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यहाँ \(a=k-2\), \(b=-2(k+1)\) और \(c=k\) हैं। समान वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होना चाहिए। अतः \(D=4(k+1)^2-4(k-2)k=16k+4\)। इसलिए \(16k+4=0\), जिससे \(k=-\frac{1}{4}\) प्राप्त होता है। इस मान पर \(a\neq 0\), इसलिए समीकरण वास्तव में द्विघात है। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों के प्रश्नों में पहले \(D=0\) लगाएँ और अंत में जाँच लें कि \(a\neq 0\) है। / Here, \(a=k-2\), \(b=-2(k+1)\), and \(c=k\). For real and equal roots, the discriminant must be zero: \(D=b^2-4ac=0\). Thus, \(D=4(k+1)^2-4(k-2)k=16k+4\). Setting this equal to zero gives \(k=-\frac{1}{4}\). For this value, \(a\neq 0\), so the equation remains quadratic. Exam tip: For equal-root questions, set the discriminant to zero and then verify that the coefficient of \(x^2\) is non-zero.
द्विघात समीकरण में वास्तविक और समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=2k\) और \(c=k^2-4k+8\) हैं। इसलिए \(D=(2k)^2-4(k^2-4k+8)=16(k-2)\)। अतः \(16(k-2)=0\) से \(k=2\), इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / For a quadratic equation to have real and equal roots, its discriminant must be zero: \(D=b^2-4ac=0\). Here, \(a=1\), \(b=2k\), and \(c=k^2-4k+8\). Thus, \(D=(2k)^2-4(k^2-4k+8)=16(k-2)\). Setting this equal to zero gives \(k=2\), so option A is correct. Exam tip: For equal roots, immediately apply the condition \(D=0\).
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल होने के लिए विविक्तकर \(D\ge 0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=2k\) और \(c=k^2-4k+8\) हैं। इसलिए \(D=b^2-4ac=4k^2-4(k^2-4k+8)=16(k-2)\)। अतः \(16(k-2)\ge0\), जिससे \(k\ge2\) प्राप्त होता है। \(k=2\) पर दोनों मूल समान होते हैं, इसलिए बराबरी का चिह्न भी शामिल होगा। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D\ge0\) लगाएँ, जबकि अलग-अलग वास्तविक मूलों के लिए \(D>0\) होगा। / For a quadratic equation to have real roots, its discriminant must satisfy \(D\ge0\). Here, \(a=1\), \(b=2k\), and \(c=k^2-4k+8\). Thus, \(D=b^2-4ac=4k^2-4(k^2-4k+8)=16(k-2)\). Therefore, \(16(k-2)\ge0\), giving \(k\ge2\). At \(k=2\), the roots are equal, so equality must be included. Exam tip: use \(D\ge0\) for real roots, whereas distinct real roots require \(D>0\).
द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2m\) और \(c=3m\), इसलिए \(D=b^2-4ac=4m^2-12m=4m(m-3)\)। अतः \(4m(m-3)<0\) से \(0<m<3\) प्राप्त होता है। \(m=0\) या \(m=3\) पर \(D=0\) होता है, इसलिए मूल वास्तविक और समान होते हैं। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\), \(D=0\) और \(D>0\) को क्रमशः कोई वास्तविक मूल नहीं, समान वास्तविक मूल और दो भिन्न वास्तविक मूल से जोड़कर याद रखें। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(a=1\), \(b=-2m\), and \(c=3m\), so \(D=b^2-4ac=4m^2-12m=4m(m-3)\). Thus, \(4m(m-3)<0\), which gives \(0<m<3\). At \(m=0\) or \(m=3\), \(D=0\), so the equation has real and equal roots rather than no real roots. Exam tip: remember that \(D<0\), \(D=0\), and \(D>0\) correspond respectively to no real roots, equal real roots, and two distinct real roots.
द्विघात समीकरण के दो वास्तविक और भिन्न मूल होने के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1, b=-2m, c=3m\), इसलिए \(D=b^2-4ac=4m^2-12m=4m(m-3)\)। अतः \(4m(m-3)>0\), जिससे \(m<0\) या \(m>3\) प्राप्त होता है। \(m=0\) या \(m=3\) पर \(D=0\) होता है और मूल समान हो जाते हैं। परीक्षा टिप: वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) लगाएँ। / A quadratic equation has two real and distinct roots only when its discriminant satisfies \(D>0\). Here, \(a=1, b=-2m, c=3m\), so \(D=b^2-4ac=4m^2-12m=4m(m-3)\). Therefore, \(4m(m-3)>0\), which gives \(m<0\) or \(m>3\). At \(m=0\) or \(m=3\), the discriminant is zero, so the roots are equal rather than distinct. Exam tip: For real and distinct roots, apply \(D>0\).
समीकरण के वास्तविक और समान मूल होने के लिए विविक्तकर \(D=0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2m\) और \(c=3m\) हैं, इसलिए \(D=b^2-4ac=(-2m)^2-4(1)(3m)=4m(m-3)\)। अतः \(4m(m-3)=0\) से \(m=0\) या \(m=3\) प्राप्त होते हैं। दोनों मान समीकरण को वैध द्विघात समीकरण बनाए रखते हैं। परीक्षा-युक्ति: समान वास्तविक मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / For a quadratic equation to have real and equal roots, its discriminant must be zero. Here, \(a=1\), \(b=-2m\), and \(c=3m\), so \(D=b^2-4ac=(-2m)^2-4(1)(3m)=4m(m-3)\). Setting \(D=0\) gives \(m=0\) or \(m=3\). Both values are valid because the coefficient of \(x^2\) remains non-zero. Exam tip: For equal real roots, immediately use the condition \(D=0\).
द्विघात समीकरण में विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a_1=1\), \(b=2(a+1)\) और \(c=a^2+2a+5\) हैं। इसलिए \(D=[2(a+1)]^2-4(a^2+2a+5)=-16<0\)। अतः किसी भी वास्तविक \(a\) के लिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) होने पर मूल अवास्तविक और परस्पर संयुग्मी होते हैं। / For a quadratic equation, the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a_1=1\), \(b=2(a+1)\), and \(c=a^2+2a+5\). Thus, \(D=[2(a+1)]^2-4(a^2+2a+5)=-16<0\). Therefore, for every real value of \(a\), the equation has no real roots. Exam tip: When \(D<0\), the roots are non-real and conjugate to each other.
यहाँ \(A=1\), \(B=-(a+b)\) और \(C=ab\) हैं। अतः विविक्तकर \(\Delta=B^2-4AC=(a+b)^2-4ab=(a-b)^2\) होगा। चूँकि \(a\ne b\), इसलिए \(\Delta>0\), और दोनों मूल वास्तविक तथा भिन्न होंगे। वास्तव में, समीकरण \((x-a)(x-b)=0\) के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए इसके मूल \(a\) और \(b\) हैं। विकल्प B तभी सही होता जब \(a=b\), जबकि मूलों का अपरिमेय होना आवश्यक नहीं है। परीक्षा-टिप: द्विघात समीकरण में \(\Delta>0\) का अर्थ हमेशा वास्तविक और भिन्न मूल होता है। / Here, \(A=1\), \(B=-(a+b)\), and \(C=ab\). Therefore, the discriminant is \(\Delta=B^2-4AC=(a+b)^2-4ab=(a-b)^2\). Since \(a\ne b\), \(\Delta>0\), so the roots are real and distinct. In fact, the equation factors as \((x-a)(x-b)=0\), giving the roots \(a\) and \(b\). Option B would apply only when \(a=b\), and the roots need not be irrational. Exam tip: For a quadratic equation, \(\Delta>0\) indicates two real and distinct roots.
द्विघात समीकरण के समान मूल होने के लिए विविक्तकर \(D=0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=(a+b)^2-4ab=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\) है। चूँकि a और b वास्तविक हैं, \((a-b)^2=0\) तभी होगा जब \(a=b\)। इसलिए सही विकल्प A है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पहले \(D=0\) लगाकर शर्त निकालें; केवल \(a+b=0\) या \(ab=1\) समान मूल होने की आवश्यक शर्त नहीं हैं। / A quadratic equation has equal roots when its discriminant is zero. Here, \(D=(a+b)^2-4ab=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\). Since a and b are real, \((a-b)^2=0\) only when \(a=b\). Therefore, option A is correct. Exam tip: set \(D=0\) first; conditions such as \(a+b=0\) or \(ab=1\) do not generally imply equal roots.
समान मूलों के लिए विविक्तकर \Delta=0 होना चाहिए। यहाँ \Delta=[-2(a+b)]2-4(1)(4ab)=4(a+b)2-16ab=4(a-b)2। अतः \Delta=0 से (a-b)2=0, इसलिए a=b। विकल्प C और D केवल विशेष स्थिति a=b=0 में साथ-साथ सत्य हो सकते हैं, पर आवश्यक संबंध नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण के समान मूलों के लिए हमेशा \Delta=0 लगाएँ। / For equal roots, the discriminant must be zero. Here, \Delta=[-2(a+b)]2-4(1)(4ab)=4(a+b)2-16ab=4(a-b)2. Thus, \Delta=0 gives (a-b)2=0, so a=b. Options C and D can also hold in the special case a=b=0, but they are not necessary relations. Exam tip: For equal roots of a quadratic equation, first set \Delta=0.
समीकरण \(Ax^2+Bx+C=0\) के समान मूल होने के लिए विविक्तकर \(D=B^2-4AC=0\) होना चाहिए। यहाँ \(A=1\), \(B=-2(a+b)\) और \(C=(a-b)^2\) हैं। इसलिए \(D=4(a+b)^2-4(a-b)^2=16ab\)। अतः \(16ab=0\), यानी \(ab=0\)। विकल्प B या C केवल विशेष स्थितियाँ हैं, जबकि आवश्यक और पर्याप्त संबंध विकल्प A है। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों वाले प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / For a quadratic equation \(Ax^2+Bx+C=0\) to have equal roots, its discriminant must be zero: \(D=B^2-4AC=0\). Here, \(A=1\), \(B=-2(a+b)\), and \(C=(a-b)^2\). Thus, \(D=4(a+b)^2-4(a-b)^2=16ab\). Therefore, \(16ab=0\), giving \(ab=0\). Options B and C describe only particular cases, whereas option A gives the necessary and sufficient relation. Exam tip: For equal roots, immediately apply \(D=0\).
A. कोई वास्तविक मूल नहीं हैं/There are no real roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(A=3\), \(B=-6a\) और \(C=3a^2+2\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=B^2-4AC=(-6a)^2-4(3)(3a^2+2)=36a^2-36a^2-24=-24\) है। चूँकि \(D<0\), इसलिए \(a\) के प्रत्येक वास्तविक मान के लिए कोई वास्तविक मूल नहीं होंगे। विकल्प D गलत है, क्योंकि विविक्तकर \(a\) पर निर्भर न रहकर हमेशा \(-24\) रहता है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D<0\) होने पर मूल वास्तविक नहीं होते। / Here, \(A=3\), \(B=-6a\), and \(C=3a^2+2\). Therefore, the discriminant is \(D=B^2-4AC=(-6a)^2-4(3)(3a^2+2)=36a^2-36a^2-24=-24\). Since \(D<0\), the equation has no real roots for every real value of \(a\). Option D is incorrect because the discriminant remains fixed at \(-24\), independent of \(a\). Exam tip: For a quadratic equation, \(D<0\) indicates that the roots are not real.
A. हमेशा वास्तविक और भिन्न/Always real and distinct
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण में \(A=2\), \(B=-4a\) और \(C=2a^2-3\) हैं। इसका विविक्तकर \(D=B^2-4AC=(-4a)^2-4(2)(2a^2-3)=16a^2-16a^2+24=24\) है। चूँकि \(D=24>0\) प्रत्येक वास्तविक \(a\) के लिए, दोनों मूल वास्तविक और भिन्न होंगे। इसलिए विकल्प A सही है; \(D=0\) होने पर ही मूल समान होते। परीक्षा-युक्ति: पैरामीटर वाले प्रश्नों में विविक्तकर को सरल करके देखें कि उसका चिह्न पैरामीटर पर निर्भर करता है या नहीं। / For the quadratic equation, \(A=2\), \(B=-4a\), and \(C=2a^2-3\). Its discriminant is \(D=B^2-4AC=(-4a)^2-4(2)(2a^2-3)=16a^2-16a^2+24=24\). Since \(D=24>0\) for every real value of \(a\), the roots are always real and distinct. Hence option A is correct; equal roots would require \(D=0\). Exam tip: in parameter-based questions, simplify the discriminant fully and check whether its sign depends on the parameter.
A. किसी भी वास्तविक \(p\) के लिए कोई वास्तविक मूल नहीं है/There are no real roots for any real \(p\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=1\), \(b=2p\) और \(c=p^2+1\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(2p)^2-4(1)(p^2+1)=-4\) है, जो हर वास्तविक \(p\) के लिए ऋणात्मक रहता है। इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प D भी गलत है, क्योंकि \(p=0\) रखने पर समीकरण \(x^2+1=0\) बनता है, जिसके वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D<0\) होने पर मूल अवास्तविक और संयुग्मी होते हैं। / Here, \(a=1\), \(b=2p\), and \(c=p^2+1\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(2p)^2-4(1)(p^2+1)=-4\), which remains negative for every real \(p\). Therefore, the equation has no real roots. Option D is also incorrect because putting \(p=0\) gives \(x^2+1=0\), which has no real roots. Exam tip: For a quadratic equation, \(D<0\) means the roots are non-real conjugates.
द्विघात समीकरण के लिए \(a=1\), \(b=-2p\) और \(c=p^2\) हैं। अतः विविक्तकर \(\Delta=b^2-4ac=(-2p)^2-4(1)(p^2)=0\) होगा। इसलिए दोनों मूल हमेशा वास्तविक और समान होंगे। वास्तव में, समीकरण \((x-p)^2=0\) है और दोनों मूल \(x=p\) हैं। विकल्प B गलत है क्योंकि \(\Delta=0\) पर मूल भिन्न नहीं होते। परीक्षा-युक्ति: \(\Delta=0\) का अर्थ समान वास्तविक मूल होता है। / For this quadratic equation, \(a=1\), \(b=-2p\), and \(c=p^2\). Therefore, the discriminant is \(\Delta=b^2-4ac=(-2p)^2-4(1)(p^2)=0\). Hence the roots are always real and equal. In fact, the equation can be written as \((x-p)^2=0\), so both roots are \(x=p\). Option B is incorrect because \(\Delta=0\) does not give distinct roots. Exam tip: \(\Delta=0\) indicates equal real roots.
A. हमेशा वास्तविक और भिन्न/Always real and distinct
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण में \(a=1\), \(b=2p\) और \(c=p^2-1\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(2p)^2-4(p^2-1)=4\) है। चूँकि \(D>0\) प्रत्येक वास्तविक \(p\) के लिए है, इसलिए दोनों मूल वास्तविक और भिन्न होंगे। विकल्प B गलत है क्योंकि समान मूलों के लिए \(D=0\) होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: पैरामीटर वाले द्विघात समीकरण में पहले विविक्तकर का मान सरल करें। / Here, \(a=1\), \(b=2p\), and \(c=p^2-1\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(2p)^2-4(p^2-1)=4\). Since \(D>0\) for every real value of \(p\), both roots are always real and distinct. Option B is incorrect because equal roots require \(D=0\). Exam tip: For a quadratic involving a parameter, simplify the discriminant before testing particular parameter values.
A. (D=0) पर दो समान वास्तविक मूल होते हैं/When �(D=0), the roots are real and equal
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण में मूलों की प्रकृति विविक्तकर �\(D=b^2-4ac\) से निर्धारित होती है। जब �(D=0) होता है, तो सूत्र �\(x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\) में �\(\sqrt{D}=0\) हो जाता है, इसलिए दोनों मूल समान वास्तविक मूल �\(x=\frac{-b}{2a}\) होते हैं। दो भिन्न वास्तविक मूलों के लिए �(D>0) आवश्यक है; अतः विकल्प B और C गलत हैं। परीक्षा-युक्ति: �(D=0), �(D>0), और �(D<0) को क्रमशः समान वास्तविक, भिन्न वास्तविक और कोई वास्तविक मूल नहीं से जोड़कर याद रखें। / The nature of the roots of a quadratic equation is determined by its discriminant �\(D=b^2-4ac\). When �(D=0), the quadratic formula �\(x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\) gives �\(\sqrt{D}=0\), so both roots coincide at �\(x=\frac{-b}{2a}\); hence they are equal real roots. Two distinct real roots require �(D>0), so options B and C are incorrect. Exam tip: remember �(D=0), �(D>0), and �(D<0) as equal real, distinct real, and no real roots, respectively.
किसी भी वास्तविक ctc के लिए c\(t^2\ge 0\)c होता है, इसलिए c\(t^2+4>0\)c और cD=-\(t^2+4\)<0c होगा। विविक्तकर ऋणात्मक होने पर द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते; इसके मूल सम्मिश्र होते हैं। अतः सही उत्तर 0 है। परीक्षा-युक्ति: cD<0c, cD=0c और cD>0c क्रमशः 0, 1 और 2 वास्तविक मूल दर्शाते हैं। / For every real ctc, c\(t^2\ge 0\)c, so c\(t^2+4>0\)c and therefore cD=-\(t^2+4\)<0c. A negative discriminant means that a quadratic equation has no real roots; its roots are complex. Hence, the correct answer is 0. Exam tip: cD<0c, cD=0c and cD>0c indicate 0, 1 and 2 real roots, respectively.
यदि किसी वास्तविक गुणांकों वाले द्विघात समीकरण का विविक्तकर \(D=2r^2+3\) है, जहाँ \(r\) वास्तविक संख्या है, तो उसके मूलों के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
A. मूल हमेशा वास्तविक और भिन्न होंगे/The roots will always be real and distinct
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(r\) वास्तविक है, इसलिए \(r^2\ge 0\)। अतः \(D=2r^2+3\ge 3>0\)। द्विघात समीकरण में \(D>0\) होने पर दो वास्तविक और भिन्न मूल प्राप्त होते हैं। समान मूल के लिए \(D=0\) होना आवश्यक है, इसलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर के लिए \(D>0\), \(D=0\) और \(D<0\) के तीनों मानदंड याद रखें। / Since \(r\) is real, \(r^2\ge 0\). Therefore, \(D=2r^2+3\ge 3>0\). For a quadratic equation, \(D>0\) indicates two real and distinct roots. Equal roots require \(D=0\), so option B is incorrect. Exam tip: remember the three discriminant tests: \(D>0\) for real and distinct roots, \(D=0\) for equal roots, and \(D<0\) for non-real roots.
द्विघात समीकरण के समान मूल होने की शर्त विविक्तकर \(D=0\) है। इसलिए \((m-5)^2=0\), जिससे \(m-5=0\) और \(m=5\) प्राप्त होता है। \(m=-5\) रखने पर विविक्तकर \((-10)^2=100\) होगा, इसलिए मूल समान नहीं होंगे। परीक्षा-युक्ति: किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग शून्य तभी होता है जब वह संख्या स्वयं शून्य हो। / A quadratic equation has equal roots when its discriminant is \(D=0\). Thus, \((m-5)^2=0\), which gives \(m-5=0\) and hence \(m=5\). If \(m=-5\), the discriminant is \((-10)^2=100\), so the roots are not equal. Exam tip: The square of a real number is zero only when the number itself is zero.
पहले समीकरण में (D=100-92=8>0) है और (8) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए मूल वास्तविक, अपरिमेय और भिन्न हैं। / In the first equation, (D=100-92=8>0), and (8) is not a perfect square. So the roots are real, irrational and distinct.
यहाँ \(a=9\), \(b=-6(k-1)\) और \(c=(k-1)^2\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=[-6(k-1)]^2-4(9)(k-1)^2=0\) मिलता है। इसलिए प्रत्येक वास्तविक \(k\) के लिए दोनों मूल वास्तविक और समान होंगे। वास्तव में समीकरण को \([3x-(k-1)]^2=0\) के रूप में भी लिखा जा सकता है। \(k=1\) होने पर भी यह \(9x^2=0\) रहता है और द्विघात ही है। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) होने पर मूल वास्तविक और समान होते हैं। / Here, \(a=9\), \(b=-6(k-1)\), and \(c=(k-1)^2\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=[-6(k-1)]^2-4(9)(k-1)^2=0\). Hence, for every real value of \(k\), the roots are real and equal. The equation can also be written as \([3x-(k-1)]^2=0\). Even when \(k=1\), it becomes \(9x^2=0\), which is still a quadratic equation. Exam tip: When \(D=0\), the roots are real and equal.
द्विघात समीकरण के लिए विविक्तकर D = b² − 4ac होता है। यहाँ a = 4, b = −4(k + 1) और c = k² + 2k हैं। इसलिए D = 16(k + 1)² − 16(k² + 2k) = 16। चूँकि D = 16 > 0 प्रत्येक वास्तविक k के लिए है, अतः हर वास्तविक k पर दो भिन्न वास्तविक मूल मिलते हैं। इसलिए सही विकल्प A है। परीक्षा-युक्ति: पैरामीटर वाले द्विघात समीकरणों में पहले D को सरल करके उसकी k पर निर्भरता जाँचें। / For a quadratic equation, the discriminant is D = b² − 4ac. Here, a = 4, b = −4(k + 1), and c = k² + 2k. Thus, D = 16(k + 1)² − 16(k² + 2k) = 16. Since D = 16 > 0 for every real value of k, the equation has two distinct real roots for every real k. Therefore, option A is correct. Exam tip: In parameter-based quadratic questions, simplify the discriminant completely before deciding the condition on the parameter.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के समान मूल होने के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=n+2\) और \(c=2n\), इसलिए \(D=(n+2)^2-8n=n^2-4n+4=(n-2)^2\)। अतः \((n-2)^2=0\) से \(n=2\) प्राप्त होता है। जाँचने पर समीकरण \(x^2+4x+4=0\), अर्थात् \((x+2)^2=0\), बनता है। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / A quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) has equal roots when its discriminant \(D=b^2-4ac\) is zero. Here, \(a=1\), \(b=n+2\), and \(c=2n\), so \(D=(n+2)^2-8n=n^2-4n+4=(n-2)^2\). Thus, \((n-2)^2=0\), giving \(n=2\). Substitution produces \(x^2+4x+4=0\), or \((x+2)^2=0\), confirming equal roots. Exam tip: For equal-root questions, set the discriminant equal to zero first.
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=2h-1\) और \(c=h^2\) हैं, इसलिए \(D=(2h-1)^2-4h^2=1-4h\)। अब \(1-4h=0\) रखने पर \(h=\frac{1}{4}\) मिलता है। ध्यान रखें कि समान मूलों वाले द्विघात समीकरण में विविक्तकर हमेशा शून्य होता है; उदाहरणतः \(h=\frac{1}{2}\) पर \(D=-1\), इसलिए वह सही नहीं है। / A quadratic equation has equal roots when its discriminant is zero. Here, \(a=1\), \(b=2h-1\), and \(c=h^2\), so \(D=(2h-1)^2-4h^2=1-4h\). Setting \(D=0\) gives \(1-4h=0\), hence \(h=\frac{1}{4}\). Remember that equal roots always require a zero discriminant; for example, \(h=\frac{1}{2}\) gives \(D=-1\), so it is not correct.
यहाँ \(a=1\), \(b=-2(\alpha+2)\) और \(c=\alpha^2\) हैं। वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। इसलिए \(D=[-2(\alpha+2)]^2-4(1)(\alpha^2)=16(\alpha+1)\)। अतः \(16(\alpha+1)>0\), जिससे \(\alpha>-1\) प्राप्त होता है। \(\alpha=-1\) पर \(D=0\) होता है, इसलिए मूल वास्तविक तो होंगे, पर भिन्न नहीं। परीक्षा-युक्ति: ‘वास्तविक और भिन्न मूल’ के लिए हमेशा \(D>0\) लगाएँ। / Here, \(a=1\), \(b=-2(\alpha+2)\), and \(c=\alpha^2\). For real and distinct roots, the discriminant must satisfy \(D>0\). Thus, \(D=[-2(\alpha+2)]^2-4(1)(\alpha^2)=16(\alpha+1)\). Hence, \(16(\alpha+1)>0\), giving \(\alpha>-1\). When \(\alpha=-1\), \(D=0\), so the roots are real but equal, not distinct. Exam tip: For real and distinct roots, always use the condition \(D>0\).
यहाँ (D=4\(\lambda-1\)2-4\(\lambda^2+1\)=-8\lambda) है। वास्तविक मूलों के लिए \(D\ge0\), इसलिए \(\lambda\le0\)। / Here (D=4\(\lambda-1\)2-4\(\lambda^2+1\)=-8\lambda). For real roots \(D\ge0\), so \(\lambda\le0\).
दिए गए द्विघात समीकरण में \(A=a-1\), \(B=2a\) और \(C=a+3\) हैं। समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=B^2-4AC\) का मान शून्य होना चाहिए। अतः \(D=(2a)^2-4(a-1)(a+3)=4(3-2a)\)। \(D=0\) रखने पर \(3-2a=0\), इसलिए \(a=\frac{3}{2}\)। विकल्प \(a=1\) लेने पर \(A=0\) हो जाता है, इसलिए समीकरण द्विघात नहीं रहता। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों के प्रश्नों में पहले \(D=0\) लगाएँ और फिर जाँचें कि \(A\neq0\) है। / For the given quadratic equation, \(A=a-1\), \(B=2a\), and \(C=a+3\). Equal roots require the discriminant \(D=B^2-4AC\) to be zero. Thus, \(D=(2a)^2-4(a-1)(a+3)=4(3-2a)\). Setting \(D=0\) gives \(3-2a=0\), so \(a=\frac{3}{2}\). The value \(a=1\) is not valid because it makes \(A=0\), so the equation is no longer quadratic. Exam tip: For equal-root questions, set the discriminant to zero and then verify that the coefficient of \(x^2\) is non-zero.
समीकरण ax-2+bx+c=0) के समान मूल होने के लिए विविक्तकर D=b-2-4ac=0 होना चाहिए। यहाँ a=m, b=m+3, c=3 हैं, इसलिए D=(m+3)2-12m=(m-3)2। अतः D=0 से m=3 मिलता है। इस मान पर a=m=3, जो शून्य नहीं है; इसलिए समीकरण वास्तव में द्विघात रहता है। m=0 पर विविक्तकर तो शून्य होता है, लेकिन x-2 का गुणांक शून्य होने से समीकरण द्विघात नहीं रहता। परीक्षा-युक्ति: समान मूल के प्रश्नों में पहले D=0 लगाएँ और अंत में a\ne0 अवश्य जाँचें। / For an equation ax-2+bx+c=0), equal roots require the discriminant D=b-2-4ac to be zero. Here, a=m, b=m+3, c=3, so D=(m+3)2-12m=(m-3)2. Thus, D=0 gives m=3. For this value, the coefficient of x-2 is a=m=3, which is non-zero, so the equation remains quadratic. Although m=0 also makes the discriminant zero, it removes the quadratic term and therefore does not satisfy the condition. Exam tip: After setting D=0, always verify that the coefficient of x-2 is not zero.
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D\ge 0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2u\) और \(c=u^2+7u\) हैं। इसलिए \(D=(-2u)^2-4(1)(u^2+7u)=-28u\)। अतः \(-28u\ge0\), जिससे \(u\le0\) प्राप्त होता है। ध्यान रखें कि \(D=0\) होने पर समान वास्तविक मूल भी मान्य होते हैं। / A quadratic equation has real roots when its discriminant satisfies \(D\ge 0\). Here, \(a=1\), \(b=-2u\), and \(c=u^2+7u\), so \(D=(-2u)^2-4(1)(u^2+7u)=-28u\). Thus, \(-28u\ge0\), giving \(u\le0\). Remember that \(D=0\), which gives equal real roots, is also included.
