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यहाँ (D=4[(k+1)2-5(k-3)]=4\(k^2-3k+16\)) है। यह अभिव्यक्ति हमेशा धनात्मक है, इसलिए वास्तविक मूल हमेशा मिलेंगे। / Here (D=4[(k+1)2-5(k-3)]=4\(k^2-3k+16\)). This expression is always positive, so real roots always exist.
द्विघात समीकरण के वास्तविक और समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2\sqrt{n}\) और \(c=4\), इसलिए \(D=b^2-4ac=(-2\sqrt{n})^2-4(1)(4)=4n-16\)। अतः \(4n-16=0\), जिससे \(n=4\) प्राप्त होता है। परीक्षा में समान मूल दिखते ही सबसे पहले \(D=0\) का प्रयोग करें। / For a quadratic equation to have real and equal roots, its discriminant must be zero. Here, \(a=1\), \(b=-2\sqrt{n}\), and \(c=4\), so \(D=b^2-4ac=(-2\sqrt{n})^2-4(1)(4)=4n-16\). Setting \(D=0\) gives \(4n-16=0\), hence \(n=4\). As an exam tip, use \(D=0\) immediately whenever the roots are stated to be equal and real.
A. वास्तविक, अपरिमेय और भिन्न/Real, irrational and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=\(2\sqrt{7}\)2-4(1)(3)=16) है। मूल \(\sqrt{7}\pm2\) होंगे, इसलिए वे अपरिमेय और भिन्न हैं। / Here (D=\(2\sqrt{7}\)2-4(1)(3)=16). The roots are \(\sqrt{7}\pm2\), so they are irrational and distinct.
यहाँ \(a=3\), \(b=-2\sqrt{15}\) और \(c=5\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-2\sqrt{15})^2-4(3)(5)=60-60=0\) है। जब \(D=0\) होता है, तब दोनों मूल वास्तविक और समान होते हैं। वास्तव में दोहराया हुआ मूल \(x=\frac{-b}{2a}=\frac{\sqrt{15}}{3}\) है। ध्यान रखें कि मूल अपरिमेय होने पर भी वे समान हो सकते हैं; इसलिए विकल्प D गलत है, क्योंकि उसमें भिन्न मूल बताए गए हैं। / Here, \(a=3\), \(b=-2\sqrt{15}\), and \(c=5\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=(-2\sqrt{15})^2-4(3)(5)=60-60=0\). When \(D=0\), the two roots are real and equal. In fact, the repeated root is \(x=\frac{-b}{2a}=\frac{\sqrt{15}}{3}\). Remember that the roots may be irrational and still equal; therefore, option D is incorrect because it states that the roots are distinct.
वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D\ge0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2(c+1)\) और \(d=c^2-2c+5\) हैं, इसलिए \(D=b^2-4ad=16(c-1)\)। अतः \(16(c-1)\ge0\), जिससे \(c\ge1\) प्राप्त होता है। ध्यान दें कि \(c=1\) पर दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं, इसलिए केवल \(c>1\) कहना सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D\ge0\) लगाएँ। / For real roots, the discriminant must satisfy \(D\ge0\). Here \(a=1\), \(b=-2(c+1)\), and the constant term is \(c^2-2c+5\), so \(D=b^2-4ac=16(c-1)\). Thus \(16(c-1)\ge0\), giving \(c\ge1\). At \(c=1\), the equation has equal real roots, so the stricter condition \(c>1\) is incorrect. Exam tip: For a quadratic to have real roots, begin by imposing \(D\ge0\).
समान मूलों के लिए द्विघात समीकरण का विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=t-1\), \(b=-2(t+2)\) और \(c=t+5\) हैं। इसलिए \(D=4(t+2)^2-4(t-1)(t+5)=4[(t+2)^2-(t^2+4t-5)]=36\), जो हर वास्तविक \(t\) के लिए शून्य नहीं है। अतः कोई वास्तविक मान समान मूल नहीं देता। ध्यान दें कि \(t=1\) पर \(x^2\) का गुणांक शून्य हो जाता है और समीकरण द्विघात न रहकर रैखिक बन जाता है। परीक्षा-युक्ति: पहले \(a\neq0\) जाँचें और फिर समान मूलों के लिए \(D=0\) लगाएँ। / For equal roots, a quadratic equation must satisfy the condition \(D=b^2-4ac=0\). Here, \(a=t-1\), \(b=-2(t+2)\), and \(c=t+5\). Thus, \(D=4(t+2)^2-4(t-1)(t+5)=4[(t+2)^2-(t^2+4t-5)]=36\), which is never zero for any real \(t\). Therefore, no real value of \(t\) produces equal roots. Also, when \(t=1\), the coefficient of \(x^2\) becomes zero, so the equation is linear rather than quadratic. Exam tip: check \(a\neq0\) first, and then apply the equal-roots condition \(D=0\).
समान मूलों के लिए (D=0) चाहिए। यहाँ (D=4k-2-4(k+3)(k-1)=4(3-2k)), इसलिए \(k=\frac{3}{2}\) नहीं, सही गणना से \(k=\frac{3}{2}\) मिलता है। / For equal roots, (D=0) is needed. Here (D=4k-2-4(k+3)(k-1)=4(3-2k)), so \(k=\frac{3}{2}\).
समीकरण में \(a=2\), \(b=-(q+4)\) और \(c=2q\) हैं। समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य होना चाहिए। अतः \(D=(q+4)^2-16q=q^2-8q+16=(q-4)^2\)। इसलिए \((q-4)^2=0\) से \(q=4\) प्राप्त होता है। विकल्प B के मानों पर विविक्तकर शून्य नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों वाले प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / For the equation, \(a=2\), \(b=-(q+4)\), and \(c=2q\). Equal roots require the discriminant \(D=b^2-4ac\) to be zero. Thus, \(D=(q+4)^2-16q=q^2-8q+16=(q-4)^2\). Setting this equal to zero gives \(q=4\). The values in option B do not make the discriminant zero. Exam tip: For equal roots, immediately apply the condition \(D=0\).
A. \(p\le -2\) या \(p\ge \frac{9}{2}\)/\(p\le -2\) or \(p\ge \frac{9}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक मूलों के लिए \(D\ge0\) चाहिए। यहाँ (D=4(p+2)(2p-9)), इसलिए \(p\le -2\) या \(p\ge \frac{9}{2}\)। / For real roots, \(D\ge0\) is required. Here (D=4(p+2)(2p-9)), so \(p\le -2\) or \(p\ge \frac{9}{2}\).
द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=[2(a+3)]^2-4(a^2+10a+17)=-16(a+2)\)। अतः \(-16(a+2)<0\), जिससे \(a>-2\) प्राप्त होता है। \(a=-2\) पर \(D=0\) होता है, इसलिए दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं, न कि कोई वास्तविक मूल नहीं। परीक्षा-युक्ति: पहले \(D\) को सरल करके उसके चिह्न की शर्त लगाएँ। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(D=[2(a+3)]^2-4(a^2+10a+17)=-16(a+2)\). Therefore, \(-16(a+2)<0\), which gives \(a>-2\). At \(a=-2\), \(D=0\), so the equation has equal real roots rather than no real roots. Exam tip: simplify the discriminant completely before applying its sign condition.
यहाँ a=1, b=−2(m−4) और c=m²−16 हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=32(4-m)\) होगा। वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए \(D>0\) आवश्यक है, इसलिए \(32(4-m)>0\), जिससे \(m<4\) प्राप्त होता है। ध्यान रखें कि \(m=4\) पर \(D=0\) होता है और दोनों मूल समान हो जाते हैं; इसलिए \(m\le4\) सही शर्त नहीं है। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति जाँचने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का चिह्न निर्धारित करें। / Here, a=1, b=−2(m−4), and c=m²−16. Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=32(4-m)\). Real and distinct roots require \(D>0\), so \(32(4-m)>0\), which gives \(m<4\). Note that when \(m=4\), \(D=0\) and the roots are equal; hence \(m\le4\) is not the correct condition. Exam tip: determine the sign of the discriminant first when analysing the nature of quadratic roots.
वास्तविक और समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=r+2\), \(b=-2(r+5)\) और \(c=r+2\) हैं। इसलिए \(D=4(r+5)^2-4(r+2)^2=12(2r+7)\)। \(D=0\) रखने पर \(2r+7=0\), अतः \(r=-\frac{7}{2}\)। विकल्प \(r=-2\) पर \(x^2\) का गुणांक शून्य हो जाता है, इसलिए समीकरण द्विघात नहीं रहता। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों के प्रश्नों में पहले \(D=0\) लगाएँ और फिर जाँचें कि \(a\neq0\) है। / For real and equal roots, the discriminant must satisfy \(D=b^2-4ac=0\). Here, \(a=r+2\), \(b=-2(r+5)\), and \(c=r+2\). Thus, \(D=4(r+5)^2-4(r+2)^2=12(2r+7)\). Setting \(D=0\) gives \(2r+7=0\), so \(r=-\frac{7}{2}\). The value \(r=-2\) is not valid because it makes the coefficient of \(x^2\) zero, so the equation is no longer quadratic. Exam tip: For equal-root questions, set \(D=0\) first and then verify that \(a\neq0\).
A. दो वास्तविक अपरिमेय और असमान ((D=28))/Two real irrational and distinct ((D=28))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(-4)2-4(3)(-1)=28) है। (28) धनात्मक है पर पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए मूल अपरिमेय असमान हैं। / Here (D=(-4)2-4(3)(-1)=28). (28) is positive but not a perfect square, so the roots are irrational and distinct.
A. दो वास्तविक, परिमेय और भिन्न मूल \((D=9)\)/Two real, rational and distinct roots \((D=9)\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=1, b=-13, c=40\) हैं। अत: विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-13)^2-4(1)(40)=169-160=9\) है। चूँकि \(D>0\), मूल वास्तविक और भिन्न होंगे; तथा \(D=9\) पूर्ण वर्ग है, इसलिए वे परिमेय भी होंगे। वास्तव में मूल \(5\) और \(8\) हैं। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) और पूर्ण वर्ग होने पर मूल वास्तविक, भिन्न और परिमेय होते हैं। / Here, \(a=1, b=-13, c=40\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-13)^2-4(1)(40)=169-160=9\). Since \(D>0\), the roots are real and distinct; because \(D=9\) is a perfect square, they are also rational. In fact, the roots are \(5\) and \(8\). Exam tip: If \(D>0\) and is a perfect square, the roots are real, distinct, and rational.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) का विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(D=(-12)^2-4(4)(11)=144-176=-32\) है। चूँकि \(D<0\), इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प A इसलिए गलत है क्योंकि ऋणात्मक विविक्तकर होने पर मूल वास्तविक नहीं, बल्कि समिश्र होते हैं। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) का अर्थ हमेशा कोई वास्तविक मूल नहीं होता है। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(D=(-12)^2-4(4)(11)=144-176=-32\). Since \(D<0\), the equation has no real roots. Option A is incorrect because a negative discriminant does not produce real irrational roots; it produces non-real complex roots. Exam tip: remember that \(D<0\) means no real roots.
A. कोई वास्तविक मूल नहीं (\\(D=-8\\))/No real roots (\\(D=-8\\))
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण \\(ax^2+bx+c=0\\) में विविक्तकर \\(D=b^2-4ac\\) होता है। यहाँ \\(a=1,b=8,c=18\\), इसलिए \\(D=8^2-4(1)(18)=64-72=-8\\)। चूँकि \\(D<0\\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प B तभी सही होता जब \\(D=0\\) होता। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति बताने से पहले विविक्तकर का चिह्न अवश्य जाँचें। / For a quadratic equation \\(ax^2+bx+c=0\\), the discriminant is \\(D=b^2-4ac\\). Here, \\(a=1,b=8,c=18\\), so \\(D=8^2-4(1)(18)=64-72=-8\\). Since \\(D<0\\), the equation has no real roots. Option B would be correct only if \\(D=0\\). Exam tip: Always check the sign of the discriminant before identifying the nature of the roots.
A. दो वास्तविक, परिमेय और असमान/Two real, rational and distinct \((D=1)\)
Explanation
Simple Explanation
दिए गए समीकरण में \(a=1\), \(b=-15\) और \(c=56\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-15)^2-4(1)(56)=225-224=1\)। चूँकि \(D>0\) और 1 पूर्ण वर्ग है, इसलिए मूल दो वास्तविक, परिमेय और असमान होंगे। ध्यान रखें: धनात्मक पूर्ण वर्ग विविक्तकर दो असमान परिमेय मूल देता है, जबकि केवल \(D>0\) होने पर मूल अपरिमेय भी हो सकते हैं। / For the given equation, \(a=1\), \(b=-15\), and \(c=56\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-15)^2-4(1)(56)=225-224=1\). Since \(D>0\) and 1 is a perfect square, the roots are real, rational, and distinct. Exam tip: a positive perfect-square discriminant gives two distinct rational roots; merely having \(D>0\) does not guarantee rational roots.
A. कोई वास्तविक मूल नहीं \((D<0)\)/No real roots \((D<0)\)
Explanation
Simple Explanation
दिए गए द्विघात समीकरण में \(a=1\), \(b=-6\) और \(c=10\) हैं। इसलिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(1)(10)=36-40=-4\) है। चूँकि \(D<0\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं; अतः क्षेत्रफल में \(s\) का कोई वास्तविक मान संभव नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\), \(D=0\) और \(D>0\) क्रमशः शून्य, समान और असमान वास्तविक मूल दर्शाते हैं। / For the quadratic equation, \(a=1\), \(b=-6\), and \(c=10\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(1)(10)=36-40=-4\). Since \(D<0\), the equation has no real roots, so \(s\) cannot have a real value in the area problem. Exam tip: \(D<0\), \(D=0\), and \(D>0\) indicate no real roots, equal real roots, and distinct real roots, respectively.
A. \(k\leq\frac{3-\sqrt{13}}{2}\) या \(k\geq\frac{3+\sqrt{13}}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D\geq0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=2(k-1)\) और \(c=k+2\), इसलिए \(D=4(k-1)^2-4(k+2)=4(k^2-3k-1)\)। अतः \(k^2-3k-1\geq0\)। इसके शून्यक \(\frac{3-\sqrt{13}}{2}\) और \(\frac{3+\sqrt{13}}{2}\) हैं। चूँकि \(k^2-3k-1\) का अग्रणी गुणांक धनात्मक है, असमानता शून्यकों के बाहर सत्य होगी, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C में \(k^2-3k-4\) प्राप्त करना गणना की त्रुटि है। परीक्षा-टिप: वास्तविक मूलों के लिए \(D\geq0\) लगाकर परिणामी द्विघात असमानता का चिन्ह-विश्लेषण करें। / For a quadratic equation to have real roots, its discriminant must satisfy \(D\geq0\). Here \(a=1\), \(b=2(k-1)\), and \(c=k+2\), so \(D=4(k-1)^2-4(k+2)=4(k^2-3k-1)\). Thus, \(k^2-3k-1\geq0\). The zeros of this quadratic are \(\frac{3-\sqrt{13}}{2}\) and \(\frac{3+\sqrt{13}}{2}\). Since its leading coefficient is positive, the inequality holds outside the interval between these zeros; hence option A is correct. Option C results from the calculation error of writing \(k^2-3k-4\) instead. Exam tip: Set the discriminant \(D\geq0\), then solve the resulting quadratic inequality using its zeros and sign pattern.
समान मूलों के लिए द्विघात समीकरण का विविक्तकर शून्य होता है। यहाँ \(a=p\), \(b=-14\) और \(c=7\), इसलिए \(b^2-4ac=0\), अर्थात \((-14)^2-4(p)(7)=0\)। इससे \(196-28p=0\) और \(p=7\) प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प A है। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों वाले प्रश्नों में सीधे \(b^2-4ac=0\) लगाएँ। विकल्प 14 लेने पर विविक्तकर शून्य नहीं होगा। / For equal roots, the discriminant of a quadratic equation must be zero. Here, \(a=p\), \(b=-14\), and \(c=7\). Thus, \(b^2-4ac=0\) gives \((-14)^2-4(p)(7)=0\), so \(196-28p=0\) and \(p=7\). Therefore, option A is correct. Exam tip: For equal roots, directly use \(b^2-4ac=0\). Choosing 14 does not make the discriminant zero.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के दो वास्तविक और समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होता है। यहाँ \(a=2\), \(b=-5\) और \(c=q\) हैं, इसलिए \((-5)^2-4(2)(q)=0\), अर्थात \(25-8q=0\)। अतः \(q=\frac{25}{8}\)। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों वाले प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / A quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) has two real and equal roots when its discriminant, \(D=b^2-4ac\), is zero. Here, \(a=2\), \(b=-5\), and \(c=q\). Thus, \((-5)^2-4(2)(q)=0\), giving \(25-8q=0\) and hence \(q=\frac{25}{8}\). Exam tip: For equal roots, immediately apply the condition \(D=0\).
A. \(k\leq\frac{1-2\sqrt{3}}{2}\) या \(k\geq\frac{1+2\sqrt{3}}{2}\)/\(k\leq\frac{1-2\sqrt{3}}{2}\) or \(k\geq\frac{1+2\sqrt{3}}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक मूलों के लिए ((2k-1)2-12\geq0) चाहिए। इसलिए \(2k-1\leq-2\sqrt{3}\) या \(2k-1\geq2\sqrt{3}\)। / For real roots, ((2k-1)2-12\geq0) is needed. Hence \(2k-1\leq-2\sqrt{3}\) or \(2k-1\geq2\sqrt{3}\).
A. \\(k=7\\) या \\(k=-1\\)/\\(k=7\\) or \\(k=-1\\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण \\(ax^2+bx+c=0\\) के समान मूल होने की शर्त विविक्तकर \\(D=b^2-4ac=0\\) है। यहाँ \\(a=1\\), \\(b=-2(k-3)\\) और \\(c=16\\) हैं। अतः \\(D=4(k-3)^2-64=0\\), जिससे \\(k-3=\\pm4\\) और इसलिए \\(k=7\\) या \\(k=-1\\)। परीक्षा में समान मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \\(D=0\\) लगाएँ। / A quadratic equation \\(ax^2+bx+c=0\\) has equal roots when its discriminant satisfies \\(D=b^2-4ac=0\\). Here, \\(a=1\\), \\(b=-2(k-3)\\), and \\(c=16\\). Therefore, \\(4(k-3)^2-64=0\\), so \\(k-3=\\pm4\\), giving \\(k=7\\) or \\(k=-1\\). Exam tip: For equal-root questions, begin by setting the discriminant equal to zero.
किसी द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में, जहाँ \(a,b,c\) परिमेय संख्याएँ हैं और \(a\ne0\), यदि विविक्तकर \(D=b^2-4ac=100\) हो, तो मूलों की प्रकृति के बारे में सही कथन कौन-सा है?
A. मूल वास्तविक, परिमेय और भिन्न हैं/The roots are real, rational, and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(D=100>0\), इसलिए दोनों मूल वास्तविक और भिन्न होंगे। साथ ही, \(100\) एक पूर्ण वर्ग है, अतः \(\sqrt{D}=10\) परिमेय है। चूँकि \(a,b,c\) परिमेय हैं, सूत्र \(x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\) से दोनों मूल परिमेय होंगे। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प D गलत है क्योंकि \(D\) का धनात्मक पूर्ण वर्ग होना मूलों को परिमेय बनाता है। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) से भिन्न वास्तविक मूल और \(D\) का पूर्ण वर्ग होना परिमेय मूल दर्शाता है। / Here, \(D=100>0\), so the two roots are real and distinct. Also, 100 is a perfect square, so \(\sqrt{D}=10\) is rational. Since \(a,b,c\) are rational, the formula \(x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\) shows that both roots are rational. Therefore, option A is correct. Option D is incorrect because a positive perfect-square discriminant gives rational, not irrational, roots. Exam tip: \(D>0\) indicates distinct real roots, and when \(D\) is a perfect square, the roots are rational.
अपरिमेय असमान मूलों के लिए (D>0) और (D) पूर्ण वर्ग नहीं होना चाहिए। (11) इसी शर्त को पूरा करता है। / For irrational distinct roots, (D>0) and (D) must not be a perfect square. (11) satisfies this condition.
A. दो वास्तविक, अपरिमेय और भिन्न मूल \(D=13\)/Two real, irrational and distinct roots \(D=13\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=1, b=-3, c=-1\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-3)^2-4(1)(-1)=13\) है। चूँकि \(D>0\), मूल वास्तविक और भिन्न होंगे; और 13 पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए वे अपरिमेय भी होंगे। अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में मूलों को परिमेय बताया गया है, जो गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) से पहले मूलों के वास्तविक और भिन्न होने का निर्णय करें, फिर देखें कि \(D\) पूर्ण वर्ग है या नहीं। / Here, \(a=1, b=-3, c=-1\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-3)^2-4(1)(-1)=13\). Since \(D>0\), the roots are real and distinct; since 13 is not a perfect square, they are also irrational. Hence, option A is correct. Option B is wrong because the roots are not rational. Exam tip: Use \(D>0\) to identify real and distinct roots first, then check whether \(D\) is a perfect square to determine rationality.
A. दो वास्तविक, परिमेय और असमान मूल \((D=25)\)/Two real, rational and distinct roots \((D=25)\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=7\), \(b=-9\) और \(c=2\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-9)^2-4(7)(2)=25\) है। चूँकि \(D\) धनात्मक और पूर्ण वर्ग है, इसलिए दोनों मूल वास्तविक, परिमेय और असमान होंगे। वास्तव में मूल \(1\) और \(\frac{2}{7}\) हैं। इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा टिप: धनात्मक पूर्ण वर्ग विविक्तकर परिमेय असमान मूल दर्शाता है। / Here, \(a=7\), \(b=-9\), and \(c=2\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-9)^2-4(7)(2)=25\). Since \(D\) is positive and a perfect square, the roots are real, rational, and distinct. In fact, the roots are \(1\) and \(\frac{2}{7}\), so option A is correct. Exam tip: a positive perfect-square discriminant indicates rational and distinct roots.
A. कोई वास्तविक मूल नहीं/No real roots \\(D=-15\\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण \\(ax^2+bx+c=0\\) के लिए विविक्तकर \\(D=b^2-4ac\\) होता है। यहाँ \\(a=2, b=1, c=2\\), इसलिए \\(D=1^2-4(2)(2)=1-16=-15\\)। चूँकि \\(D<0\\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा में याद रखें: \\(D<0\\) पर मूल काल्पनिक या सम्मिश्र होते हैं, वास्तविक नहीं। / For a quadratic equation \\(ax^2+bx+c=0\\), the discriminant is \\(D=b^2-4ac\\). Here, \\(a=2, b=1, c=2\\), so \\(D=1^2-4(2)(2)=1-16=-15\\). Since \\(D<0\\), the equation has no real roots. Exam tip: \\(D<0\\) indicates non-real complex roots; \\(D=0\\) indicates equal real roots, while \\(D>0\\) indicates distinct real roots.
A. \\(D=25\\), दो वास्तविक, परिमेय और असमान मूल/\\(D=25\\), two real, rational and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण \\(ax^2+bx+c=0\\) के लिए विविक्तकर \\(D=b^2-4ac\\) होता है। यहाँ \\(a=1,b=9,c=14\\), इसलिए \\(D=9^2-4(1)(14)=81-56=25\\)। चूँकि \\(D>0\\) और 25 पूर्ण वर्ग है, इसलिए दोनों मूल वास्तविक, परिमेय और असमान होंगे। अतः विकल्प A सही है। विकल्प B केवल \\(D=0\\) होने पर सही होता। परीक्षा-युक्ति: \\(D>0\\), \\(D=0\\) और \\(D<0\\) से पहले मूलों की संख्या और प्रकृति जाँचें; परिमेयता के लिए देखें कि विविक्तकर पूर्ण वर्ग है या नहीं। / For a quadratic equation \\(ax^2+bx+c=0\\), the discriminant is \\(D=b^2-4ac\\). Here, \\(a=1,b=9,c=14\\), so \\(D=9^2-4(1)(14)=81-56=25\\). Since \\(D>0\\) and 25 is a perfect square, the roots are real, rational, and distinct. Therefore, option A is correct. Option B would apply only when \\(D=0\\). Exam tip: Use the sign of \\(D\\) to determine whether the roots are real and distinct, equal, or non-real; then check whether \\(D\\) is a perfect square to identify rational roots.
A. दो वास्तविक और समान मूल \\(D=0\\)/Two real and equal roots \\(D=0\\)
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यहाँ \(a=5\), \(b=-30\) और \(c=45\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-30)^2-4(5)(45)=900-900=0\) है। इसलिए दोनों मूल वास्तविक और समान होंगे। वास्तव में, समीकरण \(5x^2-30x+45=5(x-3)^2=0\) से समान मूल \(x=3\) मिलता है। विकल्प B और D के लिए \(D>0\) होना आवश्यक है, जबकि यहाँ \(D=0\) है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D=0\) होने पर मूल हमेशा वास्तविक और समान होते हैं। / Here, \(a=5\), \(b=-30\), and \(c=45\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-30)^2-4(5)(45)=900-900=0\). Hence, the roots are real and equal. In fact, the equation can be written as \(5x^2-30x+45=5(x-3)^2=0\), giving the repeated root \(x=3\). Options B and D require \(D>0\), but here \(D=0\). Exam tip: For a quadratic equation, \(D=0\) always indicates two real and equal roots.
