Level 44 • 50/50 questions • 45 seconds per question.
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If \(a_1=3\) and \(a_{n+1}=a_n+2n+1\), what is \(a_5\)?
C. (27)
पद (3,6,11,18,27) मिलते हैं इसलिए \(a_5=27\) है। बदलते (n) का मान हर चरण में सही रखें। / The terms are (3,6,11,18,27), so \(a_5=27\). Exam tip: use the changing value of (n) correctly at each step.
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If \(a_1=40\) and \(a_{n+1}=a_n-3n\), what is \(a_4\)?
D. 22
पुनरावर्ती नियम में हर बार n का मान बदलता है। इसलिए a_2=40-3(1)=37, a_3=37-3(2)=31 और a_4=31-3(3)=22 होता है। अतः सही उत्तर 22 है। 16 चुनना तब गलत होगा जब 3n के बदलते मानों के बजाय समान घटाव मान लिया जाए। परीक्षा टिप: a_4 निकालने के लिए नियम को क्रमशः n=1, 2 और 3 पर लागू करें। / In the recursive rule, the value of n changes at each step. Thus, a_2=40-3(1)=37, a_3=37-3(2)=31, and a_4=31-3(3)=22. Therefore, the correct answer is 22. Choosing 16 would result from incorrectly using a fixed subtraction instead of the changing value of 3n. Exam tip: to find a_4, apply the rule successively for n=1, 2, and 3.
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If \(a_1=2\) and \(a_{n+1}=2a_n+n\), what is the value of \(a_4\)?
C. (27)
पद (2,5,12,27) हैं इसलिए \(a_4=27\) है। पहले पिछले पद को दोगुना करें फिर (n) जोड़ें। / The terms are (2,5,12,27), so \(a_4=27\). Exam tip: double the previous term first and then add (n).
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If \(a_1=5\) and \(a_{n+1}=2a_n-2n\), what is \(a_4\)?
A. 18
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक नया पद पिछले पद से निकाला जाता है। अतः a_2=2(5)-2(1)=8, a_3=2(8)-2(2)=12 और a_4=2(12)-2(3)=18। इसलिए सही उत्तर 18 है। 20 जैसा विकल्प तब मिल सकता है जब अंतिम चरण में 2n को घटाना भूल जाएँ। परीक्षा टिप: a_4 निकालते समय n=1, फिर 2 और फिर 3 क्रम से रखें। / In a recursive rule, each new term is calculated from the preceding term. Thus, a_2=2(5)-2(1)=8, a_3=2(8)-2(2)=12, and a_4=2(12)-2(3)=18. Therefore, 18 is correct. A value such as 20 may result from forgetting to subtract 2n in the final step. Exam tip: to find a_4, substitute n=1, then 2, then 3 in order.
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If \(a_1=5\) and \(a_{n+1}=2a_n-2n\), what is \(a_3\)?
C. 12
पुनरावर्ती नियम में पहले \(n=1\) रखने पर \(a_2=2(5)-2(1)=8\) मिलता है। फिर \(n=2\) रखने पर \(a_3=2(8)-2(2)=12\) होगा। इसलिए सही उत्तर 12 है। 14 तब मिल सकता है जब दूसरे चरण में \(2n\) के लिए गलती से 2 घटाया जाए; वहाँ \(n=2\) होने से 4 घटाना है। परीक्षा टिप: प्रत्येक नए पद के लिए \(n\) का मान एक बढ़ाकर लिखें। / Using the recursive rule with \(n=1\), \(a_2=2(5)-2(1)=8\). Next, with \(n=2\), \(a_3=2(8)-2(2)=12\). Hence, 12 is correct. The answer 14 can result from incorrectly subtracting 2 in the second step; since \(n=2\), the term \(2n\) equals 4. Exam tip: write the value of \(n\) separately at every step of a recursive rule.
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If \(a_1=1\), \(a_2=4\), and \(a_n=a_{n-1}+2a_{n-2}\), what is \(a_5\)?
C. (26)
पद (1,4,6,14,26) हैं इसलिए \(a_5=26\) है। पिछले दो पदों में दूसरे पिछले पद को (2) से गुणा करें। / The terms are (1,4,6,14,26), so \(a_5=26\). Exam tip: multiply the second previous term by (2).
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If \(a_1=2\), \(a_2=5\), and \(a_n=2a_{n-1}-a_{n-2}\), what is \(a_6\)?
C. 17
पुनरावृत्ति नियम से प्रत्येक नया पद पिछले पद का दोगुना लेकर उससे उसके पहले वाले पद को घटाने पर मिलता है। अतः \(a_3=2(5)-2=8\), \(a_4=2(8)-5=11\), \(a_5=2(11)-8=14\) और \(a_6=2(14)-11=17\)। इसलिए सही उत्तर 17 है। 14 निकटतम भ्रामक विकल्प है, क्योंकि वह \(a_5\) है, \(a_6\) नहीं। परीक्षा टिप: दो-पद वाले पुनरावृत्ति नियम में हर नए पद के साथ उसका क्रमांक अवश्य लिखें। / Using the recursive rule, each new term is found by doubling the previous term and subtracting the term before it. Thus, \(a_3=2(5)-2=8\), \(a_4=2(8)-5=11\), \(a_5=2(11)-8=14\), and \(a_6=2(14)-11=17\). Therefore, 17 is correct. The close distractor 14 is \(a_5\), not \(a_6\). Exam tip: when using a two-term recursive rule, write the term number beside each calculated term.
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If \(a_1=3\) and \(a_{n+1}=a_n+n^2\), what is \(a_5\)?
C. 33
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक अगला पद पाने के लिए क्रमशः n का वर्ग जोड़ा जाता है। इसलिए \(a_2=3+1^2=4\), \(a_3=4+2^2=8\), \(a_4=8+3^2=17\) और \(a_5=17+4^2=33\)। अतः सही उत्तर 33 है। 30 तब मिलता यदि वर्गों के स्थान पर गलत वृद्धि जोड़ी जाए। परीक्षा टिप: \(a_5\) तक पहुँचने के लिए \(1^2\) से \(4^2\) तक के वर्ग ही जोड़ें। / The recursive rule adds the square of the current index to obtain the next term. Thus, \(a_2=3+1^2=4\), \(a_3=4+2^2=8\), \(a_4=8+3^2=17\), and \(a_5=17+4^2=33\). Therefore, 33 is correct. A value such as 30 would result from using an incorrect increment instead of the required squares. Exam tip: to find \(a_5\), add only \(1^2\) through \(4^2\).
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If \(a_1=3\) and \(a_{n+1}=a_n+n^2\), what is \(a_4\)?
C. 17
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक चरण पर वर्तमान n का वर्ग जोड़ा जाता है। इसलिए \(a_2=3+1^2=4\), \(a_3=4+2^2=8\) और \(a_4=8+3^2=17\)। अतः सही उत्तर 17 है। 14 तब मिल सकता है जब वर्गों के स्थान पर गलत मान जोड़े जाएँ। परीक्षा टिप: \(a_4\) निकालते समय नियम को क्रमशः \(n=1,2,3\) के लिए लागू करें। / In the recursive rule, add the square of the current value of \(n\) at each step. Thus, \(a_2=3+1^2=4\), \(a_3=4+2^2=8\), and \(a_4=8+3^2=17\). Therefore, the correct answer is 17. A value such as 14 can result from adding incorrect values instead of the required squares. Exam tip: to find \(a_4\), apply the rule successively for \(n=1,2,3\).
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If \(a_1=50\) and (a_{n+1}=a_n-(2n+3)), what is \(a_4\)?
A. 29
पुनरावृत्ति नियम में क्रमशः n=1, 2 और 3 रखें। a_2=50-(2×1+3)=45, a_3=45-(2×2+3)=38 तथा a_4=38-(2×3+3)=29। इसलिए सही उत्तर 29 है। 31 तब मिल सकता है जब तीसरे चरण में 9 के स्थान पर 7 घटा दिया जाए, जो गलत है। परीक्षा टिप: a_4 ज्ञात करने के लिए a_1 से शुरू करके नियम को तीन बार लागू करें। / Apply the recursive rule successively for n=1, 2, and 3. a_2=50-(2×1+3)=45, a_3=45-(2×2+3)=38, and a_4=38-(2×3+3)=29. Therefore, 29 is correct. The value 31 can result from incorrectly subtracting 7 instead of 9 in the third step. Exam tip: starting from a_1, apply the rule three times to find a_4.
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If \(a_1=2\) and \(a_{n+1}=3a_n+1\), what is \(a_4\)?
D. 67
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक नया पद पिछले पद को 3 से गुणा करके उसमें 1 जोड़ने पर मिलता है। अतः a_2=3(2)+1=7, a_3=3(7)+1=22 और a_4=3(22)+1=67। इसलिए सही उत्तर 67 है। 64 जैसा विकल्प तब मिल सकता है जब अंतिम चरण में +1 जोड़ना भूल जाएँ। परीक्षा टिप: a_4 निकालने के लिए a_1 से क्रमशः तीन बार नियम लागू करें। / In the recursive rule, each new term is obtained by multiplying the previous term by 3 and adding 1. Thus, a_2=3(2)+1=7, a_3=3(7)+1=22, and a_4=3(22)+1=67. Therefore, 67 is correct. A value such as 64 may result from forgetting to add 1 in the final step. Exam tip: To find a_4 from a_1, apply the rule successively three times.
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If \(a_1=2\) and \(a_{n+1}=3a_n+1\), what is \(a_3\)?
C. 22
दिया है a₁ = 2। पुनरावर्ती नियम से a₂ = 3 × 2 + 1 = 7 और फिर a₃ = 3 × 7 + 1 = 22। अतः सही उत्तर 22 है। 20 तब मिलता यदि अगले पद की गणना में 3 से गुणा करने या 1 जोड़ने में त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: हर नए पद के लिए पहले पिछले पद को 3 से गुणा करें, फिर 1 जोड़ें। / Given a₁ = 2, apply the recursive rule: a₂ = 3 × 2 + 1 = 7. Then a₃ = 3 × 7 + 1 = 22. Therefore, 22 is correct. A value such as 20 results from an error in multiplying by 3 or adding 1 while finding the next term. Exam tip: for each new term, multiply the previous term by 3 first, then add 1.
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If \(a_1=10\) and \(a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+n\), what is \(a_4\)?
A. 5.5
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक चरण पर वर्तमान पद का आधा लेकर उसी चरण का \(n\) जोड़ते हैं। \(a_2=\frac{10}{2}+1=6\), \(a_3=\frac{6}{2}+2=5\), और \(a_4=\frac{5}{2}+3=5.5\)। इसलिए सही उत्तर 5.5 है। 6.5 तब मिलता यदि अंतिम चरण में \(n=4\) जोड़ दिया जाए, जबकि \(a_4\) निकालते समय \(n=3\) होता है। परीक्षा टिप: \(a_{n+1}\) के लिए \(n\) का मान अगले पद के सूचकांक से एक कम लें। / Apply the recursive rule step by step, adding the current value of \(n\) after halving the preceding term. \(a_2=\frac{10}{2}+1=6\), \(a_3=\frac{6}{2}+2=5\), and \(a_4=\frac{5}{2}+3=5.5\). Hence, 5.5 is correct. The value 6.5 would result from incorrectly adding \(4\) in the last step; to find \(a_4\), the rule uses \(n=3\). Exam tip: in \(a_{n+1}\), use an \(n\) value one less than the index of the term being found.
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If \(a_1=10\) and \(a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+n\), what is \(a_3\)?
B. 5
पुनरावर्ती नियम में \(a_2\) ज्ञात करने के लिए \(n=1\) रखें: \(a_2=\frac{10}{2}+1=6\)। फिर \(a_3\) के लिए \(n=2\) रखें: \(a_3=\frac{6}{2}+2=5\)। अतः सही उत्तर 5 है। 6 केवल \(a_2\) है, \(a_3\) नहीं। परीक्षा टिप: \(a_{n+1}\) निकालते समय \(n\) का मान वर्तमान पद के सूचकांक से एक कम लें। / Use \(n=1\) to find the second term: \(a_2=\frac{10}{2}+1=6\). Then use \(n=2\) to find the third term: \(a_3=\frac{6}{2}+2=5\). Therefore, the correct answer is 5. Note that 6 is \(a_2\), not \(a_3\). Exam tip: when finding \(a_{n+1}\), use an \(n\)-value one less than the index of the term required.
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If \(a_1=1\), \(a_2=3\), and \(a_n=2a_{n-1}+a_{n-2}\), what is \(a_5\)?
D. 41
पुनरावर्ती नियम से क्रमशः \(a_3=2(3)+1=7\), \(a_4=2(7)+3=17\) और \(a_5=2(17)+7=41\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 41 है। 17 निकट का भ्रामक विकल्प है, क्योंकि वह \(a_4\) है, \(a_5\) नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में प्रत्येक अगला पद क्रम से लिखें और पद का सूचकांक अवश्य जाँचें। / Using the recursive rule, \(a_3=2(3)+1=7\), \(a_4=2(7)+3=17\), and \(a_5=2(17)+7=41\). Hence, the correct answer is 41. The close distractor 17 is \(a_4\), not \(a_5\). Exam tip: write each term in sequence and check the subscript carefully.
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If \(a_1=1\), \(a_2=3\), and \(a_n=2a_{n-1}+a_{n-2}\), what is \(a_4\)?
C. 17
पुनरावर्ती नियम से पहले तीसरा पद निकालें: \(a_3=2a_2+a_1=2(3)+1=7\)। अब \(a_4=2a_3+a_2=2(7)+3=17\)। इसलिए सही उत्तर 17 है। 15 जैसा विकल्प पिछले पद को सही ढंग से 2 से गुणा न करने पर मिल सकता है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में मांगे गए पद तक एक-एक करके सभी मध्यवर्ती पद अवश्य लिखें। / First find the third term using the recursive rule: \(a_3=2a_2+a_1=2(3)+1=7\). Then \(a_4=2a_3+a_2=2(7)+3=17\). Therefore, 17 is correct. A value such as 15 can result from not multiplying the previous term correctly by 2. Exam tip: write every intermediate term step by step until the required term is reached.
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If \(a_1=4\) and \(a_{n+1}=a_n+3n-1\), what is \(a_5\)?
B. 30
पुनरावर्ती नियम में क्रमशः n=1,2,3,4 रखने पर जोड़े जाने वाले मान 2, 5, 8 और 11 मिलते हैं। इसलिए पद हैं: 4, 6, 11, 19, 30। अतः a_5=30 है। 32 तब मिलता यदि अंतिम वृद्धि 11 के स्थान पर 13 ली जाती, जो नियम के अनुसार सही नहीं है। परीक्षा टिप: प्रत्येक नए पद के लिए n का अगला मान ही रखें। / Substituting n=1,2,3,4 in the recursive rule gives successive additions of 2, 5, 8, and 11. Hence the terms are 4, 6, 11, 19, 30, so a_5=30. The value 32 would require using 13 instead of 11 in the final step, which does not follow the rule. Exam tip: use the next value of n at each recursive step.
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If \(a_1=4\) and \(a_{n+1}=a_n+3n-1\), what is \(a_4\)?
C. 19
पुनरावर्ती नियम में हर बार n का अगला मान लेना होता है। n=1 पर a_2=4+3(1)-1=6, n=2 पर a_3=6+3(2)-1=11, और n=3 पर a_4=11+3(3)-1=19। अतः सही उत्तर 19 है। 17 जैसा विकल्प तब आ सकता है जब 3n-1 के बदलते मान को सही ढंग से न लिया जाए। परीक्षा टिप: a_4 ज्ञात करने के लिए नियम को क्रमशः n=1, 2 और 3 पर लागू करें। / In a recursive rule, use the next value of n at each step. For n=1, a_2=4+3(1)-1=6; for n=2, a_3=6+3(2)-1=11; and for n=3, a_4=11+3(3)-1=19. Therefore, 19 is correct. A choice such as 17 may result from not updating the value of 3n-1 at every step. Exam tip: To find a_4, apply the rule successively for n=1, 2, and 3.
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If \(a_1=2\) and \(a_{n+1}=a_n^2-1\), what is \(a_3\)?
B. 8
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक नया पद पिछले पद से निकाला जाता है। पहले, \(a_2=a_1^2-1=2^2-1=3\)। फिर \(a_3=a_2^2-1=3^2-1=8\)। इसलिए सही उत्तर 8 है। 6 का उत्तर तब आ सकता है जब वर्ग करने के बजाय केवल 1 घटाने जैसी गलती की जाए। परीक्षा टिप: \(a_3\) निकालने से पहले \(a_2\) अवश्य ज्ञात करें। / In a recursive rule, each new term is calculated from the previous term. First, \(a_2=a_1^2-1=2^2-1=3\). Then \(a_3=a_2^2-1=3^2-1=8\). Therefore, the correct answer is 8. An answer such as 6 may result from subtracting 1 without correctly squaring the previous term. Exam tip: always find \(a_2\) before calculating \(a_3\).
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If \(a_1=6\) and \(a_{n+1}=a_n+n+2\), what is the value of \(a_5\)?
D. 24
पुनरावर्ती नियम में क्रमशः अलग-अलग मान जोड़े जाते हैं। जब \(n=1,2,3,4\) हो, तो जोड़ क्रमशः \(3,4,5,6\) होंगे। अतः \(a_2=9\), \(a_3=13\), \(a_4=18\) और \(a_5=24\) प्राप्त होता है। इसलिए 24 सही उत्तर है; 18 वास्तव में \(a_4\) है। परीक्षा टिप: \(a_{n+1}\) निकालते समय पहले वर्तमान पद का सूचकांक \(n\) रखें। / The recursive rule adds a different value at each step. For \(n=1,2,3,4\), the added values are \(3,4,5,6\), respectively. Thus \(a_2=9\), \(a_3=13\), \(a_4=18\), and \(a_5=24\). Hence, 24 is correct; 18 is actually \(a_4\). Exam tip: while finding \(a_{n+1}\), substitute the index \(n\) of the current term first.
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If \(a_1=7\) and \(a_{n+1}=a_n+4n+1\), what is \(a_4\)?
D. 34
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक अगला पद पिछले पद से निकाला जाता है। n=1 पर a_2=7+4(1)+1=12, n=2 पर a_3=12+4(2)+1=21, और n=3 पर a_4=21+4(3)+1=34। अतः सही उत्तर 34 है। 32 जैसा उत्तर तब आ सकता है जब 4n+1 की वृद्धि को गलत गिना जाए। परीक्षा टिप: a_4 ज्ञात करने के लिए नियम में n=1, 2 और 3 क्रम से रखें। / In a recursive rule, each new term is found from the preceding term. For n=1, a_2=7+4(1)+1=12; for n=2, a_3=12+4(2)+1=21; and for n=3, a_4=21+4(3)+1=34. Therefore, the correct answer is 34. An answer such as 32 can result from calculating the increment 4n+1 incorrectly. Exam tip: to find a_4, substitute n=1, 2, and 3 successively.
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If \(a_1=80\) and \(a_{n+1}=\frac{a_n}{2}-n\), what is \(a_3\)?
B. 17.5
पुनरावर्ती नियम में पहले \(n=1\) रखकर \(a_2\) ज्ञात करें: \(a_2=\frac{80}{2}-1=39\)। फिर \(n=2\) रखने पर \(a_3=\frac{39}{2}-2=19.5-2=17.5\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प 17.5 है। विकल्प 17 तब मिल सकता है जब \(\frac{39}{2}\) को गलती से पूर्णांक मान लिया जाए। परीक्षा टिप: प्रत्येक अगले पद के लिए नियम में \(n\) का सही क्रमांक रखें। / Use the recursive rule first with \(n=1\): \(a_2=\frac{80}{2}-1=39\). Next, use \(n=2\): \(a_3=\frac{39}{2}-2=19.5-2=17.5\). Hence, 17.5 is the correct answer. The option 17 may result from incorrectly treating \(\frac{39}{2}\) as an integer. Exam tip: substitute the correct term number for \(n\) at every step.
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If \(a_1=84\) and \(a_{n+1}=\frac{a_n}{2}-n\), what is \(a_3\)?
C. (19)
\(a_2=42-1=41\) और \(a_3=\frac{41}{2}-2=18.5\) नहीं है। सरल विकल्पों से बचने के लिए चरण जाँचें। / \(a_2=42-1=41\) and \(a_3=\frac{41}{2}-2=18.5\). Check steps carefully before choosing integer options.
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If \(a_1=88\) and \(a_{n+1}=\frac{a_n}{2}-n\), what is \(a_2\)?
B. 43
\(a_2\) ज्ञात करने के लिए पुनरावर्ती नियम में \(n=1\) रखें, क्योंकि \(a_1\) से अगला पद \(a_2\) बनता है। अतः \(a_2=\frac{a_1}{2}-1=\frac{88}{2}-1=44-1=43\)। विकल्प 44 में केवल 88 का आधा किया गया है; नियम के अनुसार 1 भी घटाना आवश्यक है। परीक्षा टिप: \(a_{n+1}\) के लिए अगला पद निकालते समय वर्तमान पद का सूचकांक \(n\) रखें। / To find \(a_2\), substitute \(n=1\) in the recursive rule, since \(a_1\) produces the next term \(a_2\). Thus, \(a_2=\frac{a_1}{2}-1=\frac{88}{2}-1=44-1=43\). Option 44 only halves 88; the rule also requires subtracting 1. Exam tip: when finding the next term from \(a_n\), use the index of the current term for \(n\).
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Which of the following rules defines a sequence recursively?
B. \(a_1=4,\;a_n=a_{n-1}+2\;(n\ge2)\)
विकल्प B में आरम्भिक पद \(a_1=4\) दिया है और प्रत्येक नया पद पिछले पद \(a_{n-1}\) से बनता है, इसलिए यह पुनरावर्ती नियम है। A, C और D में पद सीधे \(n\) से मिलते हैं। परीक्षा में आरम्भिक पद और पिछले पद का संकेत देखें। / Option B gives an initial term, \(a_1=4\), and forms each new term from the preceding term \(a_{n-1}\), so it is recursive. In A, C, and D, terms are obtained directly from \(n\). Exam tip: look for an initial value and a previous-term relation.
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B. \(a_1=3,\ a_n=a_{n-1}+4\)
विकल्प B में \(a_n\) ज्ञात करने के लिए पहले \(a_{n-1}\) चाहिए, इसलिए यह पुनरावर्ती नियम है। जैसे \(a_2=3+4=7\)। परीक्षा में पिछले पद वाला संकेत देखें। / In option B, finding \(a_n\) requires \(a_{n-1}\), so it is recursive. For example, \(a_2=3+4=7\). In exams, look for a rule involving an earlier term.
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If \(a_1=5\) and (a_{n+1}=a_n+(-1)^n), what is \(a_5\)?
C. (5)
पद (5,4,5,4,5) हैं इसलिए \(a_5=5\) है। ((-1)^n) में सम और विषम (n) का चिह्न बदलता है। / The terms are (5,4,5,4,5), so \(a_5=5\). Exam tip: the sign of ((-1)^n) changes with even and odd (n).
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If \(a_1=4\) and (a_{n+1}=a_n+2(-1)^n), what is \(a_4\)?
A. \(2\)
पुनरावृत्ति नियम में \((-1)^n\) का चिन्ह बारी-बारी से बदलता है। \(n=1\) पर \(a_2=4+2(-1)=2\), \(n=2\) पर \(a_3=2+2(1)=4\), और \(n=3\) पर \(a_4=4+2(-1)=2\)। इसलिए सही उत्तर \(2\) है। \(4\) केवल तीसरा पद है, चौथा पद नहीं। परीक्षा टिप: पुनरावृत्ति प्रश्नों में आवश्यक पद तक \(n\) के मान क्रम से रखकर पद लिखें। / In the recursive rule, the sign of \((-1)^n\) alternates. For \(n=1\), \(a_2=4+2(-1)=2\); for \(n=2\), \(a_3=2+2(1)=4\); and for \(n=3\), \(a_4=4+2(-1)=2\). Therefore, the correct answer is \(2\). The value \(4\) is the third term, not the fourth term. Exam tip: In recursive-sequence questions, calculate terms one step at a time up to the required term.
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If \(a_1=4\) and (a_{n+1}=a_n+2(-1)^n), what is \(a_3\)?
B. 4
पहले n=1 रखने पर a_2=4+2(-1)1=4-2=2 प्राप्त होता है। फिर n=2 रखने पर a_3=2+2(-1)2=2+2=4 होगा। इसलिए सही उत्तर 4 है। विकल्प 2, a_2 का मान है, a_3 का नहीं। परीक्षा टिप: पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक नया पद निकालते समय n का सही मान अलग-अलग रखें। / Putting n=1 gives a_2=4+2(-1)1=4-2=2. Then, putting n=2 gives a_3=2+2(-1)2=2+2=4. Therefore, the correct answer is 4. Option 2 is the value of a_2, not a_3. Exam tip: in a recursive rule, substitute the correct value of n at each step.
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If \(a_1=1\) and \(a_{n+1}=a_n+2^n\), what is \(a_5\)?
C. 31
पुनरावर्ती नियम में हर चरण पर वर्तमान पद में 2 की क्रमशः बढ़ती घात जोड़ी जाती है। अतः a_2=1+21=3, a_3=3+22=7, a_4=7+23=15 और a_5=15+24=31। इसलिए सही उत्तर 31 है। 35 तब मिलता यदि अंतिम चरण में 16 के बजाय 20 जोड़ा जाता, जो दिए गए नियम के अनुसार गलत है। परीक्षा टिप: a_5 निकालने के लिए n=1 से n=4 तक ही नियम लागू करें। / The recursive rule adds successive powers of 2 to the current term. Thus, a_2=1+21=3, a_3=3+22=7, a_4=7+23=15, and a_5=15+24=31. Therefore, 31 is correct. The value 35 would require adding 20 instead of 16 in the last step, which does not follow the rule. Exam tip: to find a_5, apply the recurrence only for n=1 through n=4.
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If \(a_1=100\) and \(a_{n+1}=a_n-2^n\), what is \(a_4\)?
C. 86
पुनरावृत्त नियम में प्रत्येक नया पद पिछले पद से प्राप्त होता है। क्रमशः, a_2=100-21=98, a_3=98-22=94, a_4=94-23=86। अतः सही उत्तर 86 है। 84 प्राप्त करना एक सामान्य गलती है, जो घातों के मानों को सही क्रम में न घटाने से हो सकती है। परीक्षा टिप: a_4 निकालने के लिए n=1, 2 और 3 के मानों का प्रयोग करें। / Each new term is obtained from the preceding term using the recursive rule. Thus, a_2=100-21=98, a_3=98-22=94, and a_4=94-23=86. Therefore, the correct answer is 86. A common error is to get 84 by not subtracting the powers of 2 in the correct order. Exam tip: to find a_4, apply the rule for n=1, 2, and 3.
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If \(a_1=3\) and (a_{n+1}=a_n+n(n+1)), what is \(a_4\)?
D. 23
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक चरण पर वर्तमान n का मान लें। a_2=3+1(2)=5, a_3=5+2(3)=11 और a_4=11+3(4)=23। अतः सही उत्तर 23 है। 21 तब मिलता यदि अंतिम वृद्धि को 10 मान लिया जाए, जबकि n=3 पर वृद्धि 3×4=12 होती है। परीक्षा टिप: a_4 निकालने के लिए नियम को क्रमशः n=1, 2 और 3 के लिए लागू करें। / Apply the recursive rule using the current value of n at each step. a_2=3+1(2)=5, a_3=5+2(3)=11, and a_4=11+3(4)=23. Therefore, the correct answer is 23. The value 21 would result from incorrectly taking the final increment as 10; for n=3, the increment is 3×4=12. Exam tip: To find a_4, apply the rule successively for n=1, 2, and 3.
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If \(a_1=60\) and (a_{n+1}=a_n-n(n+1)), what is \(a_4\)?
A. 40
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक चरण पर वर्तमान पद से \(n(n+1)\) घटता है। \(a_2=60-1\times2=58\), \(a_3=58-2\times3=52\), और \(a_4=52-3\times4=40\)। इसलिए सही उत्तर 40 है। 42 निकट विकल्प लग सकता है, लेकिन तीसरे चरण में \(3\times4=12\) घटाना होता है, 10 नहीं। परीक्षा टिप: \(a_4\) निकालने के लिए नियम में \(n=1,2,3\) क्रमशः लगाएँ। / In the recursive rule, subtract \(n(n+1)\) from the current term at each step. \(a_2=60-1\times2=58\), \(a_3=58-2\times3=52\), and \(a_4=52-3\times4=40\). Therefore, the correct answer is 40. Option 42 may seem close, but the third step requires subtracting \(3\times4=12\), not 10. Exam tip: to find \(a_4\), apply the rule successively for \(n=1,2,3\).
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If \(a_1=2\) and \(a_{n+1}=a_n+2a_1\), what is \(a_4\)?
C. \(14\)
दिया है \(a_1=2\), इसलिए \(2a_1=4\)। अतः प्रत्येक अगले पद में 4 जुड़ता है: \(a_2=2+4=6\), \(a_3=6+4=10\) और \(a_4=10+4=14\)। इसलिए सही उत्तर \(14\) है। \(16\) पाने के लिए 4 को एक बार अतिरिक्त जोड़ना पड़ेगा। परीक्षा टिप: पुनरावृत्ती नियम में पहले \(a_1\) का मान रखकर पदों को क्रम से निकालें। / Given \(a_1=2\), we have \(2a_1=4\). Thus, 4 is added to each successive term: \(a_2=2+4=6\), \(a_3=6+4=10\), and \(a_4=10+4=14\). Therefore, the correct answer is \(14\). Getting \(16\) would mean adding 4 one extra time. Exam tip: In a recursive rule, substitute the first-term value and calculate the terms in order.
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If \(a_1=6\) and \(a_{n+1}=a_n+a_1+n\), what is \(a_3\)?
C. 21
पुनरावर्ती नियम में पहले \(n=1\) रखकर \(a_2\) ज्ञात करें: \(a_2=a_1+a_1+1=6+6+1=13\)। फिर \(n=2\) रखने पर \(a_3=a_2+a_1+2=13+6+2=21\)। इसलिए सही उत्तर 21 है। 20 तब मिलता यदि अंतिम चरण में \(n=1\) को फिर से उपयोग कर दिया जाए, जो गलत है। परीक्षा टिप: प्रत्येक नए पद के लिए \(n\) का मान एक बढ़ाएँ। / In the recursive rule, first use \(n=1\) to find \(a_2\): \(a_2=a_1+a_1+1=6+6+1=13\). Then use \(n=2\): \(a_3=a_2+a_1+2=13+6+2=21\). Therefore, the correct answer is 21. Option 20 could result from incorrectly using \(n=1\) again in the second step. Exam tip: increase the value of \(n\) by 1 for each next term.
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If \(a_1=2\), \(a_2=3\), and \(a_n=a_{n-1}+n\), what is \(a_5\)?
C. 15
पुनरावर्ती नियम के अनुसार प्रत्येक पद पाने के लिए पिछले पद में उसका क्रमांक जोड़ते हैं। इसलिए \(a_3=3+3=6\), \(a_4=6+4=10\), और \(a_5=10+5=15\)। अतः सही उत्तर 15 है। 14 प्राप्त करने के लिए अंतिम चरण में 5 जोड़ने के बजाय 4 जोड़ने की गलती हो सकती है। परीक्षा टिप: पुनरावर्ती अनुक्रम में आवश्यक पद तक एक-एक करके पद लिखें और हर चरण में सही सूचकांक जोड़ें। / Using the recursive rule, add the term’s index to the preceding term. Thus, \(a_3=3+3=6\), \(a_4=6+4=10\), and \(a_5=10+5=15\). Therefore, the correct answer is 15. The value 14 can result from incorrectly adding 4 instead of 5 in the final step. Exam tip: In a recursive sequence, write the terms step by step and use the correct index at each step.
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If \(a_1=2\), \(a_2=3\), and \(a_n=a_{n-1}+n\), what is \(a_4\)?
C. 10
पुनरावर्ती नियम के अनुसार प्रत्येक नया पद पिछले पद में उसका वर्तमान सूचकांक जोड़कर मिलता है। इसलिए \(a_3=a_2+3=3+3=6\) और \(a_4=a_3+4=6+4=10\)। अतः सही उत्तर 10 है। 9 तब मिलता यदि \(a_3\) के बाद 3 जोड़ा जाता, जबकि नियम में \(a_4\) के लिए 4 जोड़ना है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में आवश्यक पद तक एक-एक करके मान निकालें। / By the recursive rule, each new term is obtained by adding its current index to the previous term. Thus, \(a_3=a_2+3=3+3=6\) and \(a_4=a_3+4=6+4=10\). Therefore, the correct answer is 10. The value 9 would result from adding 3 again after \(a_3\), but the rule requires adding 4 to find \(a_4\). Exam tip: calculate recursive sequences one term at a time up to the required term.
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If \(a_1=5\) and \(a_{n+1}=a_n+4\), what is \(a_7\)?
B. 29
पुनरावर्ती नियम के अनुसार प्रत्येक नया पद पिछले पद में 4 जोड़कर मिलता है। इसलिए सातवें पद तक 6 बार 4 जोड़ेंगे: \(a_7=5+6\times4=29\)। अतः सही उत्तर 29 है। 25 तब मिलता है जब 4 को केवल 5 बार जोड़ा जाए, इसलिए वह छठा पद है। परीक्षा टिप: \(a_1\) से \(a_n\) तक जाने के लिए वृद्धि को \(n-1\) बार जोड़ें। / The recursive rule adds 4 to each previous term. To reach the seventh term from the first term, add 4 six times: \(a_7=5+6\times4=29\). Therefore, 29 is correct. The value 25 results from adding 4 only five times, so it is the sixth term. Exam tip: from \(a_1\) to \(a_n\), add the common increase \(n-1\) times.
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If \(a_1=12\) and \(a_{n+1}=a_n+6\), which term is (42)?
B. (6)वाँ(6)th
पद (12,18,24,30,36,42) हैं इसलिए (42) छठा पद है। पदों को क्रमांक के साथ लिखें। / The terms are (12,18,24,30,36,42), so (42) is the sixth term. Exam tip: write terms with their positions.
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Which of the following recursive rules defines the sequence \(5,8,11,14,\ldots\)?
B. \(a_1=5,\ a_{n+1}=a_n+3\)
हर पद पिछले पद से 3 अधिक है। \(a_1=5\) लेने पर \(a_2=a_1+3=8\) और फिर \(a_3=11\) मिलता है, इसलिए B सही है। परीक्षा में पहले दो पदों के बीच का अंतर जाँचें। / Each term is 3 more than the preceding term. With \(a_1=5\), \(a_2=a_1+3=8\) and then \(a_3=11\), so B is correct. In exams, check the difference between the first two terms.
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If \(a_1=3\) and \(a_{n+1}=2a_n+2\), what is the value of \(a_3-a_2\)?
B. 10
दिया है कि \(a_1=3\)। अतः \(a_2=2\times 3+2=8\) और \(a_3=2\times 8+2=18\)। इसलिए \(a_3-a_2=18-8=10\)। विकल्प 12 तब मिलता यदि पदों की गणना या घटाव में त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: पुनरावर्ती नियम में आवश्यक पदों को क्रम से निकालकर ही अंतर ज्ञात करें। / Given \(a_1=3\), we get \(a_2=2\times3+2=8\) and \(a_3=2\times8+2=18\). Hence, \(a_3-a_2=18-8=10\). Option 12 can result from an error while finding a term or subtracting. Exam tip: in a recursive sequence, calculate the required terms in order before finding their difference.
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If \(a_1=2\), \(a_2=5\), and \(a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+1\), what is \(a_5\)?
C. 23
पुनरावर्ती नियम में हर नए पद के लिए पिछले दो पदों का योग लेकर 1 जोड़ना है। इसलिए a₃ = 5 + 2 + 1 = 8, a₄ = 8 + 5 + 1 = 14 और a₅ = 14 + 8 + 1 = 23। अतः सही उत्तर 23 है। 22 तब मिलता यदि अंतिम चरण में अतिरिक्त 1 न जोड़ा जाए। परीक्षा टिप: प्रत्येक नया पद निकालते समय दिए गए नियम का +1 अलग से अवश्य लिखें। / The recursive rule requires adding the previous two terms and then adding 1. Thus, a₃ = 5 + 2 + 1 = 8, a₄ = 8 + 5 + 1 = 14, and a₅ = 14 + 8 + 1 = 23. Therefore, 23 is correct. The value 22 would result from omitting the extra 1 in the final step. Exam tip: write the +1 separately at every step when using the rule.
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If \(a_1=2\), \(a_2=5\), and \(a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+1\), what is \(a_4\)?
D. 14
पुनरावर्ती नियम के अनुसार प्रत्येक नया पद पिछले दो पदों का योग लेकर उसमें 1 जोड़ने से मिलता है। इसलिए \(a_3=5+2+1=8\) और \(a_4=8+5+1=14\)। अतः सही उत्तर 14 है। 13 पाने में सामान्य गलती अतिरिक्त 1 को छोड़ देना है। परीक्षा टिप: \(a_4\) निकालने से पहले \(a_3\) अवश्य ज्ञात करें। / By the recursive rule, each new term is the sum of the previous two terms plus 1. Thus, \(a_3=5+2+1=8\), and \(a_4=8+5+1=14\). Therefore, the correct answer is 14. A common error is to omit the extra 1, which can lead to 13. Exam tip: find \(a_3\) before calculating \(a_4\).
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If \(a_1=4\) and \(a_{n+1}=3a_n-2\), what is \(a_3\)?
B. 28
पुनरावृत्ति नियम से पहले दूसरा पद निकालते हैं: \(a_2=3\times4-2=10\)। फिर \(a_3=3\times10-2=28\)। इसलिए सही उत्तर 28 है। 26 तब मिल सकता है जब दूसरे चरण में घटाने या गुणा करने में त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: \(a_3\) ज्ञात करने के लिए नियम को क्रमशः \(a_1\) पर दो बार लागू करें। / Apply the recursive rule to find the second term first: \(a_2=3\times4-2=10\). Then \(a_3=3\times10-2=28\). Therefore, 28 is correct. A result such as 26 can arise from an error in multiplication or subtraction in the second step. Exam tip: to find \(a_3\), apply the rule twice, starting from \(a_1\).
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If \(a_1=6\) and \(a_{n+1}=a_n+5n-2\), what is \(a_4\)?
D. 30
पुनरावर्ती नियम में क्रमशः n=1, 2 और 3 रखने पर मिलता है: a_2=6+5(1)-2=9, a_3=9+5(2)-2=17 और a_4=17+5(3)-2=30। अतः सही उत्तर 30 है। 29 जैसी संख्या तब आ सकती है जब अंतिम चरण में 5n-2 की गणना गलत की जाए। परीक्षा टिप: a_4 निकालने के लिए नियम में n=1 से n=3 तक क्रम से मान रखें। / Using the recursive rule successively for n=1, 2, and 3: a_2=6+5(1)-2=9, a_3=9+5(2)-2=17, and a_4=17+5(3)-2=30. Therefore, the correct answer is 30. A value such as 29 can result from incorrectly evaluating 5n-2 in the final step. Exam tip: to find a_4, apply the rule step by step from n=1 to n=3.
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If \(a_1=6\) and \(a_{n+1}=a_n+5n-2\), what is \(a_3\)?
B. 17
पुनरावर्ती नियम में पहले क्रमशः अगले पद निकालते हैं। जब \(n=1\), तब \(a_2=6+5(1)-2=9\)। फिर \(n=2\) रखने पर \(a_3=9+5(2)-2=17\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर 17 है। 19 तब मिलता यदि दूसरे चरण में \(n\) का मान गलत लिया जाता। परीक्षा टिप: \(a_{n+1}\) ज्ञात करने के लिए हर चरण में \(n\) का सही मान रखें। / Use the recursive rule one step at a time. For \(n=1\), \(a_2=6+5(1)-2=9\). Then, for \(n=2\), \(a_3=9+5(2)-2=17\). Hence, 17 is correct. The value 19 can result from using an incorrect value of \(n\) in the second step. Exam tip: substitute the correct value of \(n\) at each stage of a recursive rule.
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If \(a_1=1\) and \(a_{n+1}=a_n+n^2+n\), what is \(a_4\)?
B. 21
पुनरावर्ती नियम में क्रमशः n=1, 2, 3 रखिए। a_2=1+\(1^2+1\)=3, a_3=3+\(2^2+2\)=9 और a_4=9+\(3^2+3\)=21। अतः सही उत्तर 21 है। 23 तब मिलता यदि अंतिम वृद्धि 12 के स्थान पर 14 ली जाती, जो गलत है। परीक्षा टिप: a_4 ज्ञात करने के लिए नियम को केवल n=1 से n=3 तक लागू करें। / Apply the recursive rule successively for n=1, 2, and 3. We get a_2=1+\(1^2+1\)=3, a_3=3+\(2^2+2\)=9, and a_4=9+\(3^2+3\)=21. Therefore, the correct answer is 21. The value 23 would result from incorrectly using 14 instead of 12 as the final increment. Exam tip: To find a_4, apply the rule only from n=1 through n=3.
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If \(a_1=1\) and \(a_{n+1}=a_n+n^2+n\), what is \(a_3\)?
B. 9
पुनरावर्ती नियम में पहले n=1 रखने पर a_2=a_1+12+1=1+2=3 मिलता है। फिर n=2 रखने पर a_3=a_2+22+2=3+6=9 होता है। इसलिए सही उत्तर 9 है। 7 प्राप्त करना 22+2 के स्थान पर गलत वृद्धि जोड़ने से हो सकता है। परीक्षा टिप: प्रत्येक नए पद के लिए n का अगला मान अलग से रखें। / Using n=1 first, a_2=a_1+12+1=1+2=3. Then, using n=2, a_3=a_2+22+2=3+6=9. Therefore, the correct answer is 9. The value 7 can result from using an incorrect increment instead of 22+2. Exam tip: substitute the next value of n separately for each new term.
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If \(a_1=9\) and \(a_{n+1}=a_n+2a_n\), what is \(a_3\)?
D. \(81\)
दिया गया पुनरावर्ती नियम \(a_{n+1}=a_n+2a_n=3a_n\) है। अतः \(a_2=3\times9=27\) और \(a_3=3\times27=81\)। इसलिए सही उत्तर \(81\) है। \(72\) जैसे विकल्प में प्रत्येक पद को 3 से गुणा करने का नियम सही ढंग से लागू नहीं होता। परीक्षा टिप: पहले समान पदों को जोड़कर पुनरावर्ती नियम को सरल रूप में लिखें। / The recursive rule is \(a_{n+1}=a_n+2a_n=3a_n\). Hence, \(a_2=3\times9=27\) and \(a_3=3\times27=81\). Therefore, \(81\) is correct. An option such as \(72\) does not apply the rule of multiplying each term by 3 correctly. Exam tip: first combine like terms to simplify a recursive rule.
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If \(a_1=12\) and \(a_{n+1}=a_n+\frac{a_n}{2}\), what is \(a_3\)?
B. (27)
पद (12,18,27) हैं इसलिए \(a_3=27\) है। नियम का अर्थ पिछले पद का डेढ़ गुना लेना है। / The terms are (12,18,27), so \(a_3=27\). Exam tip: the rule means taking one and a half times the previous term.
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