Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(x-2-12x+36=(x-6)2) है, इसलिए स्पर्श बिंदु ((6,0)) है। टिप: पूर्ण वर्ग में चिह्न बदलकर शून्यक मिलता है। / (x-2-12x+36=(x-6)2), so the touching point is ((6,0)). Tip: in a perfect square, change the sign to get the zero.
(x-2+8x+16=(x+4)2), इसलिए स्पर्श बिंदु ((-4,0)) है। टिप: पूर्ण वर्ग में चिह्न बदलकर शून्यक मिलता है। / (x-2+8x+16=(x+4)2), so the touching point is ((-4,0)). Tip: in a perfect square the sign changes to get the zero.
बहुपद को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखें: \(p(x)=x^2-2kx+k^2=(x-k)^2\). इसलिए शून्यक दोहराया है और वह \(x=k\) है; अतः ग्राफ x-अक्ष को \(x=k\) पर स्पर्श करेगा (काटेगा नहीं)। निकटतम भ्रम, \(x=-k\), गलत है क्योंकि वह \((x-k)^2\) का शून्यक नहीं है। परीक्षा-टिप: पूर्ण वर्ग का पहचान तुरंत करने के लिए गुणनफल या डिस्क्रिमिनेंट \(b^2-4ac\) जांचें — यहाँ यह शून्य है, इसलिए द्विआवृत्त मूल है। / Factor the polynomial: \(p(x)=x^2-2kx+k^2=(x-k)^2\). Hence the root is repeated at \(x=k\), so the graph touches (but does not cross) the x-axis at \(x=k\). The distractor \(x=-k\) is incorrect because it is not a root of \((x-k)^2\). Exam tip: recognize perfect-square trinomials quickly, or check the discriminant \(b^2-4ac=0\) to identify a repeated root.
B. एक (दोहरा) वास्तविक शून्यक/One (repeated) real zero
Explanation
Simple Explanation
बहुपद को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखा जा सकता है: \(x^2+4x+4=(x+2)^2\)। इसलिए शून्यक \(x=-2\) मिला है पर वह द्वैतीय गुणांक (multiplicity) 2 के साथ आता है — मतलब केवल एक अलग वास्तविक शून्यक है। दूसरे तरीके से, विभेदक \(\Delta=b^2-4ac=4^2-4\cdot1\cdot4=16-16=0\) है, इसलिए एक द्वैतीय (repeated) वास्तविक मूल है। नज़दीकी ग़लत विकल्प (A) इसलिए गलत है क्योंकि \(\Delta>0\) नहीं है, अतः दो भिन्न वास्तविक शून्यक नहीं हैं। टिप: शीघ्र पहचान के लिए पूर्ण वर्ग या \(\Delta\) की जाँच करें। / The polynomial factors as \(x^2+4x+4=(x+2)^2\). Thus the only root is \(x=-2\), but it has multiplicity 2 — so there is one distinct real zero (a repeated root). Using the discriminant: \(\Delta=b^2-4ac=4^2-4\cdot1\cdot4=0\), which indicates a repeated real root. The closest distractor (A) is incorrect because \(\Delta\) is not positive, so there are not two distinct real zeros. Exam tip: check for a perfect square trinomial or compute \(\Delta\) to decide distinct/repeated/no real roots quickly.
A. यह समझ के लिए ठीक संकेत है, पर पूर्ण प्रमाण में परिमेय मानकर विरोधाभास दिखाना चाहिए/It is a useful hint for understanding, but a full proof should assume rationality and show contradiction
Step 1
Concept
(2) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{2}\) पूर्णांक नहीं है। / Since (2) is not a perfect square, \(\sqrt{2}\) is not an integer.
Step 2
Why this answer is correct
पर अपरिमेयता के लिए यह भी सिद्ध करना होता है कि वह कोई परिमेय भिन्न नहीं है। / But irrationality needs proving it is not any rational fraction.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सहअभाज्य भिन्न वाला विरोधाभास प्रमाण लिखें। / Therefore write the contradiction proof using a coprime fraction.
A. यह बताता है कि \(\sqrt{5}\) पूर्णांक नहीं है, पर पूर्ण अपरिमेयता के लिए विरोधाभास प्रमाण चाहिए/It shows \(\sqrt{5}\) is not an integer, but full irrationality needs contradiction proof
Step 1
Concept
(5) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{5}\) पूर्णांक नहीं हो सकता। / Since (5) is not a perfect square, \(\sqrt{5}\) cannot be an integer.
Step 2
Why this answer is correct
पर अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए यह दिखाना भी जरूरी है कि वह कोई परिमेय भिन्न नहीं है। / But to prove irrationality, we must also show it is not any rational fraction.
Step 3
Exam Tip
इसलिए विरोधाभास वाला प्रमाण लिखा जाता है। / That is why the contradiction proof is written.
A. यदि प्राकृतिक संख्या पूर्ण वर्ग नहीं है और अभाज्य है, तो उसका वर्गमूल अपरिमेय होता है/If a natural number is not a perfect square and is prime, its square root is irrational
Step 1
Concept
(2,3,5) पूर्ण वर्ग नहीं हैं और अभाज्य हैं। / (2,3,5) are not perfect squares and are prime.
Step 2
Why this answer is correct
इनके वर्गमूल को परिमेय मानने पर साझा गुणनखंड का विरोधाभास मिलता है। / Assuming their square roots rational creates a common-factor contradiction.
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग पहचानना ऐसे प्रश्नों में पहला काम है। / Identifying perfect squares is the first task in such questions.
A. पूर्ण संख्या का वर्गमूल हमेशा परिमेय नहीं होता/The square root of a whole number is not always rational
Step 1
Concept
(5) पूर्ण संख्या है, लेकिन उसका वर्गमूल पूर्ण वर्ग न होने पर परिमेय नहीं होता। / (5) is a whole number, but its square root need not be rational unless it is a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
(5) किसी पूर्ण संख्या का वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{5}\) परिमेय नहीं माना जा सकता। / Since (5) is not the square of an integer, \(\sqrt{5}\) is not rational.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में संख्या और उसके वर्गमूल को अलग-अलग पहचानें। / In exams, distinguish a number from its square root.
धनात्मक पूर्णांक का वर्गमूल परिमेय तभी होता है जब वह पूर्ण वर्ग हो। / The square root of a positive integer is rational only when the integer is a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
जैसे \(\sqrt{25}=5\) परिमेय है। / For example \(\sqrt{25}=5\).
Step 3
Exam Tip
अभाज्य संख्या का वर्गमूल सामान्यतः अपरिमेय होता है। / The square root of a prime number is usually irrational.
C. यदि (p=36), तो \(\sqrt{p}\) अपरिमेय होगा/If (p=36), \(\sqrt{p}\) is irrational
Step 1
Concept
(36) पूर्ण वर्ग है। / (36) is a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{36}=6\), जो परिमेय है, इसलिए (p=36) वाला कथन गलत है। / \(\sqrt{36}=6\), which is rational, so the statement for (p=36) is incorrect.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल पर निर्णय लेने में पूर्ण वर्ग की जाँच सबसे सुरक्षित तरीका है। / Checking perfect squares is the safest way to decide the nature of a square root.
(m) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{m}\) अपरिमेय है। / Since (m) is not a perfect square, \(\sqrt{m}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
(4) परिमेय है, और अपरिमेय में परिमेय जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय होता है। / (4) is rational, and adding it to an irrational number gives an irrational number.
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग न होने की जानकारी को सीधे वर्गमूल की प्रकृति से जोड़ें। / Connect the non-perfect-square condition directly with the nature of the square root.
(2) परिमेय है। इसलिए \(2+\sqrt{n}\) अपरिमेय तभी होगा जब \(\sqrt{n}\) अपरिमेय हो। / (2) is rational. So \(2+\sqrt{n}\) is irrational when \(\sqrt{n}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
(40) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{40}\) अपरिमेय है। / (40) is not a perfect square, so \(\sqrt{40}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
दिए गए पूर्णांकों में पूर्ण वर्गों को पहले हटाएँ। / First eliminate perfect squares from the given integers.
B. \(\sqrt{72}\) अपरिमेय है क्योंकि (72) पूर्ण वर्ग नहीं है/\(\sqrt{72}\) is irrational because (72) is not a perfect square
Step 1
Concept
धनात्मक पूर्णांक का वर्गमूल परिमेय तभी होता है जब वह पूर्ण वर्ग हो। / The square root of a positive integer is rational only when the integer is a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
(72) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{72}\) अपरिमेय है। / (72) is not a perfect square, so \(\sqrt{72}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
सम संख्या होना वर्गमूल को परिमेय नहीं बनाता। / Being even does not make a square root rational.
यदि (k) पूर्ण वर्ग हो, तो \(\sqrt{k}\) परिमेय होगा और भिन्न परिमेय बन जाएगी। / If (k) is a perfect square, then \(\sqrt{k}\) is rational and the fraction becomes rational.
Step 2
Why this answer is correct
(18) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{18}\) अपरिमेय है और \(\frac{5}{\sqrt{18}}\) भी अपरिमेय रहेगा। / (18) is not a perfect square, so \(\sqrt{18}\) is irrational and \(\frac{5}{\sqrt{18}}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में पहले (k) के पूर्ण वर्ग होने की जाँच करें। / In such questions, first check whether (k) is a perfect square.
किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्गमूल परिमेय तभी होता है जब वह पूर्ण वर्ग हो। / The square root of a positive integer is rational when that integer is a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(\sqrt{mn}\) परिमेय होने के लिए (mn) का पूर्ण वर्ग होना पर्याप्त है। / Hence (mn) being a perfect square is sufficient for \(\sqrt{mn}\) to be rational.
Step 3
Exam Tip
योग या अंतर की समता से वर्गमूल की प्रकृति तय नहीं होती। / Parity of the sum or difference does not decide the nature of the square root.
