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महारानी एलिजाबेथ द्वितीय ब्रिटेन की रानी थीं। परीक्षा में उन्हें लंबे शासनकाल वाली आधुनिक राजशाही से जोड़ें। / Queen Elizabeth II was the queen of Britain. For exams connect her with long modern monarchy.
महारानी विक्टोरिया ब्रिटेन की रानी थीं। परीक्षा में उन्हें विक्टोरियन युग और ब्रिटिश साम्राज्य से जोड़ें। / Queen Victoria was the queen of Britain. For exams connect her with the Victorian Age and the British Empire.
A. एलिजाबेथ युग समुद्री विस्तार और साहित्य से जबकि विक्टोरियन युग औद्योगिक साम्राज्य से जुड़ा है/Elizabethan Age is linked with maritime expansion and literature while Victorian Age with industrial empire
Explanation
Simple Explanation
दोनों युग ब्रिटिश इतिहास में महत्वपूर्ण हैं लेकिन उनकी विशेषताएं अलग हैं। परीक्षा में युग और प्रमुख विशेषता साथ याद रखें। / Both ages are important in British history but their features differ. Exam tip: remember each age with its key feature.
क्वीन एलिजाबेथ प्रथम इंग्लैंड की रानी थीं। परीक्षा में उनके शासनकाल को इंग्लैंड के स्वर्ण युग से जोड़ें। / Queen Elizabeth I was the queen of England. For exams, connect her reign with England's Golden Age.
अठारह सौ सत्तावन के बाद भारत का शासन ब्रिटिश क्राउन के अधीन गया। परीक्षा में इसे ब्रिटिश भारत के शासन परिवर्तन से जोड़ें। / After the Revolt of 1857 India's rule came under the British Crown. For exams connect it with the administrative change in British India.
शाही उपाधि अधिनियम अठारह सौ छिहत्तर में पारित हुआ। परीक्षा में विक्टोरिया को ब्रिटिश साम्राज्य के विस्तार से जोड़ें। / The Royal Titles Act was passed in 1876. For exams connect Victoria with the expansion of the British Empire.
A. औद्योगिक प्रगति और सामाजिक असमानताओं का साथ-साथ बढ़ना/Industrial progress and social inequalities growing together
Explanation
Simple Explanation
विक्टोरियन युग में प्रगति के साथ श्रमिक और सामाजिक समस्याएं भी बढ़ीं। परीक्षा में युग को संतुलित दृष्टि से समझें। / The Victorian Age saw progress along with worker and social problems. For exams understand the age in a balanced way.
क्वीन विक्टोरिया के शासनकाल को विक्टोरियन युग कहा जाता है। परीक्षा में इसे ब्रिटिश साम्राज्य के विस्तार से जोड़ें। / Queen Victoria's reign is called the Victorian Age. For exams, connect it with the expansion of the British Empire.
A. ब्रिटिश साम्राज्य औद्योगिक विस्तार और सामाजिक परिवर्तन के लिए/For British Empire industrial expansion and social change
Explanation
Simple Explanation
विक्टोरियन युग में ब्रिटेन का औद्योगिक और साम्राज्यवादी प्रभाव बढ़ा। परीक्षा में विक्टोरिया को उन्नीसवीं सदी के ब्रिटेन से जोड़ें। / In the Victorian era Britain's industrial and imperial influence grew. For exams connect Victoria with nineteenth century Britain.
रानी विक्टोरिया की घोषणा 1858 में हुई थी। इसके बाद भारत का शासन कंपनी से ब्रिटिश क्राउन के अधीन चला गया। / Queen Victoria's Proclamation was issued in 1858. After it, India came under the British Crown instead of the Company.
विक्टोरिया मेमोरियल रानी विक्टोरिया की स्मृति से जुड़ा है। परीक्षा में औपनिवेशिक स्मारकों के नाम और उद्देश्य याद रखें। / Victoria Memorial is linked with the memory of Queen Victoria. For exams remember names and purposes of colonial monuments.
विक्टोरिया मेमोरियल रानी विक्टोरिया की स्मृति से जुड़ा है। इसे कोलकाता और ब्रिटिशकालीन स्थापत्य से याद रखें। / Victoria Memorial is associated with Queen Victoria. Remember it with Kolkata and colonial architecture.
A. भारतीयों के धार्मिक भय और असंतोष को शांत करने के लिए/To calm religious fears and discontent among Indians
Explanation
Simple Explanation
1857 में धार्मिक हस्तक्षेप का भय एक कारण था। परीक्षा में 1858 की घोषणा को अंग्रेजी नीति परिवर्तन से जोड़ें। / Fear of religious interference was one cause in 1857. Exam tip is to link the 1858 Proclamation with change in British policy.
C. भारतीयों और रियासतों का विश्वास फिर से जीतना/To regain trust of Indians and princely states
Explanation
Simple Explanation
1858 की घोषणा ने गैर हस्तक्षेप और रियासतों के सम्मान का आश्वासन दिया। परीक्षा में इसे 1857 के परिणाम से जोड़ें। / The Proclamation of 1858 assured non-interference and respect for princely states. Exam tip: connect it with consequences of 1857.
A. रियासतों को ब्रिटिश राज के सहयोगी स्तंभ बनाना/To make princely states supporting pillars of British Raj
Explanation
Simple Explanation
1857 के बाद अंग्रेज रियासतों को अपने पक्ष में रखना चाहते थे। परीक्षा में घोषणा को नीति परिवर्तन से जोड़ें। / After 1857 the British wanted to keep princely states on their side. Exam tip: connect the Proclamation with policy change.
A. बिना कारण विलय से बचने और संधियों का सम्मान करने का आश्वासन/Assurance to avoid annexation without cause and respect treaties
Explanation
Simple Explanation
1857 के बाद अंग्रेज रियासतों को अपने पक्ष में स्थिर रखना चाहते थे। परीक्षा में घोषणा को नीति परिवर्तन से जोड़ें। / After 1857 the British wanted to keep princely states stable on their side. Exam tip: connect the Proclamation with policy change.
C. धर्म और रीति-रिवाजों में हस्तक्षेप न करना/Not to interfere in religion and customs
Explanation
Simple Explanation
घोषणा ने धार्मिक मामलों में गैर-हस्तक्षेप का आश्वासन दिया। परीक्षा में इसे 1857 के बाद विश्वास बहाली की नीति से जोड़ें। / The Proclamation assured non-interference in religious matters. Exam tip: connect it with the post-1857 policy of restoring trust.
A. बिना कारण विलय न करने और संधियों का सम्मान करने का आश्वासन/Assurance not to annex without cause and to respect treaties
Explanation
Simple Explanation
घोषणा ने रियासतों को आश्वासन देकर ब्रिटिश राज को स्थिर करने की कोशिश की। परीक्षा में 1858 को नीति परिवर्तन से जोड़ें। / The Proclamation tried to stabilise British rule by assuring princely states. Exam tip: connect 1858 with policy change.
A. 1857 जैसे असंतोष को कम करना और वफादारी पाना/To reduce unrest like 1857 and gain loyalty
Explanation
Simple Explanation
घोषणा ने रियासतों और भारतीयों को शांत करने की कोशिश की। परीक्षा में इसे 1857 के बाद की ब्रिटिश नीति से जोड़ें। / The proclamation tried to pacify princely states and Indians. Exam tip is to link it with British policy after 1857.
1858 की घोषणा इलाहाबाद में पढ़ी गई थी। परीक्षा में इस घोषणा को कंपनी शासन के अंत से जोड़ें। / The Proclamation of 1858 was read at Allahabad. Exam tip: connect it with the end of Company rule.
A. भारतीय धर्मों में हस्तक्षेप न करने का वादा/Promise not to interfere in Indian religions
Explanation
Simple Explanation
घोषणा ने भारतीय धर्मों और रीति-रिवाजों में हस्तक्षेप न करने की बात कही। परीक्षा में इसे 1858 के बाद की नीति से जोड़ें। / The Proclamation promised non-interference in Indian religions and customs. Exam tip: connect it with post-1858 policy.
A. भारत पर ब्रिटिश क्राउन शासन की घोषणा/Declaration of British Crown rule over India
Explanation
Simple Explanation
घोषणा के बाद भारत सीधे ब्रिटिश क्राउन के अधीन आया। परीक्षा में इसे कंपनी शासन के अंत से जोड़ें। / After the proclamation India came directly under the British Crown. Exam tip is to link it with the end of Company rule.
A. मौर्य राजपरिवार की महिला दान भूमिका दिखाने के कारण/Because it shows the donation role of a Mauryan royal woman
Explanation
Simple Explanation
करुवाकी का अभिलेख राजपरिवार की महिला की दान भूमिका दर्शाता है। परीक्षा में अभिलेखों से महिलाओं की उपस्थिति पहचानें। / Karuvaki's edict shows the donation role of a royal woman. For exams, identify women's presence through inscriptions.
A. वे संवैधानिक राजतंत्र की प्रतीक थीं पर साम्राज्य विस्तार उनके युग में हुआ/She was a symbol of constitutional monarchy while empire expanded in her age
Explanation
Simple Explanation
विक्टोरियन युग में ब्रिटेन संवैधानिक राजतंत्र और साम्राज्य शक्ति दोनों था। परीक्षा में संस्था और युग का अंतर समझें। / In the Victorian Age Britain had constitutional monarchy and imperial power. Exam tip: understand the difference between institution and age.
A. प्रतीकात्मक और संवैधानिक भूमिका/Symbolic and constitutional role
Explanation
Simple Explanation
आधुनिक ब्रिटिश राजतंत्र संवैधानिक सीमाओं के भीतर प्रतीकात्मक भूमिका निभाता है। परीक्षा में इसे संसदीय लोकतंत्र से जोड़ें। / Modern British monarchy plays a symbolic role within constitutional limits. For exams connect it with parliamentary democracy.
A. ब्रिटिश साम्राज्य और औद्योगिक समाज का विस्तार/Expansion of British Empire and industrial society
Explanation
Simple Explanation
विक्टोरियन युग में ब्रिटेन साम्राज्य और औद्योगिक शक्ति के रूप में उभरा। परीक्षा में इसे उन्नीसवीं सदी से जोड़ें। / During the Victorian Age Britain emerged as an imperial and industrial power. Exam tip: connect it with the nineteenth century.
A. समुद्री शक्ति और साहित्यिक उत्कर्ष/Maritime power and literary flowering
Explanation
Simple Explanation
एलिजाबेथ युग में इंग्लैंड की समुद्री शक्ति और साहित्य का विकास हुआ। परीक्षा में शेक्सपियर काल को भी याद रखें। / In the Elizabethan Age England's maritime power and literature grew. Exam tip: also remember the age of Shakespeare.
A. बहुत लंबे संवैधानिक राजतंत्र और बदलते कॉमनवेल्थ युग के लिए/For a very long constitutional monarchy and changing Commonwealth era
Explanation
Simple Explanation
एलिजाबेथ द्वितीय का शासन लंबा और प्रतीकात्मक संवैधानिक रहा। परीक्षा में उन्हें आधुनिक ब्रिटिश राजतंत्र से जोड़ें। / Elizabeth II had a long and symbolic constitutional reign. For exams connect her with modern British monarchy.
D. ब्रिटिश साम्राज्य और औद्योगिक समाज/British Empire and industrial society
Explanation
Simple Explanation
विक्टोरियन युग ब्रिटिश साम्राज्य और औद्योगिक परिवर्तनों का समय था। परीक्षा में इसे उन्नीसवीं सदी से जोड़ें। / The Victorian Age was a period of the British Empire and industrial changes. Exam tip: connect it with the nineteenth century.
एलिजाबेथ प्रथम के शासनकाल को एलिजाबेथ युग कहा जाता है। परीक्षा में इसे साहित्य और समुद्री शक्ति से जोड़ें। / The reign of Elizabeth I is called the Elizabethan Age. Exam tip: connect it with literature and maritime power.
रानी विक्टोरिया के शासनकाल को विक्टोरियन युग कहा जाता है। परीक्षा में इसे ब्रिटिश साम्राज्य के विस्तार से जोड़ें। / Queen Victoria's reign is known as the Victorian Age. Exam tip: connect it with the expansion of the British Empire.
रानी विक्टोरिया ब्रिटेन की प्रसिद्ध शासिका थीं। परीक्षा में उन्हें विक्टोरियन युग और ब्रिटिश साम्राज्य से जोड़ें। / Queen Victoria was a famous ruler of Britain. Exam tip: connect her with the Victorian Age and the British Empire.
रानी एलिजाबेथ प्रथम इंग्लैंड की प्रसिद्ध शासिका थीं। परीक्षा में उन्हें एलिजाबेथ युग से जोड़ें। / Queen Elizabeth I was a famous ruler of England. Exam tip: connect her with the Elizabethan Age.
एलिजाबेथ प्रथम इंग्लैंड की प्रसिद्ध रानी थीं। परीक्षा में उन्हें एलिजाबेथ युग और समुद्री शक्ति से जोड़ें। / Elizabeth I was a famous queen of England. For exams connect her with the Elizabethan Age and maritime power.
क्लियोपेट्रा प्राचीन मिस्र की प्रसिद्ध रानी थीं। परीक्षा में उन्हें मिस्र और रोमन इतिहास से जोड़ें। / Cleopatra was a famous queen of ancient Egypt. For exams connect her with Egypt and Roman history.
क्लियोपेट्रा मिस्र की प्रसिद्ध रानी थीं। उन्हें मिस्र और रोमन संसार के संपर्क से जोड़ें। / Cleopatra was a famous queen of Egypt. Connect her with Egypt and its contact with the Roman world.
रानी विक्टोरिया को 1877 ईस्वी के दिल्ली दरबार में भारत की सम्राज्ञी घोषित किया गया। इसे ब्रिटिश राज की प्रतीकात्मक घटना के रूप में याद करें। / Queen Victoria was proclaimed Empress of India at the Delhi Durbar in 1877 CE. Remember it as a symbolic event of the British Raj.
A. रुदाबाई और बावड़ी परंपरा/Rudabai and stepwell tradition
Explanation
Simple Explanation
अडालज की बावड़ी रानी रुदाबाई और गुजरात की बावड़ी परंपरा से जुड़ी है। परीक्षा में जल संरचनाओं के संरक्षक याद रखें। / Adalaj Stepwell is linked with Queen Rudabai and Gujarat's stepwell tradition. For exams remember patrons of water structures.
पट्टडकल का विरुपाक्ष मंदिर रानी लोकमहादेवी से जोड़ा जाता है। चालुक्य स्थापत्य में राजसी संरक्षण याद रखें। / The Virupaksha Temple at Pattadakal is linked with Queen Lokamahadevi. Remember royal patronage in Chalukya architecture.
पट्टदकल का विरुपाक्ष मंदिर रानी लोकमहादेवी से जुड़ा है। परीक्षा में मंदिरों के संरक्षक और स्थान याद रखें। / The Virupaksha Temple at Pattadakal is associated with Queen Lokamahadevi. For exams remember patrons and locations of temples.
रानी की वाव का निर्माण उदयमती से जुड़ा माना जाता है। परीक्षा में स्मारक के संरक्षक और उद्देश्य को साथ याद रखें। / Rani ki Vav is believed to be associated with Queen Udayamati. For exams remember the patron and purpose of a monument together.
विक्टोरिया मेमोरियल क्वीन विक्टोरिया की स्मृति से जुड़ा है। परीक्षा में इसे कोलकाता की औपनिवेशिक धरोहर मानें। / Victoria Memorial is linked with the memory of Queen Victoria. In exams treat it as colonial heritage of Kolkata.
रानी की वाव भीमदेव प्रथम की स्मृति से जुड़ी मानी जाती है। परीक्षा में इसे पाटण और चालुक्य सोलंकी परंपरा से जोड़ें। / Rani ki Vav is believed to be linked with the memory of Bhimdev I. In exams connect it with Patan and the Chalukya Solanki tradition.
रानी की वाव को रानी उदयमती से जोड़ा जाता है। इसे पाटन और सोलंकी कालीन बावड़ी के रूप में याद करें। / Rani ki Vav is associated with Queen Udayamati. Remember it as a Solanki period stepwell at Patan.
रुद्रमादेवी काकतीय वंश की प्रसिद्ध शासिका थीं। परीक्षा में वारंगल को काकतीय सत्ता से जोड़ें। / Rudrama Devi was a famous ruler of the Kakatiya dynasty. Link Warangal with Kakatiya power in exams.
रानी नायकी देवी को मुहम्मद गौरी के विरुद्ध विजय से जोड़ा जाता है। परीक्षा में उन्हें गुजरात के चालुक्य सोलंकी संदर्भ में याद रखें। / Queen Naiki Devi is linked with victory against Muhammad Ghori. Remember her in the Gujarat Chalukya-Solanki context for exams.
कुमारदेवी चंद्रगुप्त प्रथम की रानी थीं। लिच्छवि संबंध गुप्त शक्ति के लिए महत्वपूर्ण था। / Kumaradevi was the queen of Chandragupta I. The Lichchhavi connection was important for Gupta power.
कुमारदेवी चंद्रगुप्त प्रथम की रानी थीं। लिच्छवि संबंध गुप्त शक्ति के लिए महत्वपूर्ण था। / Kumaradevi was the queen of Chandragupta I. The Lichchhavi connection was important for Gupta power.
रानी लक्ष्मीबाई झांसी की रानी थीं। उन्हें अठारह सौ सत्तावन के विद्रोह से याद करें। / Rani Lakshmibai was the queen of Jhansi. Remember her with the Revolt of 1857.
B. यह लैप्स नीति जैसी आक्रामक विलय नीति से दूरी दिखाती थी/It showed distance from aggressive annexation like Doctrine of Lapse
Explanation
Simple Explanation
1857 के बाद अंग्रेजों ने रियासतों को शांत रखने की नीति अपनाई। परीक्षा में 1858 को कंपनी शासन के अंत से जोड़ें। / After 1857 the British adopted a policy of reassuring princely states. Exam tip is to link 1858 with the end of Company rule.
A. 1857 के धार्मिक भय और असंतोष को शांत करने के लिए/To calm religious fears and discontent after 1857
Explanation
Simple Explanation
घोषणा ने भारतीयों को आश्वासन देकर शासन स्थिर करने की कोशिश की। परीक्षा में इसे 1857 के बाद की नीति से जोड़ें। / The proclamation tried to stabilize rule by reassuring Indians. Exam tip is to link it with post-1857 policy.
A. राजवंशीय महिलाओं की राजनीतिक धार्मिक भूमिका/Political and religious role of royal women
Explanation
Simple Explanation
नागनिका का उल्लेख सातवाहन यज्ञ और राजवंशीय वैधता से जुड़ता है। परीक्षा में महिला अभिजात की भूमिका याद रखें। / Naganika's mention links Satavahana sacrifices with dynastic legitimacy. For exams, remember the role of elite women.
नाणेघाट अभिलेख में रानी नागनिका का उल्लेख सातवाहन इतिहास में महत्वपूर्ण है। परीक्षा में राजवंशीय महिलाओं की भूमिका भी पढ़ें। / Queen Naganika's mention in the Naneghat inscription is important for Satavahana history. For exams, also study the role of royal women.
A. औद्योगिक उत्पादन और साम्राज्यवादी बाजार एक दूसरे को मजबूत करते थे/Industrial production and imperial markets reinforced each other
Explanation
Simple Explanation
विक्टोरियन ब्रिटेन में उद्योग और साम्राज्य दोनों बढ़े। परीक्षा में आर्थिक शक्ति और साम्राज्य का संबंध समझें। / In Victorian Britain both industry and empire grew. For exams understand the relation between economic power and empire.
A. 1857 के बाद रियासतों को सहयोगी बनाकर स्थिरता बनाए रखना/To maintain stability by making princely states allies after 1857
Explanation
Simple Explanation
1857 के अनुभव ने अंग्रेजों को रियासतों के सहयोग का महत्व समझाया। परीक्षा में घोषणा 1858 को याद रखें। / The experience of 1857 made the British realise the importance of princely support. Exam tip: remember the Proclamation of 1858.
विरुपाक्ष मंदिर लोकमहादेवी द्वारा विजय स्मृति में बनवाया गया माना जाता है। परीक्षा में मंदिरों को राजनीतिक स्मृति से भी जोड़ें। / The Virupaksha Temple is believed to have been built by Lokamahadevi as a victory memorial. For exams, connect temples with political memory too.
यहाँ (D=4-20=-16), जो ऋणात्मक है। ऋणात्मक विविक्तकर का अर्थ वास्तविक शून्यक नहीं होते। / Here (D=4-20=-16), which is negative. A negative discriminant means there are no real zeroes.
कक्षा 10 के वास्तविक संख्याओं में ऋणात्मक संख्या की वर्गमूल वास्तविक नहीं मानी जाती। ध्यान दें \(\sqrt{7}\) वास्तविक अपरिमेय है। / In Class 10 real numbers the square root of a negative number is not real. Note that \(\sqrt{7}\) is real irrational.
C. \(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\sqrt{\frac{1}{4}}\) जैसे अनेक बिंदु/Many points like \(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\sqrt{\frac{1}{4}}\)
Explanation
Simple Explanation
(0) और (1) के बीच परिमेय और अपरिमेय दोनों प्रकार की अनंत संख्याएं होती हैं। किसी भी दो वास्तविक संख्याओं के बीच और संख्याएं मिलती हैं। / Between (0) and (1), there are infinitely many rational and irrational numbers. Between any two real numbers, more numbers can be found.
सही नियम ((uv)^n=u^nv^n) है। परीक्षा में product की power को हर factor पर अलग-अलग लगाएं। / The correct rule is ((uv)^n=u^nv^n). In exams, apply the power of a product to each factor separately.
मुख्य वर्गमूल हमेशा अऋणात्मक होता है, इसलिए \(\sqrt{a^2}=|a|\) है। परीक्षा में (a) ऋणात्मक होने की संभावना न भूलें। / The principal square root is always non-negative, so \(\sqrt{a^2}=|a|\). In exams do not forget the possibility of negative (a).
\(\sqrt{-9}\) वास्तविक संख्या नहीं है, जबकि बाकी सभी वास्तविक हैं। परीक्षा में ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल वास्तविक संख्या पद्धति में नहीं लेते। / \(\sqrt{-9}\) is not a real number, while the others are real. In exams do not take the square root of a negative number in the real number system.
\(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), जो वास्तविक और अपरिमेय है। परीक्षा में ऋणात्मक वर्गमूल को वास्तविक संख्या न मानें। / \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), which is real and irrational. In exams do not treat the square root of a negative number as real.
C. कोई वास्तविक मूल नहीं है/There are no real roots
Explanation
Simple Explanation
विविक्तकर (4-20=-16) ऋणात्मक है, इसलिए वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा में ऋणात्मक विविक्तकर को वास्तविक शून्यक नहीं मानें। / The discriminant is (4-20=-16), which is negative, so there are no real roots. In exams do not treat a negative discriminant as real zeroes.
यदि (x) परिमेय होता तो \(\sqrt{2}+x\) अपरिमेय होता। इसलिए (x) अपरिमेय होना चाहिए; परीक्षा में परिमेय और अपरिमेय के योग का नियम याद रखें। / If (x) were rational then \(\sqrt{2}+x\) would be irrational. So (x) must be irrational; remember the sum rule for rational and irrational numbers.
A. \(b^2-4c\) धनात्मक अपूर्ण वर्ग हो/\(b^2-4c\) is positive and not a perfect square
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक शून्यकों के लिए विविक्तकर धनात्मक चाहिए और अपरिमेय शून्यकों के लिए वह पूर्ण वर्ग नहीं होना चाहिए। परिमेय गुणांकों वाले द्विघात में यही मुख्य जाँच है। / For real zeroes, the discriminant must be positive, and for irrational zeroes it must not be a perfect square. This is the key check for quadratics with rational coefficients.
\(x^2-8x+3\) के लिए (D=64-12=52), जो धनात्मक अपूर्ण वर्ग है। बाकी विकल्पों में शून्यक समान परिमेय, अवास्तविक या परिमेय हैं। / For \(x^2-8x+3\), (D=64-12=52), positive and not a perfect square. The other options give equal rational, non-real, or rational zeroes.
\(x^2-8=0\) से \(x=\pm2\sqrt{2}\), जो अपरिमेय वास्तविक हैं। पूर्ण वर्ग और धनात्मकता दोनों जाँचें। / From \(x^2-8=0\), \(x=\pm2\sqrt{2}\), which are irrational real. Check both perfect-square status and positivity.
B. (k) धनात्मक हो लेकिन पूर्ण वर्ग न हो/(k) is positive but not a perfect square
Explanation
Simple Explanation
शून्यक \(x=\pm\sqrt{k}\) हैं। ये अपरिमेय वास्तविक तभी होंगे जब (k>0) और (k) पूर्ण वर्ग न हो। / The zeroes are \(x=\pm\sqrt{k}\). They are irrational real when (k>0) and (k) is not a perfect square.
यहाँ (D=(-2)2-4(1)(-3)=16) है, जो धनात्मक है। इसलिए दोनों शून्यक वास्तविक हैं। / Here (D=(-2)2-4(1)(-3)=16), which is positive. So both zeroes are real.
शून्यक \(x=\pm\sqrt{2}\) हैं और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। परीक्षा में वर्गमूल वाले शून्यकों को सरल करके जाँचें। / The zeroes are \(x=\pm\sqrt{2}\), and \(\sqrt{2}\) is irrational. In exams, simplify square-root zeroes before deciding the type.
वास्तविक संख्या जो परिमेय नहीं होती वह अपरिमेय कहलाती है। इसे दशमलव से भी पहचाना जा सकता है। / A real number that is not rational is called irrational. It can also be identified through its decimal form.
\(\sqrt{41}\) वास्तविक है और (41) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए यह अपरिमेय है। / \(\sqrt{41}\) is real and (41) is not a perfect square. So it is irrational.
(-3) वास्तविक संख्या है लेकिन पूर्ण संख्या नहीं है। पूर्ण संख्याएँ (0) से शुरू होती हैं। / (-3) is a real number but not a whole number. Whole numbers start from (0).
\(\sqrt{18}\) अपरिमेय है और उसका ऋण भी वास्तविक अपरिमेय है। ऋण चिह्न परिमेयता नहीं बदलता। / \(\sqrt{18}\) is irrational and its negative is also real irrational. A negative sign does not change rationality.
\(\sqrt{23}\) वास्तविक है लेकिन अपरिमेय है क्योंकि (23) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए यह परिमेय नहीं है। / \(\sqrt{23}\) is real but irrational because (23) is not a perfect square. So it is not rational.
A. इनमें परिमेय और अपरिमेय दोनों शामिल हैं/They include both rational and irrational numbers
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक संख्याएँ परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का बड़ा समुच्चय हैं। संख्या रेखा पर इन्हें दर्शाया जा सकता है। / Real numbers form the large set of rational and irrational numbers. They can be represented on the number line.
ऋणात्मक जड़ वाले विकल्प वास्तविक नहीं हैं। (-3), (0) और \(\sqrt{2}\) सभी वास्तविक हैं। / Options with square roots of negatives are not real. (-3), (0), and \(\sqrt{2}\) are all real.
\(\sqrt[3]{64}=4\) और \(\sqrt[3]{x^{6}}=x^{2}\), इसलिए उत्तर \(4x^{2}\) है। परीक्षा में घनमूल में घात को (3) से भाग दें। / Since \(\sqrt[3]{64}=4\) and \(\sqrt[3]{x^{6}}=x^{2}\), the answer is \(4x^{2}\). In exams, divide the exponent by (3) for cube roots.
(k=2) पर विविक्तकर (16-8=8), जो धनात्मक पर पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए मूल वास्तविक और अपरिमेय होंगे। / For (k=2), the discriminant is (16-8=8), positive but not a perfect square. Therefore the roots are real and irrational.
(p(x)=\(x+\sqrt{5}\)2), इसलिए शून्यक \(-\sqrt{5}\) दो बार है। पूर्ण वर्ग रूप से दोहराया शून्यक मिलता है। / (p(x)=\(x+\sqrt{5}\)2), so the zero is \(-\sqrt{5}\) twice. A perfect-square form gives a repeated zero.
(r=2) पर (D=16-8=8) है। यह धनात्मक और अपूर्ण वर्ग है, इसलिए शून्यक वास्तविक और अपरिमेय हैं। / For (r=2), (D=16-8=8). It is positive and not a perfect square, so the zeroes are real and irrational.
B. जब (25-4c) धनात्मक हो पर पूर्ण वर्ग न हो/When (25-4c) is positive but not a perfect square
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक भिन्न शून्यकों के लिए (D>0) चाहिए। अपरिमेय शून्यकों के लिए (D) पूर्ण वर्ग नहीं होना चाहिए। / For real distinct zeroes, (D>0) is required. For irrational zeroes, (D) must not be a perfect square.
दोहराया (5) अलग शून्यक में एक बार ही गिना जाता है। टिप: अलग मानों की सूची बनाएं। / The repeated (5) is counted only once among distinct zeroes. Tip: make a list of distinct values.
दोहराया (2) अलग शून्यक में एक बार गिना जाता है। टिप: अलग शून्यक में समान मान पुनः न लिखें। / The repeated (2) is counted once for distinct zeroes. Tip: do not rewrite the same value for distinct zeroes.
बनावट वास्तविक या दृश्य सतह का प्रभाव बना सकती है। परीक्षा में स्पर्श अनुभव को बनावट से जोड़ें। / Texture can create a real or visual surface effect. Exam tip: connect touch feeling with texture.
क्योंकि (16<18<25), इसलिए \(4<\sqrt{18}<5\)। परीक्षा में वर्गों की तुलना पहले करें। / Since (16<18<25), we get \(4<\sqrt{18}<5\). In exams, compare perfect squares first.
\(2^2=4\) और \(3^2=9\), इसलिए \(\sqrt{7}\) संख्या रेखा पर (2) और (3) के बीच होगा। परीक्षा में पहले वर्गों की तुलना करें। / Since \(2^2=4\) and \(3^2=9\), \(\sqrt{7}\) lies between (2) and (3). In exams, compare squares first.
(-0.1) शून्य से छोटा है इसलिए (0) और (1) के बीच नहीं है। बीच की जांच में दोनों सीमाओं से तुलना करें। / (-0.1) is less than zero, so it is not between (0) and (1). Compare with both bounds when checking between values.
कर्ण \(\sqrt{3^2+4^2}=5\) होता है। यह पाइथागोरस त्रिक का सीधा उपयोग है। / The hypotenuse is \(\sqrt{3^2+4^2}=5\). This is a direct use of a Pythagorean triple.