Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. पहले letter की गलत position चुनने के लिए/To choose the wrong position of the first letter
Explanation
Simple Explanation
पहला letter अपनी original position छोड़कर (n-1) positions में जा सकता है। परीक्षा में derangement recurrence में first object की गलत choice देखें। / The first letter can go to (n-1) positions other than its original position. In exams watch the first object's wrong choice in derangement recurrence.
A. (r)वें स्थान के विकल्प/Choices for the (r)th position
Explanation
Simple Explanation
पहले (r-1) स्थान भरने के बाद (r)वें स्थान पर (n-r+1) विकल्प बचते हैं। परीक्षा में recurrence को next-place idea से जोड़ें। / After filling the first (r-1) positions (n-r+1) choices remain for the (r)th position. In exams connect recurrence with the next-place idea.
A. \(अगला कर्ण (=\sqrt{\)पिछले कर्ण का वर्ग+1})/\(Next hypotenuse (=\sqrt{\)square of previous hypotenuse+1})
Explanation
Simple Explanation
\(पाइथागोरस प्रमेय से अगला कर्ण (\sqrt{(\)पिछला कर्ण)2+1}) होता है। इसलिए वर्ग और वर्गमूल दोनों सही जगह होने चाहिए। \(/ By Pythagoras theorem, the next hypotenuse is (\sqrt{(\)previous hypotenuse\()^2+1}). So both square and square root must be in the correct places.\)
\(a_2=9-6+3=6\) और \(a_3=36-12+3=27\) है। सही विकल्पों में (27) होना चाहिए। / \(a_2=9-6+3=6\) and \(a_3=36-12+3=27\). Exam tip: square first, then subtract and add.
\(a_2=2^2+1=5\) और \(a_3=5^2+2=27\) है। पिछले पद का वर्ग लेकर वर्तमान (n) जोड़ें। / \(a_2=2^2+1=5\) and \(a_3=5^2+2=27\). Exam tip: square the previous term and add the current (n).
\(a_2=36-24=12\) और \(a_3=144-48=96\) है। पिछले पद का वर्ग लेकर उसका (4) गुना घटाएँ। / \(a_2=36-24=12\) and \(a_3=144-48=96\). Exam tip: square the previous term and subtract four times it.
\(a_2=4+2+1=7\) और \(a_3=49+7+1=57\) है। पहले वर्ग करें फिर पिछले पद और (1) जोड़ें। / \(a_2=4+2+1=7\) and \(a_3=49+7+1=57\). Exam tip: square first, then add the previous term and (1).
\(a_2=9-3+2=8\) और \(a_3=64-8+2=58\) है। सही विकल्प में (58) होना चाहिए। / \(a_2=9-3+2=8\) and \(a_3=64-8+2=58\). The correct option should include (58).
\(a_2=16-8=8\) और \(a_3=64-16=48\) नहीं बल्कि (48) है। सही मान (48) होना चाहिए। / \(a_2=16-8=8\) and \(a_3=64-16=48\). The correct value should be (48).
\(a_2=4+2=6\) और \(a_3=36+6=42\) है। पहले वर्ग करें फिर पिछले पद को जोड़ें। / \(a_2=4+2=6\) and \(a_3=36+6=42\). Exam tip: square first and then add the previous term.
\(a_2=9-3=6\) और \(a_3=36-6=30\) है। पिछले पद का वर्ग लेकर वही पद घटाएँ। / \(a_2=9-3=6\) and \(a_3=36-6=30\). Exam tip: square the previous term and subtract that term.
यह विक्रेता निर्णयों में संतुलित मानदंड देता है। परीक्षा में judgement factors को नीति समझें। / It gives balanced criteria in vendor decisions. In exams understand judgement factors as policy.
A. गुणवत्ता और ग्राहक सेवा उद्देश्य/Quality and customer service objective
Explanation
Simple Explanation
शिकायतों की पुनरावृत्ति घटाना सेवा गुणवत्ता का मापनीय लक्ष्य है। परीक्षा में recurrence metric को objective पहचानें। / Reducing complaint recurrence is a measurable service quality target. In exams identify recurrence metrics as objectives.
यह प्रतिशत और समय सीमा वाला मापनीय लक्ष्य है। परीक्षा में recurrence reduction जैसे result target को objective मानें। / It is a measurable target with percentage and time limit. In exams treat a result target like recurrence reduction as objective.
A. संपूर्ण वक्र को रैखिक संबंध समझ लिया जाएगा/The complete curve may be mistaken for a linear relationship
Explanation
Simple Explanation
केवल दो प्रारंभिक बिंदु गैर रैखिक प्रवृत्ति छिपा सकते हैं। पूरी सीमा में पर्याप्त मान लेने चाहिए। / Only two early points can hide a nonlinear trend. Sufficient values should be tested across the full range.
D. संबंध सरल रैखिक नहीं है और परिकल्पना को स्तर आधारित रूप में संशोधित करना चाहिए/The relationship is not simply linear and the hypothesis should be revised to include concentration levels
Explanation
Simple Explanation
परिणाम गैर रैखिक प्रभाव दिखाते हैं इसलिए मूल सरल परिकल्पना अपर्याप्त है। परीक्षा में जटिल प्रवृत्ति के अनुसार संशोधन करें। / The results show a nonlinear effect so the original simple hypothesis is inadequate. Revise hypotheses to fit complex trends.
C. गैर-रेखीय क्रमिक बनावट लय/Nonlinear progressive texture rhythm
Explanation
Simple Explanation
बनावट बदलती है पर परिवर्तन एक सीधी तीव्रता दिशा में नहीं चलता। परीक्षा में nonlinear progression पहचानें। / Texture changes without following one straight direction of intensity. Exam tip: identify nonlinear progression.
A. 1794 के बाद दासप्रथा लौटाई गई और अंतिम उन्मूलन 1848 में हुआ/Slavery was restored after 1794 and final abolition came in 1848
Explanation
Simple Explanation
उन्मूलन आगे बढ़ा फिर पलटा और अंततः पूरा हुआ। क्रम को सीधी जीत न समझें। / Abolition moved forward then reversed and finally completed. Do not see the sequence as a straight victory.
A. ऐसा बिंदु जहाँ छोटा अतिरिक्त परिवर्तन तंत्र को नई अवस्था में ले जाए/A point where a small additional change shifts the system into a new state
Explanation
Simple Explanation
संवेदनशील बिंदु पार होने पर परिवर्तन तेज और कठिनाई से उलटने योग्य हो सकता है। गैर-रैखिकता याद रखें। / After a tipping point is crossed change may become rapid and difficult to reverse. Remember nonlinearity.
A. तंत्र किसी सीमा-बिंदु के पास हो सकता है/The system may be near a threshold
Explanation
Simple Explanation
सीमा-बिंदु पार होने पर तंत्र अचानक नई अवस्था में जा सकता है। इसे गैर-रैखिक परिवर्तन समझें। / Once a threshold is crossed a system may suddenly shift to a new state. Understand this as nonlinear change.
पद (2,5,16,47,142) हैं इसलिए \(a_5=142\) है। दोनों पिछले पदों पर सही गुणांक लगाएँ। / The terms are (2,5,16,47,142), so \(a_5=142\). Exam tip: apply the correct coefficient to each previous term.
\(a_3=2\times7+2=16\) और \(a_4=2\times16+7=39\) है। दो-पद नियम में क्रमांक साथ लिखें। / \(a_3=2\times7+2=16\) and \(a_4=2\times16+7=39\). Exam tip: write positions while using a two-term rule.
पद (2,7,16,39,94) हैं इसलिए \(a_5=94\) है। सही विकल्पों में (94) होना चाहिए। / The terms are (2,7,16,39,94), so \(a_5=94\). Exam tip: use both previous terms carefully.
\(a_3=2\times3+3\times2=12\) और \(a_4=2\times12+3\times3=33\) है। गुणांकों को सही पदों पर लगाएँ। / \(a_3=2\times3+3\times2=12\) and \(a_4=2\times12+3\times3=33\). Exam tip: apply coefficients to the correct terms.
पद (2,5,12,29,70) हैं इसलिए \(a_5=70\) है। दो-पद नियम में दोनों पिछले पदों का उपयोग करें। / The terms are (2,5,12,29,70), so \(a_5=70\). Exam tip: use both previous terms in a two-term rule.
पद (1,4,6,14,26,54) हैं इसलिए \(a_6=54\) है। दो-पद नियम में \(a_{n-2}\) को (2) से गुणा करें। / The terms are (1,4,6,14,26,54), so \(a_6=54\). Exam tip: multiply \(a_{n-2}\) by (2) in the two-term rule.
\(a_3=5+2\times2=9\) और \(a_4=9+2\times5=19\) है। दो-पद नियम में क्रमांक साथ लिखें। / \(a_3=5+2\times2=9\) and \(a_4=9+2\times5=19\). Exam tip: write positions while using two-term rules.
पद (2,5,9,19,37) नहीं हैं क्योंकि \(a_5=19+2\times9=37\) होगा। इसलिए सही मान (37) है। / The terms give \(a_3=9\), \(a_4=19\), and \(a_5=37\). Exam tip: multiply \(a_{n-2}\) by (2) before adding.
\(a_3=5+2\times3=11\) और \(a_4=11+2\times5=21\) है। दो-पद नियम में क्रमांक साथ लिखें। / \(a_3=5+2\times3=11\) and \(a_4=11+2\times5=21\). Exam tip: write positions while using two-term rules.
पद (3,5,11,21,43) नहीं बल्कि \(a_5=43\) होता है। सही विकल्प में (43) होना चाहिए। / The terms are (3,5,11,21,43), so \(a_5=43\). The correct option should include (43).
\(a_3=6+3\times2=12\) है। दो-पद नियम में \(a_{n-2}\) को (3) से गुणा करें। / \(a_3=6+3\times2=12\). Exam tip: multiply \(a_{n-2}\) by (3) in this two-term rule.
\(a_3=6+3\times2=12\) और \(a_4=12+3\times6=30\) है। इसलिए सही मान (30) है। / \(a_3=6+3\times2=12\) and \(a_4=12+3\times6=30\). Therefore the correct value is (30).
पद (1,4,6,14,26) हैं इसलिए \(a_5=26\) है। पिछले दो पदों में दूसरे पिछले पद को (2) से गुणा करें। / The terms are (1,4,6,14,26), so \(a_5=26\). Exam tip: multiply the second previous term by (2).
\(3\times282+3=849\) है। पुनरावर्ती नियम में अंतिम पद पर नियम सीधे लगाएँ। / \(3\times282+3=849\). Exam tip: apply the recurrence rule directly to the last term.
\(2\times33-1=65\) है। पुनरावर्ती नियम में गुणा और घटाव का क्रम न बदलें। / \(2\times33-1=65\). Exam tip: do not change the order of multiplication and subtraction in recurrence rules.
पद (3,7,18,45,91) मिलते हैं इसलिए \(a_5=91\) है। पुनरावर्ती नियम में \(n^2\) हर चरण बदलता है। / The terms are (3,7,18,45,91), so \(a_5=91\). Exam tip: \(n^2\) changes at each recursive step.
पद (5,13,32,73,158) नहीं बल्कि \(a_5=158\) होता है। इसलिए दिए गए विकल्पों में सही उत्तर नहीं है। / The terms are (5,13,32,73,158), so \(a_5=158\). Therefore none of the given options is correct.
\(2\times127+1=255\) है। पुनरावर्ती नियम में गुणा और जोड़ का क्रम न बदलें। / \(2\times127+1=255\). Exam tip: do not change the order of multiplication and addition in recurrence rules.
\(2\times78+2=158\) है। दिए गए पुनरावर्ती नियम को अंतिम पद पर लगाएँ। / \(2\times78+2=158\). Exam tip: apply the given recurrence rule to the last term.
\(2\times62+2=126\) है। पुनरावर्ती नियम को अंतिम पद पर सीधे लागू करें। / \(2\times62+2=126\). Exam tip: apply the recurrence rule directly to the last term.
पद (2,5,14,41,122) मिलते हैं। पुनरावर्ती नियम में हर चरण सावधानी से करें। / The terms are (2,5,14,41,122). Exam tip: apply every recursive step carefully.
पाँचवें पद के बाद (n=5) है इसलिए \(2\times57+6=120\) होगा। पुनरावर्ती सूत्र में वर्तमान (n) सही रखें। / After the fifth term, (n=5), so \(2\times57+6=120\). Exam tip: use the correct current value of (n) in recursion.
पद (4,7,12,19,28,39,52) हैं। क्रमांक साथ लिखने से पुनरावर्ती गलती कम होती है। / The terms are (4,7,12,19,28,39,52). Exam tip: write term positions to reduce recursive mistakes.
\(3\times121+1=364\) है। दिए गए नियम को अंतिम पद पर लगाना सबसे सुरक्षित तरीका है। / \(3\times121+1=364\). Exam tip: apply the given rule to the last term directly.
\(2\times47+1=95\) है। ऐसे प्रश्नों में गुणा और जोड़ का क्रम न बदलें। / \(2\times47+1=95\). Exam tip: do not change the order of multiplication and addition.
\(2\times33-1=65\) है। पुनरावर्ती नियम में पहले दिए गए नियम को ठीक से लागू करें। / \(2\times33-1=65\). Exam tip: apply the given recurrence rule exactly.
नया समकोण त्रिभुज \(OP_n\) और (1) से बनता है। इसलिए कर्ण के वर्ग में (1) जुड़ता है। / The new right triangle is formed using \(OP_n\) and (1). Hence the square of the hypotenuse increases by (1).
({}^{n}P_5=(n-4){}^{n}P_4), इसलिए (n-4=15)। परीक्षा में consecutive permutation relation सीधे लगाएं। / ({}^{n}P_5=(n-4){}^{n}P_4), so (n-4=15). In exams apply the consecutive permutation relation directly.
Derangement recurrence से (D_7=6\(D_6+D_5\)=1854) मिलता है। परीक्षा में छोटे \(D_n\) values recurrence से याद रखें। / Using the derangement recurrence, (D_7=6\(D_6+D_5\)=1854). In exams remember small \(D_n\) values through recurrence.
B. जब पहला object और उसका target object एक दूसरे की जगह बदल लें/When the first object and its target object swap places
Explanation
Simple Explanation
यदि दो objects आपस में swap करते हैं तो बाकी (n-2) objects derange होते हैं। परीक्षा में derangement recurrence में swap और non-swap cases अलग करें। / If two objects swap with each other, the remaining (n-2) objects are deranged. In exams separate swap and non-swap cases in derangement recurrence.
({}^{n}P_4=(n-3){}^{n}P_3), इसलिए (n-3=12)। परीक्षा में consecutive permutation relation सीधे लगाएं। / ({}^{n}P_4=(n-3){}^{n}P_3), so (n-3=12). In exams apply the consecutive permutation relation directly.
Derangement के alternating factorial expression को compare करने से यह recurrence मिलता है। परीक्षा में derangement recurrence के लिए inclusion-exclusion form याद रखें। / Comparing the alternating factorial expression for derangements gives this recurrence. In exams remember the inclusion-exclusion form for derangement recurrence.
({}^{n}P_3=(n-2){}^{n}P_2), इसलिए (n-2=10)। परीक्षा में consecutive permutation relation से जल्दी solve करें। / ({}^{n}P_3=(n-2){}^{n}P_2), so (n-2=10). In exams solve quickly using consecutive permutation relations.
एक और स्थान भरने पर उपलब्ध विकल्प (n-r+1) होते हैं। परीक्षा में क्रमचय के अगले पद में नया अंतिम factor देखें। / Filling one more position gives (n-r+1) choices. In exams identify the new last factor in the next permutation term.
यह \(^{n}C_r\) और \(^{n}C_{r-1}\) का ratio लेकर मिलता है। परीक्षा में adjacent combinations को factorial ratio से simplify करें। / It is obtained by taking the ratio of \(^{n}C_r\) and \(^{n}C_{r-1}\). In exams simplify adjacent combinations using factorial ratios.
क्रमचय recurrence में नया गुणक (r)वें स्थान के विकल्प (n-r+1) होता है। परीक्षा में multiplier को next position से जोड़ें। / In the permutation recurrence, the new factor is the choices for the (r)th position, (n-r+1). In exams connect the multiplier with the next position.
recurrence में extra factor (r)वें स्थान के choices यानी (n-r+1) होता है। परीक्षा में multiplier को next-place choices मानें। / In the recurrence, the extra factor is the choices for the (r)th place, which is (n-r+1). In exams treat the multiplier as next-place choices.
A. (r)वें स्थान के विकल्प/Choices for the (r)th position
Explanation
Simple Explanation
पहले (r-1) स्थान भरने के बाद (r)वें स्थान पर (n-r+1) विकल्प बचते हैं। परीक्षा में recurrence को अगले स्थान के विचार से जोड़ें। / After filling the first (r-1) positions (n-r+1) choices remain for the (r)th position. In exams connect recurrence with the next-place idea.
(r+1)वें स्थान के लिए (n-r) विकल्प बचते हैं। परीक्षा में अगला गुणनखंड ध्यान से पहचानें। / For the ((r+1))th position (n-r) choices remain. In exams identify the next factor carefully.
(r)वें स्थान को जोड़ने पर नया factor (n-r+1) होता है। परीक्षा में consecutive permutations का ratio last factor देता है। / When the (r)th position is added the new factor is (n-r+1). In exams the ratio of consecutive permutations gives the last factor.
(r)वें स्थान के लिए (n-r+1) विकल्प जुड़ते हैं। परीक्षा में next position का factor अलग पहचानें। / For the (r)th position (n-r+1) choices are added as a factor. In exams identify the factor of the next position.
