Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. असांत और अनावर्ती/Non-terminating and non-repeating
Explanation
Simple Explanation
अपरिमेय संख्या को \(p/q\) के रूप में नहीं लिखा जा सकता, इसलिए उसका दशमलव प्रसार असांत और अनावर्ती होता है। आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। परीक्षा में ‘अनावर्ती’ शब्द पहचानें। / An irrational number cannot be written as \(p/q\), so its decimal expansion is non-terminating and non-repeating. A repeating decimal is rational. Exam tip: look for both features together.
\(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), इसलिए योग \(5\sqrt{2}\) है। पहले मूलों को सरल करें। / \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so the sum is \(5\sqrt{2}\). Simplify radicals first.
A. इसका दशमलव प्रसार असांत और अनावर्ती होता है/Its decimal expansion is non-terminating and non-repeating.
Explanation
Simple Explanation
अपरिमेय संख्या का दशमलव प्रसार कभी समाप्त नहीं होता और उसमें कोई आवर्ती अंक-समूह नहीं बनता। विकल्प C परिमेय संख्या का गुण है। परीक्षा में असांत-अनावर्ती को अपरिमेय पहचानें। / An irrational number has a decimal expansion that never ends and never repeats a block of digits. Option C describes a rational number. Exam tip: non-terminating, non-repeating decimals are irrational.
हर का परिमेयकरण करने पर \(\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}\) मिलता है। संयुग्मी से गुणा करना याद रखें। / Rationalising the denominator gives \(\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}\). Remember to multiply by the conjugate.
एक विद्यार्थी का दावा है कि \(0.10110111011110\ldots\), जिसमें 1 के खंडों की लंबाई क्रमशः 1, 2, 3, 4, ... है और खंडों के बीच 0 है, परिमेय है क्योंकि यह दशमलव रूप में लिखा है। इस दावे में त्रुटि क्या है?
A. यह अपरिमेय है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार असांत और अनावर्ती है।/It is irrational because its decimal expansion is non-terminating and non-repeating.
Explanation
Simple Explanation
केवल दशमलव में लिखा होना परिमेयता सिद्ध नहीं करता। 1 के खंड 1, 2, 3, ... बढ़ते हैं, इसलिए कोई निश्चित आवर्ती भाग नहीं बनता। असांत-अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है। टिप: आवर्तन जाँचें। / Writing a number in decimal form does not make it rational. The blocks of 1s grow as 1, 2, 3, ..., so no fixed repeating block exists. A non-terminating, non-repeating decimal is irrational. Exam tip: check for repetition.
\(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), इसलिए अंतर \(4\sqrt{2}\) है। समान मूलों को घटाना आसान तरीका है। / \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), so the difference is \(4\sqrt{2}\). Subtracting like radicals is the easy method.
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) और \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\), इसलिए कुल \(6\sqrt{3}\) है। सभी पदों को पहले समान मूल में बदलें। / \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) and \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\), so the total is \(6\sqrt{3}\). First convert all terms into like radicals.
इसमें निश्चित दोहराने वाला खंड नहीं है इसलिए यह अपरिमेय है। अनावर्ती दशमलव को आवर्ती समझने से बचें। / It has no fixed repeating block, so it is irrational. Avoid treating a non-repeating decimal as repeating.
समान आधार वाले वर्गमूलों के भाग के लिए \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\) का उपयोग करते हैं। इसलिए \(\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{27}{3}}=\sqrt{9}=3\)। अतः सही उत्तर A है। ध्यान रखें कि \(\sqrt{27}\) और \(\sqrt{3}\) का भाग उनके अंदर की संख्याओं का साधारण भाग नहीं, बल्कि उनके अनुपात का वर्गमूल होता है। / For the quotient of square roots, use \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\). Thus, \(\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{27}{3}}=\sqrt{9}=3\), so option A is correct. The closest distractor, \(\sqrt{3}\), results from failing to simplify the quotient correctly. Exam tip: first divide the radicands when the denominator is nonzero, then simplify the resulting square root.
\(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) और \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), इसलिए योग \(5\sqrt{5}\) है। पहले पूर्ण वर्ग गुणनखंड निकालें। / \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) and \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), so the sum is \(5\sqrt{5}\). First take out perfect-square factors.
क्योंकि (2<5<8), इसलिए \(\sqrt{5}\) इनके बीच है। वर्गमूल की तुलना अंदर की संख्याओं से करें। / Since (2<5<8), \(\sqrt{5}\) lies between them. Compare square roots using the numbers inside.
A. \(3\sqrt{2}\,\text{m}\); यह अपरिमेय है/it is irrational
Explanation
Simple Explanation
वर्ग की भुजा \(=\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}\,\text{m}\) होती है। \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है, इसलिए \(3\sqrt{2}\) भी अपरिमेय है। विकल्प B में लंबाई सही है, पर उसका वर्गीकरण गलत है। परीक्षा टिप: वर्गमूल में पूर्ण-वर्ग गुणनखंड पहले निकालें। / The side of the square is \(\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}\,\text{m}\). Since \(\sqrt{2}\) is irrational, \(3\sqrt{2}\) is also irrational. Option B has the correct length but the wrong classification. Exam tip: first extract perfect-square factors from a square root.
पहला दशमलव असांत और अनावर्ती है इसलिए अपरिमेय है। आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। / The first decimal is non-terminating and non-repeating, so it is irrational. Repeating decimals are rational.
B. रिया गलत है, क्योंकि यह दशमलव अनंत और अनावर्ती है।/Riya is incorrect, because this decimal is non-terminating and non-repeating.
Explanation
Simple Explanation
\(0.1010010001\ldots\) में क्रमिक 1 के बीच शून्यों की संख्या बढ़ती जाती है, इसलिए कोई आवर्ती खंड नहीं बनता। यह अनंत अनावर्ती दशमलव है, अतः अपरिमेय है। परीक्षा में दशमलव का आवर्तन जाँचें। / In \(0.1010010001\ldots\), the zeros between consecutive 1s keep increasing, so no fixed block repeats. Hence it is irrational. Exam tip: identify whether an endless decimal has a repeating pattern.
C. दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है, इसलिए संख्या अपरिमेय है/The decimal expansion is non-terminating and non-repeating, so the number is irrational.
Explanation
Simple Explanation
यह दशमलव समाप्त नहीं होता और इसमें शून्यों की संख्या 1, 2, 3, 4, … बढ़ती जाती है; अतः कोई निश्चित अंक-समूह नहीं दोहराता। इसलिए यह अपरिमेय है। परीक्षा टिप: अनंत अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है। / This decimal never terminates, and the number of zeros increases as 1, 2, 3, 4, …, so no fixed digit block repeats. Hence it is irrational. Exam tip: a non-terminating, non-repeating decimal is irrational.
विकल्प C में \((\sqrt{13})^2=13\), और 13 एक पूर्णांक होने के कारण परिमेय संख्या है। अन्य विकल्पों में अपरिमेय वर्गमूलों को परिमेय संख्या के साथ जोड़ा या घटाया गया है, इसलिए उनका मान अपरिमेय रहता है। परीक्षा-युक्ति: किसी पूर्ण वर्ग के वर्गमूल का वर्ग करने पर मूल चिन्ह हट जाता है। / In option C, \((\sqrt{13})^2=13\), and 13 is an integer, so it is rational. In the other options, an irrational square root is added to or subtracted from a rational number, so the result remains irrational. Exam tip: squaring the square root of a number removes the radical and gives the number itself.
(4) परिमेय है और \(\sqrt{6}\) अपरिमेय है। मिश्रित रूप में मूल वाला पद अपरिमेय भाग होता है। / (4) is rational and \(\sqrt{6}\) is irrational. In a mixed form the radical term is the irrational part.
\(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\) और \(\sqrt{63}=3\sqrt{7}\), इसलिए \(2\sqrt{7}+3\sqrt{7}-\sqrt{7}=4\sqrt{7}\) है। समान मूलों को जोड़ें और घटाएं। / \(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\) and \(\sqrt{63}=3\sqrt{7}\), so \(2\sqrt{7}+3\sqrt{7}-\sqrt{7}=4\sqrt{7}\). Add and subtract like radicals.
\(0.272727\ldots\) में 27 का क्रम बार-बार दोहराता है, इसलिए यह आवर्ती दशमलव है और परिमेय संख्या है। \(\sqrt{2}\) तथा \(\sqrt{5}\) अपरिमेय हैं। परीक्षा टिप: आवर्ती दशमलव हमेशा परिमेय होता है। / In \(0.272727\ldots\), the block 27 repeats, so it is a recurring decimal and therefore rational. \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{5}\) are irrational. Exam tip: every recurring decimal represents a rational number.
धनात्मक पूर्ण संख्या का वर्गमूल अपरिमेय होता है जब वह पूर्ण वर्ग नहीं होती। यही वर्गमूल पहचान का मुख्य नियम है। / The square root of a positive integer is irrational when it is not a perfect square. This is the main rule for identifying square roots.
A. यह अपरिमेय है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है।/It is irrational because its decimal expansion is non-terminating and non-repeating.
Explanation
Simple Explanation
लगातार 1 के बीच शून्यों की संख्या 1, 2, 3, ... बढ़ती जाती है, इसलिए कोई निश्चित अंक-खंड दोहराया नहीं जाता। अतः यह अनंत अनावर्ती दशमलव और अपरिमेय है। परीक्षा-युक्ति: अंकों के प्रकार नहीं, आवर्तन जाँचें। / The numbers of zeros between successive 1s are 1, 2, 3, ... , so no fixed digit block repeats. Hence the decimal is non-terminating and non-repeating, making it irrational. Exam tip: check repetition, not the digits used.
\(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{3}\) अलग अपरिमेय मूल हैं और उनका योग अपरिमेय है। इसे \(\sqrt{5}\) नहीं लिखते। / \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{3}\) are different irrational radicals and their sum is irrational. It is not written as \(\sqrt{5}\).
\(\sqrt{200}=\sqrt{100\times2}=10\sqrt{2}\) है। बड़े पूर्ण वर्ग गुणनखंड से हल छोटा होता है। / \(\sqrt{200}=\sqrt{100\times2}=10\sqrt{2}\). Using a large perfect-square factor makes the solution shorter.
A. विद्यार्थी का कथन गलत है; दशमलव अनंत और अनावर्ती है, इसलिए संख्या अपरिमेय है।/The student's claim is wrong; the decimal is non-terminating and non-repeating, so the number is irrational.
Explanation
Simple Explanation
क्रमागत 1 के बीच शून्यों की संख्या 1, 2, 3, 4, … बढ़ती जाती है, इसलिए कोई निश्चित आवर्ती खंड नहीं बनता। अनंत अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है। परीक्षा में आवर्ती पैटर्न अवश्य जाँचें। / The number of zeros between successive 1s increases as 1, 2, 3, 4, …, so no fixed block repeats. A non-terminating, non-repeating decimal is irrational. Exam tip: always check for a repeating block.
(123) बार-बार दोहरता है इसलिए यह आवर्ती और परिमेय है। आवर्ती दशमलव अपरिमेय नहीं होता। / (123) repeats again and again, so it is repeating and rational. A repeating decimal is not irrational.
\(0.\overline{3}=\frac{1}{3}\) है, इसलिए इसका दशमलव प्रसार असांत होते हुए भी आवर्ती और परिमेय है। अपरिमेय दशमलव असांत तथा अनावर्ती होते हैं। परीक्षा में आवर्ती प्रसार को परिमेय पहचानें। / \(0.\overline{3}=\frac{1}{3}\), so it is non-terminating but repeating and rational. Irrational decimals are non-terminating and non-repeating. Exam tip: identify a recurring block to spot a rational number.
वितरण गुण लगाएँ: \(\sqrt{3}\times\sqrt{3}=3\) तथा \(\sqrt{3}\times\sqrt{12}=\sqrt{36}=6\)। इसलिए दिया गया व्यंजक \(3+6=9\) है। विकल्प 6 केवल दूसरे गुणनफल का मान है; इसमें पहला पद 3 शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: वर्गमूलों का गुणन करते समय पहले \(\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}\) लगाकर सरल करें। / Use the distributive property: \(\sqrt{3}\times\sqrt{3}=3\) and \(\sqrt{3}\times\sqrt{12}=\sqrt{36}=6\). Hence, the expression equals \(3+6=9\). Option 6 is only the value of the second product and omits the first term, 3. Exam tip: when multiplying square roots, simplify using \(\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}\).
C. यह अपरिमेय है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है/It is irrational because its decimal expansion is non-terminating and non-repeating.
Explanation
Simple Explanation
सही उत्तर C है। 1 के बीच शून्यों की संख्या 1, 2, 3, 4, ... बढ़ती है, इसलिए कोई निश्चित आवर्ती खंड नहीं बनता। अनंत अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है। परीक्षा में अंकों के प्रकार नहीं, उनका आवर्तन जाँचें। / C is correct. Zero blocks between 1s have lengths 1, 2, 3, 4, ..., so no fixed block repeats. A non-terminating, non-repeating decimal is irrational. Exam tip: check repetition, not digits.
वितरण नियम से \(\sqrt{2}(3\sqrt{2}+1)=3\sqrt{2}\times\sqrt{2}+\sqrt{2}\) होता है। क्योंकि \(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\), इसलिए सरल रूप \(3\times2+\sqrt{2}=6+\sqrt{2}\) है। विकल्प C में \(\sqrt{2}\) वाले पद को गलत तरीके से दोगुना किया गया है। परीक्षा युक्ति: समान मूल वाले गुणन में \(\sqrt{a}\times\sqrt{a}=a\) का प्रयोग करें। / Using the distributive law, \(\sqrt{2}(3\sqrt{2}+1)=3\sqrt{2}\times\sqrt{2}+\sqrt{2}\). Since \(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\), the simplified form is \(3\times2+\sqrt{2}=6+\sqrt{2}\). Option C incorrectly doubles the term containing \(\sqrt{2}\). Exam tip: use \(\sqrt{a}\times\sqrt{a}=a\) when multiplying identical square roots.
हर के संयुग्मी \(\sqrt{2}-1\) से गुणा करने पर (3\(\sqrt{2}-1\)) मिलता है। इसलिए रूप \(3\sqrt{2}-3\) है। / Multiplying by the conjugate \(\sqrt{2}-1\) gives (3\(\sqrt{2}-1\)). So the form is \(3\sqrt{2}-3\).
दिए गए व्यंजकों को जोड़ने पर \((7+\sqrt{13})+(7-\sqrt{13})=7+7+\sqrt{13}-\sqrt{13}=14\) प्राप्त होता है। यहाँ अपरिमेय पद \(\sqrt{13}\) और \(-\sqrt{13}\) एक-दूसरे को काट देते हैं, इसलिए परिणाम परिमेय संख्या है। परीक्षा-युक्ति: संयुग्मी रूपों \((a+b)\) और \((a-b)\) का योग निकालते समय समान तथा विपरीत चिह्न वाले पदों को पहले मिलाएँ। / Adding the two expressions gives \((7+\sqrt{13})+(7-\sqrt{13})=7+7+\sqrt{13}-\sqrt{13}=14\). The irrational terms \(\sqrt{13}\) and \(-\sqrt{13}\) cancel each other, so the result is the rational number 14. Exam tip: when adding conjugate forms \((a+b)\) and \((a-b)\), combine the matching terms first.
A. यह अपरिमेय है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है।/It is irrational because its decimal expansion is non-terminating and non-repeating.
Explanation
Simple Explanation
विकल्प A सही है। लगातार 1 के बीच शून्य 1, 2, 3, 4, ... हैं, इसलिए कोई निश्चित खंड नहीं दोहरता। ऐसा अनंत अनावर्ती दशमलव अपरिमेय है। परीक्षा टिप: अंकों के प्रकार नहीं, आवर्तन जाँचें। / Option A is correct. Zeros between successive 1s are 1, 2, 3, 4, ...; no fixed block repeats. Thus this non-terminating decimal is irrational. Exam tip: check repetition, not digit types.
परिमेय (4) में अपरिमेय \(\sqrt{5}\) जोड़ने से अपरिमेय संख्या मिलती है। अपरिमेय भाग बचा रहता है। / Adding irrational \(\sqrt{5}\) to rational (4) gives an irrational number. The irrational part remains.
B. (1) और (1) भुजाओं वाला कर्ण/Hypotenuse with legs (1) and (1)
Explanation
Simple Explanation
समकोण त्रिभुज में (1) और (1) भुजाओं का कर्ण \(\sqrt{2}\) होता है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करें। / In a right triangle, legs (1) and (1) give hypotenuse \(\sqrt{2}\). Use Pythagoras theorem.
\(\sqrt{2}\times\sqrt{8}=\sqrt{16}=4\) है जो परिमेय है। दो अपरिमेयों का गुणनफल परिमेय हो सकता है। / \(\sqrt{2}\times\sqrt{8}=\sqrt{16}=4\), which is rational. The product of two irrationals can be rational.
\(\sqrt{20}\div\sqrt{2}=\sqrt{10}\) है जो अपरिमेय है। भाग में मूलों को एक मूल में लिखें। / \(\sqrt{20}\div\sqrt{2}=\sqrt{10}\), which is irrational. Write the roots in division as one root.
वर्ग की भुजा = \(\sqrt{\text{क्षेत्रफल}}\)। इसलिए भुजा \(\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}\) इकाई होगी। अतः सही विकल्प C है। ध्यान रखें कि वर्गमूल को सरल करते समय पूर्ण वर्ग गुणनखंड को उसके वर्गमूल के रूप में बाहर निकाला जाता है; इसलिए \(\sqrt{18}\) का सही सरल रूप \(3\sqrt{2}\) है, न कि \(2\sqrt{3}\)। परीक्षा-युक्ति: पहले संख्या को पूर्ण वर्ग और शेष गुणनखंड के गुणनफल में लिखें। / The side of a square is the square root of its area. Thus, side \(=\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}\) units, so option C is correct. The distractor \(2\sqrt{3}\) is incorrect because its square is \(12\), not \(18\). Exam tip: factor the number under the square root into a perfect square and the remaining factor before simplifying.
रिया का दावा है कि \(0.101001000100001\ldots\) परिमेय है, क्योंकि इसमें केवल 0 और 1 अंक आते हैं। रिया की त्रुटि को कौन-सा कथन सही ढंग से स्पष्ट करता है?
B. यह दशमलव अनावर्ती है; 1 के बीच शून्यों की संख्या बढ़ती जाती है, इसलिए यह अपरिमेय है।/This decimal is non-repeating; the number of zeros between 1s keeps increasing, so it is irrational.
Explanation
Simple Explanation
परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार या तो सांत होता है या आवर्ती। यहाँ 1 के बीच शून्य क्रमशः 1, 2, 3, 4, … हैं, इसलिए कोई आवर्ती खंड नहीं बनता। परीक्षा में अंकों के प्रकार नहीं, आवर्तन जाँचें। / A rational number has a terminating or recurring decimal expansion. Here, the zeros between successive 1s are 1, 2, 3, 4, …, so no repeating block occurs. In exams, check recurrence, not merely the digits used.
\(\sqrt{3}+\sqrt{27}=4\sqrt{3}\) और \(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\) हैं। सरल रूप तुलना को आसान बनाता है। / \(\sqrt{3}+\sqrt{27}=4\sqrt{3}\) and \(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\). Simplified form makes comparison easy.
\(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), इसलिए \(2\sqrt{5}+6\sqrt{5}=8\sqrt{5}\) है। गुणांक और मूल दोनों ध्यान से देखें। / \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), so \(2\sqrt{5}+6\sqrt{5}=8\sqrt{5}\). Watch both coefficients and radicals carefully.
\(\frac{7}{16}\) परिमेय है और हर \(2^4\) है, इसलिए दशमलव सांत होगा। हर के अभाज्य गुणनखंड देखें। / \(\frac{7}{16}\) is rational and the denominator is \(2^4\), so the decimal will terminate. Check prime factors of the denominator.
C. यह अपरिमेय है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है।/It is irrational because its decimal expansion is non-terminating and non-repeating.
Explanation
Simple Explanation
यहाँ क्रमशः 1, 2, 3, 4, … शून्यों के बाद 1 आता है; इसलिए कोई निश्चित अंक-खंड बार-बार नहीं दोहरता। अनंत अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है। परीक्षा टिप: केवल 0 और 1 होने से संख्या परिमेय नहीं बनती। / Here, a 1 appears after 1, 2, 3, 4, … zeros successively, so no fixed block of digits repeats. A non-terminating, non-repeating decimal is irrational. Exam tip: digits 0 and 1 alone do not make a number rational.
\(\sqrt{32}=\sqrt{16\times2}=4\sqrt{2}\)। इसलिए \(\sqrt{2}+\sqrt{32}=\sqrt{2}+4\sqrt{2}=5\sqrt{2}\)। विकल्प D गलत है, क्योंकि अलग-अलग वर्गमूलों के योग को सामान्यतः एक ही वर्गमूल के अंदर जोड़कर \(\sqrt{34}\) नहीं बनाया जा सकता। परीक्षा-युक्ति: पहले प्रत्येक वर्गमूल को सरल करें, फिर समान मूल वाले पदों को जोड़ें। / \(\sqrt{32}=\sqrt{16\times2}=4\sqrt{2}\). Therefore, \(\sqrt{2}+\sqrt{32}=\sqrt{2}+4\sqrt{2}=5\sqrt{2}\). Option D is incorrect because the sum of separate square roots cannot generally be written as \(\sqrt{34}\). Exam tip: simplify each radical first, then combine terms with the same radical part.
\(0.333\ldots\) में 3 का आवर्तन होता है, इसलिए \(0.333\ldots=\frac{1}{3}\), जो परिमेय है। अतः अनंत दशमलव प्रसार होना अपरिमेय होने के लिए पर्याप्त नहीं है। परीक्षा में आवर्ती और अनावर्ती दशमलव को अलग पहचानें। / In \(0.333\ldots\), the digit 3 repeats, so \(0.333\ldots=\frac{1}{3}\), which is rational. Hence, an infinite decimal need not be irrational. Exam tip: check whether the decimal digits repeat.
हर और अंश को \(\sqrt{7}\) से गुणा करने पर \(\frac{\sqrt{7}}{7}\) मिलता है। परिमेयकरण में मान नहीं बदलना चाहिए। / Multiplying numerator and denominator by \(\sqrt{7}\) gives \(\frac{\sqrt{7}}{7}\). Rationalisation should not change the value.
संयुग्मी गुणन में (rs=\(\sqrt{15}\)2-\(\sqrt{6}\)2=9) होता है। ऐसे प्रश्नों में \(a^2-b^2\) लगाएं। / In conjugate multiplication (rs=\(\sqrt{15}\)2-\(\sqrt{6}\)2=9). Use \(a^2-b^2\) in such questions.
\(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\) और \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), इसलिए भाग देने पर (12) मिलता है। पहले अंश को सरल करें। / \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\) and \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), so division gives (12). Simplify the numerator first.
C. कथन गलत है, क्योंकि दशमलव अनंत और अनावर्ती है।/The statement is incorrect because the decimal is non-terminating and non-repeating.
Explanation
Simple Explanation
केवल 0 और 1 अंक होने से संख्या परिमेय नहीं बनती। 1 के बीच शून्यों के अंतराल 1, 2, 3, 4,... हैं, इसलिए कोई खंड नहीं दोहराता। अतः दशमलव अपरिमेय है। परीक्षा में स्थिर आवर्ती खंड खोजें। / Digits 0 and 1 alone do not make a number rational. The gaps of zeros are 1, 2, 3, 4,..., so no block repeats. Thus the decimal is irrational. Exam tip: look for a fixed repeating block.
\(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), इसलिए अंदर \(2\sqrt{5}-6\sqrt{5}=-4\sqrt{5}\) और गुणनफल (-20) है। पहले कोष्ठक सरल करें। / \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), so inside becomes \(2\sqrt{5}-6\sqrt{5}=-4\sqrt{5}\) and the product is (-20). Simplify the bracket first.
अंश और हर को \(\sqrt{11}\) से गुणा करने पर \(\frac{4\sqrt{11}}{11}\) मिलता है। परिमेयकरण में बराबर मान रखना जरूरी है। / Multiplying numerator and denominator by \(\sqrt{11}\) gives \(\frac{4\sqrt{11}}{11}\). Rationalisation must keep the value equal.
