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द्विघात समीकरण में वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2p\) और \(c=p^2-5p\) हैं, इसलिए \(D=b^2-4ac=4p^2-4(p^2-5p)=20p\)। अतः \(20p>0\), जिससे \(p>0\) प्राप्त होता है। \(p=0\) पर विविक्तकर शून्य होगा और दोनों मूल समान होंगे; इसलिए \(p\ge0\) भी पूर्णतः सही नहीं है। परीक्षा टिप: वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) जाँचें। / For a quadratic equation to have real and distinct roots, its discriminant must satisfy \(D>0\). Here, \(a=1\), \(b=-2p\), and \(c=p^2-5p\), so \(D=b^2-4ac=4p^2-4(p^2-5p)=20p\). Thus, \(20p>0\), which gives \(p>0\). When \(p=0\), the discriminant is zero and the roots are equal, so \(p\ge0\) is not fully correct. Exam tip: For real and distinct roots, always use the condition \(D>0\).
A. किसी भी वास्तविक p के लिए कोई वास्तविक मूल नहीं होगा/It will have no real roots for any real p
Explanation
Simple Explanation
यहाँ a = 1, b = 2 और c = p² + 2 हैं। अतः विविक्तकर D = b² − 4ac = 4 − 4(p² + 2) = −4(p² + 1)। किसी भी वास्तविक p के लिए p² + 1 > 0, इसलिए D < 0 होता है और समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C गलत है, क्योंकि p = 0 पर भी D = −4 रहता है, शून्य नहीं। परीक्षा-युक्ति: D < 0 होने पर द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते। / Here, a = 1, b = 2, and c = p² + 2. Therefore, the discriminant is D = b² − 4ac = 4 − 4(p² + 2) = −4(p² + 1). For every real p, p² + 1 > 0, so D < 0; hence the equation has no real roots. Therefore, option A is correct. Option C is incorrect because even when p = 0, D = −4, not zero. Exam tip: A quadratic equation has no real roots whenever its discriminant is negative.
A. क्योंकि \(D=9q^2-2q+1>0\)/Because \(D=9q^2-2q+1>0\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(3q+1)2-8q=9q-2-2q+1) है। इसका अपना विविक्तकर ((-2)2-4(9)(1)<0) और मान सदैव धनात्मक है। / Here (D=(3q+1)2-8q=9q-2-2q+1). Its own discriminant ((-2)2-4(9)(1)<0), so it is always positive.
A. \(\frac{1-\sqrt{17}}{2}<t<\frac{1+\sqrt{17}}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1, b=2t, c=t+4\), इसलिए \(D=(2t)^2-4(1)(t+4)=4(t^2-t-4)\)। अतः \(t^2-t-4<0\), जिसके शून्यक \(\frac{1-\sqrt{17}}{2}\) और \(\frac{1+\sqrt{17}}{2}\) हैं। परवलय ऊपर की ओर खुलता है, इसलिए असमानता इन दोनों शून्यकों के बीच संतुष्ट होती है। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) में विविक्तकर के शून्यकों के बीच का अंतराल चुनें, सिरों को शामिल न करें। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(a=1, b=2t, c=t+4\), so \(D=(2t)^2-4(1)(t+4)=4(t^2-t-4)\). Thus, \(t^2-t-4<0\), whose zeros are \(\frac{1-\sqrt{17}}{2}\) and \(\frac{1+\sqrt{17}}{2}\). Since the corresponding parabola opens upward, the inequality holds between these two zeros. Exam tip: For \(D<0\), choose the interval between the discriminant’s zeros and exclude the endpoints.
द्विघात समीकरण के वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2s\), और \(c=s+2\) हैं, इसलिए \(D=(-2s)^2-4(1)(s+2)=4(s-2)(s+1)\)। अतः \((s-2)(s+1)>0\) से \(s<-1\) या \(s>2\) प्राप्त होता है। \(-1<s<2\) में \(D<0\), जबकि \(s=-1\) या \(s=2\) पर \(D=0\) होता है। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) जाँचें। / A quadratic equation has real and distinct roots only when its discriminant satisfies \(D>0\). Here, \(a=1\), \(b=-2s\), and \(c=s+2\), so \(D=(-2s)^2-4(1)(s+2)=4(s-2)(s+1)\). Thus, \((s-2)(s+1)>0\), which gives \(s<-1\) or \(s>2\). For \(-1<s<2\), \(D<0\), while \(s=-1\) or \(s=2\) gives \(D=0\). Exam tip: For real and distinct roots, always check that \(D>0\).
द्विघात समीकरण में वास्तविक और समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=[-2(a-3)]^2-4(a^2-9)=24(3-a)\) है। अतः \(24(3-a)=0\), जिससे \(a=3\) प्राप्त होता है। जाँच के लिए \(a=3\) रखने पर समीकरण \(x^2=0\) बनता है, जिसके दोनों मूल समान हैं। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों के प्रश्नों में सीधे \(D=0\) लगाएँ। / A quadratic equation has real and equal roots only when its discriminant is zero. Here, \(D=[-2(a-3)]^2-4(a^2-9)=24(3-a)\). Therefore, \(24(3-a)=0\), giving \(a=3\). As a check, substituting \(a=3\) reduces the equation to \(x^2=0\), whose roots are equal. Exam tip: For equal roots, set the discriminant \(D\) equal to zero.
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D\ge0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=[2(a+1)]^2-4(a^2+3)=8(a-1)\)। अतः \(8(a-1)\ge0\), जिससे \(a\ge1\) प्राप्त होता है। विकल्प C \(a>3\) पर्याप्त तो है, लेकिन आवश्यक और पूर्ण शर्त नहीं है। परीक्षा टिप: पैरामीटर वाले द्विघात समीकरणों में पहले \(D\) को शून्य से बड़ा या बराबर रखें। / A quadratic equation has real roots when its discriminant satisfies \(D\ge0\). Here, \(D=[2(a+1)]^2-4(a^2+3)=8(a-1)\). Therefore, \(8(a-1)\ge0\), giving \(a\ge1\). Option C, \(a>3\), is sufficient but unnecessarily restrictive; it is not the complete condition. Exam tip: For a parameter-based quadratic equation, begin by setting its discriminant greater than or equal to zero.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के समान मूल होने की शर्त विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) है। यहाँ \(a=1\), \(b=-(r+4)\) और \(c=4r\), इसलिए \(D=(r+4)^2-16r=(r-4)^2\)। अतः \((r-4)^2=0\), जिससे \(r=4\) प्राप्त होता है। परीक्षा में समान मूलों के लिए सबसे पहले \(D=0\) लिखना याद रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), equal roots occur when the discriminant \(D=b^2-4ac\) is zero. Here, \(a=1\), \(b=-(r+4)\), and \(c=4r\), so \(D=(r+4)^2-16r=(r-4)^2\). Setting \(D=0\) gives \((r-4)^2=0\), hence \(r=4\). Exam tip: whenever a question asks for equal roots, begin with the condition \(D=0\).
द्विघात समीकरण \(Ax^2+Bx+C=0\) के समान मूल होने की शर्त विविक्तकर \(D=B^2-4AC=0\) है। यहाँ \(A=1\), \(B=-(a+3)\) और \(C=3a\), इसलिए \(D=(a+3)^2-12a=(a-3)^2\)। अतः \((a-3)^2=0\) से \(a=3\), इसलिए विकल्प A सही है। उदाहरण के लिए \(a=0\) पर \(D=9\), अतः मूल समान नहीं होंगे। परीक्षा-युक्ति: समान मूल के प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / A quadratic equation \(Ax^2+Bx+C=0\) has equal roots only when its discriminant \(D=B^2-4AC\) is zero. Here, \(A=1\), \(B=-(a+3)\), and \(C=3a\), so \(D=(a+3)^2-12a=(a-3)^2\). Thus, \((a-3)^2=0\) gives \(a=3\), making option A correct. For comparison, when \(a=0\), \(D=9\), so the roots are not equal. Exam tip: For equal roots, set the discriminant equal to zero.
A. \(k^2<9\) तथा \(k\ne0\)/\(k^2<9\) and \(k\ne0\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=k\), \(b=-6\) और \(c=k\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=36-4k^2\) होगा। वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए \(D>0\), इसलिए \(36-4k^2>0\), अर्थात् \(k^2<9\)। साथ ही समीकरण द्विघात रहने के लिए \(a=k\ne0\) होना आवश्यक है। इसलिए सही शर्त \(k^2<9\) तथा \(k\ne0\) है। केवल \(k^2<9\) लिखने पर \(k=0\) छूट जाता है, जब समीकरण द्विघात नहीं रहता। परीक्षा-युक्ति: पहले \(D>0\) लगाएँ और फिर अग्रणी गुणांक के शून्य न होने की जाँच करें। / Here, \(a=k\), \(b=-6\), and \(c=k\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=36-4k^2\). Real and distinct roots require \(D>0\), giving \(36-4k^2>0\), or \(k^2<9\). In addition, the equation must remain quadratic, so its leading coefficient must satisfy \(k\ne0\). Hence the correct condition is \(k^2<9\) and \(k\ne0\). Option B is incomplete because it allows \(k=0\), which makes the equation linear. Exam tip: for distinct real roots, impose \(D>0\) and also verify that the leading coefficient is non-zero.
यहाँ \\(a=p-2\\), \\(b=4\\) और \\(c=1\\) हैं। समान मूलों के लिए विविक्तकर \\(D=b^2-4ac\\) का मान शून्य होना चाहिए। अतः \\(D=16-4(p-2)=24-4p=0\\), जिससे \\(p=6\\) प्राप्त होता है। विकल्प \\(p=2\\) मान्य नहीं है, क्योंकि तब द्विघात पद समाप्त हो जाएगा और समीकरण द्विघात नहीं रहेगा। परीक्षा-युक्ति: समान मूल के प्रश्नों में पहले \\(D=0\\) लगाएँ और यह भी जाँचें कि \\(a\ne0\\) हो। / Here, \\(a=p-2\\), \\(b=4\\), and \\(c=1\\). An equation has equal roots when its discriminant \\(D=b^2-4ac\\) is zero. Thus, \\(D=16-4(p-2)=24-4p=0\\), giving \\(p=6\\). The value \\(p=2\\) is not valid because it eliminates the quadratic term, so the equation is no longer quadratic. Exam tip: For equal roots, set \\(D=0\\) and also verify that \\(a\ne0\\).
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के वास्तविक और समान मूल होने के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=2\), \(b=p\) और \(c=8\) हैं, इसलिए \(p^2-4(2)(8)=0\), अर्थात् \(p^2=64\)। अतः \(p=\pm 8\), इसलिए विकल्प A सही है। ध्यान रखें कि वर्गमूल लेने पर धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मान लेने होते हैं; इसी कारण केवल \(p=8\) सही नहीं है। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) to have real and equal roots, its discriminant must be zero: \(D=b^2-4ac=0\). Here, \(a=2\), \(b=p\), and \(c=8\). Thus, \(p^2-4(2)(8)=0\), so \(p^2=64\) and \(p=\pm 8\). Therefore, option A is correct. Exam tip: when taking the square root of \(p^2=64\), include both the positive and negative values; hence option C is incomplete.
A. वास्तविक, अपरिमेय और भिन्न/Real, irrational and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=\(2\sqrt{5}\)2-4(1)(1)=16>0) है। मूल \(\sqrt{5}\pm2\) होंगे, इसलिए वे अपरिमेय और भिन्न हैं। / Here (D=\(2\sqrt{5}\)2-4(1)(1)=16>0). The roots are \(\sqrt{5}\pm2\), so they are irrational and distinct.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(\Delta=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=3, b=2\sqrt{3}, c=1\), इसलिए \(\Delta=(2\sqrt{3})^2-4(3)(1)=12-12=0\)। जब \(\Delta=0\), तब दोनों मूल वास्तविक और समान होते हैं। वास्तव में दोहराया हुआ मूल \(x=-\frac{\sqrt{3}}{3}\) है; इसलिए इसे भिन्न मूल नहीं माना जाएगा। परीक्षा-युक्ति: \(\Delta=0\) दिखते ही ‘वास्तविक और समान मूल’ चुनें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(\Delta=b^2-4ac\). Here, \(a=3, b=2\sqrt{3}, c=1\), so \(\Delta=(2\sqrt{3})^2-4(3)(1)=12-12=0\). A zero discriminant means that the two roots are real and equal. The repeated root is \(x=-\frac{\sqrt{3}}{3}\); therefore, the roots are not distinct. Exam tip: whenever \(\Delta=0\), select ‘real and equal roots’.
द्विघात समीकरण के समान मूलों के लिए विविक्तकर \\(D=b^2-4ac=0\\) होना चाहिए। यहाँ \\(a=1, b=-2(k-2), c=k^2-4\\) हैं। इसलिए \\(D=4(k-2)^2-4(k^2-4)=16(2-k)\\)। अब \\(D=0\\) रखने पर \\(16(2-k)=0\\), अतः \\(k=2\\)। जाँच के लिए, \\(k=2\\) पर समीकरण \\(x^2=0\\) बनता है, जिसका दोहराया हुआ मूल \\(x=0\\) है। परीक्षा-युक्ति: समान मूल वाले प्रश्नों में सबसे पहले \\(b^2-4ac=0\\) लगाएँ। / A quadratic equation has equal roots when its discriminant satisfies \\(D=b^2-4ac=0\\). Here, \\(a=1, b=-2(k-2), c=k^2-4\\), so \\(D=4(k-2)^2-4(k^2-4)=16(2-k)\\). Setting \\(D=0\\) gives \\(16(2-k)=0\\), hence \\(k=2\\). As a check, when \\(k=2\\), the equation becomes \\(x^2=0\\), which has the repeated root \\(x=0\\). Exam tip: For equal roots, directly apply \\(b^2-4ac=0\\).
यहाँ \(a=1\), \(b=2(m-1)\) और \(c=m+5\) हैं। वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। अतः \(D=4(m-1)^2-4(m+5)=4(m^2-3m-4)=4(m-4)(m+1)\)। इसलिए \((m-4)(m+1)<0\), जिससे \(-1<m<4\) प्राप्त होता है। विकल्प B में विविक्तकर धनात्मक होता है, इसलिए वहाँ दो वास्तविक मूल होते हैं, जबकि विकल्प C पर समान वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में वास्तविक मूलों की संख्या जानने के लिए पहले \(D\) का चिह्न जाँचें। / Here, \(a=1\), \(b=2(m-1)\), and \(c=m+5\). For no real roots, the discriminant must satisfy \(D<0\). Thus, \(D=4(m-1)^2-4(m+5)=4(m^2-3m-4)=4(m-4)(m+1)\). Therefore, \((m-4)(m+1)<0\), giving \(-1<m<4\). In option B, the discriminant is positive, so there are two real roots; at the endpoint values in option C, the roots are real and equal. Exam tip: For a quadratic equation, determine the nature of the roots by checking the sign of its discriminant.
द्विघात समीकरण में \\(a=1\\), \\(b=-2(k+1)\\) और \\(c=k^2\\) हैं। अतः विविक्तकर \\(D=b^2-4ac=4(k+1)^2-4k^2=4(2k+1)\\) होगा। वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए \\(D>0\\) आवश्यक है, इसलिए \\(2k+1>0\\), अर्थात \\(k>-\\frac{1}{2}\\)। \\(k=-\\frac{1}{2}\\) पर \\(D=0\\) होता है और दोनों मूल समान होते हैं। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति जानने के लिए पहले विविक्तकर का चिह्न निर्धारित करें। / For the quadratic equation, \\(a=1\\), \\(b=-2(k+1)\\), and \\(c=k^2\\). Therefore, the discriminant is \\(D=b^2-4ac=4(k+1)^2-4k^2=4(2k+1)\\). Distinct real roots require \\(D>0\\), so \\(2k+1>0\\), which gives \\(k>-\\frac{1}{2}\\). At \\(k=-\\frac{1}{2}\\), \\(D=0\\), so the roots are equal rather than distinct. Exam tip: determine the sign of the discriminant before classifying the roots.
यहाँ \\(a=k+1\\), \\(b=-2(k+3)\\) और \\(c=k+1\\) हैं। समान मूलों के लिए विविक्तकर \\(D=b^2-4ac=0\\) होना चाहिए। इसलिए \\(D=4(k+3)^2-4(k+1)^2=16(k+2)\\)। अतः \\(16(k+2)=0\\), जिससे \\(k=-2\\) प्राप्त होता है। विकल्प \\(k=-1\\) पर \\(x^2\\) का गुणांक शून्य हो जाता है, इसलिए समीकरण द्विघात नहीं रहता। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों वाले द्विघात समीकरण में सीधे \\(b^2-4ac=0\\) लगाएँ। / Here, \\(a=k+1\\), \\(b=-2(k+3)\\), and \\(c=k+1\\). Equal roots require the discriminant \\(D=b^2-4ac\\) to be zero. Thus, \\(D=4(k+3)^2-4(k+1)^2=16(k+2)\\)। Hence, \\(16(k+2)=0\\), giving \\(k=-2\\). At \\(k=-1\\), the coefficient of \\(x^2\\) becomes zero, so the equation is no longer quadratic. Exam tip: For equal roots of a quadratic equation, set \\(b^2-4ac=0\\) directly.
द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति विविक्तकर \(\Delta=b^2-4ac\) से निर्धारित होती है। वास्तविक और समान मूलों के लिए \(\Delta=0\) होना आवश्यक है, इसलिए \(b^2=4ac\) सही शर्त है। \(b^2>4ac\) पर मूल वास्तविक लेकिन असमान होते हैं, जबकि \(b^2<4ac\) पर मूल गैर-वास्तविक होते हैं। परीक्षा-युक्ति: समान मूल पहचानने के लिए सीधे \(\Delta=0\) याद रखें। / The nature of the roots is determined by the discriminant \(\Delta=b^2-4ac\). Real and equal roots occur only when \(\Delta=0\), which gives \(b^2=4ac\). If \(b^2>4ac\), the roots are real and distinct; if \(b^2<4ac\), they are non-real. Exam tip: for equal roots, immediately set the discriminant equal to zero.
A. दो वास्तविक परिमेय और असमान ((D=49))/Two real rational and distinct ((D=49))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=32-4(2)(-5)=49) है। यह धनात्मक पूर्ण वर्ग है, इसलिए मूल परिमेय और असमान हैं। / Here (D=32-4(2)(-5)=49). It is a positive perfect square, so the roots are rational and distinct.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(D=5^2-4(1)(7)=25-28=-3\), जो ऋणात्मक है। इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं; विकल्प A भी गलत है क्योंकि ऋणात्मक विविक्तकर होने पर मूल वास्तविक नहीं हो सकते। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) होने पर सीधे ‘कोई वास्तविक मूल नहीं’ चुनें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(D=5^2-4(1)(7)=25-28=-3\), which is negative. Therefore, the equation has no real roots. Option A is incorrect because a negative discriminant cannot produce real roots. Exam tip: when \(D<0\), the quadratic has no real roots.
A. मूल समान हैं और \(x=\frac{1}{2}\)/Roots are equal and \(x=\frac{1}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(-4)2-4(4)(1)=0) और समीकरण ((2x-1)2=0) है। इसलिए समान मूल \(x=\frac{1}{2}\) है। / Here (D=(-4)2-4(4)(1)=0), and the equation is ((2x-1)2=0). So the equal root is \(x=\frac{1}{2}\).
द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=2\), \(b=k-4\) और \(c=8\) हैं, इसलिए \(D=(k-4)^2-4(2)(8)=(k-4)^2-64\)। अतः \((k-4)^2<64\), जिससे \(-8<k-4<8\) और \(-4<k<12\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(D>0\) होता है, जिससे दो भिन्न वास्तविक मूल मिलते हैं; जबकि विकल्प C में \(D=0\) होता है, जिससे समान वास्तविक मूल मिलता है। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति जानने के लिए सबसे पहले \(D=b^2-4ac\) लिखें। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(a=2\), \(b=k-4\), and \(c=8\), so \(D=(k-4)^2-4(2)(8)=(k-4)^2-64\). Therefore, \((k-4)^2<64\), which gives \(-8<k-4<8\), and hence \(-4<k<12\). Thus, option A is correct. In option B, \(D>0\), giving two distinct real roots, while in option C, \(D=0\), giving equal real roots. Exam tip: For the nature of roots, first calculate the discriminant using \(D=b^2-4ac\).
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2(k-1)\) और \(c=k+1\) हैं। इसलिए \(D=4(k-1)^2-4(k+1)=4(k^2-3k)=4k(k-3)\)। \(D=0\) रखने पर \(k=0\) या \(k=3\), इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण के समान मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be zero. Here, \(a=1\), \(b=-2(k-1)\), and \(c=k+1\). Thus, \(D=4(k-1)^2-4(k+1)=4(k^2-3k)=4k(k-3)\). Setting \(D=0\) gives \(k=0\) or \(k=3\), so option A is correct. Exam tip: whenever a quadratic equation has equal roots, begin by applying \(D=0\).
द्विघात समीकरण में वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=m-2\) और \(c=1\) हैं, इसलिए \(D=(m-2)^2-4\)। अतः \((m-2)^2<4\), जिससे \(-2<m-2<2\) और परिणामस्वरूप \(0<m<4\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C में \(D=0\) होता है, इसलिए वहाँ दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा-युक्ति: ‘कोई वास्तविक मूल नहीं’ के लिए हमेशा \(D<0\) जाँचें। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(a=1\), \(b=m-2\), and \(c=1\), so \(D=(m-2)^2-4\). Thus, \((m-2)^2<4\), which gives \(-2<m-2<2\), and hence \(0<m<4\). Therefore, option A is correct. In option C, \(D=0\), which gives two equal real roots rather than no real roots. Exam tip: For ‘no real roots’, first apply the condition \(D<0\).
A. \\(q=\\frac{5}{2}\\) या \\(q=-\\frac{5}{2}\\)/\\(q=\\frac{5}{2}\\) or \\(q=-\\frac{5}{2}\\)
Explanation
Simple Explanation
समान मूलों के लिए विविक्तकर \\(D=b^2-4ac\\) का मान शून्य होना चाहिए। यहाँ \\(a=q\\), \\(b=5\\), \\(c=q\\), इसलिए \\(D=25-4q^2=0\\)। अतः \\(q^2=\\frac{25}{4}\\), जिससे \\(q=\\pm\\frac{5}{2}\\)। विकल्प B में \\(5\\) और \\(-5\\) लेने पर विविक्तकर शून्य नहीं होता। ध्यान रखें कि \\(q=0\\) को पहले ही निषिद्ध किया गया है और तब समीकरण द्विघात भी नहीं रहेगा। / For equal roots, the discriminant \\(D=b^2-4ac\\) must be zero. Here, \\(a=q\\), \\(b=5\\), and \\(c=q\\), so \\(D=25-4q^2=0\\). Thus, \\(q^2=\\frac{25}{4}\\), giving \\(q=\\pm\\frac{5}{2}\\). The values \\(5\\) and \\(-5\\) in option B do not make the discriminant zero. Also, \\(q=0\\) is excluded because it would make the equation non-quadratic. Exam tip: for equal roots, set the discriminant directly equal to zero.
A. दो समान वास्तविक मूल (\(D=0\))/Two equal real roots (\(D=0\))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=1\), \(b=-8\) और \(c=16\) हैं। इसलिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-8)^2-4(1)(16)=64-64=0\)। जब \(D=0\) होता है, तब द्विघात समीकरण के दो समान वास्तविक मूल होते हैं; वास्तव में, \(t^2-8t+16=(t-4)^2\), इसलिए दोनों मूल \(t=4\) हैं। विकल्प B में \(D>0\) होने पर असमान मूल बताए गए हैं, जो यहाँ लागू नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति जानने के लिए पहले विविक्तकर का चिह्न देखें। / Here, \(a=1\), \(b=-8\), and \(c=16\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-8)^2-4(1)(16)=64-64=0\). When \(D=0\), a quadratic equation has two equal real roots. In fact, \(t^2-8t+16=(t-4)^2\), so both roots are \(t=4\). Option B applies only when \(D>0\), which gives distinct real roots. Exam tip: To determine the nature of roots, first check the sign of the discriminant.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूल समान तभी होते हैं जब विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) हो। इसलिए \(D_1=0\) वाली स्थिति में समान मूल मिलेंगे। \(D_2=7>0\) पर दो अलग-अलग वास्तविक मूल होते हैं, जबकि \(D_3=-2<0\) पर कोई वास्तविक मूल नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: समान मूल के लिए सीधे \(D=0\) जाँचें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the roots are equal only when the discriminant \(D=b^2-4ac\) is zero. Therefore, the equation with \(D_1=0\) has equal roots. When \(D_2=7>0\), the roots are distinct and real, while \(D_3=-2<0\) gives no real roots. Exam tip: For equal roots, check \(D=0\) directly.
A. दो वास्तविक, अपरिमेय और असमान मूल/Two real, irrational and distinct roots (\(D=12\))
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1, b=-4, c=1\), इसलिए \(D=(-4)^2-4(1)(1)=12\)। चूँकि \(D>0\) और 12 पूर्ण वर्ग नहीं है, दोनों मूल वास्तविक, अपरिमेय और असमान होंगे। विकल्प B गलत है क्योंकि उसका दिया गया \(D=16\) इस समीकरण का विविक्तकर नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) से मूल असमान और \(D\) के पूर्ण वर्ग होने से उनकी परिमेयता निर्धारित करें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1, b=-4, c=1\), so \(D=(-4)^2-4(1)(1)=12\). Since \(D>0\) and 12 is not a perfect square, the roots are real, irrational, and distinct. Option B is incorrect because \(D=16\) is not the discriminant of this equation. Exam tip: First use the sign of \(D\) to determine whether the roots are real and distinct, then check whether \(D\) is a perfect square to determine rationality.
द्विघात समीकरण 8ax-2+bx+c=09 के समान मूलों के लिए विविक्तकर 8D=b-2-4ac9 शून्य होता है। यहाँ 8a=1,b=p,c=169, इसलिए 8D=p-2-4\times1\times16=p-2-64=09। अतः 8p-2=649 और 8p=\pm89, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में 8p=\pm49 लेने पर विविक्तकर शून्य नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: समान मूल दिखे तो तुरंत 8D=09 लगाएँ। / For a quadratic equation 8ax-2+bx+c=09 to have equal roots, its discriminant 8D=b-2-4ac9 must be zero. Here, 8a=1,b=p,c=169, so 8D=p-2-4\times1\times16=p-2-64=09. Hence 8p-2=649 and 8p=\pm89, making option A correct. For the closest distractor, 8p=\pm49 gives a non-zero discriminant. Exam tip: whenever roots are equal, set the discriminant equal to zero first.
