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A. कोई वास्तविक मूल नहीं; \(D=-80\)/No real roots; \(D=-80\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=8\), \(b=-4\) और \(c=3\) हैं। इसलिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4(8)(3)=16-96=-80\) है। चूँकि \(D<0\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं; इसके मूल सम्मिश्र होंगे। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर ऋणात्मक हो तो मूलों की प्रकृति सीधे “कोई वास्तविक मूल नहीं” होती है। / Here, \(a=8\), \(b=-4\), and \(c=3\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4(8)(3)=16-96=-80\). Since \(D<0\), the equation has no real roots; its roots are complex. Exam tip: A negative discriminant immediately indicates that a quadratic equation has no real roots.
A. दो वास्तविक, परिमेय और असमान मूल/Two real, rational and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=6\), \(b=7\) और \(c=-3\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=7^2-4(6)(-3)=49+72=121\) है। चूँकि \(D>0\) और 121 एक पूर्ण वर्ग है, इसलिए दोनों मूल वास्तविक, परिमेय और असमान होंगे। विकल्प B गलत है, क्योंकि अपरिमेय मूल तब मिलते हैं जब \(D>0\) हो लेकिन पूर्ण वर्ग न हो। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर के चिह्न और पूर्ण वर्ग होने की जाँच क्रमशः अवश्य करें। / Here, \(a=6\), \(b=7\), and \(c=-3\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=7^2-4(6)(-3)=49+72=121\). Since \(D>0\) and 121 is a perfect square, the roots are real, rational, and distinct. Option B is incorrect because irrational roots occur when \(D>0\) but is not a perfect square. Exam tip: First check the sign of the discriminant, then check whether it is a perfect square.
कथन: समीकरण \(x^2+3x+7=0\) के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।
कारण: यदि द्विघात समीकरण के लिए विविक्तकर \(D<0\) हो, तो उसके कोई वास्तविक मूल नहीं होते।
सही विकल्प चुनिए।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं/Both the assertion and the reason are correct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=1\), \(b=3\) और \(c=7\) हैं। इसलिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=3^2-4(1)(7)=9-28=-19\) है। चूँकि \(D<0\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं; अतः कथन सही है। यही विविक्तकर का सामान्य नियम कारण को भी सही बनाता है। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) पर मूल अवास्तविक और संयुग्मित होते हैं। / Here, \(a=1\), \(b=3\), and \(c=7\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=3^2-4(1)(7)=9-28=-19\). Since \(D<0\), the equation has no real roots, so the assertion is correct. This same discriminant criterion makes the reason correct as well. Exam tip: When \(D<0\), the roots are non-real conjugates.
A. कथन और कारण दोनों सही हैं तथा कारण, कथन की सही व्याख्या करता है/Both the assertion and the reason are correct, and the reason correctly explains the assertion
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=2\), \(b=-8\) और \(c=8\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-8)^2-4(2)(8)=64-64=0\)। द्विघात समीकरण में \(D=0\) होने पर दोनों मूल समान होते हैं। वास्तव में, समीकरण \(2(x-2)^2=0\) के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए दोहरा मूल \(x=2\) है। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति जानने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का मान निकालें। / Here, \(a=2\), \(b=-8\), and \(c=8\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-8)^2-4(2)(8)=64-64=0\). For a quadratic equation, \(D=0\) means that the two roots are equal. In fact, the equation can be written as \(2(x-2)^2=0\), giving the repeated root \(x=2\). Exam tip: Calculate the discriminant first to determine the nature of the roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) का विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1\), \(b=-4\) और \(c=6\), इसलिए \(D=(-4)^2-4(1)(6)=16-24=-8\)। अतः सही उत्तर विकल्प A है। ध्यान रखें कि \(D<0\) होने पर समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते; विकल्प 16 केवल \(b^2\) का मान है। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1\), \(b=-4\), and \(c=6\), so \(D=(-4)^2-4(1)(6)=16-24=-8\). Therefore, option A is correct. As an exam tip, remember that \(D<0\) means the equation has no real roots; 16 is only the value of \(b^2\).
द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति ज्ञात करने के लिए विविक्तकर �Delta=b-2-4ac का उपयोग करते हैं। विकल्प (A) के लिए �Delta=(-11)2-4(1)(18)=49>0 है, इसलिए इसके दो वास्तविक और असमान मूल हैं; वास्तव में मूल 2 और 9 हैं। विकल्प (B) और (D) में �Delta=0 है, इसलिए मूल वास्तविक और समान हैं, जबकि विकल्प (C) में �Delta=4-24=-20<0 है, इसलिए उसके मूल वास्तविक नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: �Delta>0,
elta=0 और
elta<0 क्रमशः दो असमान वास्तविक, समान वास्तविक और अवास्तविक मूल दर्शाते हैं। / The nature of the roots of a quadratic equation is determined using the discriminant, �Delta=b-2-4ac. For option (A), �Delta=(-11)2-4(1)(18)=49>0, so the equation has two real and distinct roots; they are 2 and 9. In options (B) and (D), �Delta=0, so the roots are real and equal, while in option (C), �Delta=4-24=-20<0, so its roots are not real. Exam tip: �Delta>0,
elta=0, and
elta<0 indicate two distinct real roots, equal real roots, and non-real roots, respectively.
A. कोई वास्तविक मूल नहीं ((D<0))/No real roots ((D<0))
Explanation
Simple Explanation
(x)-अक्ष से कोई कटाव न होने पर वास्तविक मूल नहीं होते। इसलिए विविक्तकर (D<0) होगा। / If there is no intersection with the (x)-axis, there are no real roots. So the discriminant will be (D<0).
A. परवलय (x)-अक्ष को स्पर्श करता है/The parabola touches the (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
(D=0) होने पर दो समान वास्तविक मूल होते हैं। ग्राफ में इसका अर्थ है (x)-अक्ष को केवल स्पर्श करना। / When (D=0), the roots are equal real roots. In graph form this means touching the (x)-axis only once.
A. दो वास्तविक, असमान और अपरिमेय मूल/Two real, distinct and irrational roots
Explanation
Simple Explanation
विविक्तकर \(D=18\) धनात्मक है, इसलिए दोनों मूल वास्तविक और असमान होंगे। चूँकि 18 पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए ये मूल अपरिमेय होंगे। विकल्प B गलत है क्योंकि असमान वास्तविक मूल परिमेय तभी होते हैं जब विविक्तकर पूर्ण वर्ग हो। परीक्षा में याद रखें: \(D>0\) से असमान वास्तविक मूल, \(D=0\) से समान मूल और \(D<0\) से कोई वास्तविक मूल नहीं मिलता। / The discriminant \(D=18\) is positive, so the roots are real and distinct. Since 18 is not a perfect square, the roots are irrational. Option B is incorrect because distinct real roots are rational only when the discriminant is a perfect square. Exam tip: \(D>0\) gives distinct real roots, \(D=0\) gives equal roots, and \(D<0\) gives no real roots.
A. \\(k<-1-2\\sqrt{6}\\) या \\(k>-1+2\\sqrt{6}\\)/\\(k<-1-2\\sqrt{6}\\) or \\(k>-1+2\\sqrt{6}\\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण में \\(a=2, b=k+1, c=3\\) हैं, इसलिए विविक्तकर \\(D=b^2-4ac=(k+1)^2-24\\) होगा। दो असमान वास्तविक मूलों के लिए \\(D>0\\) आवश्यक है। अतः \\((k+1)^2>24\\), जिससे \\(k+1<-2\\sqrt{6}\\) या \\(k+1>2\\sqrt{6}\\), अर्थात \\(k<-1-2\\sqrt{6}\\) या \\(k>-1+2\\sqrt{6}\\)। विकल्प B में \\(D<0\\) होता है, इसलिए वहाँ वास्तविक मूल नहीं मिलते। परीक्षा-युक्ति: \\(D=0\\) पर मूल समान होते हैं, इसलिए “असमान” मूलों के लिए सदैव \\(D>0\\) लें। / For the quadratic equation, \\(a=2, b=k+1, c=3\\), so the discriminant is \\(D=b^2-4ac=(k+1)^2-24\\). Two distinct real roots require \\(D>0\\). Hence \\((k+1)^2>24\\), which gives \\(k+1<-2\\sqrt{6}\\) or \\(k+1>2\\sqrt{6}\\). Therefore, \\(k<-1-2\\sqrt{6}\\) or \\(k>-1+2\\sqrt{6}\\). In option B, \\(D<0\\), so the roots are not real. Exam tip: \\(D=0\\) gives equal roots; therefore, use \\(D>0\\) for distinct real roots.
द्विघात समीकरण में कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1, b=k-3, c=4\), इसलिए \(D=(k-3)^2-16\)। अतः \((k-3)^2<16\), जिससे \(-4<k-3<4\) और इसलिए \(-1<k<7\) प्राप्त होता है। विकल्प C में दिए गए सिरों पर \(D=0\) होता है, इसलिए वहाँ दो समान वास्तविक मूल होते हैं। परीक्षा-युक्ति: ‘कोई वास्तविक मूल नहीं’ के लिए हमेशा \(D<0\) जाँचें। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(a=1, b=k-3, c=4\), so \(D=(k-3)^2-16\). Thus, \((k-3)^2<16\), which gives \(-4<k-3<4\), and hence \(-1<k<7\). At the endpoints in option C, \(D=0\), so the equation has two equal real roots. Exam tip: For ‘no real roots’, always apply the condition \(D<0\).
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के समान मूल होने की शर्त विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) है। यहाँ \(a=1\), \(b=-2(k+2)\) और \(c=9\) हैं। इसलिए \(D=4(k+2)^2-36=0\), जिससे \((k+2)^2=9\) और \(k+2=\pm3\) प्राप्त होता है। अतः \(k=1\) या \(k=-5\)। परीक्षा-टिप: समान मूलों वाले प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / A quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) has equal roots when its discriminant \(D=b^2-4ac\) is zero. Here, \(a=1\), \(b=-2(k+2)\), and \(c=9\). Thus, \(D=4(k+2)^2-36=0\), giving \((k+2)^2=9\) and hence \(k+2=\pm3\). Therefore, \(k=1\) or \(k=-5\). Exam tip: For equal-root questions, immediately apply the condition \(D=0\).
A. \(k\leq-\frac{3}{2}\) या \(k\geq\frac{3}{2}\)/\(k\leq-\frac{3}{2}\) or \(k\geq\frac{3}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(4k)2-4(4)(9)=16\(k^2-9\)) है। वास्तविक मूलों के लिए \(k^2\geq9\) यानी \(k\leq-\frac{3}{2}\) या \(k\geq\frac{3}{2}\)। / Here (D=(4k)2-4(4)(9)=16\(k^2-9\)). For real roots \(k^2\geq9\), so \(k\leq-\frac{3}{2}\) or \(k\geq\frac{3}{2}\).
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य होना चाहिए। यहाँ \(a=k\), \(b=8\) और \(c=4\) हैं। इसलिए \(D=8^2-4(k)(4)=0\), अर्थात \(64-16k=0\), जिससे \(k=4\) प्राप्त होता है। विकल्प 8 या 16 लेने पर विविक्तकर शून्य नहीं रहेगा। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों वाले द्विघात समीकरण में हमेशा \(D=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be zero. Here, \(a=k\), \(b=8\), and \(c=4\). Thus, \(D=8^2-4(k)(4)=0\), giving \(64-16k=0\) and hence \(k=4\). Values such as 8 or 16 do not make the discriminant zero. Exam tip: For a quadratic equation with equal roots, set the discriminant equal to zero.
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य होना चाहिए। यहाँ \(a=3\), \(b=m\) और \(c=12\), इसलिए \(m^2-4(3)(12)=0\)। अतः \(m^2=144\), जिससे \(m=\pm12\), अर्थात् \(m=12\) या \(m=-12\)। विकल्प B में \(m^2=36\) होगा, जो आवश्यक शर्त पूरी नहीं करता। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों वाले प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लिखें। / For equal roots, the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be zero. Here, \(a=3\), \(b=m\), and \(c=12\), so \(m^2-4(3)(12)=0\). Therefore, \(m^2=144\), giving \(m=\pm12\), that is, \(m=12\) or \(m=-12\). Option B would give \(m^2=36\), which does not satisfy the required condition. Exam tip: For equal-root questions, start by setting the discriminant equal to zero.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूल वास्तविक होने के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\geq0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=2\), \(b=-3\) और \(c=p\) हैं, इसलिए \(D=(-3)^2-4(2)(p)=9-8p\)। अतः \(9-8p\geq0\), जिससे \(p\leq\frac{9}{8}\) प्राप्त होता है। विकल्प C केवल एक विशेष मान है, जबकि विकल्प D आवश्यक शर्त नहीं है। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D\geq0\) जाँचें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) to have real roots, its discriminant \(D=b^2-4ac\) must satisfy \(D\geq0\). Here, \(a=2\), \(b=-3\), and \(c=p\), so \(D=(-3)^2-4(2)(p)=9-8p\). Therefore, \(9-8p\geq0\), which gives \(p\leq\frac{9}{8}\). Option C is only one particular allowed value, while option D is not necessary. Exam tip: For real roots, first apply the condition \(D\geq0\).
इस समीकरण में \(a=1\), \(b=4\) और \(c=k\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=16-4k\) होगा। वास्तविक मूल न होने के लिए \(D<0\) आवश्यक है, इसलिए \(16-4k<0\), जिससे \(k>4\) प्राप्त होता है। \(k=4\) होने पर \(D=0\) और एक दोहरा वास्तविक मूल मिलता है। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों की प्रकृति जानने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का चिह्न जाँचें। / Here, \(a=1\), \(b=4\), and \(c=k\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=16-4k\). A quadratic equation has no real roots when \(D<0\), so \(16-4k<0\), which gives \(k>4\). The closest distractor, \(k=4\), makes \(D=0\) and gives one repeated real root. Exam tip: Check the sign of the discriminant first to determine the nature of the roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के दो वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac>0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-12\) और \(c=k\), इसलिए \(D=(-12)^2-4(1)(k)=144-4k=4(36-k)\)। अतः \(D>0\) के लिए \(k<36\), इसलिए विकल्प A सही है। \(k=36\) पर दोनों मूल समान हो जाते हैं। परीक्षा-युक्ति: भिन्न वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) याद रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) to have two real and distinct roots, its discriminant must satisfy \(D=b^2-4ac>0\). Here, \(a=1\), \(b=-12\), and \(c=k\), so \(D=(-12)^2-4(1)(k)=144-4k=4(36-k)\). Therefore, \(D>0\) gives \(k<36\), making option A correct. At \(k=36\), the roots are real but equal, not distinct. Exam tip: use \(D>0\) specifically for two distinct real roots.
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(\Delta=b^2-4ac\) का मान शून्य होना चाहिए। यहाँ \(a=1, b=k, c=25\), इसलिए \(\Delta=k^2-4(1)(25)=k^2-100\)। अतः \(k^2-100=0\), जिससे \(k=\pm10\), अर्थात \(k=10\) या \(k=-10\)। विकल्प B में \(k=\pm5\) रखने पर विविक्तकर \(-75\) आता है, इसलिए वह समान मूल नहीं देता। परीक्षा-युक्ति: समान वास्तविक मूल के प्रश्नों में सीधे \(b^2-4ac=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant \(\Delta=b^2-4ac\) must be zero. Here, \(a=1, b=k, c=25\), so \(\Delta=k^2-4(1)(25)=k^2-100\). Thus, \(k^2-100=0\), giving \(k=\pm10\), or \(k=10\) and \(k=-10\). For the closest distractor, \(k=\pm5\) gives a discriminant of \(-75\), so the roots are not equal real roots. Exam tip: For equal roots, immediately use \(b^2-4ac=0\).
A. दो वास्तविक अपरिमेय और असमान ((D=5))/Two real irrational and distinct ((D=5))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(-7)2-4(1)(11)=5) है। (D) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए मूल अपरिमेय और असमान हैं। / Here (D=(-7)2-4(1)(11)=5). (D) is not a perfect square, so the roots are irrational and distinct.
A. दो वास्तविक, परिमेय और असमान मूल (\(D=49\))/Two real, rational and distinct roots (\(D=49\))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=3\), \(b=5\) और \(c=-2\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=5^2-4(3)(-2)=49\)। चूँकि \(D>0\) और \(49\) पूर्ण वर्ग है, इसलिए दोनों मूल वास्तविक, परिमेय और असमान होंगे। वास्तव में मूल \(\frac{1}{3}\) और \(-2\) हैं। विकल्प B समान मूल के लिए \(D=0\) और विकल्प C वास्तविक मूल न होने के लिए \(D<0\) दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) तथा पूर्ण वर्ग होने पर मूल वास्तविक, परिमेय और असमान होते हैं। / Here, \(a=3\), \(b=5\), and \(c=-2\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=5^2-4(3)(-2)=49\). Since \(D>0\) and 49 is a perfect square, the roots are real, rational, and distinct. In fact, the roots are \(\frac{1}{3}\) and \(-2\). Option B applies when \(D=0\), while option C applies when \(D<0\). Exam tip: If \(D>0\) and is a perfect square, the roots are real, rational, and distinct.
C. दो वास्तविक, असमान और अपरिमेय/Two real, distinct and irrational
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=1\), \(b=-5\) और \(c=3\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-5)^2-4(1)(3)=25-12=13\)। चूँकि \(D>0\), मूल वास्तविक और असमान हैं; और \(13\) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए मूल अपरिमेय होंगे। इसलिए विकल्प C सही है। परीक्षा-टिप: \(D>0\) केवल वास्तविक तथा असमान मूल बताता है; परिमेय या अपरिमेय तय करने के लिए देखें कि \(D\) पूर्ण वर्ग है या नहीं। / Here, \(a=1\), \(b=-5\), and \(c=3\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-5)^2-4(1)(3)=25-12=13\). Since \(D>0\), the roots are real and distinct. Because 13 is not a perfect square, the roots are irrational. Hence, option C is correct. Exam tip: \(D>0\) establishes that the roots are real and distinct; check whether \(D\) is a perfect square to decide whether they are rational or irrational.
A. दो वास्तविक अपरिमेय और असमान ((D=5))/Two real irrational and distinct ((D=5))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(-5)2-4(1)(5)=5) है। (D) धनात्मक है पर पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए मूल अपरिमेय हैं। / Here (D=(-5)2-4(1)(5)=5). (D) is positive but not a perfect square, so the roots are irrational.
यहाँ \(a=4, b=-20, c=25\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-20)^2-4(4)(25)=0\), इसलिए दोनों मूल समान होंगे। समीकरण को \((2x-5)^2=0\) लिखने पर \(2x-5=0\), अतः समान मूल \(x=\frac{5}{2}\) है। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) होने पर समान मूल \(x=\frac{-b}{2a}\) से भी सीधे निकाला जा सकता है। / Here, \(a=4, b=-20, c=25\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=(-20)^2-4(4)(25)=0\), so the two roots are equal. Factoring gives \((2x-5)^2=0\), hence \(2x-5=0\) and the repeated root is \(x=\frac{5}{2}\). Exam tip: When \(D=0\), the equal root can also be found directly using \(x=\frac{-b}{2a}\).
यहाँ \(a=1, b=6, c=13\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=6^2-4(1)(13)=36-52=-16\) है। चूँकि \(D<0\), इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं; इसके मूल सम्मिश्र और परस्पर संयुग्मी होंगे। विकल्प B के लिए \(D=0\) होना चाहिए, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) होने पर मूलों की प्रकृति हमेशा अवास्तविक होती है। / Here, \(a=1, b=6, c=13\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=6^2-4(1)(13)=36-52=-16\). Since \(D<0\), the equation has no real roots; its roots are complex conjugates. Option B would require \(D=0\), which is not the case here. Exam tip: For a quadratic equation, \(D<0\) means that there are no real roots.
A. दो वास्तविक परिमेय और असमान ((D=1))/Two real rational and distinct ((D=1))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(-9)2-4(1)(20)=1) है। (D=1) धनात्मक पूर्ण वर्ग है, इसलिए मूल परिमेय और असमान हैं। / Here (D=(-9)2-4(1)(20)=1). Since (D=1) is a positive perfect square, the roots are rational and distinct.
यहाँ \(a=5\), \(b=-6\) और \(c=2\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(5)(2)=36-40=-4\) प्राप्त होता है। चूँकि \(D<0\), इसलिए इस समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। \(D=0\) होने पर ही समान वास्तविक मूल मिलते हैं, इसलिए विकल्प B सही नहीं है। परीक्षा में मूलों की प्रकृति जानने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का चिह्न जाँचें। / Here, \(a=5\), \(b=-6\), and \(c=2\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(5)(2)=36-40=-4\). Since \(D<0\), the equation has no real roots. Equal real roots occur only when \(D=0\), so option B is incorrect; the other listed discriminant values are also miscalculations. Exam tip: determine the nature of quadratic roots by checking the sign of the discriminant first.
A. दो वास्तविक, परिमेय और भिन्न मूल \((D=64)\)/Two real, rational and distinct roots \((D=64)\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=3\), \(b=-10\) और \(c=3\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-10)^2-4(3)(3)=100-36=64\) है। चूँकि \(D\) धनात्मक और पूर्ण वर्ग है, इसलिए समीकरण के दो वास्तविक, परिमेय और भिन्न मूल होंगे। वास्तव में मूल \(3\) और \(\frac{1}{3}\) हैं। परीक्षा में याद रखें: \(D>0\) और पूर्ण वर्ग होने पर मूल परिमेय एवं असमान होते हैं। / Here, \(a=3\), \(b=-10\), and \(c=3\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-10)^2-4(3)(3)=100-36=64\). Since \(D\) is positive and a perfect square, the equation has two real, rational, and distinct roots. In fact, the roots are \(3\) and \(\frac{1}{3}\). Exam tip: when \(D>0\) and is a perfect square, the roots are rational and distinct.
द्विघात समीकरण का विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। जब \(D<0\), तो वर्गमूल \(\sqrt{D}\) वास्तविक नहीं होता, इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते; मूल सम्मिश्र और परस्पर संयुग्मी होते हैं। समान वास्तविक मूल के लिए \(D=0\) होना चाहिए, इसलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा में सबसे पहले \(D\) का मान या उसका चिन्ह जाँचें। / The discriminant of a quadratic equation is \(D=b^2-4ac\). When \(D<0\), \(\sqrt{D}\) is not real, so the equation has no real roots; its roots are complex conjugates. Equal real roots require \(D=0\), so option B is incorrect. In an exam, first determine the sign of the discriminant.
वास्तविक मूल न होने के लिए (D<0) चाहिए। यहाँ (D=4\(a^2-6a-1\)), इसलिए \(3-\sqrt{10}<a<3+\sqrt{10}\)। / For no real roots, (D<0) is required. Here (D=4\(a^2-6a-1\)), so \(3-\sqrt{10}<a<3+\sqrt{10}\).
