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समीकरण \(x^2-25=0\) से \(x^2=25\) प्राप्त होता है। इसलिए \(x=5\) या \(x=-5\), अतः संख्या रेखा पर हल −5 और 5 बिंदुओं पर होंगे। विकल्प B में 5 के साथ 25 को गलती से शामिल किया गया है; 25, \(x\) का हल नहीं है। परीक्षा-टिप: वर्गमूल लेते समय धनात्मक और ऋणात्मक दोनों चिह्न अवश्य लिखें। / From \(x^2-25=0\), we get \(x^2=25\). Therefore, \(x=5\) or \(x=-5\), so the solutions lie at −5 and 5 on the number line. Option B incorrectly includes 25; 25 is not a value of \(x\) satisfying the equation. Exam tip: When taking the square root of a positive number, consider both the positive and negative values.
शून्यक ज्ञात करने के लिए \(s(x)=0\) रखें: \(x^2-16=0\)। इसे \((x-4)(x+4)=0\) के रूप में लिखने पर \(x=4\) या \(x=-4\) मिलता है। इसलिए संख्या रेखा पर बिंदु \(-4\) और \(4\) होंगे। ध्यान रखें कि \(x^2=a^2\) के दो शून्यक सामान्यतः \(x=\pm a\) होते हैं। / To find the zeros, set \(s(x)=0\): \(x^2-16=0\). Factoring gives \((x-4)(x+4)=0\), so \(x=4\) or \(x=-4\). Therefore, the corresponding points on the number line are \(-4\) and \(4\). Exam tip: for an equation of the form \(x^2=a^2\), check both values \(x=\pm a\).
शून्यकों को t और 4t मानते हैं। शून्यकों का गुणनफल स्थिर पद के बराबर होता है, इसलिए t(4t)=36, अर्थात् 4t-2=36 और धनात्मकता के कारण t=3। अतः शून्यकों का योग 3+12=15 है। बहुपद x-2-kx+36 में शून्यकों का योग k होता है, इसलिए k=15। परीक्षा-युक्ति: x-2+bx+c के लिए शून्यकों का योग -b और गुणनफल c याद रखें। / Let the zeroes be t and 4t. Their product equals the constant term, so t(4t)=36, giving 4t-2=36. Since the zeroes are positive, t=3. Their sum is therefore 3+12=15. For x-2-kx+36, the sum of the zeroes is k, so k=15. Exam tip: For x-2+bx+c, the sum of the zeroes is -b and their product is c.
शून्यकों का योग \(4+(-5)=-1\) है। द्विघात बहुपद \(x^2+px+q\) के लिए शून्यकों का योग \(-p\) होता है, इसलिए \(-p=-1\), अर्थात् \(p=1\)। शून्यकों का गुणनफल \(4\times(-5)=-20\) है, इसलिए \(q=-20\)। अतः \(p+q=1-20=-19\)। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+px+q\) में शून्यकों का योग \(-p\) और गुणनफल \(q\) याद रखें। / The sum of the zeroes is \(4+(-5)=-1\). For the quadratic polynomial \(x^2+px+q\), the sum of the zeroes is \(-p\), so \(-p=-1\) and hence \(p=1\). Their product is \(4\times(-5)=-20\), giving \(q=-20\). Therefore, \(p+q=1-20=-19\). Exam tip: For \(x^2+px+q\), remember that the sum of zeroes is \(-p\) and their product is \(q\).
\(p(a)=0\) से \(a^2-25=0\), अतः \(a^2=25\) और \(a=\pm5\)। इसलिए \(a\) का धनात्मक मान \(5\) है। ध्यान रखें कि बहुपद के दोनों शून्यक \(5\) और \(-5\) हैं; प्रश्न में धनात्मक मान पूछा गया है। / From \(p(a)=0\), we get \(a^2-25=0\), so \(a^2=25\) and \(a=\pm5\). Therefore, the positive value of \(a\) is \(5\). Remember that the polynomial has two zeroes, \(5\) and \(-5\); the question specifically asks for the positive value.
A. दोनों शून्यक \(\frac{3}{2}\) हैं/Both zeroes are \(\frac{3}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
बहुपद को गुणनखंडित करने पर \(4x^2-12x+9=(2x-3)^2\) प्राप्त होता है। इसलिए \(2x-3=0\), अर्थात् \(x=\frac{3}{2}\), और यह शून्यक दोहराया गया है; अतः दोनों शून्यक \(\frac{3}{2}\) हैं। विकल्प C गलत है क्योंकि इसमें दो अलग-अलग शून्यक माने गए हैं। परीक्षा-युक्ति: यदि द्विघात बहुपद पूर्ण वर्ग हो या उसका विविक्तकर शून्य हो, तो उसके दोनों शून्यक समान होते हैं। / Factoring gives \(4x^2-12x+9=(2x-3)^2\). Hence \(2x-3=0\), so \(x=\frac{3}{2}\), and this zero is repeated; therefore, both zeroes are \(\frac{3}{2}\). Option C is incorrect because it treats the zeroes as two distinct values. Exam tip: A quadratic polynomial that is a perfect square, or has discriminant zero, has equal zeroes.
द्विघात बहुपद के लिए \(\alpha+\beta=11\) और \(\alpha\beta=30\)। अतः \((\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=11^2-4(30)=121-120=1\)। इसलिए सही उत्तर A है। परीक्षा-युक्ति: शून्यकों का अंतर ज्ञात करने के लिए पहले उनके योग और गुणनफल का उपयोग करें; केवल \((\alpha+\beta)^2\) लेने पर 121 मिलेगा, जो माँगा गया मान नहीं है। / For the quadratic polynomial, \(\alpha+\beta=11\) and \(\alpha\beta=30\). Therefore, \((\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=11^2-4(30)=121-120=1\). Hence, option A is correct. Exam tip: To find the square of the difference of the zeroes, use their sum and product; taking only \((\alpha+\beta)^2\) gives 121, not the required value.
वियत के सूत्र के अनुसार शून्यकों का योग \(2r+3r=5r\) होगा। अतः \(5r=10\), इसलिए \(r=2\)। शून्यकों का गुणनफल \((2r)(3r)=6r^2=6\times 2^2=24\) है। बहुपद \(x^2-10x+q\) में स्थिर पद \(q\) शून्यकों के गुणनफल के बराबर होता है, इसलिए \(q=24\)। परीक्षा में याद रखें: एकक गुणांक वाले द्विघात \(x^2+bx+c\) के लिए शून्यकों का गुणनफल \(c\) होता है। / By Vieta’s formula, the sum of the zeroes is \(2r+3r=5r\). Thus, \(5r=10\), giving \(r=2\). Their product is \((2r)(3r)=6r^2=6\times 2^2=24\). For the monic quadratic \(x^2-10x+q\), the product of the zeroes equals the constant term \(q\), so \(q=24\). Exam tip: for \(x^2+bx+c\), the product of the zeroes is always \(c\).
विएटा के सूत्र के अनुसार \(\alpha+\beta=8\), क्योंकि बहुपद का \(x\) का गुणांक \(-8\) है। दिया है कि \(\alpha-\beta=2\)। दोनों समीकरण जोड़ने पर \(2\alpha=10\), अतः \(\alpha=5\) और \(\beta=3\)। फिर \(\alpha\beta=k\), इसलिए \(k=5\times3=15\)। परीक्षा-युक्ति: एकक अग्रणी वाले \(x^2+bx+c\) में शून्यकों का गुणनफल सदैव \(c\) होता है; इसलिए 16 सही नहीं है। / By Vieta’s formulas, \(\alpha+\beta=8\), since the coefficient of \(x\) is \(-8\). We are also given that \(\alpha-\beta=2\). Adding the two equations gives \(2\alpha=10\), so \(\alpha=5\) and \(\beta=3\). For \(x^2-8x+k\), the product of the zeroes is \(\alpha\beta=k\). Hence, \(k=5\times3=15\). Exam tip: In a monic quadratic \(x^2+bx+c\), the product of the zeroes is \(c\), so 16 is not correct.
द्विघात बहुपद \(ax^2+bx+c\) के शून्यकों का योग \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\) होता है। यहाँ \(a=3\) और \(b=2\), इसलिए \(\alpha+\beta=-\frac{2}{3}\)। अतः \((\alpha+\beta)^2=\left(-\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}\)। विकल्प B में वर्ग करने के बाद ऋणात्मक चिह्न बनाए रखा गया है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: शून्यकों के योग का सूत्र \(-\frac{b}{a}\) लगाते समय \(b\) के चिह्न पर विशेष ध्यान दें। / For a quadratic polynomial \(ax^2+bx+c\), the sum of its zeroes is \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\). Here, \(a=3\) and \(b=2\), so \(\alpha+\beta=-\frac{2}{3}\). Therefore, \((\alpha+eta)^2=\left(-\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}\). Option B is incorrect because squaring removes the negative sign. Exam tip: while using \(-\frac{b}{a}\), carefully retain the negative sign before squaring.
द्विघात बहुपद \(x^2+ax+b\) के लिए शून्यकों का योग \(-a\) और गुणनफल \(b\) होता है। यहाँ \(4+(-7)=-3\), इसलिए \(-a=-3\) से \(a=3\)। साथ ही, \(b=4\times(-7)=-28\)। अतः \(a-b=3-(-28)=31\), इसलिए विकल्प B सही है। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+px+q\) में शून्यकों का योग हमेशा \(-p\) और गुणनफल \(q\) होता है। / For a quadratic polynomial \(x^2+ax+b\), the sum of the zeroes is \(-a\) and their product is \(b\). Here, \(4+(-7)=-3\), so \(-a=-3\) and hence \(a=3\). Also, \(b=4\times(-7)=-28\). Therefore, \(a-b=3-(-28)=31\), so option B is correct. Exam tip: In \(x^2+px+q\), the sum of the zeroes is \(-p\), while their product is \(q\).
(240) विद्यार्थियों को समान पंक्तियों में खड़ा किया गया। यदि पंक्तियों की संख्या (4) कम कर दी जाए तो प्रत्येक पंक्ति में (5) विद्यार्थी अधिक खड़े होंगे। मूल पंक्तियों की संख्या क्या थी?
मूल पंक्तियाँ (x) हों तो \(\frac{240}{x-4}-\frac{240}{x}=5\)। हल करने पर (x=16) मिलता है। / If the original number of rows is (x), then \(\frac{240}{x-4}-\frac{240}{x}=5\). Solving gives (x=16).
छोटी संख्या को \(x\) मानें, तो बड़ी संख्या \(x+9\) होगी। अतः \(x^2+(x+9)^2=521\), जिससे \(2x^2+18x-440=0\) या \(x^2+9x-220=0\) प्राप्त होता है। इसका गुणनखंडन \((x-11)(x+20)=0\) है। चूँकि संख्याएँ धनात्मक हैं, \(x=11\) होगा। इसलिए सही उत्तर B है। जाँच के लिए \(11^2+20^2=121+400=521\) करें; विकल्प 10 के लिए योग 461 आता है। / Let the smaller number be \(x\); then the larger number is \(x+9\). Thus, \(x^2+(x+9)^2=521\), which gives \(2x^2+18x-440=0\), or \(x^2+9x-220=0\). Factoring gives \((x-11)(x+20)=0\). Since the numbers are positive, \(x=11\). Therefore, option B is correct. As a quick check, \(11^2+20^2=121+400=521\); choosing 10 would give 461 instead.
आयत का क्षेत्रफल \(\text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई}\) होता है। इसलिए \((x+4)(x-3)=154\), अर्थात् \(x^2+x-166=0\)। द्विघात सूत्र से \(x=\frac{-1\pm\sqrt{665}}{2}\) प्राप्त होता है। आयत की चौड़ाई धनात्मक होने के लिए \(x>3\) होना चाहिए, इसलिए मान्य हल \(x=\frac{\sqrt{665}-1}{2}\) है। परीक्षा में आयामों की धनात्मकता जाँचना न भूलें; ऋणात्मक या अमान्य मूल स्वीकार नहीं किया जाता। / The area of a rectangle is length multiplied by breadth. Thus, \((x+4)(x-3)=154\), which gives \(x^2+x-166=0\). Using the quadratic formula, \(x=\frac{-1\pm\sqrt{665}}{2}\). Since the breadth \((x-3)\) must be positive, we require \(x>3\), so the valid value is \(x=\frac{\sqrt{665}-1}{2}\). In such problems, always check that both dimensions are positive; an inadmissible root cannot represent a rectangle.
मान लेते हैं कि संख्या \(x\) है। तब \(x^2=11x+60\), अर्थात् \(x^2-11x-60=0\)। गुणनखंड करने पर \((x-15)(x+4)=0\), इसलिए \(x=15\) या \(x=-4\)। चूँकि संख्या धनात्मक है, \(-4\) अस्वीकार होगा और सही उत्तर 15 है। परीक्षा-युक्ति: प्राप्त मूलों में प्रश्न की शर्त, जैसे धनात्मकता, अवश्य जाँचें। / Let the number be \(x\). Then \(x^2=11x+60\), so \(x^2-11x-60=0\). Factoring gives \((x-15)(x+4)=0\), hence \(x=15\) or \(x=-4\). Since the number is positive, \(-4\) must be rejected, making 15 the correct answer. Exam tip: Always check the sign or other condition stated in the question before selecting a root.
मान लेते हैं कि संख्या \(x\) है। तब \((x-5)(x+5)=119\)। वर्गों के अंतर का उपयोग करने पर \(x^2-25=119\), अतः \(x^2=144\) और \(x=\pm 12\)। चूँकि धनात्मक संख्या पूछी गई है, इसलिए उत्तर \(12\) है। परीक्षा-युक्ति: \((x-a)(x+a)=x^2-a^2\) का सूत्र ऐसे प्रश्नों को शीघ्र हल करता है। / Let the number be \(x\). Then \((x-5)(x+5)=119\). Using the difference of squares, \(x^2-25=119\), so \(x^2=144\) and \(x=\pm 12\). Since the question asks for the positive number, the answer is \(12\). Exam tip: For expressions of the form \((x-a)(x+a)\), apply \(x^2-a^2\) directly.
मूल संख्या (n) हो तो \(\frac{1200}{n}-\frac{1200}{n+4}=10\)। इससे \(10n^2+40n-4800=0\) और (n=20) है। / Let the original number be (n). Then \(\frac{1200}{n}-\frac{1200}{n+4}=10\). This gives \(10n^2+40n-4800=0\), so (n=20).
प्रारम्भिक प्रति वस्तु लागत \(\frac{720}{x}\) और 3 अतिरिक्त वस्तुएँ मिलने पर लागत \(\frac{720}{x+3}\) होगी। अतः \(\frac{720}{x}-\frac{720}{x+3}=40\)। सरलीकरण से \(x^2+3x-54=0\), अर्थात् \((x-6)(x+9)=0\) मिलता है। इसलिए \(x=6\) या \(x=-9\); वस्तुओं की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः सही उत्तर 6 है। परीक्षा-युक्ति: ऐसी समस्याओं में केवल धनात्मक मूल स्वीकार करें। / The original cost per item is \(\frac{720}{x}\), and with 3 additional items it would be \(\frac{720}{x+3}\). Therefore, \(\frac{720}{x}-\frac{720}{x+3}=40\). On simplification, \(x^2+3x-54=0\), or \((x-6)(x+9)=0\). Thus \(x=6\) or \(x=-9\); since the number of items cannot be negative, \(x=6\) is the valid answer. Exam tip: In word problems involving quantities, reject any negative root.
दो पाइप किसी टंकी को अकेले क्रमशः \(x\) घंटे और \(x+6\) घंटे में भरते हैं। दोनों पाइप मिलकर टंकी को 4 घंटे में भर देते हैं। तेज पाइप अकेले टंकी को कितने समय में भरेगा?
दोनों पाइपों की संयुक्त दर \(\frac{1}{4}\) टंकी प्रति घंटा है, इसलिए \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+6}=\frac{1}{4}\)। सरलीकरण करने पर \(x^2-2x-24=0\), अर्थात् \((x-6)(x+4)=0\) मिलता है। समय धनात्मक होना चाहिए, इसलिए \(x=6\) और दूसरे पाइप का समय 12 घंटे है। चूँकि कम समय लेने वाला पाइप तेज होता है, सही उत्तर 6 घंटे है। परीक्षा-युक्ति: दरों वाले प्रश्नों में प्रत्येक पाइप की दर को \(1\/\text{समय}\) लिखें और ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करें। / The combined filling rate is \(\frac{1}{4}\) tank per hour, so \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+6}=\frac{1}{4}\). On simplification, \(x^2-2x-24=0\), or \((x-6)(x+4)=0\). Since time cannot be negative, \(x=6\), making the other pipe’s time 12 hours. The pipe with the smaller individual time is faster, so the correct answer is 6 hours. Exam tip: In work-rate problems, express each rate as \(1\/\text{time}\) and reject any negative time value.
तेज पाइप का समय (x) हो तो धीमे का (x+5) है। \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}\) से (x=10) मिलता है। / Let the faster pipe take (x) hours, so the slower takes (x+5). From \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}\), (x=10).
एक काम (x) दिनों में पूरा होता है। (2) मजदूर बढ़ाने पर वही काम (3) दिन कम समय में पूरा होता है। यदि कुल कार्य (60) मजदूर-दिन है तो प्रारंभिक मजदूरों की संख्या कितनी थी?
प्रारंभिक मजदूर (w) हों तो समय \(\frac{60}{w}\) है। \(\frac{60}{w}-\frac{60}{w+2}=3\) से (w=5) मिलता है। / Let initial workers be (w). The time is \(\frac{60}{w}\). From \(\frac{60}{w}-\frac{60}{w+2}=3\), (w=5).
कुछ विद्यार्थियों ने (540) रुपये बराबर बाँटे। यदि (3) विद्यार्थी कम होते तो प्रत्येक को (30) रुपये अधिक देना पड़ता। वास्तविक विद्यार्थियों की संख्या क्या थी?
विद्यार्थी (n) हों तो \(\frac{540}{n-3}-\frac{540}{n}=30\)। इससे \(30n^2-90n-1620=0\) और (n=9) मिलता है। / Let the number of students be (n). Then \(\frac{540}{n-3}-\frac{540}{n}=30\). This gives \(30n^2-90n-1620=0\), so (n=9).
एक कक्षा में 30 विद्यार्थियों से समान योगदान लेकर कुल राशि एकत्र करनी थी। जब 5 विद्यार्थी अनुपस्थित रहे, तो प्रत्येक उपस्थित विद्यार्थी को निर्धारित योगदान से 20 रुपये अधिक देने पड़े। कुल एकत्रित राशि कितनी थी?
मान लें कि प्रत्येक विद्यार्थी का मूल योगदान x रुपये था। तब कुल राशि 30x होगी। 5 विद्यार्थियों के अनुपस्थित रहने पर 25 विद्यार्थियों ने प्रत्येक (x+20) रुपये दिए, इसलिए 30x = 25(x+20)। इससे 30x = 25x + 500, अतः x = 100। कुल राशि = 30 × 100 = 3000 रुपये। इसलिए सही उत्तर B है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले मूल प्रति-विद्यार्थी योगदान मानकर दोनों परिस्थितियों के लिए कुल राशि समान रखें। / Let the original contribution per student be x rupees. The total amount is therefore 30x. When 5 students were absent, the remaining 25 students each paid (x+20) rupees, so 30x = 25(x+20). Thus, 30x = 25x + 500, giving x = 100. Hence, the total amount is 30 × 100 = 3000 rupees, so option B is correct. Exam tip: In such problems, equate the total amount in the original and changed situations before solving for the per-student contribution.
फोटो की चौड़ाई (x) और लंबाई (x+8) है। फ्रेम सहित माप (x+4) और (x+12) हैं और ((x+4)(x+12)=480) से (x=12)। / The photo breadth is (x) and length is (x+8). With frame, dimensions are (x+4) and (x+12), and ((x+4)(x+12)=480) gives (x=12).
एक वर्गाकार टाइल की भुजा \(x\) सेमी है। उसके चारों ओर 5 सेमी चौड़ा बॉर्डर लगाने पर बाहरी वर्ग का कुल क्षेत्रफल 900 वर्ग सेमी हो जाता है। टाइल की मूल भुजा कितनी है?
बॉर्डर दोनों ओर 5 सेमी बढ़ता है, इसलिए बाहरी वर्ग की भुजा \(x+5+5=x+10\) सेमी होगी। अतः \((x+10)^2=900\), इसलिए \(x+10=\pm 30\)। भुजा धनात्मक होने के कारण \(x+10=30\), जिससे \(x=20\) सेमी प्राप्त होता है। ऋणात्मक मूल भौतिक रूप से मान्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: किसी आकृति के चारों ओर समान चौड़ाई का बॉर्डर हो, तो भुजा में चौड़ाई का दोगुना जोड़ा जाता है। / The border adds 5 cm on each side, so the side of the outer square is \(x+5+5=x+10\) cm. Therefore, \((x+10)^2=900\), giving \(x+10=\pm 30\). Since a side length must be positive, \(x+10=30\), and hence \(x=20\) cm. The negative root is not physically valid. Exam tip: for a uniform border around a square, add twice the border width to the original side.
मान लें कि आंतरिक त्रिज्या r मीटर है। तब बाहरी त्रिज्या (r+3) मीटर होगी। वृत्ताकार पथ का क्षेत्रफल = π[(r+3)2−r-2] = 75π। अतः (r+3)2−r-2 = 75, इसलिए 6r+9=75 और r=11। अतः सही उत्तर B, 11 मीटर है। परीक्षा-युक्ति: दो संकेंद्रित वृत्तों वाले पथ का क्षेत्रफल π(बाहरी त्रिज्या²−आंतरिक त्रिज्या²) से निकालें। / Let the inner radius be r metres. Then the outer radius is (r+3) metres. The area of the path is π[(r+3)2−r-2] = 75π. Cancelling π gives (r+3)2−r-2 = 75, so 6r+9=75 and r=11. Therefore, option B, 11 m, is correct. Exam tip: For a circular path, use π[(outer radius)2−(inner radius)2], not the area of the outer circle alone.
A. \(\frac{\sqrt{697}-5}{2}\) सेमी/\(\frac{\sqrt{697}-5}{2}\) cm
Explanation
Simple Explanation
मान लें कि छोटी लम्बवत भुजा \(x\) सेमी है। तब दूसरी भुजा \(x+5\) सेमी होगी। क्षेत्रफल के सूत्र से \(\frac{1}{2}x(x+5)=84\), अर्थात \(x^2+5x-168=0\)। द्विघात सूत्र लगाने पर \(x=\frac{-5\pm\sqrt{697}}{2}\) मिलता है। लंबाई धनात्मक होने के कारण \(x=\frac{\sqrt{697}-5}{2}\) सेमी, लगभग 10.69 सेमी, सही उत्तर है। 12 सेमी गलत है, क्योंकि तब दूसरी भुजा 17 सेमी और क्षेत्रफल 102 वर्ग सेमी होगा। परीक्षा में ऋणात्मक मूल को भुजा की लंबाई के रूप में स्वीकार न करें। / Let the shorter perpendicular side be \(x\) cm. Then the other side is \(x+5\) cm. Using the area formula, \(\frac{1}{2}x(x+5)=84\), which gives \(x^2+5x-168=0\). Applying the quadratic formula gives \(x=\frac{-5\pm\sqrt{697}}{2}\). Since a length must be positive, the valid answer is \(x=\frac{\sqrt{697}-5}{2}\) cm, approximately 10.69 cm. The 12 cm option is incorrect because the corresponding sides would be 12 cm and 17 cm, giving an area of 102 square cm. In an exam, reject the negative root as a physical length.
आयत की लंबाई, चौड़ाई और विकर्ण से समकोण त्रिभुज बनता है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार \(x^2+12^2=37^2\), इसलिए \(x^2+144=1369\) प्राप्त होता है। विकल्प C में चौड़ाई के वर्ग का चिह्न गलत है। परीक्षा-युक्ति: आयत में विकर्ण हमेशा लंबाई और चौड़ाई से बने समकोण त्रिभुज का कर्ण होता है। / The length, breadth and diagonal of a rectangle form a right-angled triangle. By the Pythagorean theorem, \(x^2+12^2=37^2\), which gives \(x^2+144=1369\). Option C has the incorrect sign before the square of the breadth. Exam tip: The diagonal of a rectangle is the hypotenuse of the right triangle formed by its length and breadth.
मान लें कि आयत की चौड़ाई \(x\) सेमी है। तब उसकी लंबाई \(x+17\) सेमी होगी। पाइथागोरस प्रमेय से \(x^2+(x+17)^2=25^2\)। सरल करने पर \(x^2+17x-168=0\), अर्थात् \((x-7)(x+24)=0\)। इसलिए \(x=7\) या \(x=-24\) प्राप्त होता है, लेकिन लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती; अतः चौड़ाई 7 सेमी है। परीक्षा-युक्ति: आयत के विकर्ण, लंबाई और चौड़ाई से बना समकोण त्रिभुज मानकर पाइथागोरस प्रमेय लगाएँ और ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करें। / Let the breadth of the rectangle be \(x\) cm. Then its length is \(x+17\) cm. By the Pythagorean theorem, \(x^2+(x+17)^2=25^2\). On simplifying, we get \(x^2+17x-168=0\), or \((x-7)(x+24)=0\). Thus, \(x=7\) or \(x=-24\). Since a length cannot be negative, the breadth is 7 cm. Exam tip: Treat the diagonal, length, and breadth as the sides of a right triangle and reject any negative root obtained from the quadratic equation.
\(x+\frac{1}{x}=\frac{17}{4}\) से \(4x^2-17x+4=0\) बनता है। हल (4) और \(\frac{1}{4}\) हैं इसलिए बड़ी संख्या (4) है। / From \(x+\frac{1}{x}=\frac{17}{4}\), we get \(4x^2-17x+4=0\). The roots are (4) and \(\frac{1}{4}\), so the larger value is (4).
