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यह एक समांतर श्रेणी है, जिसमें पहला पद \(a=6\) और सार्वांतर \(d=5\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(a_{12}=6+(12-1)\times5=6+55=61\)। इसलिए सही उत्तर 61 है। 56 लेने पर \(n-1\) के स्थान पर 10 अंतर गिने जाते हैं, जबकि पहले से 12वें पद तक 11 अंतर होते हैं। परीक्षा टिप: \(n\)वाँ पद निकालते समय सूत्र में हमेशा \((n-1)\) लिखें। / This is an arithmetic sequence with first term \(a=6\) and common difference \(d=5\). The \(n\)th term is \(a_n=a+(n-1)d\). Therefore, \(a_{12}=6+(12-1)\times5=6+55=61\). Hence, 61 is correct. Choosing 56 would count only 10 differences, whereas there are 11 differences from the first term to the 12th term. Exam tip: always use \((n-1)\), not \(n\), in the nth-term formula.
यह एक समानांतर श्रेणी है, क्योंकि प्रत्येक अगला पद 7 कम हो रहा है। अतः प्रथम पद \(a=90\), सार्वांतर \(d=-7\) और \(n=9\) है। \(a_9=a+(9-1)d=90+8(-7)=34\)। इसलिए सही उत्तर 34 है। 36 तब मिलता यदि घटाव केवल 7 बार किया जाता, पर 9वें पद तक प्रथम पद के बाद 8 अंतराल होते हैं। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के लिए हमेशा \(n-1\) अंतराल गिनें। / This is an arithmetic progression because each successive term decreases by 7. Here, \(a=90\), \(d=-7\), and \(n=9\). Thus, \(a_9=a+(9-1)d=90+8(-7)=34\). Therefore, 34 is correct. The value 36 would result from subtracting 7 only seven times, but there are eight gaps from the first term to the ninth term. Exam tip: for the \(n\)th term, always use \(n-1\) common differences.
दिया गया नियम है: \(a_n=5n-2\)। नौवाँ पद ज्ञात करने के लिए \(n=9\) रखें: \(a_9=5\times9-2=45-2=43\)। इसलिए सही उत्तर 43 है। 41 तब मिलता है जब घटाव या गुणा में त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: किसी भी \(n\)वें पद के नियम में पहले \(n\) का मान सावधानी से प्रतिस्थापित करें। / The given rule is \(a_n=5n-2\). To find the ninth term, substitute \(n=9\): \(a_9=5\times9-2=45-2=43\). Therefore, the correct answer is 43. The value 41 may result from an error in multiplication or subtraction. Exam tip: While finding an \(n\)th term, first substitute the given value of \(n\) carefully.
दिया गया नियम है: \(a_n=2n^2+3\)। \(n=6\) रखने पर \(a_6=2\times6^2+3=2\times36+3=75\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 75 है। 72 का उत्तर तब आ सकता है जब केवल \(2\times6^2\) निकाला जाए और अंत में 3 जोड़ना भूल जाएँ। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले \(n\) का वर्ग निकालें, फिर गुणा और जोड़ करें। / The given rule is \(a_n=2n^2+3\). Substituting \(n=6\), we get \(a_6=2\times6^2+3=2\times36+3=75\). Therefore, the correct answer is 75. The value 72 results if one calculates \(2\times6^2\) but forgets to add 3. Exam tip: In such questions, square \(n\) first, then multiply and add.
क्रमागत पदों का अंतर देखें: 15 − 7 = 8 और 23 − 15 = 8। अतः यह एक समानांतर क्रम है जिसमें प्रत्येक पद में 8 जोड़ा जाता है। इसलिए 23 के बाद का पद 23 + 8 = 31 होगा, और 31 + 8 = 39 भी मिलता है। 29 लेने पर समान अंतर नहीं बनेगा। परीक्षा टिप: रिक्त पद वाले क्रम में पहले लगातार पदों के बीच का अंतर जाँचें। / Check the differences between consecutive terms: 15 − 7 = 8 and 23 − 15 = 8. Thus, this is an arithmetic sequence in which 8 is added each time. Therefore, the term after 23 is 23 + 8 = 31, and 31 + 8 = 39 confirms the pattern. Choosing 29 would not maintain the common difference. Exam tip: For a missing term in a sequence, first check the differences between consecutive terms.
यह एक घटता हुआ क्रम है, जिसमें प्रत्येक अगला पद पिछले पद से 8 कम है: \(110-8=102\), \(102-8=94\)। इसलिए खाली स्थान में 102 आएगा। 101 लेने पर 110 से कमी 9 होगी, इसलिए क्रम का समान अंतर नहीं बनेगा। परीक्षा टिप: रिक्त पद वाले क्रम में दोनों ओर के पदों के बीच अंतर जाँचें। / This is a decreasing sequence in which each term is 8 less than the previous term: \(110-8=102\) and \(102-8=94\). Therefore, the blank is 102. If 101 were used, the decrease from 110 would be 9, so the common difference would not remain the same. Exam tip: In a missing-term sequence, check the differences using terms on both sides of the blank.
दिए गए पद क्रमशः पूर्णांकों के वर्ग हैं: \(4=2^2\), \(9=3^2\), \(16=4^2\), \(25=5^2\) और \(36=6^2\)। इसलिए अगला पद \(7^2=49\) होगा। 47 निकट का विकल्प है, लेकिन वह किसी पूर्णांक का वर्ग नहीं है। परीक्षा टिप: वर्गों के क्रम में आधार संख्याएँ 1-1 बढ़ती हैं। / The given terms are consecutive square numbers: \(4=2^2\), \(9=3^2\), \(16=4^2\), \(25=5^2\), and \(36=6^2\). Therefore, the next term is \(7^2=49\). Although 47 is close, it is not a perfect square. Exam tip: in a sequence of squares, the base numbers increase by 1 each time.
क्रमागत पदों के बीच घटाव क्रमशः 4, 8, 12 और 16 है। ये घटाव हर बार 4 से बढ़ रहे हैं, इसलिए अगला घटाव 20 होगा। अतः अगला पद \(110-20=90\) है। 88 चुनना गलत होगा, क्योंकि उसके लिए 22 घटाना पड़ेगा। परीक्षा टिप: ऐसे क्रमों में लगातार पदों का अंतर लिखकर उसका पैटर्न जाँचें। / The successive subtractions are 4, 8, 12, and 16. Since each subtraction increases by 4, the next subtraction is 20. Therefore, the next term is \(110-20=90\). Choosing 88 would require subtracting 22, which does not follow the pattern. Exam tip: write the differences between consecutive terms to identify the pattern quickly.
इस क्रम में प्रत्येक पद अपने पिछले पद का 4 गुना है, इसलिए यह एक गुणोत्तर क्रम है। छठा पद: \(2\times4^{5}=2\times1024=2048\) होगा। 1024 पाँचवाँ पद है, इसलिए वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: पदों के बीच समान गुणनफल हो तो गुणोत्तर क्रम में \(a_n=a_1r^{n-1}\) का प्रयोग करें। / Each term is 4 times the preceding term, so this is a geometric sequence. The sixth term is \(2\times4^{5}=2\times1024=2048\). Note that 1024 is the fifth term, making it a close but incorrect option. Exam tip: When consecutive terms have a common multiplier, use \(a_n=a_1r^{n-1}\).
क्रम में प्रत्येक पद पिछले पद को 5 से भाग देने पर प्राप्त हो रहा है: \(625\div5=125\), \(125\div5=25\) और \(25\div5=5\)। इसलिए अगला पद \(5\div5=1\) होगा। 0 तब मिलता जब 5 में से 5 घटाया जाता, पर यहाँ नियम भाग का है। परीक्षा टिप: क्रम में लगातार दो पदों का भाग लेकर गुणन या भाग का नियम पहचानें। / Each term is obtained by dividing the preceding term by 5: \(625\div5=125\), \(125\div5=25\), and \(25\div5=5\). Therefore, the next term is \(5\div5=1\). Zero would result from subtracting 5 from 5, but the pattern here is division. Exam tip: Compare consecutive terms using division to identify a multiplication or division pattern.
यह घन संख्याओं का क्रम है: \(1=1^3\), \(8=2^3\), \(27=3^3\), \(64=4^3\) और \(125=5^3\)। इसलिए \(n\)वाँ पद \(n^3\) है। अतः 7वाँ पद \(7^3=343\) होगा। \(216=6^3\) है, इसलिए वह 6वाँ पद है। परीक्षा टिप: ऐसे क्रम में प्रत्येक पद को किसी प्राकृतिक संख्या के घन के रूप में लिखकर पैटर्न जाँचें। / This is a sequence of cube numbers: \(1=1^3\), \(8=2^3\), \(27=3^3\), \(64=4^3\), and \(125=5^3\). Hence, the \(n\)th term is \(n^3\). Therefore, the 7th term is \(7^3=343\). Although 216 is also a cube, it is \(6^3\), so it is the 6th term. Exam tip: Express the given terms as powers of natural numbers to identify the pattern quickly.
क्रम में क्रमागत अंतर 3, 4, 5, 6, ... हैं। अतः 21 के बाद 7 जोड़ने पर छठा पद 28, फिर 8 जोड़ने पर सातवाँ पद 36 और 9 जोड़ने पर आठवाँ पद 45 मिलता है। इसलिए सही उत्तर 45 है। 36 सातवाँ पद है, आठवाँ नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे क्रमों में पहले क्रमागत अंतरों का पैटर्न पहचानें। / The successive differences are 3, 4, 5, 6, and so on. Therefore, adding 7 to 21 gives the sixth term 28; adding 8 gives the seventh term 36; and adding 9 gives the eighth term 45. Hence, 45 is correct. Note that 36 is the seventh term, not the eighth. Exam tip: For such sequences, first identify the pattern in the consecutive differences.
इस क्रम में तीसरे पद से प्रत्येक पद उसके ठीक पहले के दो पदों का योग है: \(5+6=11\), \(6+11=17\) और \(11+17=28\)। इसलिए अगला पद \(17+28=45\) होगा। 43 जैसे विकल्प में क्रम के पिछले दो पदों को जोड़ने का नियम लागू नहीं होता। परीक्षा टिप: ऐसे क्रमों में लगातार पदों के बीच जोड़, घटाव या गुणा का संबंध पहले जाँचें। / From the third term onward, each term is the sum of the two immediately preceding terms: \(5+6=11\), \(6+11=17\), and \(11+17=28\). Therefore, the next term is \(17+28=45\). An option such as 43 does not follow the rule of adding the previous two terms. Exam tip: For such sequences, first check relations such as addition, subtraction, or multiplication between consecutive terms.
क्रम में तीसरे पद से प्रत्येक पद अपने ठीक पहले के दो पदों का योग है: 21 = 8 + 13, 34 = 13 + 21 और 55 = 21 + 34। इसलिए अगला पद 34 + 55 = 89 होगा। 84 जैसी संख्या अंतर को गलत ढंग से आगे बढ़ाने पर मिल सकती है। परीक्षा टिप: ऐसे क्रम में पहले दो-तीन पदों के बीच एक ही नियम सत्यापित करें। / From the third term onward, each term is the sum of the two immediately preceding terms: 21 = 8 + 13, 34 = 13 + 21, and 55 = 21 + 34. Therefore, the next term is 34 + 55 = 89. A number such as 84 may result from extending the differences incorrectly. Exam tip: Verify the same rule using at least two consecutive terms before choosing the answer.
क्रम में प्रत्येक पद पिछले पद का 3 गुना है: 7, 21, 63, 189, 567। अतः 567 पाँचवाँ पद है। 189 चौथा पद है, इसलिए चौथा पद वाला विकल्प सही नहीं है। परीक्षा टिप: पदों को क्रम से लिखकर उनकी स्थिति गिनें। / Each term in the sequence is 3 times the preceding term: 7, 21, 63, 189, 567. Therefore, 567 is the 5th term. Since 189 is the 4th term, the 4th-term option is incorrect. Exam tip: List the terms in order and count their positions carefully.
यह एक समांतर क्रम है, जिसमें पहला पद 12 और सार्वांतर 7 है। अतः इसका nवाँ पद
\(a_n=12+(n-1)\times7\) होगा। \(12+(n-1)\times7=75\) रखने पर \(n-1=9\), इसलिए \(n=10\)। अतः 75, 10वाँ पद है। 9वाँ पद \(68\) होता है, इसलिए विकल्प B सही नहीं है। परीक्षा टिप: पद का स्थान ज्ञात करने के लिए पहले पद और सार्वांतर को पहचानकर \(a_n=a+(n-1)d\) का प्रयोग करें। / This is an arithmetic sequence with first term 12 and common difference 7. Its nth term is \(a_n=12+(n-1)\times7\). Putting \(a_n=75\), we get \(12+(n-1)\times7=75\), so \(n-1=9\) and \(n=10\). Therefore, 75 is the 10th term. The 9th term is \(68\), so option B is not correct. Exam tip: To find a term's position, identify the first term and common difference, then use \(a_n=a+(n-1)d\).
रीना कहती है कि क्रम \(2, 5, 8, 11, \ldots\) में 20 के बाद आने वाला पद 23 होगा, क्योंकि प्रत्येक पद में 3 जोड़ा जाता है। रीना के कथन का सही मूल्यांकन क्या है?
A. कथन सही है; 20 के बाद 3 जोड़ने पर 23 प्राप्त होता है।/The statement is correct; adding 3 after 20 gives 23.
Explanation
Simple Explanation
कथन सही है, क्योंकि क्रमागत पदों का अंतर \(5-2=3\), \(8-5=3\) और \(11-8=3\) है। इसलिए 20 के बाद \(20+3=23\) आएगा। परीक्षा में पहले समान अंतर जाँचें। / The statement is correct because consecutive differences are \(5-2=3\), \(8-5=3\), and \(11-8=3\). Hence, the term after 20 is \(20+3=23\). Exam tip: check the common difference first.
क्रम के प्रत्येक लगातार पद में अंतर 7 है, इसलिए यह समानांतर श्रेणी है। इसका nवाँ पद \(a_n=a_1+(n-1)d=5+(n-1)\times7=7n-2\) होगा। विकल्प \(a_n=7n+5\) में \(n=1\) रखने पर पहला पद 12 मिलता है, 5 नहीं। परीक्षा टिप: किसी नियम को जाँचने के लिए उसमें पहले पद के लिए \(n=1\) रखें। / The difference between consecutive terms is 7, so this is an arithmetic sequence. Its nth term is \(a_n=a_1+(n-1)d=5+(n-1)\times7=7n-2\). For \(a_n=7n+5\), substituting \(n=1\) gives 12, not the first term 5. Exam tip: check a proposed rule by substituting \(n=1\) for the first term.
यह एक समांतर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद \(a_1=8\) और सार्वांतर \(d=18-8=10\) है। इसलिए \(a_n=a_1+(n-1)d=8+(n-1)10=10n-2\)। अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में \(n=1\) रखने पर पहला पद \(18\) मिलता है, \(8\) नहीं। परीक्षा टिप: नियम जाँचने के लिए उसमें \(n=1\) और \(n=2\) रखकर पहले दो पद मिलाइए। / This is an arithmetic sequence with first term \(a_1=8\) and common difference \(d=18-8=10\). Hence, \(a_n=a_1+(n-1)d=8+(n-1)10=10n-2\). Therefore, option A is correct. In option B, substituting \(n=1\) gives the first term as \(18\), not \(8\). Exam tip: Test a proposed nth-term rule by substituting \(n=1\) and \(n=2\) to check the first two terms.
पहले चार पदों के लिए n=1, 2, 3, 4 रखें। तब a_1=6(1)+1=7, a_2=13, a_3=19 और a_4=25 मिलते हैं। इसलिए सही क्रम (7, 13, 19, 25) है। विकल्प C में 1 को पहला पद मान लिया गया है, जबकि दिए गए नियम में n की शुरुआत 1 से करने पर पहला पद 7 होता है। परीक्षा टिप: पदों की सूची निकालते समय n के मान 1 से क्रमशः लिखकर नियम में रखें। / For the first four terms, substitute n=1, 2, 3, and 4. This gives a_1=6(1)+1=7, a_2=13, a_3=19, and a_4=25. Hence, the sequence is (7, 13, 19, 25). Option C incorrectly treats 1 as the first term; when n starts at 1, the first term is 7. Exam tip: List n=1, 2, 3, 4 and substitute each value in the nth-term rule.
छठा पद ज्ञात करने के लिए नियम में n=6 रखें: a_6=62+4(6)=36+24=60। इसलिए सही उत्तर 60 है। 54 प्राप्त करना प्रायः 62 का मान गलत लेने या 4×6 को गलत जोड़ने से होता है। परीक्षा में पहले घात निकालें, फिर गुणा और अंत में जोड़ करें। / To find the sixth term, substitute n=6 in the rule: a_6=62+4(6)=36+24=60. Therefore, 60 is correct. A value such as 54 usually results from evaluating 62 incorrectly or making an addition error. In exams, calculate powers first, then multiplication, and finally addition.
पाँचवाँ पद पाने के लिए नियम में \(n=5\) रखें: \(a_5=90-7(5)=90-35=55\)। इसलिए सही उत्तर 55 है। 52 लेने पर घटाव या गुणा की गणना गलत हो जाती है। परीक्षा टिप: किसी भी \(n\)वें पद के नियम में पहले \(n\) का मान कोष्ठक सहित रखें, फिर गुणा करें। / To find the fifth term, substitute \(n=5\) in the rule: \(a_5=90-7(5)=90-35=55\). Therefore, 55 is correct. Choosing 52 results from an error in multiplication or subtraction. Exam tip: In an \(n\)th-term rule, substitute the value of \(n\) first, using brackets, and then simplify.
दिए गए नियम में n के क्रमशः 1, 2, 3, 4 मान रखने पर a_n के मान 5(1)2=5, 5(2)2=20, 5(3)2=45 और 5(4)2=80 प्राप्त होते हैं। इसलिए सही क्रम (5, 20, 45, 80) है। विकल्प A में पद 5 के गुणज हैं, पर वे 5n नियम से बनते हैं, 5n² से नहीं। परीक्षा टिप: क्रम के नियम में पहले चार प्राकृतिक संख्याएँ रखकर विकल्पों से मिलान करें। / Substituting n = 1, 2, 3, and 4 in the rule gives 5(1)2 = 5, 5(2)2 = 20, 5(3)2 = 45, and 5(4)2 = 80. Hence, the sequence is (5, 20, 45, 80). Option A consists of multiples of 5, but it follows the rule 5n, not 5n². Exam tip: Substitute the first few natural-number values of n to match a sequence with its rule.
पहले तीन पदों के लिए n=1,2,3 रखें: a_1=41-2=2, a_2=42-2=14 और a_3=43-2=62। इसलिए सही क्रम (2,14,62) है। विकल्प B में केवल 4 की घातें हैं; उसमें प्रत्येक पद से 2 घटाया नहीं गया है। परीक्षा टिप: पदों का क्रम निकालते समय n का मान सामान्यतः 1 से शुरू रखें, जब तक अलग से न बताया जाए। / Substitute n=1,2,3: a_1=41-2=2, a_2=42-2=14, and a_3=43-2=62. Hence, the correct sequence is (2,14,62). Option B lists only powers of 4 and does not subtract 2 from each term. Exam tip: Unless stated otherwise, begin finding sequence terms with n=1.
दोनों क्रमों का समान अंतर (5) है, इसलिए पदों का अंतर हमेशा (7) रहेगा। (8)वें पदों में भी यही अंतर है। / Both sequences have common difference (5), so the term difference always remains (7). The (8)th terms also differ by (7).
दोनों क्रमों का अंतर (7) है और पहले पदों का अंतर (9) है। इसलिए (7)वें पदों का अंतर भी (9) होगा। / Both sequences have difference (7), and their first terms differ by (9). So their (7)th terms also differ by (9).
यह एक समांतर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद 5 और सार्वांतर 7 है। पहले 6 पद 5, 12, 19, 26, 33 और 40 हैं। इनका योग 135 है। 138 तब प्राप्त हो सकता है जब पदों को जोड़ने में त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: समांतर श्रेणी के लिए सीधे सूत्र \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) का भी उपयोग कर सकते हैं। / This is an arithmetic progression with first term 5 and common difference 7. Its first 6 terms are 5, 12, 19, 26, 33, and 40, whose sum is 135. A result such as 138 can arise from an error while adding the terms. Exam tip: You can also use \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) directly for an arithmetic progression.
क्रम के पदों में प्रत्येक बार 7 की कमी हो रही है। अतः पहले 5 पद 72, 65, 58, 51 और 44 हैं। इनका योग 72+65+58+51+44=290 है, इसलिए सही विकल्प C है। 285 प्राप्त होना जोड़ में त्रुटि के कारण हो सकता है। परीक्षा टिप: पदों का योग निकालने से पहले आवश्यक पदों को क्रम से लिख लें। / Each term in the sequence decreases by 7. Therefore, the first 5 terms are 72, 65, 58, 51, and 44. Their sum is 72+65+58+51+44=290, so option C is correct. A value such as 285 can result from an addition error. Exam tip: Write all the required terms in order before adding them.
यह एक समान्तर श्रेणी है, जिसमें पहला पद \(a=4\) और सार्वांतर \(d=6\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होगा। अतः \(4+(n-1)\times6=58\) से \(n-1=9\), इसलिए \(n=10\)। अतः 58, 10वाँ पद है। 9वाँ पद \(52\) होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी पद की स्थिति ज्ञात करने के लिए पहले \(a_n=a+(n-1)d\) में दिए गए पद का मान रखें। / This is an arithmetic progression with first term \(a=4\) and common difference \(d=6\). Its \(n\)th term is \(a_n=a+(n-1)d\). Thus, \(4+(n-1)\times6=58\) gives \(n-1=9\), so \(n=10\). Therefore, 58 is the 10th term. The 9th term is \(52\), so it is not correct. Exam tip: To find the position of a given term in an AP, substitute that term for \(a_n\) in \(a_n=a+(n-1)d\).
यह एक समांतर क्रम है, जिसमें प्रथम पद 7 और सार्वांतर 5 है। अतः छठा पद 32 तथा सातवाँ पद 37 होगा। इसलिए \(a_6+a_7=32+37=69\)। 64 जैसे विकल्प में पदों की सही स्थिति या सार्वांतर का प्रयोग नहीं हुआ है। परीक्षा में पहले आवश्यक पद अलग-अलग लिखकर फिर उनका योग करें। / This is an arithmetic sequence with first term 7 and common difference 5. Therefore, the sixth term is 32 and the seventh term is 37. Hence, \(a_6+a_7=32+37=69\). An option such as 64 results from using an incorrect term position or common difference. In exams, write the required terms separately before adding them.
यह एक समान्तर क्रम है, जिसमें प्रत्येक पद में 7 की वृद्धि होती है। अतः \(a_4=39\) और \(a_7=18+6\times 7=60\) होगा। इसलिए \(a_7-a_4=60-39=21\)। विकल्प 18 केवल पदों के अंतर को गलत गिनने पर मिल सकता है। परीक्षा टिप: समान्तर क्रम में \(a_n-a_m=(n-m)d\) का उपयोग करके अंतर सीधे ज्ञात किया जा सकता है। / This is an arithmetic sequence with common difference 7. Thus, \(a_4=39\) and \(a_7=18+6\times 7=60\). Therefore, \(a_7-a_4=60-39=21\). Option 18 may result from counting the gap between the terms incorrectly. Exam tip: In an arithmetic sequence, use \(a_n-a_m=(n-m)d\) to find the difference directly.
यह एक समानांतर श्रेणी है, जिसका सार्वांतर \(5\) है। \(a_2=17\) और \(a_6=12+(6-1)\times5=37\) होगा। अतः अंतर \(a_6-a_2=37-17=20\) है। \(25\) लेने पर पदों की संख्या के बजाय अंतरालों की संख्या गलत गिनी जाती है। परीक्षा टिप: दो पदों का अंतर निकालने के लिए \(a_n-a_m=(n-m)d\) का प्रयोग करें। / This is an arithmetic progression with common difference \(5\). Here, \(a_2=17\) and \(a_6=12+(6-1)\times5=37\). Therefore, \(a_6-a_2=37-17=20\). Choosing \(25\) incorrectly counts five intervals instead of the four intervals between the 2nd and 6th terms. Exam tip: use \(a_n-a_m=(n-m)d\) to find the difference between two terms.
C. प्रत्येक पद पिछले पद में एक नियत संख्या जोड़कर प्राप्त होता है/Each term is obtained by adding a fixed number to the preceding term
Explanation
Simple Explanation
समांतर श्रेणी में प्रत्येक पद, पिछले पद में एक ही नियत संख्या (सार्वांतर) जोड़ने पर मिलता है। उदाहरण के लिए, 5, 9, 13 में प्रत्येक बार 4 जोड़ा गया है। क्रमागत पदों का स्थिर अंतर भी इसी गुण का समतुल्य कथन है, इसलिए मूल विकल्पों में A और C दोनों सही होते; एक ही सही उत्तर सुनिश्चित करने के लिए C को परिभाषात्मक रूप में रखा गया है। स्थिर अनुपात गुणोत्तर श्रेणी का गुण है। परीक्षा में लगातार दो अंतरों की तुलना करें। / In an arithmetic progression, each term is obtained by adding the same fixed number, called the common difference, to the preceding term. For example, in 5, 9, 13, 4 is added each time. A constant difference between consecutive terms is an equivalent statement, so the original options A and C would both have been correct; C is retained as the definitional form to ensure one correct answer. A constant ratio identifies a geometric progression. Exam tip: compare consecutive differences.
यह एक समान्तर श्रेणी है, जिसमें पहला पद 96 और सार्वांतर \(-9\) है। सातवें पद तक पहुँचने के लिए 6 बार 9 घटाया जाएगा: \(a_7=96-6\times9=96-54=42\)। इसलिए सही उत्तर 42 है। 48 पाने पर केवल 5 बार घटाव माना जाता है, जो छठे पद के लिए होगा। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद तक पहले पद से कुल \(n-1\) परिवर्तन होते हैं। / This is an arithmetic sequence with first term 96 and common difference \(-9\). To reach the seventh term, 9 is subtracted 6 times: \(a_7=96-6\times9=96-54=42\). Therefore, 42 is correct. The value 48 results from subtracting 9 only 5 times, which gives the sixth term. Exam tip: From the first term to the \(n\)th term, there are \(n-1\) changes.
दिया गया पुनरावर्ती नियम है: पिछले पद को 3 से गुणा करके 1 जोड़ना। अतः अगले पद के लिए \(121\times 3+1=363+1=364\)। इसलिए सही उत्तर 364 है। 366, 121 के तीन गुने में 3 जोड़ने पर मिलेगा, जबकि नियम में केवल 1 जोड़ना है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में अंतिम दिए गए पद पर नियम को ठीक उसी क्रम में लागू करें। / The recursive rule is to multiply the previous term by 3 and then add 1. Thus, \(121\times 3+1=363+1=364\). Therefore, 364 is the correct next term. Option 366 would result from adding 3 after tripling 121, but the rule requires adding only 1. Exam tip: In recursive-sequence questions, apply the stated operation to the last given term in the same order.
दिया गया नियम है: पिछले पद को 2 से भाग दें और फिर 1 घटाएँ। अतः अगला पद \(10.25\div 2-1=5.125-1=4.125\) होगा। विकल्प 5.125 केवल 10.25 को 2 से भाग देने पर मिलता है; उसमें 1 घटाना बाकी है। परीक्षा टिप: ऐसे क्रमों में दिए गए संक्रियाओं का क्रम—पहले भाग, फिर घटाव—ध्यान से लागू करें। / The rule is to divide the previous term by 2 and then subtract 1. Therefore, the next term is \(10.25\div 2-1=5.125-1=4.125\). The value 5.125 is obtained only after division; the subtraction of 1 is still required. Exam tip: In recursive sequences, apply the operations in the stated order.
क्रम के क्रमागत अंतरों को देखें: \(11-6=5\), \(21-11=10\), \(36-21=15\) और \(56-36=20\)। अंतर प्रत्येक बार \(5\) बढ़ रहा है, इसलिए अगला अंतर \(25\) होगा। अतः अगला पद \(56+25=81\) है। विकल्प 84 लेने पर अंतर \(28\) होगा, जो इस पैटर्न के अनुसार नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे क्रमों में पहले क्रमागत पदों के अंतर लिखकर पैटर्न जाँचें। / Look at the differences between consecutive terms: \(11-6=5\), \(21-11=10\), \(36-21=15\), and \(56-36=20\). The difference increases by \(5\) each time, so the next difference is \(25\). Hence, the next term is \(56+25=81\). Choosing 84 would give a difference of \(28\), which does not follow the pattern. Exam tip: for such sequences, first list the consecutive differences to identify the pattern.
क्रमागत पदों के बीच अंतर क्रमशः \(-10,-20,-30,-40\) हैं। अर्थात हर बार घटाई जाने वाली संख्या 10 से बढ़ रही है। इसलिए अगला अंतर \(-50\) होगा और अगला पद \(100-50=50\) है। 60 प्राप्त करने के लिए 40 घटाना पड़ेगा, लेकिन अगला घटाव 50 होना चाहिए। परीक्षा टिप: पहले पदों के बीच के अंतर लिखकर पैटर्न पहचानें। / The differences between consecutive terms are \(-10,-20,-30,-40\). Thus, the number being subtracted increases by 10 each time. The next difference is \(-50\), so the next term is \(100-50=50\). Getting 60 would require subtracting 40, but the next subtraction should be 50. Exam tip: Write consecutive differences first to identify a sequence pattern.
यहाँ क्रमशः (2,3,4) से गुणा किया गया है। अगला गुणक (5) होगा, इसलिए \(72\times5=360\)। / The terms are multiplied by (2,3,4) successively. The next multiplier is (5), so \(72\times5=360\).
पहले क्रम का तीसरा पद 100 और दूसरे क्रम का तीसरा पद 150 है। अतः उनका अनुपात 100:150 = 2:3 होगा। 3:2 अनुपात उल्टे क्रम, अर्थात दूसरे पद का पहले पद से अनुपात, को दर्शाता है। परीक्षा में अनुपात लिखते समय प्रश्न में दिए गए क्रम का ध्यान रखें। / The third term of the first sequence is 100, and that of the second sequence is 150. Therefore, their ratio is 100:150 = 2:3. The ratio 3:2 would represent the reverse order, from the second term to the first. In exams, keep the order stated in the question while writing a ratio.
यह एक समांतर श्रेणी है, जिसमें पहला पद 9 और सार्वांतर 6 है। पहले 5 पद 9, 15, 21, 27 और 33 हैं। इनका योग 9+15+21+27+33=105 है, इसलिए सही उत्तर 5 है। 4 पदों का योग केवल 72 होता है। परीक्षा टिप: पदों की संख्या ज्ञात करने के लिए क्रमशः पद जोड़कर योग की जाँच करें। / This is an arithmetic sequence with first term 9 and common difference 6. Its first 5 terms are 9, 15, 21, 27, and 33. Their sum is 9+15+21+27+33=105, so the correct answer is 5. The sum of the first 4 terms is only 72. Exam tip: When the number of terms is small, add consecutive terms to verify the required sum quickly.
इस क्रम में प्रत्येक अगला पद पिछले पद में 8 जोड़कर बनता है: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56। इसलिए 56 से ठीक पहले आने वाला पद 48 है। 52 सही नहीं है, क्योंकि वह इस क्रम का पद नहीं है। परीक्षा टिप: किसी क्रम में पिछले पद के लिए दो क्रमागत पदों का अंतर पहचानें। / Each term in this sequence is obtained by adding 8 to the previous term: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56. Therefore, the term immediately before 56 is 48. Option 52 is not correct because it is not a term of this sequence. Exam tip: To find a previous term, first identify the common difference between consecutive terms.
इस क्रम में प्रत्येक अगला पद पिछले पद का आधा है: 192, 96, 48, 24, 12, 6। इसलिए 6 से ठीक पहले वाला पद 12 है। 18 सही नहीं है, क्योंकि 24 के बाद आधा करने पर 12 मिलता है, 18 नहीं। परीक्षा टिप: क्रम में नियम पहचानने के लिए लगातार दो पदों का अनुपात जाँचें। / In this sequence, each term is half of the preceding term: 192, 96, 48, 24, 12, 6. Therefore, the term immediately before 6 is 12. Option 18 is not correct because halving 24 gives 12, not 18. Exam tip: To identify a sequence rule, check the ratio of consecutive terms.
यह एक समानांतर क्रम है, क्योंकि प्रत्येक पद में 5 जोड़ा जा रहा है। यहाँ प्रथम पद \(a=14\) और सार्वांतर \(d=5\) है। अतः \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d=14+(n-1)\times5=5n+9\) होगा। विकल्प \(5n+14\) में \(n=1\) रखने पर 19 मिलता है, इसलिए वह प्रथम पद के लिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: पहले पद और सार्वांतर से \(a_n=a+(n-1)d\) लिखें। / This is an arithmetic sequence because 5 is added to each term. Here, the first term is \(a=14\) and the common difference is \(d=5\). Therefore, \(a_n=a+(n-1)d=14+(n-1)\times5=5n+9\). In \(5n+14\), putting \(n=1\) gives 19, so it does not produce the first term. Exam tip: identify the first term and common difference, then use \(a_n=a+(n-1)d\).
यह एक समानांतर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद \(a_1=84\) और सार्वांतर \(d=-8\) है। इसलिए \(a_n=a_1+(n-1)d=84-8(n-1)=92-8n\)। विकल्प B में \(n=1\) रखने पर 76 मिलता है, इसलिए वह प्रथम पद से मेल नहीं खाता। परीक्षा टिप: नियम जाँचने के लिए हमेशा \(n=1\) रखकर पहला पद मिलाइए। / This is an arithmetic progression with first term \(a_1=84\) and common difference \(d=-8\). Hence, \(a_n=a_1+(n-1)d=84-8(n-1)=92-8n\). In option B, putting \(n=1\) gives 76, so it does not match the first term. Exam tip: verify an nth-term rule by substituting \(n=1\) and checking the first term.
दिया है कि प्रत्येक नया पद उससे पहले के दो पदों का योग है। अतः a_3=6+11=17, a_4=11+17=28 और a_5=17+28=45। इसलिए सही उत्तर 45 है। 39 जैसा उत्तर पदों को गलत तरीके से जोड़ने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: पुनरावर्ती क्रम में प्रत्येक पद निकालते समय पिछले दो पद स्पष्ट रूप से लिखें। / Each new term is obtained by adding the two preceding terms. Thus, a_3=6+11=17, a_4=11+17=28, and a_5=17+28=45. Hence, 45 is correct. An answer such as 39 can result from adding the terms incorrectly. Exam tip: In a recursive sequence, write each pair of previous terms before calculating the next term.
क्रम का प्रत्येक पद पिछले पद का 4 गुना है। अतः इसका सामान्य पद \(a_n=5\times4^{n-1}\) होगा। \(5\times4^{n-1}=1280\) से \(4^{n-1}=256=4^4\), इसलिए \(n-1=4\) और \(n=5\)। \(n=4\) पर पद 320 है, 1280 नहीं। परीक्षा टिप: पदों के बीच समान गुणनफल दिखे तो उसे गुणोत्तर क्रम मानकर सामान्य पद का उपयोग करें। / Each term is 4 times the preceding term. Therefore, the general term is \(a_n=5\times4^{n-1}\). From \(5\times4^{n-1}=1280\), we get \(4^{n-1}=256=4^4\). Hence, \(n-1=4\) and \(n=5\). For \(n=4\), the term is 320, not 1280. Exam tip: when consecutive terms have a common multiplier, treat the sequence as a geometric progression and use its general term.
क्रमागत पदों के अंतर क्रमशः 3, 5, 7 और 9 हैं। ये लगातार विषम संख्याएँ हैं, इसलिए अगला अंतर 11 होगा। अतः अगला पद \(34+11=45\) है। 43 प्राप्त करने के लिए 9 का अंतर फिर से लेना पड़ेगा, जो अंतर के बढ़ते क्रम के अनुरूप नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे क्रमों में पहले लगातार पदों के अंतर लिखकर उनका पैटर्न जाँचें। / The differences between consecutive terms are 3, 5, 7, and 9. These are consecutive odd numbers, so the next difference is 11. Therefore, the next term is \(34+11=45\). Getting 43 would require repeating the difference 9, which does not follow the increasing-difference pattern. Exam tip: For such sequences, first write the differences between consecutive terms and identify their pattern.
क्रमागत पदों के अंतर हैं: \(18-12=6\), \(27-18=9\) और \(39-27=12\)। ये अंतर हर बार 3 बढ़ रहे हैं, इसलिए अगला अंतर \(15\) होगा। अतः अगला पद \(39+15=54\) है। 51 लेने पर अंतर केवल 12 होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पहले क्रमागत पदों का अंतर लिखकर उसका पैटर्न जाँचें। / The differences between consecutive terms are \(18-12=6\), \(27-18=9\), and \(39-27=12\). Since these differences increase by 3 each time, the next difference is \(15\). Therefore, the next term is \(39+15=54\). Choosing 51 would give a difference of only 12, so it does not continue the pattern. Exam tip: Write the consecutive differences first, then identify their pattern.
दिया है, \(a_n=2n^2+n\)। अतः \(a_5=2(5)^2+5=50+5=55\) और \(a_3=2(3)^2+3=18+3=21\)। इसलिए \(a_5-a_3=55-21=34\)। विकल्प C, 32, तब मिल सकता है जब पदों का गलत मान निकाला जाए। परीक्षा में पहले प्रत्येक पद में \(n\) का मान अलग-अलग रखकर फिर उनका अंतर ज्ञात करें। / Given \(a_n=2n^2+n\), \(a_5=2(5)^2+5=50+5=55\) and \(a_3=2(3)^2+3=18+3=21\). Hence, \(a_5-a_3=55-21=34\). Option C, 32, can result from evaluating a term incorrectly. In exams, substitute the value of \(n\) separately in each term before finding their difference.
