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यदि एक संख्या (x) है तो दूसरी (31-x) होगी। (x(31-x)=234) से संख्याएँ (13) और (18) मिलती हैं। / If one number is (x), the other is (31-x). From (x(31-x)=234), the numbers are (13) and (18).
मान लें कि छोटी संख्या (x) है; तब अगली संख्या (x+1) होगी। इसलिए x(x+1)=552, अर्थात x-2+x-552=0। इसका गुणनखंडन (x-23)(x+24)=0 है, इसलिए x=23 या x=-24। धनात्मक संख्या होने के कारण x=23 मान्य है और संख्याएँ 23 तथा 24 हैं। परीक्षा-युक्ति: क्रमागत संख्याओं के लिए हमेशा x और x+1 मानकर द्विघात समीकरण बनाइए। / Let the smaller integer be (x); then the next integer is (x+1). Thus, x(x+1)=552, giving x-2+x-552=0. Factoring gives (x-23)(x+24)=0, so x=23 or x=-24. Since the integers are positive, x=23 is valid, and the numbers are 23 and 24. Exam tip: represent consecutive integers as x and x+1 before forming the quadratic equation.
यदि शांत जल की चाल (x) है तो \(\frac{30}{x-2}+\frac{30}{x+2}=8\)। हल करने पर (x=8) मिलता है। / If the still-water speed is (x), then \(\frac{30}{x-2}+\frac{30}{x+2}=8\). Solving gives (x=8).
कुछ विद्यार्थियों ने चंदा दिया। प्रत्येक विद्यार्थी ने विद्यार्थियों की कुल संख्या से 2 रुपये अधिक दिए और कुल राशि 168 रुपये हुई। विद्यार्थियों की संख्या कितनी थी?
मान लें कि विद्यार्थियों की संख्या \(x\) है। तब प्रत्येक विद्यार्थी ने \(x+2\) रुपये दिए, इसलिए \(x(x+2)=168\)। इससे \(x^2+2x-168=0\), अर्थात् \((x+14)(x-12)=0\)। अतः \(x=12\) या \(x=-14\); विद्यार्थियों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए सही उत्तर 12 यानी विकल्प B है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करके केवल संदर्भानुकूल धनात्मक मूल लें। / Let the number of students be \(x\). Each student donated \(x+2\) rupees, so \(x(x+2)=168\). Thus, \(x^2+2x-168=0\), which factors as \((x+14)(x-12)=0\). Therefore, \(x=12\) or \(x=-14\); the number of students cannot be negative, so the correct answer is 12, option B. Exam tip: In word problems, reject roots that are impossible in the given context, such as a negative number of students.
मान लें कि हाल की चौड़ाई \(x\) मीटर है। तब उसकी लंबाई \(x+2\) मीटर होगी। क्षेत्रफल के अनुसार \(x(x+2)=168\), अर्थात \(x^2+2x-168=0\)। इसका गुणनखंडन \((x+14)(x-12)=0\) है, इसलिए \(x=12\) या \(x=-14\)। लंबाई-चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः चौड़ाई 12 मीटर है। 10 मीटर लेने पर क्षेत्रफल \(10\times12=120\) वर्ग मीटर होगा, इसलिए वह विकल्प गलत है। परीक्षा-युक्ति: आयाम से संबंधित प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करें। / Let the breadth of the hall be \(x\) metres. Its length will then be \(x+2\) metres. Using the area, \(x(x+2)=168\), so \(x^2+2x-168=0\). Factoring gives \((x+14)(x-12)=0\), yielding \(x=12\) or \(x=-14\). Since a length cannot be negative, the breadth is 12 metres. For example, 10 metres would give an area of \(10\times12=120\) square metres, so it is not correct. Exam tip: reject any negative root when solving for a physical dimension.
दहाई का अंक \(x\) मानें। तब इकाई का अंक \(x+1\) होगा। अतः \(x^2+(x+1)^2=41\), यानी \(2x^2+2x-40=0\) या \((x-4)(x+5)=0\)। अंक होने के कारण \(x=4\) लिया जाएगा, इसलिए इकाई का अंक 5 और संख्या 45 है। विकल्प 56 में अंकों का अंतर तो 1 है, लेकिन वर्गों का योग \(25+36=61\) है। परीक्षा-युक्ति: अंक से जुड़ी समस्याओं में ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करें। / Let the tens digit be \(x\). Then the units digit is \(x+1\). Therefore, \(x^2+(x+1)^2=41\), which gives \(2x^2+2x-40=0\) or \((x-4)(x+5)=0\). Since a digit cannot be negative, \(x=4\); hence the units digit is 5 and the number is 45. Although 56 also has digits differing by 1, its digit-square sum is \(25+36=61\), not 41. Exam tip: reject any negative root when the variable represents a digit.
मान लें कि ट्रेन की मूल गति \(x\) किमी/घंटा है। तब समय में कमी के आधार पर \(\frac{240}{x}-\frac{240}{x+10}=2\)। सरल करने पर \(x^2+10x-1200=0\), अर्थात् \((x-30)(x+40)=0\)। इसलिए \(x=30\) या \(-40\) मिलता है, लेकिन गति ऋणात्मक नहीं हो सकती। अतः मूल गति 30 किमी/घंटा है। परीक्षा-टिप: दूरी समान होने पर समय \(=\frac{दूरी}{गति}\) का प्रयोग करें और केवल धनात्मक मूल स्वीकार करें। / Let the original speed be \(x\) km/h. The decrease in travel time gives \(\frac{240}{x}-\frac{240}{x+10}=2\). Simplifying, \(x^2+10x-1200=0\), or \((x-30)(x+40)=0\). Thus \(x=30\) or \(-40\); the negative value cannot represent a speed. Therefore, the original speed was 30 km/h. Exam tip: For a fixed distance, use \(\text{time}=\frac{\text{distance}}{\text{speed}}\) and reject any negative root.
छोटी संख्या को \(x\) मानें। अगली क्रमागत विषम संख्या \(x+2\) होगी, इसलिए \(x^2+(x+2)^2=394\)। सरल करने पर \(2x^2+4x-390=0\), अर्थात् \(x^2+2x-195=0=(x+15)(x-13)\)। अतः \(x=13\) या \(-15\); धनात्मक संख्या होने के कारण छोटी संख्या \(13\) है। परीक्षा-युक्ति: क्रमागत विषम संख्याओं का अंतर हमेशा 2 होता है, 1 नहीं। / Let the smaller number be \(x\). The next consecutive odd number is \(x+2\), so \(x^2+(x+2)^2=394\). Simplifying gives \(2x^2+4x-390=0\), or \(x^2+2x-195=0=(x+15)(x-13)\). Thus, \(x=13\) or \(-15\); since the number must be positive, the smaller number is \(13\). Exam tip: consecutive odd numbers differ by 2, not by 1.
मान लें कि चौड़ाई \(x\) सेमी है। तब लंबाई \((x+5)\) सेमी होगी। क्षेत्रफल के आधार पर \(x(x+5)=300\), अर्थात् \(x^2+5x-300=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-15)(x+20)=0\) है, इसलिए \(x=15\) या \(x=-20\)। लंबाई-चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः चौड़ाई \(15\) सेमी है। परीक्षा में ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करना न भूलें। / Let the breadth be \(x\) cm. Then the length is \((x+5)\) cm. Using the area, \(x(x+5)=300\), so \(x^2+5x-300=0\). Factoring gives \((x-15)(x+20)=0\), hence \(x=15\) or \(x=-20\). Since a length cannot be negative, the breadth is \(15\) cm. In such word problems, always reject the negative root as physically meaningless.
18 मीटर लंबी और 12 मीटर चौड़ी आयताकार क्यारी के बाहर चारों ओर समान चौड़ाई का रास्ता बनाया गया है। क्यारी और रास्ते का कुल क्षेत्रफल 352 वर्ग मीटर है। रास्ते की चौड़ाई कितनी है?
मान लें कि रास्ते की चौड़ाई \(x\) मीटर है। तब बाहरी आयत की लंबाई \(18+2x\) और चौड़ाई \(12+2x\) होगी। इसलिए \((18+2x)(12+2x)=352\), अर्थात \(x^2+15x-34=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-2)(x+17)=0\) है, इसलिए \(x=2\) या \(x=-17\)। चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः \(x=2\) मीटर सही है। परीक्षा-युक्ति: क्षेत्रफल के प्रश्नों में रास्ते की चौड़ाई दोनों विपरीत दिशाओं में जुड़ती है, इसलिए प्रत्येक आयाम में \(2x\) जोड़ें। / Let the width of the path be \(x\) metres. The outer rectangle then has length \(18+2x\) and breadth \(12+2x\). Hence, \((18+2x)(12+2x)=352\), which gives \(x^2+15x-34=0\). Factoring, \((x-2)(x+17)=0\), so \(x=2\) or \(x=-17\). A width cannot be negative, so \(x=2\) metres. Exam tip: Since the path is added on both sides of each dimension, use \(18+2x\) and \(12+2x\), not \(18+x\) and \(12+x\).
तार आयत की पूरी परिमाप बनाता है, इसलिए 2(लंबाई + चौड़ाई) = 40, अर्थात लंबाई + चौड़ाई = 20। साथ ही, लंबाई × चौड़ाई = 96। अतः ऐसी दो संख्याएँ 8 और 12 हैं, क्योंकि 8 + 12 = 20 तथा 8 × 12 = 96। इसलिए अंतर = 12 − 8 = 4 मीटर। परीक्षा-युक्ति: आयत के तार से बने होने पर तार की लंबाई को परिमाप मानें, न कि केवल लंबाई या चौड़ाई। / The wire forms the complete perimeter of the rectangle, so 2(length + breadth) = 40, giving length + breadth = 20. Also, length × breadth = 96. The two dimensions are 8 m and 12 m because their sum is 20 and their product is 96. Therefore, the difference is 12 − 8 = 4 m. Exam tip: When a wire forms a rectangle, treat the wire length as the perimeter.
मान लें बस की मूल गति \(x\) किमी/घंटा है। तब \(\frac{180}{x-15}-\frac{180}{x}=1\)। सरल करने पर \(x^2-15x-2700=0\), जिसका हल \(x=60\) या \(x=-45\) मिलता है। गति ऋणात्मक नहीं हो सकती और \(x>15\) होना चाहिए, इसलिए मूल गति 60 किमी/घंटा है। जाँच के लिए: समयों का अंतर \(\frac{180}{45}-\frac{180}{60}=4-3=1\) घंटा है। परीक्षा-युक्ति: गति-समय के प्रश्नों में \(\text{समय}=\frac{\text{दूरी}}{\text{गति}}\) का प्रयोग करें और अव्यावहारिक मूल को हटाएँ। / Let the original speed be \(x\) km/h. The reduced speed is \(x-15\) km/h, so \(\frac{180}{x-15}-\frac{180}{x}=1\). On simplifying, \(x^2-15x-2700=0\), giving \(x=60\) or \(x=-45\). Speed cannot be negative, and it must be greater than 15 km/h, so the original speed is 60 km/h. Verification: \(\frac{180}{45}-\frac{180}{60}=4-3=1\) hour. Exam tip: use \(\text{time}=\frac{\text{distance}}{\text{speed}}\) and discard any physically impossible root.
मान लीजिए एक व्यक्ति की आयु x वर्ष है। तब दूसरे की आयु 30 − x वर्ष होगी। गुणनफल के अनुसार x(30 − x) = 216, इसलिए x² − 30x + 216 = 0। इसका गुणनखंडन (x − 12)(x − 18) = 0 है, अतः आयु 12 वर्ष और 18 वर्ष हैं। विकल्प B का योग 30 है, लेकिन 11 × 19 = 209, इसलिए वह गलत है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में दिए गए योग और गुणनफल दोनों का विकल्पों से मिलान करें। / Let one person’s age be x years; then the other person’s age is 30 − x years. Using the product, x(30 − x) = 216, which gives x² − 30x + 216 = 0. Factoring, (x − 12)(x − 18) = 0, so the ages are 12 years and 18 years. Option B has the correct sum, but 11 × 19 = 209, not 216. Exam tip: in such questions, verify both the sum and the product for the options.
मान लें संख्या \(x\) है। तब \(x-\frac{1}{x}=\frac{3}{2}\)। \(2x\) से गुणा करने पर \(2x^2-3x-2=0\), अर्थात् \((2x+1)(x-2)=0\)। इससे \(x=-\frac{1}{2}\) या \(x=2\) मिलता है। संख्या धनात्मक है, इसलिए \(x=2\) सही उत्तर है। जाँच: \(2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)। परीक्षा-युक्ति: व्युत्क्रम वाले समीकरण में हर को हटाने के बाद धनात्मकता की शर्त अवश्य लगाएँ। / Let the number be \(x\). Then \(x-\frac{1}{x}=\frac{3}{2}\). Multiplying by \(2x\) gives \(2x^2-3x-2=0\), which factors as \((2x+1)(x-2)=0\). Thus, \(x=-\frac{1}{2}\) or \(x=2\). Since the number is positive, \(x=2\) is the valid answer. Check: \(2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\). Exam tip: After clearing the reciprocal, always apply the condition given in the question, such as positivity.
एक समकोण त्रिभुज की दो लम्बवत् भुजाएँ क्रमशः \(x\) सेमी और \((x+7)\) सेमी हैं तथा उसका कर्ण \((x+8)\) सेमी है। इस त्रिभुज की सबसे छोटी भुजा की लंबाई क्या है?
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, \(x^2+(x+7)^2=(x+8)^2\)। विस्तार करने पर \(x^2-2x-15=0\), अर्थात् \((x-5)(x+3)=0\)। इसलिए \(x=5\) या \(x=-3\); लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः \(x=5\) सेमी। चूँकि \(x\), \((x+7)\) से छोटा है, सबसे छोटी भुजा 5 सेमी है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले पाइथागोरस प्रमेय लगाएँ और फिर ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करें। / By the Pythagorean theorem, \(x^2+(x+7)^2=(x+8)^2\). On simplifying, \(x^2-2x-15=0\), so \((x-5)(x+3)=0\). Thus, \(x=5\) or \(x=-3\); a length cannot be negative, so \(x=5\) cm. Since \(x\) is smaller than \(x+7\), the smallest side is 5 cm. Exam tip: Apply the Pythagorean theorem first and reject any negative root because side lengths are positive.
छोटे गुणज को \(x\) मानें, तो अगला क्रमागत गुणज \(x+3\) होगा। इसलिए \(x(x+3)=270\), अर्थात \(x^2+3x-270=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-15)(x+18)=0\) है। धनात्मक मान \(x=15\) है, इसलिए गुणज 15 और 18 हैं। परीक्षा-युक्ति: विकल्पों में दिए युग्मों का गुणनफल जाँचकर भी उत्तर शीघ्र मिल सकता है। / Let the smaller multiple be \(x\); then the next consecutive multiple is \(x+3\). Thus, \(x(x+3)=270\), giving \(x^2+3x-270=0\). Factoring gives \((x-15)(x+18)=0\). Since the multiples are positive, \(x=15\), so the two multiples are 15 and 18. Exam tip: You can also quickly verify the options by multiplying each pair and checking which product equals 270.
मान लें कि छोटी भुजा की लंबाई \(x\) सेमी है। तब दूसरी भुजा \((x+7)\) सेमी होगी। पाइथागोरस प्रमेय से \(x^2+(x+7)^2=17^2\), अर्थात \(x^2+7x-120=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-8)(x+15)=0\) है। लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए \(x=8\) सेमी सही उत्तर है। उदाहरण के लिए, \(9\) सेमी लेने पर भुजाएँ \(9\) और \(16\) सेमी होंगी, जिनका कर्ण \(17\) सेमी नहीं बनता। परीक्षा-युक्ति: समकोण त्रिभुज के प्रश्नों में पहले अज्ञात भुजा को \(x\) मानकर पाइथागोरस प्रमेय लगाएँ और ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करें। / Let the shorter leg be \(x\) cm. Then the longer leg is \((x+7)\) cm. By the Pythagorean theorem, \(x^2+(x+7)^2=17^2\), which simplifies to \(x^2+7x-120=0\). Factoring gives \((x-8)(x+15)=0\). Since a length cannot be negative, \(x=8\) cm. For instance, choosing \(9\) cm would give legs of \(9\) cm and \(16\) cm, which do not produce a hypotenuse of \(17\) cm. Exam tip: In right-triangle word problems, represent the unknown side by \(x\), apply the Pythagorean theorem, and reject any negative length.
कुल 720 रुपये में कुछ कॉपियाँ खरीदी गईं। यदि प्रत्येक कॉपी की कीमत 6 रुपये कम होती, तो उसी धनराशि में 4 कॉपियाँ अधिक खरीदी जा सकती थीं। प्रत्येक कॉपी का मूल मूल्य कितना था?
मान लें कि प्रत्येक कॉपी का मूल मूल्य x रुपये है। तब खरीदी गई कॉपियों की संख्या \(\frac{720}{x}\) होगी और 6 रुपये कम कीमत पर कॉपियों की संख्या \(\frac{720}{x-6}\) होगी। प्रश्नानुसार, \(\frac{720}{x-6}-\frac{720}{x}=4\)। सरल करने पर \(x^2-6x-1080=0\), अर्थात् \((x-36)(x+30)=0\)। मूल्य धनात्मक होने के कारण \(x=36\) रुपये। इसलिए सही उत्तर विकल्प C है। परीक्षा टिप: कीमत से संबंधित ऐसे प्रश्नों में कुल राशि को प्रति वस्तु की कीमत से भाग देकर वस्तुओं की संख्या लिखें और ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करें। / Let the original price of each notebook be x rupees. Then the number of notebooks bought is \(\frac{720}{x}\), while at a price reduced by 6 rupees, the number would be \(\frac{720}{x-6}\). Hence, \(\frac{720}{x-6}-\frac{720}{x}=4\). On simplifying, \(x^2-6x-1080=0\), or \((x-36)(x+30)=0\). Since a price must be positive, \(x=36\) rupees. Thus, option C is correct. Exam tip: In price-based word problems, express the number of items as total cost divided by the price per item, and reject any negative root.
मान लें कि चौड़ाई \(x\) मीटर है। तब लंबाई \(2x+2\) मीटर होगी। क्षेत्रफल के आधार पर \(x(2x+2)=180\), अर्थात् \(x^2+x-90=0\)। इसका गुणनखंड \((x+10)(x-9)=0\) है, इसलिए \(x=9\) या \(x=-10\)। लंबाई और चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकतीं, अतः चौड़ाई \(9\) मीटर है। परीक्षा टिप: आयाम से संबंधित प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को हमेशा अस्वीकार करें। / Let the breadth be \(x\) metres. Then the length is \(2x+2\) metres. Using area, \(x(2x+2)=180\), which gives \(x^2+x-90=0\). Factoring, \((x+10)(x-9)=0\), so \(x=9\) or \(x=-10\). Since a length cannot be negative, the breadth is \(9\) metres. Exam tip: In dimension-based problems, reject any negative root as physically meaningless.
मान लीजिए वाहन की मूल गति \(x\) किमी/घंटा है। तब समय में कमी के आधार पर \(\frac{150}{x}-\frac{150}{x+5}=1\)। इसे हल करने पर \(x^2+5x-750=0\), अर्थात् \((x-25)(x+30)=0\) मिलता है। गति ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए \(x=25\) किमी/घंटा सही उत्तर है। उदाहरण के लिए, 20 किमी/घंटा पर समय की कमी \(\frac{150}{20}-\frac{150}{25}=1.5\) घंटे होगी, 1 घंटा नहीं। परीक्षा-युक्ति: दूरी को गति से भाग देकर समय निकालें और ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करें। / Let the original speed be \(x\) km/h. Since the time decreases by 1 hour, \(\frac{150}{x}-\frac{150}{x+5}=1\). On simplifying, \(x^2+5x-750=0\), so \((x-25)(x+30)=0\). Speed cannot be negative; hence \(x=25\) km/h. For comparison, at 20 km/h the time difference would be \(\frac{150}{20}-\frac{150}{25}=1.5\) hours, not 1 hour. Exam tip: use time = distance ÷ speed and reject any negative root.
दो पाइप किसी टंकी को अलग-अलग क्रमशः \(x\) घंटे और \((x+4)\) घंटे में भरते हैं। दोनों पाइप मिलकर टंकी को \(\frac{24}{5}\) घंटे में भरते हैं। तेज पाइप अकेले टंकी को कितने घंटे में भरेगा?
टंकी भरने की दरों को जोड़कर समीकरण मिलता है: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+4}=\frac{5}{24}\)। सरल करने पर \(24(2x+4)=5x(x+4)\), अर्थात् \(5x^2-28x-96=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-8)(5x+12)=0\) है। इसलिए \(x=8\) या \(x=-\frac{12}{5}\)। समय ऋणात्मक नहीं हो सकता, अतः \(x=8\) घंटे। दूसरा पाइप 12 घंटे लेता है, इसलिए 8 घंटे वाला पाइप तेज है। परीक्षा-युक्ति: दरों के प्रश्नों में समय का व्युत्क्रम लेकर दरें जोड़ें और ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करें। / Adding the filling rates gives \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+4}=\frac{5}{24}\). On simplifying, \(24(2x+4)=5x(x+4)\), so \(5x^2-28x-96=0\). Factoring gives \((x-8)(5x+12)=0\), yielding \(x=8\) or \(x=-\frac{12}{5}\). Since time cannot be negative, \(x=8\) hours. The other pipe takes 12 hours, so the 8-hour pipe is the faster one. Exam tip: In filling-rate problems, add the reciprocals of the individual times and reject any negative time value.
एक काम को श्रमिक A अकेले x दिनों में और श्रमिक B अकेले (x+3) दिनों में पूरा करता है। दोनों श्रमिक मिलकर वही काम 2 दिनों में पूरा करते हैं। श्रमिक A अकेले वह काम कितने दिनों में पूरा करेगा?
दोनों श्रमिकों की संयुक्त कार्य-दर \(\frac{1}{2}\) काम प्रति दिन है, इसलिए \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+3}=\frac{1}{2}\)। सरलीकरण करने पर \(2(2x+3)=x(x+3)\), अर्थात् \(x^2-x-6=0\)। अतः \((x-3)(x+2)=0\), जिससे \(x=3\) या \(x=-2\) मिलता है। समय ऋणात्मक नहीं हो सकता, इसलिए \(x=3\) दिन सही उत्तर है। परीक्षा-युक्ति: कार्य-दर के प्रश्नों में समय का व्युत्क्रम लेकर समीकरण बनाइए और ऋणात्मक मूल को अस्वीकार कीजिए। / The combined work rate is \(\frac{1}{2}\) task per day, so \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+3}=\frac{1}{2}\). On simplifying, \(2(2x+3)=x(x+3)\), which gives \(x^2-x-6=0\). Thus, \((x-3)(x+2)=0\), so \(x=3\) or \(x=-2\). Since time cannot be negative, \(x=3\) days is valid. Exam tip: In work-rate problems, use the reciprocal of time for the rate and reject any negative time value.
पिता की वर्तमान आयु \(x+28\) वर्ष होगी। 4 वर्ष बाद बेटे और पिता की आयु क्रमशः \(x+4\) और \(x+32\) वर्ष होगी। इसलिए \((x+4)(x+32)=960\), अर्थात \(x^2+36x-832=0\)। इसका हल \(x=16\) या \(x=-52\) है। आयु ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए सही उत्तर 16 वर्ष, अर्थात विकल्प C है। परीक्षा में प्राप्त आयु को मूल शर्त में रखकर गुणनफल अवश्य जाँचें। / The father's present age is \(x+28\) years. After 4 years, their ages will be \(x+4\) and \(x+32\) years, respectively. Thus, \((x+4)(x+32)=960\), which gives \(x^2+36x-832=0\). Its solutions are \(x=16\) and \(x=-52\). Since age cannot be negative, the son's present age is 16 years, so option C is correct. In an exam, substitute the answer back into the original condition to verify the product.
छोटी संख्या को \(x\) मानें, तो बड़ी संख्या \(x+9\) होगी। अतः \(x^2+(x+9)^2=585\), जिससे \(2x^2+18x-504=0\) और \(x^2+9x-252=0\) प्राप्त होता है। इसका गुणनखंडन \((x+21)(x-12)=0\) है, इसलिए \(x=12\) या \(x=-21\)। धनात्मक संख्या होने के कारण \(x=12\) सही है। परीक्षा में ऋणात्मक मूल को दी गई शर्तों के आधार पर अवश्य अस्वीकार करें। / Let the smaller number be \(x\); then the larger number is \(x+9\). Thus, \(x^2+(x+9)^2=585\), which simplifies to \(2x^2+18x-504=0\) and then \(x^2+9x-252=0\). Factoring gives \((x+21)(x-12)=0\), so \(x=12\) or \(x=-21\). Since both numbers are positive, \(x=12\) is valid. In the exam, reject any root that violates the stated positivity condition.
मान लें छोटी धनात्मक संख्या \(x\) है। तब दूसरी संख्या \(x+4\) होगी, इसलिए \(x(x+4)=221\), अर्थात \(x^2+4x-221=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-13)(x+17)=0\) है। धनात्मक हल \(x=13\) है; \(-17\) को इसलिए नहीं लिया जाता क्योंकि संख्या धनात्मक दी गई है। अतः सही उत्तर 13 है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले छोटी संख्या को \(x\) मानकर दूसरी संख्या को शर्त के अनुसार लिखें। / Let the smaller positive number be \(x\). The other number is \(x+4\), so \(x(x+4)=221\), giving \(x^2+4x-221=0\). Factoring, \((x-13)(x+17)=0\), so the solutions are \(13\) and \(-17\). Since the number is specified as positive, \(x=13\) is valid. Therefore, the smaller number is 13. Exam tip: In such word problems, represent the smaller number by \(x\) and express the other number directly from the given difference.
मान लीजिए एक संख्या x है, तो दूसरी संख्या 19 − x होगी। गुणनफल की शर्त से x(19 − x) = 84, अर्थात् x² − 19x + 84 = 0। इसका गुणनखंडन (x − 7)(x − 12) = 0 है, इसलिए संख्याएँ 7 और 12 हैं। विकल्प A का योग 19 है, लेकिन उसका गुणनफल 78 है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में दिए गए योग और गुणनफल दोनों से उत्तर की जाँच करें। / Let one number be x; then the other is 19 − x. Using the product condition, x(19 − x) = 84, which gives x² − 19x + 84 = 0. Factoring, (x − 7)(x − 12) = 0, so the numbers are 7 and 12. Option A has the correct sum but its product is 78, not 84. Exam tip: always verify both the sum and the product of the selected pair.
आयत का परिमाप 120 मीटर है, इसलिए \(2(l+b)=120\), अर्थात् \(l+b=60\)। क्षेत्रफल के अनुसार \(lb=875\)। यदि एक आयाम \(x\) है, तो दूसरा \(60-x\) होगा और \(x(60-x)=875\)। इससे \(x^2-60x+875=0\), जिसके मूल 25 और 35 हैं। अतः सही आयाम 25 मीटर और 35 मीटर हैं। विकल्प A का क्षेत्रफल 800 वर्ग मीटर, जबकि विकल्प C का क्षेत्रफल 900 वर्ग मीटर है। परीक्षा-युक्ति: बाड़ से जुड़े प्रश्नों में पहले परिमाप और फिर क्षेत्रफल का समीकरण बनाइए। / The perimeter of the rectangle is 120 m, so \(2(l+b)=120\), giving \(l+b=60\). Its area gives \(lb=875\). If one dimension is \(x\), the other is \(60-x\), so \(x(60-x)=875\). Thus \(x^2-60x+875=0\), whose roots are 25 and 35. Therefore, the dimensions are 25 m and 35 m. Option A gives an area of 800 square metres, while option C gives 900 square metres. Exam tip: In fencing problems, form the perimeter equation first and the area equation second.
मान लें कि संख्या \(x\) है। तब \(x^2+5x=84\), अर्थात् \(x^2+5x-84=0\)। इसका गुणनखंडन \((x+12)(x-7)=0\) है, इसलिए \(x=-12\) या \(x=7\)। चूँकि संख्या धनात्मक है, \(-12\) अस्वीकार्य है और सही उत्तर \(7\) है। परीक्षा में ऋणात्मक मूल मिलने पर प्रश्न में दी गई शर्त, जैसे ‘धनात्मक’, अवश्य जाँचें। / Let the number be \(x\). Then \(x^2+5x=84\), so \(x^2+5x-84=0\). Factoring gives \((x+12)(x-7)=0\), hence \(x=-12\) or \(x=7\). Since the number is positive, \(-12\) is rejected, making \(7\) the correct answer. In an exam, always apply the condition stated in the question when selecting the valid root.
एक तस्वीर की बाहरी लंबाई 12 सेमी और चौड़ाई 8 सेमी है। तस्वीर के चारों ओर समान चौड़ाई का फ्रेम लगा है, जिससे अंदर की तस्वीर का क्षेत्रफल 60 सेमी² रह जाता है। फ्रेम की चौड़ाई कितनी है?
यदि फ्रेम की चौड़ाई को \(x\) सेमी मानें, तो अंदर की तस्वीर की लंबाई \((12-2x)\) सेमी और चौड़ाई \((8-2x)\) सेमी होगी। इसलिए \((12-2x)(8-2x)=60\), जिससे \(x^2-10x+9=0\) और \(x=1\) या \(x=9\) प्राप्त होता है। \(x=9\) सेमी संभव नहीं है, क्योंकि यह बाहरी चौड़ाई 8 सेमी से अधिक है। अतः फ्रेम की चौड़ाई 1 सेमी है। परीक्षा-युक्ति: लंबाई और चौड़ाई दोनों ओर फ्रेम होने पर प्रत्येक माप में \(2x\) घटाएँ। / Let the uniform frame width be \(x\) cm. Then the inner length is \((12-2x)\) cm and the inner breadth is \((8-2x)\) cm. Thus, \((12-2x)(8-2x)=60\), which gives \(x^2-10x+9=0\), so \(x=1\) or \(x=9\). The value \(x=9\) cm is impossible because it exceeds the outer breadth of 8 cm. Therefore, the frame width is 1 cm. Exam tip: When a border is present on both sides, subtract \(2x\) from each outer dimension.
एक कक्षा में विद्यार्थियों की पंक्तियों की संख्या \(x\) है। प्रत्येक पंक्ति में विद्यार्थियों की संख्या, पंक्तियों की संख्या से 3 अधिक है। यदि कक्षा में कुल 154 विद्यार्थी हैं, तो पंक्तियों की संख्या कितनी है?
पंक्तियों की संख्या \(x\) होने पर प्रत्येक पंक्ति में विद्यार्थियों की संख्या \(x+3\) होगी। इसलिए \(x(x+3)=154\), अर्थात् \(x^2+3x-154=0\)। इसका गुणनखंडन \((x+14)(x-11)=0\) है, इसलिए \(x=11\) या \(x=-14\)। पंक्तियों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः सही उत्तर 11 है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को संदर्भ के आधार पर अवश्य अस्वीकार करें। / If the number of rows is \(x\), then each row has \(x+3\) students. Thus, \(x(x+3)=154\), giving \(x^2+3x-154=0\). Factoring, \((x+14)(x-11)=0\), so \(x=11\) or \(x=-14\). Since the number of rows cannot be negative, the valid answer is 11. In such word problems, always reject a root that is not meaningful in the given context.
