Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यहां मूलों का योग (S) और गुणनफल (P) है। इसलिए (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta=S-2-2P) है। / Here the sum of roots is (S) and product is (P). Therefore (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta=S-2-2P).
मूलों का योग (5) और अंतर (1) है इसलिए मूल (3) और (2) हैं। उनका गुणनफल (q=6) है। / The sum of roots is (5) and the difference is (1), so the roots are (3) and (2). Their product is (q=6).
(x=1) रखने पर (1+2a=0) से \(a=-\frac{1}{2}\) है। गुणनफल (a) है इसलिए दूसरा मूल \(-\frac{1}{2}\) होगा। / Putting (x=1) gives (1+2a=0), so \(a=-\frac{1}{2}\). The product is (a), so the other root is \(-\frac{1}{2}\).
बराबर मूलों के लिए मूल (-4) और (-4) होंगे क्योंकि गुणनफल (16) है। योग (-8) है इसलिए (-p=-8) से (p=8) है। / For equal roots, the roots are (-4) and (-4) because the product is (16). The sum is (-8), so (-p=-8) gives (p=8).
यहां \(\alpha+\beta=\frac{5}{2}\) और \(\alpha\beta=1\) है। (\frac{1}{\alpha-2}+\frac{1}{\beta-2}=\frac{\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta}{\(\alpha\beta\)2}=\frac{17}{4}) है। / Here \(\alpha+\beta=\frac{5}{2}\) and \(\alpha\beta=1\). (\frac{1}{\alpha-2}+\frac{1}{\beta-2}=\frac{\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta}{\(\alpha\beta\)2}=\frac{17}{4}).
(\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)) होता है। यहां \(\alpha\beta=-10\) और \(\alpha+\beta=3\) इसलिए मान (-30) है। / (\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)). Here \(\alpha\beta=-10\) and \(\alpha+\beta=3\), so the value is (-30).
यहां \(\alpha+\beta=6\) और \(\alpha\beta=8\) है। (\(\alpha+1\)\(\beta+1\)=\alpha\beta+\alpha+\beta+1=15) है। / Here \(\alpha+\beta=6\) and \(\alpha\beta=8\). (\(\alpha+1\)\(\beta+1\)=\alpha\beta+\alpha+\beta+1=15).
A. योग (a+1) और गुणनफल (a) है/Sum is (a+1) and product is (a)
Explanation
Simple Explanation
मूल (1) और (a) का योग (a+1) तथा गुणनफल (a) है। इसलिए मोनिक समीकरण (x-2-(a+1)x+a=0) बनता है। / The roots (1) and (a) have sum (a+1) and product (a). Therefore the monic equation is (x-2-(a+1)x+a=0).
\(\alpha+\beta=9\) और \(\alpha\beta=20\) है। (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)=729-540=189) नहीं बल्कि (189) होगा। / \(\alpha+\beta=9\) and \(\alpha\beta=20\). (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)=729-540=189).
व्युत्क्रमों का योग \(\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\) होता है। यहां \(\frac{\frac{7}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{7}{3}\) है। / The sum of reciprocals is \(\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\). Here \(\frac{\frac{7}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{7}{3}\).
मूल (-2) और (-4) होने पर गुणनफल (8) है। मोनिक समीकरण में \(k=\alpha\beta=8\) होता है। / For roots (-2) and (-4), the product is (8). In a monic equation \(k=\alpha\beta=8\).
मूलों का योग (-7) है इसलिए (-p=-7) से (p=7) और (q=10)। अतः (p+q=17) है। / The sum of roots is (-7), so (-p=-7) gives (p=7), and (q=10). Hence (p+q=17).
मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहां \(2\cdot3=\frac{6}{a}\) से (a=1) मिलता है। / The product of roots is \(\frac{c}{a}\). Here \(2\cdot3=\frac{6}{a}\), so (a=1).
यह समीकरण ((x-k)2=0) बनता है। इसलिए दोनों मूल (k) और (k) बराबर हैं। / This equation becomes ((x-k)2=0). Therefore both roots are (k) and (k), which are equal.
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=25-24=1) है। मूलों के अंतर के लिए यह पहचान याद रखें। / (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=25-24=1). Remember this identity for difference of roots.
यहां \(\alpha+\beta=7\) और \(\alpha\beta=12\) है। (\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta}{\alpha\beta}=\frac{25}{12}) होगा। / Here \(\alpha+\beta=7\) and \(\alpha\beta=12\). (\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta}{\alpha\beta}=\frac{25}{12}).
यहां \(\alpha+\beta=\frac{5}{4}\) और \(\alpha\beta=-\frac{3}{2}\) है। इसलिए \(\alpha+\beta-2\alpha\beta=\frac{5}{4}+3=\frac{17}{4}\) होगा। / Here \(\alpha+\beta=\frac{5}{4}\) and \(\alpha\beta=-\frac{3}{2}\). Therefore \(\alpha+\beta-2\alpha\beta=\frac{5}{4}+3=\frac{17}{4}\).
यह ((x-11)2=0) है इसलिए दोनों मूल (11) हैं। योग (22) और गुणनफल (121) होगा। / It is ((x-11)2=0), so both roots are (11). The sum is (22) and the product is (121).
(x=4) रखने पर (16a-40+8=0) इसलिए (16a=32) और (a=2)। अज्ञात गुणांक में प्रतिस्थापन करें। / Putting (x=4) gives (16a-40+8=0), so (16a=32) and (a=2). Substitute when a coefficient is unknown.
यहां \(\alpha+\beta=9\) और \(\alpha\beta=14\) है। \(\alpha^2+\beta^2=81-28=53\) होगा। / Here \(\alpha+\beta=9\) and \(\alpha\beta=14\). Thus \(\alpha^2+\beta^2=81-28=53\).
मोनिक समीकरण (x-2-\(\alpha+\beta\)x+\alpha\beta=0) होता है। इसलिए \(x^2+7x-18=0\) सही है। / The monic equation is (x-2-\(\alpha+\beta\)x+\alpha\beta=0). Therefore \(x^2+7x-18=0\) is correct.
A. \(\frac{3}{2}\) और \(\frac{1}{5}\)/\(\frac{3}{2}\) and \(\frac{1}{5}\)
Explanation
Simple Explanation
(10x-2-17x+3=(2x-3)(5x-1)) है। इसलिए मूल \(\frac{3}{2}\) और \(\frac{1}{5}\) हैं। / (10x-2-17x+3=(2x-3)(5x-1)). Therefore the roots are \(\frac{3}{2}\) and \(\frac{1}{5}\).
मूल (-6) और (-7) हैं क्योंकि ((x+6)(x+7)=0)। योग ऋणात्मक और गुणनफल धनात्मक होने पर दोनों मूल ऋणात्मक होते हैं। / The roots are (-6) and (-7) because ((x+6)(x+7)=0). When the sum is negative and product is positive, both roots are negative.
वास्तविक मूलों के लिए \(D\ge0\) चाहिए। \(36-4k\ge0\) से \(k\le9\) मिलता है। / For real roots \(D\ge0\) is required. From \(36-4k\ge0\), we get \(k\le9\).
