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मान लीजिए आयत की चौड़ाई \(x\) सेमी है। तब उसकी लंबाई \(x+5\) सेमी होगी। पाइथागोरस प्रमेय से \(x^2+(x+5)^2=25^2\), अर्थात् \(x^2+5x-300=0\)। इसका गुणनखंडन \((x+20)(x-15)=0\) है, इसलिए \(x=15\) या \(x=-20\)। लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः चौड़ाई 15 सेमी है। परीक्षा-युक्ति: लंबाई, चौड़ाई और विकर्ण को समकोण त्रिभुज की भुजाओं के रूप में पहचानकर पाइथागोरस प्रमेय लगाएँ। / Let the breadth of the rectangle be \(x\) cm. Its length is then \(x+5\) cm. By the Pythagorean theorem, \(x^2+(x+5)^2=25^2\), which simplifies to \(x^2+5x-300=0\). Factoring gives \((x+20)(x-15)=0\), so \(x=15\) or \(x=-20\). Since a length cannot be negative, the breadth is 15 cm. Exam tip: identify the length, breadth and diagonal as the sides of a right triangle before applying the Pythagorean theorem.
पहली संख्या को x मानने पर क्रमागत सम संख्याएँ x और x+2 होंगी। इसलिए x(x+2)=224, अर्थात x²+2x−224=0। इसका गुणनखंडन करने पर (x−14)(x+16)=0 मिलता है, इसलिए x=14 या x=−16। धनात्मक संख्या होने के कारण x=14 लिया जाएगा और दूसरी संख्या 16 होगी। अतः सही उत्तर 14 और 16 है। परीक्षा-युक्ति: क्रमागत सम संख्याओं के बीच का अंतर 2 रखें, 1 नहीं। / Let the first number be x. The consecutive even numbers are then x and x+2. Thus, x(x+2)=224, or x²+2x−224=0. Factoring gives (x−14)(x+16)=0, so x=14 or x=−16. Since the numbers must be positive, x=14 and the next number is 16. Therefore, the correct answer is 14 and 16. Exam tip: consecutive even numbers differ by 2, not by 1.
मान लेते हैं कि क्रमागत संख्याएँ \(x\) और \(x+1\) हैं। तब \(x^2+(x+1)^2=365\), अर्थात् \(2x^2+2x-364=0\) या \(x^2+x-182=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-13)(x+14)=0\) है। प्राकृतिक संख्या होने के कारण \(x=13\) लिया जाएगा, इसलिए संख्याएँ 13 और 14 हैं। जाँच: \(13^2+14^2=169+196=365\)। परीक्षा-टिप: क्रमागत संख्याओं को हमेशा \(x\) और \(x+1\) मानकर द्विघात समीकरण बनाएँ। / Let the consecutive numbers be \(x\) and \(x+1\). Then \(x^2+(x+1)^2=365\), which gives \(2x^2+2x-364=0\) or \(x^2+x-182=0\). Factoring, \((x-13)(x+14)=0\), so \(x=13\) or \(x=-14\). Since the numbers are natural, \(x=13\), giving 13 and 14. Check: \(13^2+14^2=169+196=365\). Exam tip: Represent consecutive numbers as \(x\) and \(x+1\) before forming the quadratic equation.
छोटी संख्या को \(x\) मानने पर बड़ी संख्या \(x+6\) होगी। इसलिए \(x(x+6)=216\), अर्थात् \(x^2+6x-216=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-12)(x+18)=0\) है, इसलिए \(x=12\) या \(x=-18\)। धनात्मक संख्या होने के कारण छोटी संख्या 12 है। जाँच: \(12\times18=216\) और अंतर \(18-12=6\)। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में छोटी संख्या को \(x\) मानकर दूसरी संख्या को दिए गए अंतर के अनुसार लिखें। / Let the smaller number be \(x\); then the larger number is \(x+6\). Thus, \(x(x+6)=216\), or \(x^2+6x-216=0\). Factoring gives \((x-12)(x+18)=0\), so \(x=12\) or \(x=-18\). Since the numbers are positive, the smaller number is 12. Check: \(12\times18=216\) and \(18-12=6\). Exam tip: In such problems, let the smaller number be \(x\) and express the other number using the given difference.
एक नाव 48 किमी की दूरी धारा के विरुद्ध तय करने में, उसी दूरी को धारा के साथ तय करने की तुलना में 3 घंटे अधिक लेती है। धारा की चाल 4 किमी/घंटा है। शांत जल में नाव की चाल कितनी है?
मान लें कि शांत जल में नाव की चाल \(x\) किमी/घंटा है। तब धारा के विरुद्ध और धारा के साथ नाव की चाल क्रमशः \(x-4\) और \(x+4\) किमी/घंटा होगी। अतः \(\frac{48}{x-4}-\frac{48}{x+4}=3\)। सरलीकरण करने पर \(x^2=144\), इसलिए \(x=12\) या \(x=-12\) मिलता है। चाल धनात्मक होने और \(x>4\) होने के कारण सही उत्तर \(12\) किमी/घंटा है। परीक्षा-युक्ति: नाव-धारा के प्रश्नों में धारा के विरुद्ध चाल \(x-v\) और धारा के साथ चाल \(x+v\) अवश्य लिखें। / Let the speed of the boat in still water be \(x\) km/h. Its upstream and downstream speeds are then \(x-4\) and \(x+4\) km/h, respectively. Therefore, \(\frac{48}{x-4}-\frac{48}{x+4}=3\). On simplifying, we get \(x^2=144\), so \(x=12\) or \(x=-12\). Since speed is positive and must exceed the stream speed, the valid answer is 12 km/h. Exam tip: In boat-and-stream problems, use \(x-v\) for upstream speed and \(x+v\) for downstream speed.
कुछ वस्तुएँ खरीदने पर कुल 1200 रुपये खर्च होते हैं। यदि प्रत्येक वस्तु का मूल्य 10 रुपये कम हो जाए, तो उसी धनराशि में 4 वस्तुएँ अधिक खरीदी जा सकती हैं। प्रत्येक वस्तु का मूल मूल्य क्या था?
मूल प्रति वस्तु मूल्य को \(x\) रुपये मानें। तब वस्तुओं की मूल संख्या \(\frac{1200}{x}\) और घटे हुए मूल्य पर संख्या \(\frac{1200}{x-10}\) होगी। शर्त के अनुसार, \(\frac{1200}{x-10}-\frac{1200}{x}=4\)। इससे \(x(x-10)=3000\), अर्थात् \(x^2-10x-3000=0\)। अतः \(x=60\) या \(x=-50\); मूल्य ऋणात्मक नहीं हो सकता, इसलिए मूल मूल्य 60 रुपये है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में धनराशि को मूल्य से भाग देकर वस्तुओं की संख्या लिखें और अवैध ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करें। / Let the original price per item be \(x\) rupees. The original number of items is \(\frac{1200}{x}\), while after the price reduction it is \(\frac{1200}{x-10}\). Therefore, \(\frac{1200}{x-10}-\frac{1200}{x}=4\). Simplifying gives \(x(x-10)=3000\), or \(x^2-10x-3000=0\). Thus, \(x=60\) or \(x=-50\); a price cannot be negative, so the original price was 60 rupees. Exam tip: In price-quantity problems, express the number of items as total money divided by price and reject any impossible root.
मान लें कि लंबाई और चौड़ाई क्रमशः x और y हैं। परिमाप से 2(x+y)=50, इसलिए x+y=25, और क्षेत्रफल से xy=150। अतः y=25-x रखने पर \(x(25-x)=150\), अर्थात \(x^2-25x+150=0\)। इसका गुणनखंड \((x-10)(x-15)=0\) है, इसलिए आयाम 10 मीटर और 15 मीटर हैं। विकल्प B में योग 25 तो है, लेकिन गुणनफल 144 है, इसलिए वह क्षेत्रफल की शर्त पूरी नहीं करता। परीक्षा-युक्ति: आयत के प्रश्नों में परिमाप से लंबाई-चौड़ाई का योग और क्षेत्रफल से उनका गुणनफल निकालें। / Let the length and breadth be x and y. From the perimeter, 2(x+y)=50, so x+y=25; from the area, xy=150. Substituting y=25-x gives \(x(25-x)=150\), or \(x^2-25x+150=0\). Factoring, \((x-10)(x-15)=0\), so the dimensions are 10 m and 15 m. Option B has the correct sum of 25 but its product is 144, not 150, so it does not satisfy the area condition. Exam tip: In rectangle problems, use the perimeter to find the sum of the dimensions and the area to find their product.
एक सीढ़ी दीवार से टिकाई गई है। सीढ़ी का पाद दीवार से \(x\) मीटर दूर है और दीवार पर उसकी ऊँचाई \((x+7)\) मीटर है। यदि सीढ़ी की लंबाई 13 मीटर है, तो दीवार से पाद की दूरी कितनी है?
दीवार, भूमि और सीढ़ी एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं। पाइथागोरस प्रमेय से \(x^2+(x+7)^2=13^2\)। इसे सरल करने पर \(2x^2+14x-120=0\), अर्थात \((x-5)(x+12)=0\) मिलता है। दूरी ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए \(x=5\) मीटर सही है। परीक्षा में द्विघात समीकरण के दोनों मूलों में से भौतिक स्थिति के अनुकूल धनात्मक मूल चुनें। / The wall, ground and ladder form a right-angled triangle. By the Pythagorean theorem, \(x^2+(x+7)^2=13^2\). Simplifying gives \(2x^2+14x-120=0\), or \((x-5)(x+12)=0\). Since a distance cannot be negative, \(x=5\) metres is valid; \(x=-12\) is rejected. In such word problems, always choose the root that is physically meaningful.
मान लें कि त्रिभुज की ऊँचाई \(x\) सेमी है। तब उसका आधार \((x+4)\) सेमी होगा। क्षेत्रफल के सूत्र से \(\frac{1}{2}x(x+4)=60\), अर्थात् \(x^2+4x-120=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-10)(x+12)=0\) है, इसलिए \(x=10\) या \(x=-12\)। लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः ऊँचाई \(10\) सेमी है। परीक्षा-युक्ति: क्षेत्रफल के प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को लंबाई के लिए अस्वीकार करें। / Let the height of the triangle be \(x\) cm. Then its base is \((x+4)\) cm. Using the area formula, \(\frac{1}{2}x(x+4)=60\), which gives \(x^2+4x-120=0\). Factoring, \((x-10)(x+12)=0\), so \(x=10\) or \(x=-12\). Since a length cannot be negative, the height is \(10\) cm. Exam tip: Always reject a negative root when the variable represents a physical length.
संख्या को \(x\) मानने पर \(x^2=3x+28\), अर्थात् \(x^2-3x-28=0\)। गुणनखंड करने पर \((x-7)(x+4)=0\), इसलिए \(x=7\) या \(x=-4\)। चूँकि संख्या धनात्मक है, इसलिए सही उत्तर 7 है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या वाले प्रश्नों में प्राप्त मूलों में से केवल धनात्मक मूल चुनें। / Let the number be \(x\). Then \(x^2=3x+28\), so \(x^2-3x-28=0\). Factoring gives \((x-7)(x+4)=0\), hence \(x=7\) or \(x=-4\). Since the number is positive, the correct answer is 7. Exam tip: when a word problem specifies a positive number, discard any negative root.
समीकरण \(x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2}\) से \(2x^2-5x+2=0\) बनता है। हल (x=2) या \(x=\frac{1}{2}\) हैं। / The equation \(x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2}\) gives \(2x^2-5x+2=0\). The solutions are (x=2) or \(x=\frac{1}{2}\).
मान लीजिए आयत की चौड़ाई \(x\) मीटर है। तब लंबाई \(x+4\) मीटर होगी। क्षेत्रफल से \(x(x+4)=96\), अर्थात् \(x^2+4x-96=0\)। इसका गुणनखंड \((x-8)(x+12)=0\) है, इसलिए \(x=8\) या \(x=-12\)। लंबाई-चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः चौड़ाई 8 मीटर है। परीक्षा टिप: क्षेत्रफल वाले आयत के प्रश्नों में पहले एक आयाम को \(x\) मानकर दूसरे आयाम को दिए गए संबंध के अनुसार लिखें। / Let the breadth of the rectangle be \(x\) metres. Then its length is \(x+4\) metres. Using the area, \(x(x+4)=96\), so \(x^2+4x-96=0\). Factoring gives \((x-8)(x+12)=0\), hence \(x=8\) or \(x=-12\). Since a length cannot be negative, the breadth is 8 metres. Exam tip: In rectangle word problems, assign a variable to one dimension and express the other using the given relationship before applying the area formula.
एक काम को श्रमिक A अकेले x दिनों में और श्रमिक B अकेले x+5 दिनों में पूरा करता है। दोनों मिलकर वही काम 6 दिनों में पूरा करते हैं। श्रमिक A अकेले वह काम कितने दिनों में पूरा करेगा?
काम की एक दिन की संयुक्त दर \(\frac{1}{6}\) है, इसलिए \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}\)। हरों को हटाने पर \(6(2x+5)=x(x+5)\), अर्थात् \(x^2-7x-30=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-10)(x+3)=0\) है, इसलिए \(x=10\) या \(x=-3\)। दिनों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः \(x=10\) और सही विकल्प B है। परीक्षा-युक्ति: कार्य-दर वाले प्रश्नों में समय का व्युत्क्रम लेकर दरों को जोड़ा जाता है। / The combined work rate is \(\frac{1}{6}\) of the task per day, so \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}\). Clearing the denominators gives \(6(2x+5)=x(x+5)\), or \(x^2-7x-30=0\). Factoring, \((x-10)(x+3)=0\), so \(x=10\) or \(x=-3\). Since a number of days cannot be negative, \(x=10\), making option B correct. Exam tip: In work-rate problems, add the reciprocals of the individual completion times.
मान लीजिए दहाई का अंक \(x\) है। तब इकाई का अंक \(x+1\) होगा। प्रश्नानुसार, \(x^2+(x+1)^2=61\), अर्थात \(2x^2+2x-60=0\) या \(x^2+x-30=0\)। इसलिए \((x-5)(x+6)=0\), जिससे \(x=5\) या \(x=-6\) प्राप्त होता है। अंक ऋणात्मक नहीं हो सकता, इसलिए दहाई का अंक 5 और इकाई का अंक 6 है; संख्या 56 होगी। परीक्षा-युक्ति: अंक से जुड़े प्रश्नों में ऋणात्मक या 10 से बड़ा मूल अस्वीकार करना न भूलें। / Let the tens digit be \(x\). Then the units digit is \(x+1\). Therefore, \(x^2+(x+1)^2=61\), which gives \(2x^2+2x-60=0\) or \(x^2+x-30=0\). Thus, \((x-5)(x+6)=0\), so \(x=5\) or \(x=-6\). Since a digit cannot be negative, the tens digit is 5 and the units digit is 6; hence the number is 56. Exam tip: In digit problems, reject roots that are negative or greater than 9. The nearby option 67 has consecutive digits, but their squared sum is 36+49=85, not 61.
दूसरी भुजा को \(x\) सेमी मानें। तब कर्ण \((x+5)\) सेमी होगा। पाइथागोरस प्रमेय से \(x^2+10^2=(x+5)^2\), अर्थात् \(x^2+100=x^2+10x+25\)। इसलिए \(10x=75\) और \(x=7.5\) सेमी। अतः सही उत्तर विकल्प D है। ध्यान रखें कि कर्ण हमेशा सबसे लंबी भुजा होता है; इसलिए \(x+5\) को कर्ण के रूप में लेना आवश्यक है। / Let the other side be \(x\) cm. Then the hypotenuse is \((x+5)\) cm. By the Pythagorean theorem, \(x^2+10^2=(x+5)^2\), so \(x^2+100=x^2+10x+25\). Hence, \(10x=75\) and \(x=7.5\) cm. Therefore, option D is correct. Exam tip: in a right triangle, the hypotenuse is the longest side, so it must be represented by \(x+5\), not by \(x\).
मान लेते हैं कि पहली विषम संख्या \(x\) है। अगली क्रमागत विषम संख्या \(x+2\) होगी, क्योंकि विषम संख्याओं के बीच का अंतर 2 होता है। इसलिए \(x(x+2)=255\), अर्थात् \(x^2+2x-255=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-15)(x+17)=0\) है। धनात्मक मान \(x=15\) लेने पर संख्याएँ 15 और 17 मिलती हैं, और \(15\times17=255\)। परीक्षा-युक्ति: क्रमागत विषम संख्याओं के लिए दूसरी संख्या पहली से 2 अधिक लें, 1 अधिक नहीं। / Let the first odd number be \(x\). The next consecutive odd number is \(x+2\), since consecutive odd numbers differ by 2. Thus, \(x(x+2)=255\), giving \(x^2+2x-255=0\). Factoring, \((x-15)(x+17)=0\), so the positive value is \(x=15\). Therefore, the numbers are 15 and 17, and \(15\times17=255\). Exam tip: for consecutive odd numbers, use a difference of 2, not 1.
30 मीटर लंबी और 20 मीटर चौड़ी एक आयताकार घास वाली जगह के अंदर चारों ओर समान चौड़ाई का रास्ता बना है। रास्ते के बाद बचा हुआ घास का क्षेत्रफल 416 वर्ग मीटर है। रास्ते की चौड़ाई कितनी है?
मान लें कि रास्ते की चौड़ाई \(x\) मीटर है। रास्ते के अंदर बची आयत की लंबाई \(30-2x\) और चौड़ाई \(20-2x\) होगी। इसलिए \((30-2x)(20-2x)=416\)। इसे हल करने पर \(x^2-25x+46=0\), अर्थात \((x-2)(x-23)=0\)। \(x=23\) मीटर असंगत है, क्योंकि रास्ते की चौड़ाई 20 मीटर की आधी चौड़ाई से कम होनी चाहिए। अतः \(x=2\) मीटर सही उत्तर है। परीक्षा-युक्ति: अंदर की ओर बने रास्ते में दोनों आयामों से \(2x\) घटाया जाता है। / Let the width of the path be \(x\) m. The dimensions of the remaining grassy rectangle are \((30-2x)\) m and \((20-2x)\) m. Thus, \((30-2x)(20-2x)=416\), which gives \(x^2-25x+46=0\), or \((x-2)(x-23)=0\). The root \(x=23\) m is not possible because the path width must be less than half the breadth, so the valid value is \(x=2\) m. Exam tip: for a path inside all four sides, subtract \(2x\) from both original dimensions.
मान लें कि कार की मूल गति \(x\) किमी/घंटा है। तब मूल समय \(\frac{240}{x}\) घंटे और नई गति \(x+20\) किमी/घंटा होने पर नया समय \(\frac{240}{x+20}\) घंटे होगा। इसलिए \(\frac{240}{x}-\frac{240}{x+20}=1\)। इसे हल करने पर \(x^2+20x-4800=0\), अर्थात \((x-60)(x+80)=0\)। गति धनात्मक होने के कारण \(x=60\) किमी/घंटा सही उत्तर है; \(-80\) किमी/घंटा स्वीकार्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: दूरी-गति-समय के प्रश्नों में पहले दोनों परिस्थितियों का समय लिखकर अंतर का समीकरण बनाइए। / Let the car’s original speed be \(x\) km/h. The original time is \(\frac{240}{x}\) hours, and after increasing the speed to \(x+20\) km/h, the new time is \(\frac{240}{x+20}\) hours. Therefore, \(\frac{240}{x}-\frac{240}{x+20}=1\). On simplifying, \(x^2+20x-4800=0\), which factors as \((x-60)(x+80)=0\). Since speed must be positive, \(x=60\) km/h is the valid answer; \(-80\) km/h is rejected. Exam tip: In speed–time–distance problems, write the times for both situations first and then form their difference equation.
एक बेटे की वर्तमान आयु \(x\) वर्ष है और उसकी माता की वर्तमान आयु उससे 20 वर्ष अधिक है। 5 वर्ष पहले उनकी आयुओं का गुणनफल 189 था। बेटे की वर्तमान आयु कितनी है?
माता की वर्तमान आयु \(x+20\) वर्ष है। 5 वर्ष पहले बेटे और माता की आयु क्रमशः \(x-5\) और \(x+15\) वर्ष थी। इसलिए \((x-5)(x+15)=189\), अर्थात \(x^2+10x-264=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-12)(x+22)=0\) है। आयु ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए \(x=12\) वर्ष सही उत्तर है। परीक्षा में आयु-आधारित प्रश्नों में ‘कुछ वर्ष पहले’ को वर्तमान आयु से घटाना न भूलें। / The mother's present age is \(x+20\) years. Five years ago, their ages were \(x-5\) and \(x+15\) years, respectively. Thus, \((x-5)(x+15)=189\), which gives \(x^2+10x-264=0\). Factoring, \((x-12)(x+22)=0\). Since age cannot be negative, \(x=12\) years, so option C is correct. In age problems, remember to subtract the stated number of years from both present ages.
मान लें कि छोटे पूर्णांक को \(x\) कहा गया है। तब दूसरा पूर्णांक \(x+1\) होगा। इसलिए \(x(x+1)=240\), अर्थात् \(x^2+x-240=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-15)(x+16)=0\) है। धनात्मक मान \(x=15\) लेने पर पूर्णांक 15 और 16 मिलते हैं, क्योंकि \(15\times16=240\)। विकल्प A निकट है, लेकिन \(14\times15=210\) होता है। परीक्षा-युक्ति: क्रमागत संख्याओं के लिए पहले \(x\) और \(x+1\) मानकर द्विघात समीकरण बनाइए। / Let the smaller integer be \(x\). Then the other integer is \(x+1\). Thus, \(x(x+1)=240\), or \(x^2+x-240=0\). Factoring gives \((x-15)(x+16)=0\). Since the integers are positive, \(x=15\), so the pair is 15 and 16; indeed, \(15\times16=240\). Option A is close but \(14\times15=210\), not 240. Exam tip: For consecutive integers, represent them as \(x\) and \(x+1\) before forming the quadratic equation.
यदि चौड़ाई (x) है तो (x(x+5)=150) से (x=10) मिलता है। शब्द प्रश्न में पहले चर सही मानें। / If breadth is (x), then (x(x+5)=150), so (x=10). In word problems choose the variable carefully first.
पहले मजदूर का समय (x days) मानें, तब \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}\)। इससे \(x^2-7x-30=0\), इसलिए (x=10) है। / Let the first worker's time be (x days\(), then (\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}). This gives (x^2-7x-30=0), so (x=10).\)
चौड़ाई (x m) मानें, तब (x(x+8)=273)। \(इससे (x=13) और लंबाई (21) है, इसलिए परिधि (2(13+21)=68\) m) है। / Let the breadth be (x m\(), then (x(x+8)=273). This gives (x=13) and length (21), so the perimeter is (2(13+21)=68\) m).
वास्तविक चाल (x km/h) मानें, तब \(\frac{300}{x}-\frac{300}{x+10}=1\)। इससे \(x^2+10x-3000=0\), इसलिए धनात्मक मूल (x=50) है। / Let the actual speed be (x km/h\(), then (\frac{300}{x}-\frac{300}{x+10}=1). This gives (x^2+10x-3000=0), so the positive root is (x=50).\)
एक आयताकार शीट की लंबाई चौड़ाई से (8 cm) अधिक है। प्रत्येक कोने से (2 cm) का वर्ग काटकर मोड़ने पर डिब्बे का आयतन \(240 cm^3\) बनता है। मूल चौड़ाई क्या है?
मूल चौड़ाई (x) हो, तो डिब्बे का आधार ((x-4)(x+4)) और ऊँचाई (2) है। (2(x-4)(x+4)=240) से \(x^2=136\), इसलिए विकल्पों में कोई सही नहीं। / Let original breadth be (x), then the box base is ((x-4)(x+4)) and height is (2). From (2(x-4)(x+4)=240), \(x^2=136\), so none of the options is exact.
धारा की चाल (x) हो, तो \(\frac{48}{10+x}+\frac{32}{10-x}=10\)। इससे \(x^2+4x-12=0\), इसलिए (x=2)। / Let the stream speed be (x), then \(\frac{48}{10+x}+\frac{32}{10-x}=10\). This gives \(x^2+4x-12=0\), so (x=2).
चौड़ाई (x) हो, तो लंबाई (2x-5) और (x(2x-5)=875)। इससे \(2x^2-5x-875=0\), इसलिए (x=25)। / Let breadth be (x), then length is (2x-5), and (x(2x-5)=875). This gives \(2x^2-5x-875=0\), so (x=25).
संख्या को \(x\) मानने पर \(x^2+x=156\), अर्थात् \(x^2+x-156=0\)। इसका गुणनखंडन \((x+13)(x-12)=0\) है, इसलिए \(x=-13\) या \(x=12\)। संख्या धनात्मक है, अतः सही उत्तर 12 है। 13 निकट विकल्प है, लेकिन \(13+13^2=182\), 156 नहीं। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले समीकरण बनाकर फिर धनात्मक मूल चुनें। / Let the number be \(x\). Then \(x^2+x=156\), so \(x^2+x-156=0\). Factoring gives \((x+13)(x-12)=0\), hence \(x=-13\) or \(x=12\). Since the number is positive, the correct answer is 12. The nearby option 13 is incorrect because \(13+13^2=182\), not 156. Exam tip: Form the quadratic equation first, then select the root that satisfies the given condition.
एक छात्रावास में (60) छात्रों के लिए कमरे हैं। यदि प्रत्येक कमरे में (2) छात्र अधिक रखे जाएँ, तो (5) कमरे कम चाहिए। मूल रूप से प्रत्येक कमरे में कितने छात्र रखे गए थे?
प्रति कमरा (x) छात्र हों, तो \(\frac{60}{x}-\frac{60}{x+2}=5\)। इससे \(5x^2+10x-120=0\), इसलिए (x=4)। / Let students per room be (x), then \(\frac{60}{x}-\frac{60}{x+2}=5\). This gives \(5x^2+10x-120=0\), so (x=4).
चौड़ाई (x) हो, तो वृद्धि ((x+5)(x+15)-x(x+10)=350)। इससे (10x+75=350), इसलिए (x=27.5), अतः दिए विकल्पों में कोई सही नहीं। / Let breadth be (x), then increase is ((x+5)(x+15)-x(x+10)=350). This gives (10x+75=350), so (x=27.5), hence no listed option is exact.
