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दिया है \(x=\sqrt{7}+3\)। इसलिए \(x-3=\sqrt{7}+3-3=\sqrt{7}\)। 7 पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{7}\) को दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में नहीं लिखा जा सकता और यह अपरिमेय संख्या है। अतः सही विकल्प B है। परीक्षा-युक्ति: किसी गैर-पूर्ण वर्ग के वर्गमूल को अपरिमेय पहचानें। / Given \(x=\sqrt{7}+3\), we get \(x-3=\sqrt{7}+3-3=\sqrt{7}\). Since 7 is not a perfect square, \(\sqrt{7}\) cannot be expressed as the ratio of two integers, so it is irrational. Therefore, option B is correct. Exam tip: the square root of a non-perfect square is irrational.
\(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\) और \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), इसलिए योग \(7\sqrt{2}\) है। पहले मूलों को समान रूप में बदलें। / \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\) and \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), so the sum is \(7\sqrt{2}\). First convert radicals into like form.
एक विद्यार्थी कहता है कि किसी शून्येतर परिमेय संख्या को अपरिमेय संख्या से गुणा करने पर गुणनफल सदैव अपरिमेय होता है। उसका कथन सही होने का सबसे उचित कारण कौन-सा है?
A. यदि गुणनफल परिमेय होता, तो उसे शून्येतर परिमेय संख्या से भाग देने पर अपरिमेय संख्या भी परिमेय हो जाती।/If the product were rational, dividing it by the non-zero rational number would make the irrational number rational.
Explanation
Simple Explanation
मान लें कि परिमेय संख्या \(r\ne0\) और अपरिमेय संख्या \(x\) है। यदि \(rx\) परिमेय हो, तो \(x=(rx)/r\) भी परिमेय होगा, जो विरोधाभास है। परीक्षा में \(r\ne0\) शर्त अवश्य जाँचें। / Let \(r\ne0\) be rational and \(x\) be irrational. If \(rx\) were rational, then \(x=(rx)/r\) would be rational, a contradiction. In exams, always check the condition \(r\ne0\).
\(\sqrt{2}\) और \(-\sqrt{2}\) दोनों अपरिमेय हैं, लेकिन उनका योग \(0\) है, जो परिमेय है। इसलिए “सदैव” वाला कथन गलत है। परीक्षा टिप: सार्वत्रिक कथन को गलत सिद्ध करने के लिए एक प्रतिउदाहरण पर्याप्त है। / Both \(\sqrt{2}\) and \(-\sqrt{2}\) are irrational, but their sum is \(0\), which is rational. Hence the word “always” makes the claim false. Exam tip: one counterexample is enough to disprove a universal statement.
A. \(n\) पूर्ण वर्ग नहीं है/\(n\) is not a perfect square
Explanation
Simple Explanation
प्राकृतिक \(n\) में \(\sqrt{n}\) परिमेय केवल पूर्ण वर्ग के लिए होता है। अतः पूर्ण वर्ग न होने पर यह अपरिमेय है। \(9=3^2\), पर \(\sqrt{10}\) अपरिमेय है। परीक्षा में पहले पूर्ण वर्ग पहचानें। / For natural \(n\), \(\sqrt{n}\) is rational only when \(n\) is a perfect square. Thus, a non-square has an irrational root. Since \(9=3^2\) but \(\sqrt{10}\) is irrational, check square status first.
A. अनंत आवर्ती दशमलव वाली संख्या परिमेय हो सकती है।
Explanation
Simple Explanation
जैसे \(0.333\ldots = \frac{1}{3}\), इसलिए अनंत आवर्ती दशमलव परिमेय है। केवल अनंत अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होते हैं। परीक्षा में आवर्ती चिह्न अवश्य देखें। / For example, \(0.333\ldots = \frac{1}{3}\), so a non-terminating recurring decimal is rational. Only non-terminating non-recurring decimals are irrational. In exams, check for repetition.
\(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) और \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), इसलिए अंतर \(3\sqrt{3}\) है। पहले पूर्ण वर्ग गुणनखंड निकालें। / \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) and \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), so the difference is \(3\sqrt{3}\). First take out perfect-square factors.
इसमें निश्चित दोहराने वाला खंड नहीं है इसलिए यह अपरिमेय है। असांत अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है। / It has no fixed repeating block, so it is irrational. A non-terminating non-repeating decimal is irrational.
विकल्प A में \(\sqrt{7}+(-\sqrt{7})=0\) है। दोनों पद अपरिमेय हैं, लेकिन 0 परिमेय है; अतः कथन गलत है। परीक्षा में ‘हमेशा’ वाले कथन के लिए एक प्रतिउदाहरण खोजें। / In A, \(\sqrt{7}+(-\sqrt{7})=0\). Both terms are irrational, but 0 is rational, so the claim fails. Exam tip: disprove “always” by finding one counterexample.
\(\sqrt{80}=4\sqrt{5}\) और \(\sqrt{125}=5\sqrt{5}\), इसलिए योग \(9\sqrt{5}\) है। समान मूलों को जोड़ना चाहिए। / \(\sqrt{80}=4\sqrt{5}\) and \(\sqrt{125}=5\sqrt{5}\), so the sum is \(9\sqrt{5}\). Like radicals should be added.
क्योंकि (15<17<20), इसलिए \(\sqrt{17}\) इनके बीच है। वर्गमूल की तुलना अंदर की संख्याओं से करें। / Since (15<17<20), \(\sqrt{17}\) lies between them. Compare square roots using the numbers inside.
B. यह अपरिमेय है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है।/It is irrational because its decimal expansion is non-terminating and non-repeating.
Explanation
Simple Explanation
1 के बाद शून्यों की संख्या क्रमशः 1, 2, 3, 4, ... बढ़ती जाती है, इसलिए कोई निश्चित आवर्ती खंड नहीं बनता। अनंत अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है। परीक्षा में आवर्तन का स्थिर पैटर्न जाँचें। / The number of zeros after successive 1s is 1, 2, 3, 4, ... , so no fixed repeating block exists. A non-terminating, non-repeating decimal is irrational. In exams, check for a repeating cycle, not merely repeated digits.
तीसरा दशमलव असांत और अनावर्ती है इसलिए अपरिमेय है। आवर्ती और सांत दशमलव परिमेय होते हैं। / The third decimal is non-terminating and non-repeating, so it is irrational. Repeating and terminating decimals are rational.
A. रीमा गलत है; इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है, इसलिए संख्या अपरिमेय है।/Reema is wrong; its decimal expansion is non-terminating and non-recurring, so the number is irrational.
Explanation
Simple Explanation
1 के बीच शून्यों की संख्या 1, 2, 3, 4,... बढ़ती जाती है, इसलिए कोई निश्चित आवर्ती खंड नहीं बनता। अतः यह अनंत अनावर्ती दशमलव अपरिमेय है। परीक्षा में अंकों के बजाय आवर्तन जाँचें। / The number of zeros between successive 1s keeps increasing, so no fixed repeating block occurs. Thus it is a non-terminating, non-recurring decimal and is irrational. Exam tip: check repetition, not the digits used.
अंश और हर को \(\sqrt{7}\) से गुणा करने पर \(\frac{3\sqrt{7}}{7}\) मिलता है। परिमेयकरण में मान समान रहता है। / Multiplying numerator and denominator by \(\sqrt{7}\) gives \(\frac{3\sqrt{7}}{7}\). Rationalisation keeps the value same.
A. किसी अपरिमेय संख्या में परिमेय संख्या जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय होता है/Adding a rational number to an irrational number gives an irrational number
Explanation
Simple Explanation
यदि x अपरिमेय और r परिमेय है, तो x+r को परिमेय मानने पर x=(x+r)−r भी परिमेय होगा, जो विरोधाभास है। अतः A सही है। परीक्षा-टिप: √2+(−√2)=0, इसलिए B गलत है। / If x is irrational and r is rational, assuming x+r is rational makes x=(x+r)−r rational, a contradiction. Thus A is correct. Exam tip: √2+(−√2)=0, so B is false.
\(6\) एक परिमेय संख्या है, क्योंकि इसे दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है। \(-\sqrt{10}\) अपरिमेय है, क्योंकि 10 पूर्ण वर्ग नहीं है और उसका वर्गमूल अपरिमेय रहता है; ऋण चिह्न लगाने से यह गुण नहीं बदलता। इसलिए अपरिमेय भाग \(-\sqrt{10}\) है। परीक्षा-टिप: योग या अंतर में उस पद को पहचानें जिसमें ऐसे पूर्णांक का वर्गमूल हो जो पूर्ण वर्ग न हो। / \(6\) is rational because it can be expressed as a ratio of two integers. \(-\sqrt{10}\) is irrational because 10 is not a perfect square, and adding a negative sign does not change its irrational nature. Therefore, the irrational part is \(-\sqrt{10}\). Exam tip: In a sum or difference, identify the term containing the square root of an integer that is not a perfect square.
\(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), \(\sqrt{125}=5\sqrt{5}\) और \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), इसलिए उत्तर \(6\sqrt{5}\) है। समान मूलों के गुणांक जोड़ें और घटाएं। / \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), \(\sqrt{125}=5\sqrt{5}\) and \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), so the answer is \(6\sqrt{5}\). Add and subtract coefficients of like radicals.
B. यह अपरिमेय है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है।/It is irrational because its decimal expansion is non-terminating and non-recurring.
Explanation
Simple Explanation
1 के बीच शून्यों की संख्या 1, 2, 3, 4, ... बढ़ती जाती है; इसलिए कोई निश्चित अंक-खंड आवर्ती नहीं है। अतः यह अपरिमेय है। परीक्षा टिप: परिमेय दशमलव सांत या आवर्ती होता है। / The number of zeros between successive 1s is 1, 2, 3, 4, ... , so no fixed block repeats periodically. Hence it is irrational. Exam tip: a rational decimal terminates or eventually repeats.
पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्णांक होता है इसलिए परिमेय होता है। पहले यह देखें कि संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं। / The square root of a perfect square is an integer, so it is rational. First check whether the number is a perfect square.
A. परिमेय और अपरिमेय संख्या का योग अपरिमेय होता है/The sum of a rational and an irrational number is irrational.
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) अपरिमेय है और किसी परिमेय संख्या में अपरिमेय संख्या जोड़ने पर योग अपरिमेय रहता है। यदि \(4+\sqrt{3}=r\) परिमेय हो, तो \(\sqrt{3}=r-4\) परिमेय होगा, जो विरोधाभास है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में विरोधाभास विधि उपयोग करें। / \(\sqrt{3}\) is irrational, and adding an irrational number to a rational number gives an irrational result. If \(4+\sqrt{3}=r\) were rational, then \(\sqrt{3}=r-4\) would be rational, a contradiction. Exam tip: use this subtraction argument to test such claims.
\(\sqrt{5}\) और \(\sqrt{7}\) अलग अपरिमेय मूल हैं और उनका योग अपरिमेय है। अलग मूलों को सीधे जोड़कर \(\sqrt{12}\) नहीं बनाते। / \(\sqrt{5}\) and \(\sqrt{7}\) are different irrational radicals and their sum is irrational. Different radicals are not added directly as \(\sqrt{12}\).
समान प्रकार के वर्गमूलों के भाग के लिए \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\) का उपयोग करते हैं। इसलिए \(\frac{\sqrt{112}}{\sqrt{7}}=\sqrt{\frac{112}{7}}=\sqrt{16}=4\)। अतः सही उत्तर विकल्प B है। विकल्प A का 8 होना गलत है, क्योंकि \(\sqrt{16}=4\), 8 नहीं। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूलों को सरल करने से पहले अंदर की संख्याओं का भागफल निकालें। / For dividing square roots, use \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\). Thus, \(\frac{\sqrt{112}}{\sqrt{7}}=\sqrt{\frac{112}{7}}=\sqrt{16}=4\). Therefore, option B is correct. Option A, 8, is incorrect because \(\sqrt{16}=4\), not 8. Exam tip: When dividing square roots, first simplify the quotient inside the radical.
समान मूलों के गुणांक घटाने पर \(3\sqrt{2}\) मिलता है। यह अपरिमेय है क्योंकि \(\sqrt{2}\) बचता है। / Subtracting coefficients of like radicals gives \(3\sqrt{2}\). It is irrational because \(\sqrt{2}\) remains.
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) और \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), इसलिए कोष्ठक \(5\sqrt{2}\) और गुणनफल (10) है। पहले कोष्ठक सरल करें। / \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) and \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), so the bracket is \(5\sqrt{2}\) and the product is (10). Simplify the bracket first.
\(\sqrt{5}\) और \(-\sqrt{5}\) दोनों अपरिमेय हैं, पर उनका योग \(0\) है, जो परिमेय है। इसलिए “हमेशा” वाला कथन गलत है। परीक्षा में ऐसे दावों को जाँचने के लिए एक प्रतिउदाहरण खोजें। / Both \(\sqrt{5}\) and \(-\sqrt{5}\) are irrational, but their sum is \(0\), which is rational. Hence the word “always” makes the statement false. Exam tip: disprove such claims using one counterexample.
वितरण करने पर \(2\times3+5\sqrt{3}=6+5\sqrt{3}\) मिलता है। मूल वाले पद और परिमेय पद अलग रखें। / Distributing gives \(2\times3+5\sqrt{3}=6+5\sqrt{3}\). Keep radical and rational terms separate.
संयुग्मी से गुणा करने पर (\frac{2\(\sqrt{3}-1\)}{3-1}=\sqrt{3}-1) मिलता है। हर को परिमेय बनाएं। / Multiplying by the conjugate gives (\frac{2\(\sqrt{3}-1\)}{3-1}=\sqrt{3}-1). Make the denominator rational.
योग करने पर \(8+\sqrt{17}+8-\sqrt{17}=16\) प्राप्त होता है। यहाँ \(\sqrt{17}\) और \(-\sqrt{17}\) एक-दूसरे को समाप्त कर देते हैं, इसलिए अपरिमेय पदों का योगदान शून्य हो जाता है। विकल्प B केवल दोनों वर्गमूल पदों का योग दर्शाता है, पूरे व्यंजकों का नहीं। परीक्षा-युक्ति: संयुग्मी व्यंजकों \((a+b)\) और \((a-b)\) का योग सीधे \(2a\) होता है। / Adding the expressions gives \(8+\sqrt{17}+8-\sqrt{17}=16\). The terms \(\sqrt{17}\) and \(-\sqrt{17}\) cancel each other, so only the rational parts remain. Option B represents the sum of the two square-root terms, not the sum of the complete expressions. Exam tip: the sum of conjugate expressions \((a+b)\) and \((a-b)\) is directly \(2a\).
A. यह अपरिमेय है, क्योंकि 1 के बीच शून्यों की संख्या बढ़ती जाती है; इसलिए कोई स्थिर आवर्ती खंड नहीं है।/It is irrational because the number of zeros between successive 1s keeps increasing, so there is no fixed repeating block.
Explanation
Simple Explanation
1 के बाद शून्यों के समूह 1, 2, 3, 4, ... हैं; इसलिए कोई निश्चित अंकों का खंड बार-बार नहीं दोहरता। दशमलव अनावर्ती है, अतः संख्या अपरिमेय है। परीक्षा में केवल अनंत दशमलव देखकर नहीं, उसकी आवर्तिता जाँचें। / The blocks of zeros after 1 have lengths 1, 2, 3, 4, ...; hence no fixed digit block repeats. The decimal is non-terminating and non-repeating, so it is irrational. Exam tip: check repetition, not merely whether a decimal continues forever.
परिमेय (5) में से अपरिमेय \(\sqrt{2}\) घटाने पर अपरिमेय संख्या मिलती है। अपरिमेय भाग बचा रहता है। / Subtracting irrational \(\sqrt{2}\) from rational (5) gives an irrational number. The irrational part remains.
समकोण त्रिभुज में कर्ण \(\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\) होगा। निर्माण में पाइथागोरस प्रमेय लगती है। / In a right triangle, the hypotenuse is \(\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\). Pythagoras theorem is used in construction.
मूलों के भाग के नियम के अनुसार, \(\frac{\sqrt{54}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\frac{54}{6}}=\sqrt{9}=3\)। इसलिए सही उत्तर 3 है। विकल्प A में केवल 1 आता है, जबकि विकल्प C और D भागफल के बजाय अन्य संख्याएँ हैं। परीक्षा-टिप: समान घात वाले वर्गमूलों को भाग देते समय उनके अंदर की संख्याओं का भागफल लिया जा सकता है। / Using the division rule for square roots, \(\frac{\sqrt{54}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\frac{54}{6}}=\sqrt{9}=3\). Therefore, the correct answer is 3. Option A gives only 1, while options C and D are other numbers rather than the evaluated quotient. Exam tip: For square roots with the same index, divide the radicands first and then simplify the root.
वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)² होता है, इसलिए भुजा = \(\sqrt{50}\)। अब \(50=25\times2\), अतः \(\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=5\sqrt{2}\)। इसलिए सही उत्तर विकल्प C है। ध्यान रखें कि \(\sqrt{50}\) को सरल करते समय पूर्ण वर्ग 25 को वर्गमूल के बाहर निकाला जाता है; \(2\sqrt{5}\) का वर्ग 20 होता है, 50 नहीं। / The area of a square is \((\text{side})^2\), so its side is \(\sqrt{50}\). Since \(50=25\times2\), we get \(\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=5\sqrt{2}\). Therefore, option C is correct. Exam tip: take the greatest perfect-square factor outside the square root; \(2\sqrt{5}\) is incorrect because its square is 20, not 50.
संयुग्मी से गुणा करने पर हर (16-7=9) बनता है। इसलिए उत्तर \(\frac{4+\sqrt{7}}{9}\) है। / Multiplying by the conjugate makes the denominator (16-7=9). So the answer is \(\frac{4+\sqrt{7}}{9}\).
A. यह अपरिमेय है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार न समाप्त होता है और न आवर्ती होता है।
Explanation
Simple Explanation
1 के बीच शून्यों की संख्या क्रमशः 1, 2, 3, 4, ... बढ़ती है, इसलिए कोई निश्चित आवर्ती खंड नहीं बन सकता। असमाप्य और अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है। परीक्षा टिप: आवर्त की लंबाई स्थिर होनी चाहिए। / The number of zeros between successive 1s is 1, 2, 3, 4, ..., so no fixed repeating block can occur. A non-terminating, non-repeating decimal is irrational. Exam tip: a repeating decimal must have a fixed period.
\(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\), इसलिए \(3\sqrt{7}+4\sqrt{7}=7\sqrt{7}\) है। गुणांक और मूल दोनों ध्यान से देखें। / \(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\), so \(3\sqrt{7}+4\sqrt{7}=7\sqrt{7}\). Watch both coefficients and radicals carefully.
\(\sqrt{37}\) अपरिमेय है क्योंकि (37) पूर्ण वर्ग नहीं है। अपरिमेय का दशमलव असांत अनावर्ती होता है। / \(\sqrt{37}\) is irrational because (37) is not a perfect square. An irrational number has a non-terminating non-repeating decimal.
एक विद्यार्थी संख्या \(0.101001000100001\ldots\) लिखता है, जिसमें प्रत्येक क्रमागत 1 के बीच शून्यों की संख्या बढ़ती जाती है। इस संख्या के बारे में कौन-सा कथन सही है?
B. यह अपरिमेय संख्या है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है।/It is an irrational number because its decimal expansion is non-terminating and non-repeating.
Explanation
Simple Explanation
1 के बीच शून्यों की संख्या 1, 2, 3, 4, ... बढ़ती है, इसलिए कोई निश्चित आवर्ती खंड नहीं बन सकता। यह अनंत अनावर्ती दशमलव है, अतः अपरिमेय है। परीक्षा में केवल अनंत दशमलव देखकर उसे परिमेय न मानें। / The zeros between 1s occur in groups of 1, 2, 3, 4, ... so no fixed repeating block can occur. It is a non-terminating, non-repeating decimal and hence irrational. Exam tip: an infinite decimal is rational only if it eventually repeats.
\(0.333\ldots\) अनंत दशमलव है, पर इसमें 3 की पुनरावृत्ति होती है और यह \(\frac{1}{3}\) के बराबर है; इसलिए यह परिमेय है। परीक्षा में अनंत दशमलव में आवर्ती पैटर्न अवश्य जाँचें। / \(0.333\ldots\) is non-terminating, but the digit 3 repeats and the number equals \(\frac{1}{3}\); hence it is rational. In exams, check whether a non-terminating decimal has a repeating pattern.
\(\sqrt{5}\) और \(-\sqrt{5}\) दोनों अपरिमेय हैं, पर उनका योग \(0\) है, जो परिमेय संख्या है। इसलिए “हमेशा” वाला कथन गलत है। परीक्षा में ऐसे दावे को प्रतिउदाहरण से जाँचें। / Both \(\sqrt{5}\) and \(-\sqrt{5}\) are irrational, but their sum is \(0\), which is rational. Hence, “always” is false. Exam tip: test universal claims by finding one counterexample.
A. असमाप्य और अनावर्ती/Non-terminating and non-repeating
Explanation
Simple Explanation
अपरिमेय संख्या का दशमलव प्रसार न समाप्त होता है, न किसी निश्चित अंक-क्रम की पुनरावृत्ति करता है; इसलिए A सही है। असमाप्य आवर्ती प्रसार परिमेय होता है। परीक्षा टिप: “अनावर्ती” शब्द पहचानें। / An irrational number has a decimal expansion that neither ends nor repeats a fixed block of digits, so A is correct. A non-terminating recurring decimal is rational. Exam tip: look for the word “non-repeating”.
\(\sqrt{150}=5\sqrt{6}\) और \(\sqrt{54}=3\sqrt{6}\), इसलिए भाग देने पर (8) मिलता है। पहले अंश को समान मूल में बदलें। / \(\sqrt{150}=5\sqrt{6}\) and \(\sqrt{54}=3\sqrt{6}\), so division gives (8). First convert the numerator into like radicals.
B. यह अपरिमेय है, क्योंकि 1 के बीच शून्यों की संख्या लगातार बढ़ती है और कोई आवर्ती खंड नहीं बनता।/It is irrational because the number of zeros between successive 1s keeps increasing, so no repeating block is formed.
Explanation
Simple Explanation
क्रम में 1 के बीच शून्यों के समूह 1, 2, 3, 4, \(\ldots\) बढ़ते जाते हैं। इसलिए कोई निश्चित आवर्ती भाग नहीं है और दशमलव अनंत अनावर्ती है, अतः संख्या अपरिमेय है। परीक्षा में अनंत अनावर्ती दशमलव को अपरिमेय पहचानें। / The groups of zeros between 1s have lengths 1, 2, 3, 4, \(\ldots\), so there is no fixed repeating block. Its decimal expansion is non-terminating and non-repeating; hence it is irrational. Exam tip: identify such decimals as irrational.
\(\sqrt{40}=2\sqrt{10}\), इसलिए कोष्ठक \(-\sqrt{10}\) और गुणनफल (-10) है। पहले कोष्ठक को सरल करें। / \(\sqrt{40}=2\sqrt{10}\), so the bracket is \(-\sqrt{10}\) and the product is (-10). Simplify the bracket first.
अंश और हर को \(\sqrt{19}\) से गुणा करने पर \(\frac{6\sqrt{19}}{19}\) मिलता है। परिमेयकरण में हर से मूल हटता है। / Multiplying numerator and denominator by \(\sqrt{19}\) gives \(\frac{6\sqrt{19}}{19}\). Rationalisation removes the radical from the denominator.
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) और \(\sqrt{108}=6\sqrt{3}\), इसलिए योग \(8\sqrt{3}\) है। तुलना से पहले सरल रूप निकालें। / \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) and \(\sqrt{108}=6\sqrt{3}\), so the sum is \(8\sqrt{3}\). Find simplified forms before comparing.
क्षेत्रफल (\(2\sqrt{7}\)2=28) वर्ग इकाई है। अपरिमेय भुजा का क्षेत्रफल परिमेय हो सकता है। / The area is (\(2\sqrt{7}\)2=28) square units. A square with irrational side can have rational area.
इसमें निश्चित दोहराने वाला खंड नहीं है इसलिए यह अपरिमेय है। असांत अनावर्ती दशमलव को पहचानना जरूरी है। / It has no fixed repeating block, so it is irrational. Identifying non-terminating non-repeating decimals is important.
संयुग्मी से गुणा करने पर हर (25-6=19) बनता है। इसलिए परिमेयकृत रूप \(\frac{5-\sqrt{6}}{19}\) है। / Multiplying by the conjugate makes the denominator (25-6=19). So the rationalised form is \(\frac{5-\sqrt{6}}{19}\).
