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समीकरण \(x-\frac{1}{x}=\frac{15}{4}\) है। इससे \(4x^2-15x-4=0\) और धनात्मक हल (x=4) है। / The equation is \(x-\frac{1}{x}=\frac{15}{4}\). This gives \(4x^2-15x-4=0\), so the positive root is (x=4).
(48) की उलटी संख्या (84) है और \(48 \times 84=4032\)। अंकों की समस्याओं में उलटी संख्या भी जाँचना जरूरी है। / The reverse of (48) is (84), and \(48 \times 84=4032\). In digit problems, checking the reversed number is essential.
दहाई अंक (x) हो तो इकाई अंक (11-x) है। संख्या (10x+11-x) है और जाँच से \(47 \times 74=3478\) नहीं बल्कि सही गुणनफल \(56 \times 65=3640\) होता है इसलिए कोई विकल्प नहीं बनता। / If the tens digit is (x), the units digit is (11-x). Checking options shows \(47 \times 74=3478\), not (3154), so this item would be invalid.
यदि छोटी पृष्ठ संख्या \(x\) है, तो अगली पृष्ठ संख्या \(x+1\) होगी। इसलिए \(x(x+1)=930\), अर्थात् \(x^2+x-930=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-30)(x+31)=0\) है, इसलिए \(x=30\) या \(x=-31\)। पृष्ठ संख्या धनात्मक होती है, अतः छोटी पृष्ठ संख्या 30 है। परीक्षा-युक्ति: क्रमागत धनात्मक संख्याओं के लिए 930 के ऐसे गुणनखंड खोजें जिनका अंतर 1 हो—\(30\) और \(31\)। / Let the smaller page number be \(x\); then the next page number is \(x+1\). Thus, \(x(x+1)=930\), or \(x^2+x-930=0\). Factoring gives \((x-30)(x+31)=0\), so \(x=30\) or \(x=-31\). Since a page number must be positive, the smaller page number is 30. Exam tip: For consecutive positive integers, look for factor pairs of 930 that differ by 1—\(30\) and \(31\).
मान लें कि टीमों की संख्या \(n\) है। प्रत्येक मैच दो अलग-अलग टीमों के बीच होता है, इसलिए कुल मैचों की संख्या \(\frac{n(n-1)}{2}\) होगी। अतः \(\frac{n(n-1)}{2}=153\), जिससे \(n^2-n-306=0\) प्राप्त होता है। इसका गुणनखंडन \((n-18)(n+17)=0\) है, इसलिए \(n=18\) या \(n=-17\)। टीमों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः सही उत्तर 18 है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में प्रत्येक जोड़ी को केवल एक बार गिनने के लिए \(\frac{n(n-1)}{2}\) का प्रयोग करें। / Let the number of teams be \(n\). Each match is played between one distinct pair of teams, so the total number of matches is \(\frac{n(n-1)}{2}\). Therefore, \(\frac{n(n-1)}{2}=153\), giving \(n^2-n-306=0\). Factoring, \((n-18)(n+17)=0\), so \(n=18\) or \(n=-17\). Since the number of teams cannot be negative, the answer is 18. Exam tip: Use \(\frac{n(n-1)}{2}\) when every unordered pair participates in exactly one match.
किसी कक्षा में कुल हाथ मिलाने की संख्या (276) है। यदि प्रत्येक विद्यार्थी ने प्रत्येक अन्य विद्यार्थी से एक बार हाथ मिलाया तो विद्यार्थियों की संख्या कितनी है?
विद्यार्थियों की संख्या (n) हो तो (\frac{n(n-1)}{2}=276)। इससे \(n^2-n-552=0\) और (n=24) मिलता है। / Let the number of students be (n). Then (\frac{n(n-1)}{2}=276). This gives \(n^2-n-552=0\), so (n=24).
जमीन पर (h=0) होगा। \(30t-5t^2=0\) से (t=0) या (t=6) मिलता है इसलिए वापसी समय (6) सेकंड है। / On the ground, (h=0). From \(30t-5t^2=0\), (t=0) or (t=6), so the return time is (6) seconds.
एक वस्तु को ऊपर की ओर फेंका जाता है। प्रक्षेपण के बाद t सेकंड पर उसकी ऊँचाई \(h(t)=20t-5t^2\) मीटर है। वस्तु 15 मीटर की ऊँचाई पर किन-किन समयों पर होगी?
15 मीटर की ऊँचाई के लिए \(20t-5t^2=15\)। पुनर्व्यवस्थित करने पर \(t^2-4t+3=0\), अर्थात् \((t-1)(t-3)=0\)। इसलिए \(t=1\) सेकंड और \(t=3\) सेकंड हैं। पहला समय वस्तु के ऊपर जाते समय और दूसरा नीचे आते समय मिलता है। परीक्षा-युक्ति: ऊँचाई के ऐसे प्रश्नों में दोनों धनात्मक मूलों को जाँचें, क्योंकि वस्तु समान ऊँचाई पर दो बार पहुँच सकती है। / For a height of 15 metres, set \(20t-5t^2=15\). Rearranging gives \(t^2-4t+3=0\), or \((t-1)(t-3)=0\). Thus, \(t=1\) s and \(t=3\) s. The first time occurs while the object is rising, and the second while it is falling. Exam tip: check both positive roots because a projectile can reach the same height twice.
पहली ऊँचाई \(\sqrt{13^2-5^2}=12\) मीटर है। नई दूरी (12) मीटर होने पर ऊँचाई (5) मीटर है इसलिए गिरावट (7) मीटर नहीं बल्कि (7) से (12-5=7) मीटर होती है। / The first height is \(\sqrt{13^2-5^2}=12\) m. With new distance (12) m, height is (5) m, so the fall is (12-5=7) m.
प्रारंभिक दूरी (x) हो तो \(x^2+h^2=25^2\) और ((x+7)2+(h-7)2=252)। हल से (h=24) मिलता है। / Let initial distance be (x). Then \(x^2+h^2=25^2\) and ((x+7)2+(h-7)2=252). Solving gives (h=24).
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, x² + (x+2)² = 10²। अतः 2x² + 4x − 96 = 0, या x² + 2x − 48 = 0। इसका गुणनखंडन (x−6)(x+8)=0 देता है, इसलिए x=6 या x=−8। लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः x=6 और दूसरी छोटी भुजा x+2=8 सेमी है। इसलिए सही उत्तर 8 सेमी है। परीक्षा-युक्ति: लंबाई से जुड़े द्विघात समीकरण में ऋणात्मक मूल को हमेशा अस्वीकार करें। / By the Pythagorean theorem, x² + (x+2)² = 10². Therefore, 2x² + 4x − 96 = 0, or x² + 2x − 48 = 0. Factoring gives (x−6)(x+8)=0, so x=6 or x=−8. Since a length cannot be negative, x=6 and the other shorter side is x+2=8 cm. Hence, the correct answer is 8 cm. Exam tip: In a quadratic equation representing a length, reject any negative root.
मान लें कि आधार \(x\) सेमी है। तब लम्ब \(x+7\) सेमी होगा। पाइथागोरस प्रमेय से \(x^2+(x+7)^2=25^2\), अर्थात \(x^2+7x-288=0\)। इसका धनात्मक हल \(x=\frac{-7+\sqrt{1201}}{2}\approx13.82\) सेमी है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C का मान 15 लेने पर लम्ब 22 सेमी होगा और \(15^2+22^2=709\ne625\), इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा-टिप: लंबाइयों के लिए द्विघात समीकरण का केवल धनात्मक हल स्वीकार करें। / Let the base be \(x\) cm. Then the perpendicular is \(x+7\) cm. By the Pythagorean theorem, \(x^2+(x+7)^2=25^2\), which simplifies to \(x^2+7x-288=0\). Its positive root is \(x=\frac{-7+\sqrt{1201}}{2}\approx13.82\) cm, so option A is correct. Option C is incorrect because a base of 15 cm would make the perpendicular 22 cm, giving \(15^2+22^2=709\ne625\). Exam tip: For a length, select only the positive root of the quadratic equation.
मान लें कि चौड़ाई \(x\) सेमी है। तब लंबाई \(x+7\) सेमी होगी। क्षेत्रफल से \(x(x+7)=330\), अर्थात \(x^2+7x-330=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-15)(x+22)=0\) है। इसलिए \(x=15\) सेमी (ऋणात्मक मूल \(-22\) अस्वीकार्य है) और लंबाई \(22\) सेमी होगी। अतः परिमाप \(2(15+22)=74\) सेमी है। परीक्षा-युक्ति: आयत के आयामों से संबंधित प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को हमेशा भौतिक अर्थ के आधार पर त्यागें। / Let the breadth be \(x\) cm. Then the length is \(x+7\) cm. Using the area, \(x(x+7)=330\), so \(x^2+7x-330=0\). Factoring gives \((x-15)(x+22)=0\). Thus \(x=15\) cm, since the negative root \(-22\) is not physically meaningful, and the length is \(22\) cm. Therefore, the perimeter is \(2(15+22)=74\) cm. Exam tip: In geometry word problems, reject any negative root because a length cannot be negative.
एक आयताकार पार्क की दो चौड़ाइयों और एक लंबाई वाली तीन भुजाओं पर कुल 96 मीटर बाड़ लगानी है। पार्क का क्षेत्रफल अधिकतम होने के लिए उसकी चौड़ाई कितनी होनी चाहिए?
मान लें चौड़ाई b मीटर और लंबाई l मीटर है। तीन भुजाओं की बाड़ के अनुसार l+2b=96, अतः l=96-2b। इसलिए क्षेत्रफल A=b(96-2b)=-2b²+96b होगा। इस द्विघात फलन का अधिकतम मान उसके शीर्ष पर मिलता है: b=−96/(2×−2)=24 मीटर। तब लंबाई 48 मीटर और अधिकतम क्षेत्रफल 1152 वर्ग मीटर होता है। परीक्षा-युक्ति: ax²+bx+c में शीर्ष का x-निर्देशांक −b/(2a) होता है। / Let the breadth be b m and the length be l m. From the three-sided fencing condition, l+2b=96, so l=96−2b. Hence, the area is A=b(96−2b)=−2b²+96b. This quadratic reaches its maximum at its vertex, where b=−96/(2×−2)=24 m. The corresponding length is 48 m and the maximum area is 1152 square m. Exam tip: For ax²+bx+c, the x-coordinate of the vertex is −b/(2a).
यदि चौड़ाई (x) है तो लंबाई (100-2x) और क्षेत्रफल (A=x(100-2x)) है। अधिकतम के लिए \(x=\frac{100}{4}=25\) है। / If breadth is (x), length is (100-2x) and area is (A=x(100-2x)). For maximum area, \(x=\frac{100}{4}=25\).
एक नाव (24) किमी धारा के अनुकूल और (16) किमी धारा के प्रतिकूल (4) घंटे में जाती है। शांत जल में नाव की चाल (10) किमी प्रति घंटा है। धारा की चाल कितनी है?
धारा की चाल (x) हो तो \(\frac{24}{10+x}+\frac{16}{10-x}=4\)। इससे \(4x^2+8x-16=0\) और (x=2) मिलता है। / Let the current speed be (x). Then \(\frac{24}{10+x}+\frac{16}{10-x}=4\). This gives \(4x^2+8x-16=0\), so (x=2).
एक नाव (30) किमी धारा के अनुकूल और (20) किमी धारा के प्रतिकूल कुल (5) घंटे में जाती है। शांत जल में नाव की चाल (12) किमी प्रति घंटा है। धारा की चाल क्या है?
धारा की चाल (x) हो तो \(\frac{30}{12+x}+\frac{20}{12-x}=5\)। हल करने पर \(5x^2+10x-60=0\) और (x=2) मिलता है। / Let the current speed be (x). Then \(\frac{30}{12+x}+\frac{20}{12-x}=5\). Solving gives \(5x^2+10x-60=0\), so (x=2).
चाल (x) हो तो \(\frac{300}{x-10}-\frac{300}{x}=1\)। इससे \(x^2-10x-3000=0\) और (x=60) मिलता है। / Let the speed be (x). Then \(\frac{300}{x-10}-\frac{300}{x}=1\). This gives \(x^2-10x-3000=0\), so (x=60).
चाल (x) हो तो \(\frac{360}{x}-\frac{360}{x+5}=1\)। इससे \(x^2+5x-1800=0\) और (x=40) मिलता है। / Let the speed be (x). Then \(\frac{360}{x}-\frac{360}{x+5}=1\). This gives \(x^2+5x-1800=0\), so (x=40).
भिन्न \(\frac{x}{x+3}\) है। \(\frac{x}{x+3}+\frac{x+3}{x}=\frac{29}{10}\) से (x=2) या (x=15) आता है और विकल्पों में (2) सही है। / The fraction is \(\frac{x}{x+3}\). From \(\frac{x}{x+3}+\frac{x+3}{x}=\frac{29}{10}\), (x=2) or (x=15), and among the options (2) is correct.
मान लें कि मूल अंश \(x\) है। तब हर \(x+4\) होगा। शर्त के अनुसार, \(\frac{x+2}{x+6}=\frac{3}{5}\)। क्रॉस-गुणा करने पर \(5x+10=3x+18\), अतः \(2x=8\) और \(x=4\)। जाँच: मूल भिन्न \(\frac{4}{8}\) है और 2 जोड़ने पर \(\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\) प्राप्त होता है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में अंश को \(x\) मानकर हर को दिए गए अंतर के अनुसार लिखें। / Let the original numerator be \(x\). Then the denominator is \(x+4\). According to the condition, \(\frac{x+2}{x+6}=\frac{3}{5}\). Cross-multiplication gives \(5x+10=3x+18\), so \(2x=8\) and \(x=4\). Check: the original fraction is \(\frac{4}{8}\), and adding 2 to both terms gives \(\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\). Exam tip: in such problems, represent the numerator by \(x\) and express the denominator using the stated difference.
समीकरण \(x^2-14x=51\) है। \(x^2-14x-51=0\) से (x=17) या (x=-3) मिलता है इसलिए धनात्मक संख्या (17) है। / The equation is \(x^2-14x=51\). From \(x^2-14x-51=0\), (x=17) or (x=-3), so the positive number is (17).
मान लें संख्या \(x\) है। तब \(x^2+9x=400\), अर्थात \(x^2+9x-400=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-16)(x+25)=0\) है, इसलिए \(x=16\) या \(x=-25\)। धनात्मक संख्या \(16\) है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण के दोनों मूल निकालकर प्रश्न में मांगे गए धनात्मक मूल का चयन करें। / Let the number be \(x\). Then \(x^2+9x=400\), or \(x^2+9x-400=0\). Factoring gives \((x-16)(x+25)=0\), so \(x=16\) or \(x=-25\). Since the question asks for the positive number, the answer is 16. Exam tip: Find both roots of the quadratic and then apply the condition specified in the question.
मान लीजिए धनात्मक संख्या \(x\) है। तब \(x(x+7)=330\), अर्थात् \(x^2+7x-330=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-15)(x+22)=0\) है, इसलिए \(x=15\) या \(x=-22\)। धनात्मक संख्या होने के कारण \(x=15\) सही है। परीक्षा-युक्ति: उत्तर की जाँच के लिए \(15\times(15+7)=15\times22=330\) करें। / Let the positive number be \(x\). Then \(x(x+7)=330\), so \(x^2+7x-330=0\). Factoring gives \((x-15)(x+22)=0\), yielding \(x=15\) or \(x=-22\). Since the number must be positive, \(x=15\) is correct. Exam tip: verify the answer using \(15\times(15+7)=15\times22=330\).
मान लीजिए छोटी संख्या \(x\) है। तब बड़ी संख्या \(x+2\) होगी। इसलिए \(x(x+2)=483\), अर्थात् \(x^2+2x-483=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-21)(x+23)=0\) है, इसलिए \(x=21\) या \(x=-23\)। धनात्मक संख्या होने के कारण \(x=21\), अतः बड़ी संख्या \(21+2=23\) है। परीक्षा-युक्ति: क्रमागत विषम संख्याओं के बीच का अंतर हमेशा 2 होता है। / Let the smaller integer be \(x\). Then the larger integer is \(x+2\). Thus, \(x(x+2)=483\), or \(x^2+2x-483=0\). Factoring gives \((x-21)(x+23)=0\), so \(x=21\) or \(x=-23\). Since the integers are positive, \(x=21\), and the larger integer is \(21+2=23\). Exam tip: consecutive odd integers always differ by 2, not 1.
छोटी संख्या को \(x\) मानें। क्रमागत सम पूर्णांक होने के कारण दूसरी संख्या \(x+2\) होगी। अतः \(x(x+2)=360\), यानी \(x^2+2x-360=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-18)(x+20)=0\) है, इसलिए \(x=18\) या \(x=-20\)। धनात्मक संख्या होने के कारण छोटी संख्या 18 है। परीक्षा-युक्ति: क्रमागत सम संख्याओं का अंतर हमेशा 2 होता है। / Let the smaller integer be \(x\). Since the integers are consecutive and even, the other integer is \(x+2\). Thus, \(x(x+2)=360\), giving \(x^2+2x-360=0\). Factoring, \((x-18)(x+20)=0\), so \(x=18\) or \(x=-20\). Because the integers are positive, the smaller integer is 18. Exam tip: consecutive even integers always differ by 2.
मूल भुजा को \(x\) मीटर मानें। क्षेत्रफल में वृद्धि से \((x+4)^2-x^2=96\)। विस्तार करने पर \(x^2+8x+16-x^2=96\), अतः \(8x=80\) और \(x=10\) मीटर। इसलिए सही उत्तर विकल्प B है। परीक्षा-युक्ति: वर्ग की भुजा में \(a\) की वृद्धि होने पर क्षेत्रफल की वृद्धि \(2ax+a^2\) होती है; यहाँ \(2\times4\times x+4^2=96\) लगाने से तुरंत उत्तर मिलता है। / Let the original side be \(x\) m. The increase in area gives \((x+4)^2-x^2=96\). Expanding, \(x^2+8x+16-x^2=96\), so \(8x=80\) and \(x=10\) m. Therefore, option B is correct. Exam tip: if the side of a square increases by \(a\), the area increase is \(2ax+a^2\); here, \(2\times4\times x+4^2=96\) gives the answer directly.
मान लें कि चौड़ाई \(x\) मीटर है। तब लंबाई \(x+5\) मीटर होगी और \(x(x+5)=336\), अर्थात् \(x^2+5x-336=0\)। इसका गुणनखंडन \((x+21)(x-16)=0\) है, इसलिए \(x=16\) या \(x=-21\)। चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः सही उत्तर 16 मीटर है। परीक्षा-युक्ति: लंबाई या चौड़ाई से संबंधित द्विघात समीकरण में ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करें। / Let the breadth be \(x\) m. Then the length is \(x+5\) m, so \(x(x+5)=336\), giving \(x^2+5x-336=0\). Factoring, \((x+21)(x-16)=0\), so \(x=16\) or \(x=-21\). Since a breadth cannot be negative, the correct answer is 16 m. Exam tip: reject any negative root when the variable represents a physical length.
मान लें कि आयत की चौड़ाई \(x\) सेमी है। तब लंबाई \(x+3\) सेमी होगी। क्षेत्रफल के अनुसार \(x(x+3)=180\), अतः \(x^2+3x-180=0\)। इसका गुणनखंडन \((x+15)(x-12)=0\) है, इसलिए \(x=12\) या \(x=-15\)। लंबाई को धनात्मक होना चाहिए, इसलिए \(-15\) अस्वीकार कर \(x=12\) सेमी लिया जाता है। परीक्षा-युक्ति: आयामों से जुड़े प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को हमेशा संदर्भ के आधार पर हटाएँ। / Let the breadth of the rectangle be \(x\) cm. Its length is then \(x+3\) cm. Using the area, \(x(x+3)=180\), so \(x^2+3x-180=0\). Factoring gives \((x+15)(x-12)=0\), hence \(x=12\) or \(x=-15\). Since a length cannot be negative, \(-15\) is rejected and the breadth is 12 cm. Exam tip: In geometrical word problems, discard any negative root because dimensions must be positive.
(l+b=25) और (lb=150) है। इससे \(t^2-25t+150=0\) बनता है और माप (10) सेमी तथा (15) सेमी हैं। / Here (l+b=25) and (lb=150). This gives \(t^2-25t+150=0\), so the measures are (10) cm and (15) cm.
