component.
पहले विकल्प में (2) प्रथम अवयव के रूप में नहीं आया है। प्रांत का हर तत्व शामिल होना चाहिए। / In the first option, (2) does not appear as a first component. Every element of the domain must be included.
धनात्मक मान के लिए \(a^2=16\) से (a=4) मिलता है। प्रश्न में धनात्मक शर्त को ध्यान से पढ़ें। / For the positive value, \(a^2=16\) gives (a=4). Read the positive condition carefully.
युग्म ((2,c)) में (2) का प्रतिबिंब (c) है। द्वितीय अवयव से प्रथम अवयव पहचानें। / In the pair ((2,c)), the image of (2) is (c). Identify the first component from the second component.
A. किसी \(x\in A\) के लिए (f(x))/(f(x)) for some \(x\in A\)
Explanation
Simple Explanation
यदि (x) इनपुट है तो (f(x)) उसका प्रतिबिंब है। प्रतिबिंब हमेशा सहप्रांत के अंदर होता है। / If (x) is an input, then (f(x)) is its image. The image always lies inside the codomain.
पूर्व प्रतिबिंब वह इनपुट है जो किसी आउटपुट तक जाता है। यह प्रांत (A) का तत्व होता है। / A preimage is the input that maps to an output. It is an element of the domain (A).
A. परिसर (B) का उपसमुच्चय होता है/The range is a subset of (B)
Explanation
Simple Explanation
फलन के प्राप्त मान (B) में होते हैं, इसलिए परिसर (B) का उपसमुच्चय होता है। यह जरूरी नहीं कि पूरा (B) हो। / The obtained values of the function lie in (B), so the range is a subset of (B). It need not be the whole of (B).
दोनों इनपुट का प्राप्त मान (3) है। इसलिए परिसर में (3) केवल एक बार लिखा जाएगा। / Both inputs have obtained value (3). Therefore (3) is written only once in the range.
रिक्त प्रांत में कोई इनपुट नहीं है, इसलिए ग्राफ में कोई युग्म नहीं होगा। फिर भी यह रिक्त फलन माना जाता है। / An empty domain has no input, so the graph has no pair. Still it is considered the empty function.
गैर-रिक्त प्रांत के तत्वों को \(\emptyset\) में कोई प्रतिबिंब नहीं मिल सकता। इसलिए कोई फलन नहीं बनेगा। / Elements of a non-empty domain cannot get any image in \(\emptyset\). Therefore no function can be formed.
एक इनपुट (2) के लिए (B) में (2) विकल्प हैं। इसलिए कुल \(2^1=2\) फलन हैं। / For one input (2), there are (2) choices in (B). Therefore the total number of functions is \(2^1=2\).
(4) और (5) दोनों का प्रतिबिंब (1) है और हर इनपुट का केवल एक मान है। यह वैध बहु-एक फलन है। / Both (4) and (5) have image (1), and every input has only one value. This is a valid many-one function.
A. क्योंकि (a) के दो प्रतिबिंब हैं/Because (a) has two images
Explanation
Simple Explanation
एक प्रांत तत्व से दो अलग तीर निकलना फलन की शर्त तोड़ता है। हर इनपुट से ठीक एक तीर होना चाहिए। / Two different arrows from one domain element break the function condition. Exactly one arrow must leave each input.
हर इनपुट (a), (b), और (c) का ठीक एक प्रतिबिंब है। दो इनपुट का समान आउटपुट होना मान्य है। / Each input (a), (b), and (c) has exactly one image. Two inputs having the same output is allowed.
हर तत्व स्वयं से जुड़ता है इसलिए यह तत्समक फलन है। इसे \(I_A\) से भी दर्शाते हैं। / Every element maps to itself, so it is the identity function. It is also denoted by \(I_A\).
A. ऐसा संबंध जिसमें हर \(x\in A\) का ठीक एक \(y\in B\) हो/A relation in which every \(x\in A\) has exactly one \(y\in B\)
Explanation
Simple Explanation
फलन में हर \(x\in A\) को (B) के ठीक एक तत्व से जोड़ा जाता है। यही परिभाषा की मुख्य बात है। / In a function, every \(x\in A\) is associated with exactly one element of (B). This is the key point of the definition.
A. (R) (A) से (B) में फलन है/(R) is a function from (A) to (B)
Explanation
Simple Explanation
(A) के (1), (2), और (3) का ठीक एक प्रतिबिंब (B) में है। सहप्रांत के हर तत्व का प्रयोग होना जरूरी नहीं। / The elements (1), (2), and (3) of (A) each have exactly one image in (B). It is not necessary to use every element of the codomain.
(x=1) पर (y=3) और (x=3) पर (y=5) है। ग्राफ में ((x,y)) रूप का ध्यान रखें। / For (x=1), (y=3), and for (x=3), (y=5). Remember the graph is written in the form ((x,y)).
(m) का प्रतिबिंब (B) के किसी भी (3) तत्वों में से एक हो सकता है। गिनती में हर प्रांत तत्व के लिए सहप्रांत की संख्या विकल्प देती है। / The image of (m) can be any one of the (3) elements of (B). In counting, each domain element gets as many choices as the codomain size.
A. हर प्रांत तत्व ठीक एक बार इनपुट के रूप में आया है या नहीं/Whether each domain element appears exactly once as an input
Explanation
Simple Explanation
फलन के लिए हर प्रांत तत्व का ठीक एक प्रतिबिंब जरूरी है। इसलिए प्रथम अवयवों की जांच सबसे उपयोगी होती है। / For a function, every domain element must have exactly one image. So checking first components is most useful.
हर x∈A पर
2
x
लगाने से 2,3,4 मिलते हैं। नियम आधारित प्रश्नों में इनपुट और आउटपुट का क्रम न बदलें। / Applying
2
x
to each x∈A gives 2,3,4. In rule based questions do not reverse input and output.
A. क्योंकि (A) के प्रत्येक तत्व की (B) में ठीक एक छवि है/Because every element of (A) has exactly one image in (B)
Explanation
Simple Explanation
प्रत्येक (A) के तत्व (1) और (2) की (B) में ठीक एक-एक छवि है। परीक्षा में फलन जांचते समय पहले डोमेन के हर तत्व की छवि गिनें। / Each element (1) and (2) of (A) has exactly one image in (B). In exams, first count the image of every domain element to test a function.
हर प्रथम अवयव 2,4,6 ठीक एक बार आया है। दो इनपुट का समान आउटपुट 5 होना फलन में सही है। / Each first component 2,4,6 appears exactly once. Two inputs having the same output 5 is allowed in a function.
पहले विकल्प में 7 के दो अलग प्रतिबिंब 2 और 3 हैं। एक इनपुट के दो अलग आउटपुट फलन नहीं बनाते। / In the first option, 7 has two different images 2 and 3. One input with two different outputs does not form a function.
युग्म (−1,1) से −1 का प्रतिबिंब 1 है। ऋणात्मक इनपुट को भी उसी तरह पढ़ें जैसे धनात्मक इनपुट को पढ़ते हैं। / From the pair (−1,1), the image of −1 is 1. Read negative inputs the same way as positive inputs.
प्रांत क्रमित युग्मों के प्रथम अवयवों से बनता है। इसलिए प्रांत {3,5,7} है। / The domain is formed by the first components of ordered pairs. Hence the domain is {3,5,7}.
परिसर सभी द्वितीय अवयवों का समुच्चय है। यहां प्राप्त मान 4,6,8,10 हैं। / The range is the set of all second components. Here the obtained values are 4,6,8,10.
कुल फलनों की संख्या ∣B∣
∣A∣
=2
4
होती है। याद रखें आधार सहप्रांत और घात प्रांत से आता है। / The number of functions is ∣B∣
∣A∣
=2
4
. Remember that the base comes from the codomain and the exponent from the domain.
हर प्रांत तत्व के लिए B में 4 विकल्प हैं। इसलिए कुल फलन ∣B∣
∣A∣
=4
3
होंगे। / Each domain element has 4 choices in B. Therefore total functions are ∣B∣
∣A∣
=4
3
.
सहप्रांत में केवल 9 है, इसलिए हर प्रांत तत्व का प्रतिबिंब 9 होगा। कोई प्रांत तत्व छूटना नहीं चाहिए। / The codomain has only 9, so every domain element maps to 9. No domain element should be left out.
तत्समक फलन में हर तत्व स्वयं से जुड़ता है। इसलिए सभी युग्म (x,x) के रूप में हैं। / In an identity function, every element maps to itself. Therefore all pairs are of the form (x,x).
सभी इनपुट का मान समान 6 है, इसलिए यह स्थिर फलन है। स्थिर फलन भी वैध फलन होता है। / All inputs have the same value 6, so it is a constant function. A constant function is also a valid function.
सभी युग्मों का द्वितीय अवयव 0 है। परिसर में दोहराव नहीं लिखा जाता, इसलिए {0} सही है। / The second component of all pairs is 0. Repetition is not written in the range, so {0} is correct.
युग्म (20,2) से 20 का प्रतिबिंब 2 है। फलन मान के लिए वही युग्म चुनें जिसमें इनपुट दिया हो। / From the pair (20,2), the image of 20 is 2. Choose the pair whose input is given.
पहले विकल्प में 2 प्रथम अवयव के रूप में नहीं है। फलन में प्रांत का हर तत्व शामिल होना चाहिए। / In the first option, 2 is not present as a first component. In a function every domain element must be included.
A से B में हर संबंध A×B का उपसमुच्चय होता है। फलन भी ऐसा ही विशेष संबंध है। / Every relation from A to B is a subset of A×B. A function is also such a special relation.
पहले विकल्प में 1 और 2 दोनों का ठीक एक प्रतिबिंब है। अन्य विकल्पों में कोई इनपुट छूटा है या दो बार जुड़ा है। / In the first option, both 1 and 2 have exactly one image. In the other options, an input is missing or mapped twice.
ग्राफ में प्रत्येक प्रांत तत्व के लिए एक युग्म होता है। इसलिए युग्मों की संख्या ∣A∣=3 है। / The graph has one pair for each element of the domain. Therefore the number of pairs is ∣A∣=3.
रिक्त प्रांत से एक रिक्त फलन होता है। सूत्र से भी ∣B∣
0
=1 मिलता है। / From an empty domain there is one empty function. The formula also gives ∣B∣
0
=1.
प्रांत में 0 है लेकिन सहप्रांत खाली है, इसलिए 0 का कोई प्रतिबिंब नहीं मिल सकता। अतः कोई फलन नहीं बनेगा। / The domain contains 0 but the codomain is empty, so 0 cannot get an image. Hence no function is possible.
1 और 2 का समान प्रतिबिंब a है, फिर भी हर इनपुट का केवल एक मान है। इसलिए यह फलन है। / 1 and 2 have the same image a, yet every input has only one value. Therefore it is a function.
एक ही इनपुट k के दो मान तभी संभव हैं जब दोनों समान हों। इसलिए m=4 होना चाहिए। / Two values for the same input k are possible only when both are equal. Therefore m=4 must hold.
a+7=12 से a=5 मिलता है। ऐसे प्रश्नों में f(a) को दिए गए मान के बराबर रखें। / From a+7=12, we get a=5. In such questions set f(a) equal to the given value.
A. क्योंकि x=4 के दो अलग मान हैं/Because x=4 has two different values
Explanation
Simple Explanation
एक ही x के लिए दो अलग y मान फलन की शर्त तोड़ते हैं। तालिका में दोहराए गए इनपुट को हमेशा जांचें। / Two different y values for the same x break the function condition. Always check repeated inputs in a table.
p से दो तीर निकल रहे हैं, इसलिए p के दो प्रतिबिंब हैं। एक इनपुट के दो प्रतिबिंब फलन में नहीं हो सकते। / Two arrows leave p, so p has two images. One input cannot have two images in a function.
f(4)=4+1=5, इसलिए (4,5) ग्राफ में होगा। ग्राफ में पहला स्थान इनपुट का होता है। / f(4)=4+1=5, so (4,5) will be in the graph. In a graph pair the first place is for the input.
A. परिसर B का उपसमुच्चय होता है/The range is a subset of B
Explanation
Simple Explanation
फलन के सभी प्राप्त मान B में होते हैं। इसलिए परिसर B का उपसमुच्चय होता है। / All obtained values of a function lie in B. Therefore the range is a subset of B.
युग्म (3,9) में 3 का प्रतिबिंब 9 है। ऐसे प्रश्नों में द्वितीय अवयव देखकर प्रथम अवयव पहचानें। / In the pair (3,9), the image of 3 is 9. In such questions identify the first component by looking at the second component.
A. क्योंकि 3 का कोई प्रतिबिंब नहीं है/Because 3 has no image
Explanation
Simple Explanation
प्रांत A का 3 किसी भी युग्म में प्रथम अवयव नहीं है। फलन में हर प्रांत तत्व का प्रतिबिंब होना चाहिए। / The element 3 of domain A is not the first component in any pair. Every domain element must have an image in a function.
जो इनपुट किसी आउटपुट तक जाता है, वह उसका पूर्व प्रतिबिंब कहलाता है। पूर्व प्रतिबिंब प्रांत से आता है। / The input that maps to an output is called its preimage. A preimage comes from the domain.
प्रत्येक प्रांत तत्व के लिए 2 विकल्प हैं, इसलिए कुल 2
2
=4 फलन हैं। गिनती में विकल्पों को गुणा करें। / Each domain element has 2 choices, so the total number of functions is 2
2
=4. Multiply the choices in counting.
पहले विकल्प में सभी इनपुट का प्रतिबिंब a है। इसलिए यह स्थिर फलन है। / In the first option, all inputs have image a. Therefore it is a constant function.
A. क्योंकि 2 के दो प्रतिबिंब हैं/Because 2 has two images
Explanation
Simple Explanation
2 दो अलग द्वितीय अवयवों 2 और 3 से जुड़ा है। यह फलन की अद्वितीयता शर्त तोड़ता है। / 2 is related to two different second components 2 and 3. This breaks the uniqueness condition of a function.
y=x+2 से x=2,3,4 पर 4,5,6 मिलते हैं। सेट बिल्डर रूप को युग्मों में बदलते समय नियम लगाएं। / From y=x+2, for x=2,3,4 we get 4,5,6. Apply the rule while converting set builder form into pairs.
A. दो अलग इनपुट का समान आउटपुट हो सकता है/Two different inputs can have the same output
Explanation
Simple Explanation
−1 और 1 दोनों का मान 1 आता है। इसलिए समान आउटपुट होना फलन में स्वीकार्य है। / Both −1 and 1 give value 1. Therefore having the same output is acceptable in a function.
A. हर प्रथम अवयव का ठीक एक द्वितीय अवयव है या नहीं/Whether each first component has exactly one second component
Explanation
Simple Explanation
फलन की जांच में प्रथम अवयवों को देखना सबसे जरूरी है। कोई प्रथम अवयव दो अलग द्वितीय अवयवों से नहीं जुड़ना चाहिए। / Checking first components is most important while testing a function. No first component should be linked with two different second components.
A. क्योंकि इसमें प्रत्येक x∈A का B में ठीक एक प्रतिबिंब होता है/Because each x∈A has exactly one image in B
Explanation
Simple Explanation
हर फलन संबंध है, पर हर संबंध फलन नहीं होता। फलन बनने के लिए ठीक एक प्रतिबिंब की शर्त जरूरी है। / Every function is a relation, but every relation is not a function. The condition of exactly one image is necessary for a function.
