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पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक चरण पर वर्तमान पद को 2 से गुणा करके उसी चरण का \(n^2\) जोड़ते हैं। \(a_2=2(5)+1^2=11\), \(a_3=2(11)+2^2=26\), और \(a_4=2(26)+3^2=61\)। इसलिए सही उत्तर 61 है। 59 तब मिलता यदि अंतिम चरण में \(3^2\) सही ढंग से न जोड़ा जाए। परीक्षा टिप: \(a_4\) निकालने के लिए नियम में \(n=1,2,3\) क्रमशः लगाएँ। / In the recursive rule, double the current term and then add the square of the step number. \(a_2=2(5)+1^2=11\), \(a_3=2(11)+2^2=26\), and \(a_4=2(26)+3^2=61\). Therefore, 61 is correct. A value such as 59 results from not adding \(3^2\) correctly in the final step. Exam tip: to find \(a_4\), apply the rule successively for \(n=1,2,3\).
घटने वाले मान (3,10,21) हैं इसलिए \(a_4=66\) नहीं बल्कि (66) होगा। सही गणना में सभी घटाव जोड़कर घटाएँ। / The subtracted values are (3,10,21), so \(a_4=66\). Exam tip: add all subtractions first and then subtract.
पहले \(n=1\) रखने पर \(a_2=100-(2\times1^2+1)=97\) मिलता है। फिर \(n=2\) रखने पर \(a_3=97-(2\times2^2+2)=97-10=87\) होगा। इसलिए सही उत्तर 87 है। 89 तब मिलता यदि दूसरे चरण में घटाई जाने वाली मात्रा गलत निकाली जाती। परीक्षा टिप: पुनरावृत्ति संबंध में प्रत्येक नए पद के लिए \(n\) का नया मान रखें। / For \(n=1\), \(a_2=100-(2\times1^2+1)=97\). Then, for \(n=2\), \(a_3=97-(2\times2^2+2)=97-10=87\). Therefore, the correct answer is 87. The value 89 would result from calculating the amount subtracted in the second step incorrectly. Exam tip: in a recursive rule, substitute the new value of \(n\) for each successive term.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक नया पद उसके ठीक पहले के दो पदों से बनता है। अतः \(a_3=2\times7+2=16\), \(a_4=2\times16+7=39\), और \(a_5=2\times39+16=94\)। इसलिए सही उत्तर 94 है। 96 एक संभावित गणना-त्रुटि हो सकती है, क्योंकि \(a_5\) निकालते समय \(a_4\) और \(a_3\) दोनों का उपयोग करना आवश्यक है। परीक्षा टिप: हर नया पद निकालते ही उसे क्रम में लिखें, ताकि पिछले दो पद सही चुने जाएँ। / In this recursive rule, each new term is formed using the two immediately preceding terms. Thus, \(a_3=2\times7+2=16\), \(a_4=2\times16+7=39\), and \(a_5=2\times39+16=94\). Therefore, 94 is correct. A value such as 96 can result from an arithmetic error; both \(a_4\) and \(a_3\) must be used to find \(a_5\). Exam tip: write each term in order before applying the recurrence again.
\(a_3=2\times7+2=16\) और \(a_4=2\times16+7=39\) है। दो-पद नियम में क्रमांक साथ लिखें। / \(a_3=2\times7+2=16\) and \(a_4=2\times16+7=39\). Exam tip: write positions while using a two-term rule.
पद (4,10,22,46,94) हैं इसलिए \(a_5=94\) है। सही गुणांक सही पिछले पद पर लगाएँ। / The terms are (4,10,22,46,94), so \(a_5=94\). Exam tip: apply each coefficient to the correct previous term.
जुड़ने वाले मान (4,13,36) हैं इसलिए \(a_4=56\) नहीं बल्कि (56) है। घात और वर्ग अलग-अलग निकालें। / The added values are (4,13,36), so \(a_4=56\). Exam tip: calculate the power and square separately.
पुनरावर्ती नियम में पहले क्रमशः अगले पद निकालते हैं। \(a_2=3+3^1+1^2=7\) और \(a_3=7+3^2+2^2=7+9+4=20\)। इसलिए सही उत्तर 20 है। 18 तब मिल सकता है जब \(2^2\) को न जोड़ा जाए, जो गलत है। परीक्षा टिप: \(a_{n+1}\) निकालते समय \(n\) का वर्तमान मान लें; \(a_3\) के लिए \(n=2\) होता है। / Apply the recursive rule step by step. \(a_2=3+3^1+1^2=7\), and \(a_3=7+3^2+2^2=7+9+4=20\). Hence, 20 is correct. A value such as 18 can result from omitting \(2^2\), which is incorrect. Exam tip: use the current value of \(n\) in \(a_{n+1}\); for \(a_3\), take \(n=2\).
घटने वाले मान (3,8,17,32) हैं इसलिए \(a_5=90\) नहीं बल्कि (90) है। सही विकल्पों में (90) होना चाहिए। / The subtracted values are (3,8,17,32), so \(a_5=90\). Exam tip: add all subtractions before subtracting.
घटने वाले मान (3,8,17) हैं इसलिए \(a_4=122\) है। घात और वर्ग दोनों निकालकर घटाएँ। / The subtracted values are (3,8,17), so \(a_4=122\). Exam tip: calculate both the power and square before subtracting.
पुनरावर्ती नियम में क्रमशः n=1,2,3,4 रखने पर प्राप्त होता है: a_2=12-4=8, a_3=8+7=15, a_4=15-10=5 और a_5=5+13=18। अतः सही उत्तर 18 है। 15, a_3 का मान है, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: (-1)^n के कारण विषम n पर घटाव और सम n पर जोड़ सावधानी से करें। / Substituting n=1,2,3,4 in the recursive rule gives: a_2=12-4=8, a_3=8+7=15, a_4=15-10=5, and a_5=5+13=18. Hence, the correct answer is 18. The value 15 is a close distractor because it is a_3, not a_5. Exam tip: track the alternating sign from (-1)^n carefully: it is negative for odd n and positive for even n.
पुनरावर्ती नियम में क्रमशः n=1, 2, 3 रखें। a_2=12-4=8, a_3=8+7=15 और a_4=15-10=5। अतः सही उत्तर 5 है। 7 वह मान है जो तीसरे पद के परिवर्तन को ठीक से लागू न करने पर मिल सकता है। परीक्षा टिप: प्रत्येक चरण में पहले (-1)^n का चिह्न निर्धारित करें, फिर अगला पद निकालें। / Apply the recursive rule successively for n=1, 2, and 3. We get a_2=12-4=8, a_3=8+7=15, and a_4=15-10=5. Therefore, the correct answer is 5. The value 7 may result from not applying the third-step change correctly. Exam tip: determine the sign of (-1)^n first at every step, then calculate the next term.
जुड़ने वाले मान (7,14,23) हैं इसलिए \(a_4=50\) नहीं बल्कि (50) है। सही विकल्पों में (50) होना चाहिए। / The added values are (7,14,23), so \(a_4=50\). Exam tip: calculate the product and then add (2).
पुनरावर्ती नियम में पहले क्रमशः अगले पद निकालते हैं। जब \(n=1\), तब \(a_2=6+1(1+4)+2=13\)। फिर \(n=2\) रखने पर \(a_3=13+2(2+4)+2=13+12+2=27\)। अतः सही उत्तर \(27\) है। \(25\) निकट का भ्रामक विकल्प हो सकता है, यदि दूसरे चरण में \(2(2+4)\) का मान गलत निकाला जाए। परीक्षा टिप: प्रत्येक नए पद के लिए नियम में \(n\) का अगला पूर्णांक मान रखें। / Use the recursive rule successively to find the next terms. For \(n=1\), \(a_2=6+1(1+4)+2=13\). Then, for \(n=2\), \(a_3=13+2(2+4)+2=13+12+2=27\). Therefore, the correct answer is \(27\). The nearby distractor \(25\) can result from incorrectly evaluating \(2(2+4)\) in the second step. Exam tip: substitute the next integer value of \(n\) each time you calculate a new term.
घटने वाले मान (7,14,23) हैं इसलिए \(a_4=156\) है। सही विकल्प में (156) होना चाहिए। / The subtracted values are (7,14,23), so \(a_4=156\). Exam tip: subtract the full product expression each time.
पुनरावृत्ति नियम में हर बार पिछले पद के लिए उचित n का मान लेना होता है। a_2=2(4)+4(1)-1=11, a_3=2(11)+4(2)-1=29 और a_4=2(29)+4(3)-1=69। अतः सही उत्तर 69 है। 71 तब मिल सकता है जब 4n-1 वाले भाग में n का मान गलत लिया जाए। परीक्षा टिप: a_4 निकालने के लिए नियम को क्रमशः n=1, 2 और 3 पर लागू करें। / Apply the recursive rule successively with the appropriate value of n. We get a_2=2(4)+4(1)-1=11, a_3=2(11)+4(2)-1=29, and a_4=2(29)+4(3)-1=69. Therefore, the correct answer is 69. A value such as 71 can result from using an incorrect value of n in the term 4n-1. Exam tip: to find a_4, apply the rule in order for n=1, 2, and 3.
A. \(a_1=2\) और \(a_{n+1}=a_n+3\), जहाँ \(n\geq1\)/\(a_1=2\) and \(a_{n+1}=a_n+3\), where \(n\geq1\)
Explanation
Simple Explanation
विकल्प A में प्रारम्भिक पद \(a_1=2\) और अगला पद पाने का नियम दोनों दिए हैं, इसलिए अनुक्रम अद्वितीय है। जैसे \(a_2=2+3=5\)। परीक्षा में जाँचें कि प्रारम्भिक पद अवश्य दिया हो। / Option A gives both an initial term, \(a_1=2\), and a rule for obtaining each next term, so it determines one unique sequence. For example, \(a_2=2+3=5\). Exam tip: a recursive definition needs a starting value.
पुनरावृत्ति संबंध में पहले \(n=1\) रखने पर \(a_2=\frac{96}{2}+1^2+1=48+2=50\) मिलता है। फिर \(n=2\) रखने पर \(a_3=\frac{50}{2}+2^2+2=25+6=31\) होगा। इसलिए सही उत्तर 31 है। विकल्प 30 तब आ सकता है जब दूसरे चरण में \(2^2+2\) को गलत जोड़ा जाए। परीक्षा टिप: \(a_3\) ज्ञात करने के लिए नियम को क्रमशः \(n=1\) और \(n=2\) पर लागू करें। / Apply the recursive rule first with \(n=1\): \(a_2=\frac{96}{2}+1^2+1=48+2=50\). Next, use \(n=2\): \(a_3=\frac{50}{2}+2^2+2=25+6=31\). Hence, 31 is correct. Option 30 may result from adding \(2^2+2\) incorrectly in the second step. Exam tip: To find \(a_3\), apply the rule successively for \(n=1\) and \(n=2\).
पुनरावर्ती नियम में पहले \(n=1\) रखकर \(a_2\) निकालते हैं: \(a_2=\frac{24}{3}+1^2=8+1=9\)। फिर \(n=2\) रखने पर \(a_3=\frac{9}{3}+2^2=3+4=7\)। अतः सही उत्तर 7 है। विकल्प 9, \(a_2\) का मान है, \(a_3\) का नहीं। परीक्षा टिप: \(a_{n+1}\) ज्ञात करते समय \(n\) का अगला उपयुक्त मान क्रम से रखें। / Use the recursive rule step by step. For \(n=1\), \(a_2=\frac{24}{3}+1^2=8+1=9\). Then, for \(n=2\), \(a_3=\frac{9}{3}+2^2=3+4=7\). Therefore, the correct answer is 7. Option 9 is the value of \(a_2\), not \(a_3\). Exam tip: substitute successive values of \(n\) in order when applying a recursive rule.
पुनरावर्ती नियम में पहले a_2 निकालते हैं: a_2=10+2(10)+12=31। फिर n=2 रखने पर a_3=31+2(10)+22=31+20+4=55। इसलिए सही उत्तर 55 है। 56 तब आ सकता है जब 22 को गलत रूप से 5 माना जाए। परीक्षा टिप: प्रत्येक अगला पद निकालते समय n का सही मान रखें, जबकि a_1=10 स्थिर रहता है। / Use the recursive rule step by step. First, a_2=10+2(10)+12=31. Then, with n=2, a_3=31+2(10)+22=31+20+4=55. Hence, the correct answer is 55. The value 56 may result from incorrectly evaluating 22 as 5. Exam tip: substitute the correct value of n at each step, while a_1=10 remains fixed.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक पद के लिए पिछले दो पदों के साथ उस पद का 3n जोड़ना है। अतः a_3=6+2+3(3)=17, a_4=17+6+3(4)=35, और a_5=35+17+3(5)=67। इसलिए सही उत्तर 67 है। 62 जैसा उत्तर तब आ सकता है जब 3(5)=15 जोड़ने में गलती हो जाए। परीक्षा टिप: a_5 निकालने से पहले क्रम से a_3 और a_4 अवश्य ज्ञात करें। / The recursive rule requires adding the previous two terms and 3n for the current index. Thus, a_3=6+2+3(3)=17, a_4=17+6+3(4)=35, and a_5=35+17+3(5)=67. Therefore, 67 is correct. An answer such as 62 can result from an error while adding 3(5)=15. Exam tip: find a_3 and a_4 in order before calculating a_5.
पुनरावर्ती नियम में पहले n=3 रखने पर \(a_3=a_2+a_1+3(3)=6+2+9=17\) मिलता है। फिर n=4 रखने पर \(a_4=a_3+a_2+3(4)=17+6+12=35\) होगा। इसलिए सही उत्तर 35 है। 33 जैसा विकल्प तब मिल सकता है जब \(3n\) पद की गणना गलत की जाए। परीक्षा टिप: प्रत्येक नया पद निकालते समय n का वर्तमान मान अवश्य रखें। / Using the recursive rule with n=3, \(a_3=a_2+a_1+3(3)=6+2+9=17\). Then, for n=4, \(a_4=a_3+a_2+3(4)=17+6+12=35\). Therefore, the correct answer is 35. A value such as 33 can result from calculating the \(3n\) term incorrectly. Exam tip: always substitute the current value of n when finding each new term.
पुनरावर्ती नियम को क्रमशः लागू करें। पहले, \(a_2=3^2-2(3)+3=9-6+3=6\)। फिर \(a_3=6^2-2(6)+3=36-12+3=27\)। अतः सही उत्तर 27 है। 36 केवल \(6^2\) है; इसमें नियम के \(-2a_n+3\) वाले पदों को भी शामिल करना आवश्यक है। परीक्षा टिप: प्रत्येक चरण में पिछले पद का पूरा मान नियम में रखकर ही अगला पद निकालें। / Apply the recursive rule one step at a time. First, \(a_2=3^2-2(3)+3=9-6+3=6\). Then \(a_3=6^2-2(6)+3=36-12+3=27\). Therefore, the correct answer is 27. The value 36 is only \(6^2\); the remaining terms \(-2a_n+3\) in the rule must also be included. Exam tip: substitute the complete previous term into the rule before finding the next term.
पुनरावर्ती नियम में n=1 रखने पर a_2=a_12-a_1+1 होगा। अतः a_2=42-4+1=16-4+1=13। विकल्प 15 तब मिलता यदि 1 जोड़ने के बजाय कोई गलत गणना की जाए। परीक्षा टिप: a_2 निकालते समय नियम में a_n के स्थान पर सीधे a_1 रखें। / To find the next term, put n=1 in the recursive rule: a_2=a_12-a_1+1. Therefore, a_2=42-4+1=16-4+1=13. Option 15 results from an incorrect calculation rather than from the given rule. Exam tip: for a_2, substitute a_1 directly for a_n.
(74-11=63) और \(63\div7=9\) चरण हैं इसलिए पद संख्या (10) है। चरणों में (1) जोड़कर पद संख्या मिलती है। / (74-11=63), and \(63\div7=9\) steps, so the term number is (10). Exam tip: add (1) to the number of steps.
\(a_{12}\) के लिए (8) को (11) बार जोड़ा जाता है इसलिए (9+88=97) है। पद संख्या से एक कम बार नियम लगता है। / For \(a_{12}\), (8) is added (11) times, so (9+88=97). Exam tip: the rule is applied one less time than the term number.
दिया है कि \(a_1=4\)। अतः \(a_2=2(4)+7=15\), \(a_3=2(15)+7=37\) और \(a_4=2(37)+7=81\)। इसलिए \(a_4-a_2=81-15=66\)। अतः सही उत्तर 66 है। 62 जैसे विकल्प में पदों की गणना या घटाव में त्रुटि होती है। परीक्षा टिप: पुनरावर्ती नियम में आवश्यक पदों को क्रम से लिखकर फिर अंतर निकालें। / Given \(a_1=4\), we get \(a_2=2(4)+7=15\), \(a_3=2(15)+7=37\), and \(a_4=2(37)+7=81\). Therefore, \(a_4-a_2=81-15=66\). Hence, 66 is the correct answer. A value such as 62 results from an error while generating the terms or subtracting them. Exam tip: In a recursive sequence, calculate the required terms in order before finding their difference.
दिया है कि a_1=4। पुनरावर्ती नियम से a_2=2(4)+7=15 तथा a_3=2(15)+7=37। इसलिए a_3-a_2=37-15=22। विकल्प 20 तब मिलता यदि पदों की गणना या घटाव में त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: पुनरावर्ती नियम वाले प्रश्नों में आवश्यक पदों को क्रम से निकालकर ही अंतर ज्ञात करें। / Given a_1=4, the recursive rule gives a_2=2(4)+7=15 and a_3=2(15)+7=37. Therefore, a_3-a_2=37-15=22. The value 20 would result from an error while calculating the terms or subtracting them. Exam tip: in recursive-sequence questions, calculate the required terms in order before finding their difference.
दिया गया पुनरावर्ती नियम है: प्रत्येक नया पद पिछले दो पदों के योग में 6 जोड़कर मिलता है। अतः a_3=4+8+6=18, a_4=8+18+6=32 और a_5=18+32+6=56। इसलिए सही उत्तर 56 है। 54 जैसे विकल्प में 6 जोड़ने या पिछले दो पद लेने में त्रुटि हुई है। परीक्षा टिप: पुनरावर्ती श्रेणी में आवश्यक पद तक क्रमवार सभी मध्यवर्ती पद लिखें। / The recursive rule says that each new term is obtained by adding the previous two terms and 6. Thus, a_3=4+8+6=18, a_4=8+18+6=32, and a_5=18+32+6=56. Therefore, 56 is correct. A value such as 54 results from an error in using the previous terms or adding 6. Exam tip: write each intermediate term in order when solving a recursive sequence.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक नया पद पिछले दो पदों के योग में 6 जोड़कर मिलता है। इसलिए, \(a_3=8+4+6=18\) और \(a_4=18+8+6=32\)। अतः सही उत्तर 32 है। 26 केवल \(a_2+a_3\) है; इसमें नियम के अनुसार 6 जोड़ना बाकी है। परीक्षा टिप: \(a_4\) निकालने से पहले \(a_3\) अवश्य ज्ञात करें और स्थिरांक को हर चरण में जोड़ें। / The recursive rule forms each new term by adding the previous two terms and 6. Thus, \(a_3=8+4+6=18\), and \(a_4=18+8+6=32\). Therefore, the correct answer is 32. The value 26 is only \(a_2+a_3\); it misses the required addition of 6. Exam tip: find \(a_3\) before calculating \(a_4\), and include the constant at every step.
समान्तर श्रेणी में लगातार पदों का अंतर स्थिर होता है। \(a_{n+1}-a_n=4\) होने से प्रत्येक नया पद 4 बढ़ता है। विकल्प C में अंतर \(4n\) है, जो बदलता रहता है। परीक्षा टिप: अंतर को \(a_{n+1}-a_n\) से जाँचें। / In an arithmetic progression, the difference between consecutive terms is constant. Here, \(a_{n+1}-a_n=4\), so every term increases by 4. In option C, the difference is \(4n\), which changes. Exam tip: test an AP rule using \(a_{n+1}-a_n\).
पुनरावर्ती नियम में क्रमशः n=1, 2, 3 रखने पर प्राप्त होता है: a_2=5+(8×1-3)=10, a_3=10+(8×2-3)=23 और a_4=23+(8×3-3)=44। अतः सही उत्तर 44 है। 41 तब मिलता यदि किसी चरण में वृद्धि का मान गलत लिया जाए। परीक्षा टिप: a_4 ज्ञात करने के लिए नियम को n=1 से n=3 तक क्रमशः लागू करें। / Apply the recursive rule successively for n=1, 2, and 3: a_2=5+(8×1-3)=10, a_3=10+(8×2-3)=23, and a_4=23+(8×3-3)=44. Therefore, the correct answer is 44. A value such as 41 results from using an incorrect increment at one of the steps. Exam tip: to find a_4, apply the rule step by step from n=1 to n=3.
पहले n=1 रखने पर a_2=a_1+8(1)-3=5+5=10 प्राप्त होता है। फिर n=2 रखने पर a_3=a_2+8(2)-3=10+13=23 होता है। इसलिए सही उत्तर 23 है। 22 जैसे विकल्प में वृद्धि को हर चरण में समान मान लेने की गलती हो सकती है, जबकि 8n-3 का मान n के साथ बदलता है। परीक्षा टिप: पुनरावर्ती संबंध में प्रत्येक नया पद निकालते समय n का सही मान अवश्य रखें। / Putting n=1 gives a_2=a_1+8(1)-3=5+5=10. Then, putting n=2 gives a_3=a_2+8(2)-3=10+13=23. Therefore, the correct answer is 23. A value such as 22 may result from incorrectly treating the increment as constant, whereas 8n-3 changes with n. Exam tip: in a recursive relation, substitute the correct value of n at every step.
घटने वाले मान (11,17,23) हैं इसलिए \(a_4=129\) है। सही विकल्पों में (129) होना चाहिए। / The subtracted values are (11,17,23), so \(a_4=129\). Exam tip: calculate the linear subtraction before subtracting.
पुनरावर्ती नियम में पहले n=1 रखें: a_2=180-(6×1+5)=169। फिर n=2 रखने पर a_3=169-(6×2+5)=169-17=152। इसलिए सही उत्तर 152 है। 150 तब मिलता यदि दूसरे चरण में घटाई जाने वाली संख्या 19 मान ली जाए, जो नियम के अनुसार गलत है। परीक्षा टिप: प्रत्येक नए पद के लिए n का मान 1, 2, 3 क्रम में बदलना न भूलें। / Using the recursive rule, first put n=1: a_2=180-(6×1+5)=169. Next, put n=2: a_3=169-(6×2+5)=169-17=152. Therefore, 152 is correct. The value 150 would result from incorrectly subtracting 19 in the second step. Exam tip: remember that the value of n changes to 1, 2, 3, and so on for successive terms.
पहले पुनरावृत्ति नियम से \(a_3=4a_2-3a_1+2=4(4)-3(2)+2=12\) प्राप्त होता है। फिर \(a_4=4a_3-3a_2+2=4(12)-3(4)+2=38\)। इसलिए सही उत्तर 38 है। 36 चुनने पर अक्सर स्थिर पद \(+2\) छूट जाता है। परीक्षा टिप: प्रत्येक नए पद के लिए पिछले दो पदों के मान अलग-अलग लिखकर गुणांक लगाएँ। / First, use the recursive rule to get \(a_3=4a_2-3a_1+2=4(4)-3(2)+2=12\). Then \(a_4=4a_3-3a_2+2=4(12)-3(4)+2=38\). Therefore, 38 is the correct answer. A value such as 36 can result from forgetting the constant term \(+2\). Exam tip: write the two preceding terms separately before applying their coefficients.
नियम \(a_n=a_{n-1}+a_{n-2}\) में प्रत्येक नया पद पिछले दो पदों पर निर्भर है, इसलिए \(a_1\) और \(a_2\) दोनों चाहिए। परीक्षा टिप: जितने पिछले पद हों, उतने प्रारंभिक पद आवश्यक होते हैं। / In \(a_n=a_{n-1}+a_{n-2}\), every new term depends on the two preceding terms, so both \(a_1\) and \(a_2\) are needed. Exam tip: count the previous terms used to identify the required initial terms.
कुल जोड़ (\frac{5(1+2+3+4)}{2}=25) है इसलिए \(a_5=31\) है। भिन्न जोड़ में कुल जोड़ पहले निकालें। / The total addition is (\frac{5(1+2+3+4)}{2}=25), so \(a_5=31\). Exam tip: find the total fractional addition first.
कुल घटाव (\frac{5(1+2+3+4)}{2}=25) है इसलिए \(a_5=35\) है। भिन्न घटाव को पहले जोड़ें। / The total subtraction is (\frac{5(1+2+3+4)}{2}=25), so \(a_5=35\). Exam tip: add the fractional subtractions first.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक चरण पर वर्तमान सूचकांक का मान रखना होता है। \(n=1\) पर \(a_2=1\times3+4=7\)। फिर \(n=2\) पर \(a_3=2\times7+4=18\), और \(n=3\) पर \(a_4=3\times18+4=58\)। इसलिए सही उत्तर 58 है। 52 जैसा उत्तर तब आ सकता है जब हर चरण में बदलते \(n\) का सही उपयोग न किया जाए। परीक्षा टिप: \(a_{n+1}\) ज्ञात करने से पहले उस चरण का \(n\) लिख लें। / In a recursive rule, substitute the current index value at each step. For \(n=1\), \(a_2=1\times3+4=7\). Then, for \(n=2\), \(a_3=2\times7+4=18\), and for \(n=3\), \(a_4=3\times18+4=58\). Therefore, 58 is correct. An answer such as 52 may result from not changing \(n\) correctly at every step. Exam tip: write down the value of \(n\) before calculating each next term.
AP में हर क्रमागत पदों का अंतर स्थिर होता है। विकल्प A में \(a_{n+1}-a_n=-5\) प्रत्येक \(n\) के लिए है, इसलिए सार्वांतर \(-5\) है। C में अंतर \(-n\) बदलता है। परीक्षा में पहले \(a_{n+1}-a_n\) जाँचें। / In an AP, the difference between consecutive terms is constant. In A, \(a_{n+1}-a_n=-5\) for every \(n\), so the common difference is \(-5\). In C, the difference \(-n\) changes. Exam tip: first check \(a_{n+1}-a_n\).
\(3\times5+1=16\) और \(3\times16+1=49\) है। नियम चुनते समय शुरुआती दो चरण जाँचें। / \(3\times5+1=16\) and \(3\times16+1=49\). Exam tip: check the first two steps when choosing a rule.
घटाव (5,8,11) हैं इसलिए (3n+2) घटता है। पहला पद और घटाव दोनों मिलाने चाहिए। / The subtractions are (5,8,11), so (3n+2) is subtracted. Exam tip: match both the first term and the subtraction pattern.
पद (7,9,15,27,47) हैं इसलिए (47) पाँचवाँ पद है। बदलते जोड़ लिखकर पद संख्या जाँचें। / The terms are (7,9,15,27,47), so (47) is the fifth term. Exam tip: write changing additions to check the position.
पद (150,148,142,130,110) हैं इसलिए (110) पाँचवाँ पद है। घटते हुए पदों को क्रमांक सहित लिखें। / The terms are (150,148,142,130,110), so (110) is the fifth term. Exam tip: write decreasing terms with positions.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक पद के लिए पिछले दो पदों का उपयोग करें। \(a_3=8+2(2)+3=15\), \(a_4=15+2(8)+4=35\), और \(a_5=35+2(15)+5=70\)। इसलिए सही उत्तर 70 है। 66 प्राप्त हो सकता है यदि \(2a_{n-2}\) वाले भाग की गणना में गलती हो जाए। परीक्षा टिप: हर नए पद के लिए \(n\) का सही मान अलग से लिखें। / Apply the recursive rule using the two preceding terms. \(a_3=8+2(2)+3=15\), \(a_4=15+2(8)+4=35\), and \(a_5=35+2(15)+5=70\). Therefore, the correct answer is 70. A value such as 66 can result from an error in calculating the \(2a_{n-2}\) term. Exam tip: write the current value of \(n\) separately at every step.
नियम \(a_n=3a_{n-1}-2a_{n-2}\) में पिछले दो पद \(a_{n-1}\) और \(a_{n-2}\) चाहिए, इसलिए \(a_1\) तथा \(a_2\) दोनों देने होंगे। A और B में केवल एक पिछला पद लगता है। परीक्षा टिप: नियम में जितने पिछले पद हों, उतने प्रारम्भिक पद गिनें। / The rule \(a_n=3a_{n-1}-2a_{n-2}\) depends on the two preceding terms, so both \(a_1\) and \(a_2\) are needed. A and B are first-order rules and need only one initial term. Exam tip: count the previous terms used in the rule.
पुनरावृत्ति संबंध में प्रत्येक चरण पर स्थिर मान \(a_1=6\) और उस चरण का \(n^2\) जोड़ा जाता है। अतः \(a_2=6+6+1^2=13\), \(a_3=13+6+2^2=23\), और \(a_4=23+6+3^2=38\)। इसलिए सही उत्तर \(38\) है। \(37\) जैसा निकट विकल्प तब मिल सकता है जब \(3^2\) के स्थान पर गलत मान लिया जाए। परीक्षा टिप: \(a_4\) निकालते समय अंतिम चरण में \(n=3\) रखें, \(n=4\) नहीं। / In the recursive rule, the fixed first term \(a_1=6\) and the relevant \(n^2\) are added at each step. Thus, \(a_2=6+6+1^2=13\), \(a_3=13+6+2^2=23\), and \(a_4=23+6+3^2=38\). Therefore, the correct answer is \(38\). A close option such as \(37\) may result from evaluating \(3^2\) incorrectly. Exam tip: to find \(a_4\), use \(n=3\) in the final recurrence step, not \(n=4\).
पुनरावर्ती नियम में पहले पद से क्रमशः अगले पद निकालते हैं। जब \(n=1\), तब \(a_2=a_1+a_1+1^2=6+6+1=13\)। फिर \(n=2\) रखने पर \(a_3=a_2+a_1+2^2=13+6+4=23\)। इसलिए सही उत्तर 23 है। यहाँ \(a_1\) का मान हर चरण में 6 ही रहता है; इसे \(a_2\) से बदलना गलत होगा। परीक्षा टिप: \(a_3\) पाने के लिए नियम में पहले \(n=1\), फिर \(n=2\) रखें। / Use the recursive rule step by step. For \(n=1\), \(a_2=a_1+a_1+1^2=6+6+1=13\). Then, for \(n=2\), \(a_3=a_2+a_1+2^2=13+6+4=23\). Therefore, the correct answer is 23. The value of \(a_1\) remains 6 in every step; replacing it with \(a_2\) would be incorrect. Exam tip: To find \(a_3\), apply the rule first with \(n=1\) and then with \(n=2\).
जुड़ने वाले मान (2!,3!,4!) यानी (2,6,24) हैं इसलिए \(a_4=37\) है। सही विकल्पों में (37) होना चाहिए। / The added values (2!,3!,4!) are (2,6,24), so \(a_4=37\). Exam tip: calculate factorial increments in order.
