Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0\), जो एक परिमेय संख्या है। अतः दो अपरिमेय संख्याओं का योग हमेशा अपरिमेय नहीं होता। विकल्प B में योग \(3\sqrt{2}\) है, जो अपरिमेय है। परीक्षा टिप: ‘सदैव’ वाले कथन को जाँचने के लिए एक प्रतिउदाहरण पर्याप्त होता है। / \(\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0\), and 0 is rational. Hence, the sum of two irrational numbers need not be irrational. In option B, the sum is \(3\sqrt{2}\), which is irrational. Exam tip: one counterexample is enough to disprove an “always” statement.
संयुग्मी से गुणा करने पर हर (16-7=9) और अंश (\(4+\sqrt{7}\)2=23+8\sqrt{7}) मिलता है। इसलिए सही रूप \(\frac{23+8\sqrt{7}}{9}\) है। / Multiplying by the conjugate gives denominator (16-7=9) and numerator (\(4+\sqrt{7}\)2=23+8\sqrt{7}). So the correct form is \(\frac{23+8\sqrt{7}}{9}\).
\(0.\overline{3}=1/3\) है, इसलिए इसका दशमलव प्रसार अनंत होते हुए भी आवर्ती और परिमेय है। \(\sqrt{2}\) तथा \(\pi\) अपरिमेय हैं। परीक्षा टिप: अनंत आवर्ती दशमलव परिमेय होता है। / \(0.\overline{3}=1/3\), so it is non-terminating but repeating and hence rational. In contrast, \(\sqrt{2}\) and \(\pi\) are irrational. Exam tip: a non-terminating repeating decimal is always rational.
\(\sqrt{147}=7\sqrt{3}\), \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) और \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) है। इसलिए परिणाम \(5\sqrt{3}\) है। / \(\sqrt{147}=7\sqrt{3}\), \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), and \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\). Therefore the result is \(5\sqrt{3}\).
संयुग्मी \(\sqrt{13}-3\) से गुणा करने पर हर (13-9=4) बनता है। इसलिए \(p=\frac{\sqrt{13}-3}{4}\) है। / Multiplying by the conjugate \(\sqrt{13}-3\) makes the denominator (13-9=4). So \(p=\frac{\sqrt{13}-3}{4}\).
एक ही वर्गमूल को अपने आप से गुणा करने पर अंदर की संख्या मिलती है। इसलिए मान \(9+\sqrt{20}\) है। / Multiplying the same square root by itself gives the number inside. Therefore the value is \(9+\sqrt{20}\).
C. यह परिमेय या अपरिमेय, दोनों हो सकता है/It can be either rational or irrational.
Explanation
Simple Explanation
उत्तर C है। \(a=\sqrt{2}, b=-\sqrt{2}\) लेने पर योग 0 और \(ab=-2\) परिमेय है। परंतु \(b=1-\sqrt{2}\) लेने पर योग 1 और \(ab=\sqrt{2}-2\) अपरिमेय है। परीक्षा में दोनों उदाहरण जाँचें। / Option C is correct. For \(a=\sqrt{2}, b=-\sqrt{2}\), the sum is 0 and \(ab=-2\) is rational. But with \(b=1-\sqrt{2}\), the sum is 1 while \(ab=\sqrt{2}-2\) is irrational. Exam tip: verify a claim using contrasting examples.
हर का संयुग्मी \(\sqrt{5}+2\) है और हर (1) बनता है। इसलिए मान (\(\sqrt{5}+2\)2=9+4\sqrt{5}) है। / The conjugate of the denominator is \(\sqrt{5}+2\) and the denominator becomes (1). So the value is (\(\sqrt{5}+2\)2=9+4\sqrt{5}).
हर के संयुग्मी से गुणा करने पर हर (8-3=5) होता है। अंश (\(\sqrt{8}+\sqrt{3}\)2=11+4\sqrt{6}) है। / Multiplying by the denominator conjugate gives denominator (8-3=5). The numerator is (\(\sqrt{8}+\sqrt{3}\)2=11+4\sqrt{6}).
\(a+b\) को परिमेय मानें। तब \(a=(a+b)-b\) दो परिमेय संख्याओं का अंतर होगा, इसलिए परिमेय होगा; यह विरोधाभास है। अतः \(a+b\) अपरिमेय है। परीक्षा टिप: परिमेय ± अपरिमेय सदैव अपरिमेय होता है। / Assume \(a+b\) is rational. Then \(a=(a+b)-b\) would be the difference of two rational numbers and hence rational, a contradiction. Therefore \(a+b\) is irrational. Exam tip: rational ± irrational is always irrational.
B. इसका वर्ग \(10+\sqrt{21}\) है/Its square is \(10+\sqrt{21}\)
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(10+\sqrt{21}\) धनात्मक है, इसका वर्गमूल वास्तविक है। वर्ग करने पर अंदर की संख्या मिलती है। / Since \(10+\sqrt{21}\) is positive, its square root is real. Squaring it gives the inside number.
यदि \(x+r\) परिमेय होता, तो \(x=(x+r)-r\) भी दो परिमेय संख्याओं का अंतर होकर परिमेय होता, जो विरोधाभास है। अतः A सही है। परीक्षा में नियम याद रखें: परिमेय ± अपरिमेय हमेशा अपरिमेय होता है। / If \(x+r\) were rational, then \(x=(x+r)-r\) would be the difference of two rational numbers and hence rational, a contradiction. Thus A is correct. Exam tip: rational ± irrational is always irrational.
संयुग्मी से गुणा करने पर हर (15-6=9) बनता है। इसलिए (\frac{6\(\sqrt{15}+\sqrt{6}\)}{9}=\frac{2\(\sqrt{15}+\sqrt{6}\)}{3}) है। / Multiplying by the conjugate makes the denominator (15-6=9). So (\frac{6\(\sqrt{15}+\sqrt{6}\)}{9}=\frac{2\(\sqrt{15}+\sqrt{6}\)}{3}).
\(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) और \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), इसलिए योग \(12\sqrt{2}\) है। इसका वर्ग (288) है। / \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) and \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), so the sum is \(12\sqrt{2}\). Its square is (288).
यदि एक अपरिमेय संख्या x है और दूसरी उसका योगात्मक प्रतिलोम −x है, तो उनका योग \(x+(-x)=0\) होगा। 0 परिमेय है। परीक्षा में “निश्चित रूप से” शब्द पर ध्यान दें; केवल बराबर या धनात्मक होना पर्याप्त नहीं है। / If one irrational number is x and the other is its additive inverse −x, then \(x+(-x)=0\). Since 0 is rational, the sum is rational. Exam tip: for “guaranteed” statements, check whether every allowed case works, not just one example.
\(\sqrt{125}=5\sqrt{5}\) और \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), इसलिए कोष्ठक \(2\sqrt{5}\) है। \(\sqrt{5}\) से गुणा करने पर (10) मिलता है। / \(\sqrt{125}=5\sqrt{5}\) and \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), so the bracket is \(2\sqrt{5}\). Multiplying by \(\sqrt{5}\) gives (10).
संयुग्मी से गुणा करने पर हर (12-7=5) बनता है। इसलिए (\frac{5\(\sqrt{12}-\sqrt{7}\)}{5}=\sqrt{12}-\sqrt{7}) है। / Multiplying by the conjugate makes the denominator (12-7=5). So (\frac{5\(\sqrt{12}-\sqrt{7}\)}{5}=\sqrt{12}-\sqrt{7}).
A. शून्येतर परिमेय संख्या और अपरिमेय संख्या का गुणनफल अपरिमेय होता है।/The product of a non-zero rational number and an irrational number is irrational.
Explanation
Simple Explanation
यदि \(q\neq0\) परिमेय और \(x\) अपरिमेय है, तो \(qx\) को परिमेय मानने पर \(x=(qx)/q\) परिमेय होगा, जो विरोधाभास है। B गलत है: \(\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0\)। टिप: ‘हमेशा’ वाले कथन को प्रतिउदाहरण से जाँचें। / If \(q\ne0\) is rational and \(x\) is irrational, assuming \(qx\) rational gives \(x=(qx)/q\) rational, a contradiction. B fails because \(\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0\). Exam tip: test “always” claims with a counterexample.
एक ही वर्गमूल का अपने आप से गुणन अंदर की संख्या देता है। इसलिए मान \(6+\sqrt{5}\) है। / Multiplying the same square root by itself gives the number inside. Therefore the value is \(6+\sqrt{5}\).
\(\sqrt{242}=11\sqrt{2}\), \(\sqrt{128}=8\sqrt{2}\) और \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\) है। इसलिए परिणाम \(13\sqrt{2}\) है। / \(\sqrt{242}=11\sqrt{2}\), \(\sqrt{128}=8\sqrt{2}\), and \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\). Therefore the result is \(13\sqrt{2}\).
\(\frac{4}{\sqrt{13}+3}=\sqrt{13}-3\) है क्योंकि हर (13-9=4) बनता है। इसलिए योग \(2\sqrt{13}\) है। / \(\frac{4}{\sqrt{13}+3}=\sqrt{13}-3\) because the denominator becomes (13-9=4). Therefore the sum is \(2\sqrt{13}\).
\(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) और \(\sqrt{192}=8\sqrt{3}\), इसलिए \(s=13\sqrt{3}\) है। \(\sqrt{3}\) से भाग देने पर (13) मिलता है। / \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) and \(\sqrt{192}=8\sqrt{3}\), so \(s=13\sqrt{3}\). Dividing by \(\sqrt{3}\) gives (13).
संयुग्मी से गुणा करने पर (\frac{\(\sqrt{7}-\sqrt{3}\)2}{7-3}) मिलता है। इसलिए उत्तर \(\frac{5-\sqrt{21}}{2}\) है। / Multiplying by the conjugate gives (\frac{\(\sqrt{7}-\sqrt{3}\)2}{7-3}). So the answer is \(\frac{5-\sqrt{21}}{2}\).
C. यदि \(r\) एक अशून्य परिमेय संख्या और \(x\) एक अपरिमेय संख्या है, तो \(r+x\) अपरिमेय होगा।/If \(r\) is a non-zero rational number and \(x\) is irrational, then \(r+x\) is irrational.
Explanation
Simple Explanation
विकल्प C सही है। यदि \(r+x\) परिमेय मान लें, तो \(x=(r+x)-r\) भी परिमेय होगा, जो विरोधाभास है। A में \(\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0\) लें। परीक्षा में “सदैव” वाले कथन के लिए प्रतिउदाहरण जाँचें। / Option C is correct. If \(r+x\) were rational, then \(x=(r+x)-r\) would also be rational, a contradiction. For A, \(\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0\). Exam tip: test “always” claims using a counterexample.
\(2,3\) और \(5\) पूर्ण वर्ग नहीं हैं, इसलिए \(\sqrt2,\sqrt3\) और \(\sqrt5\) सभी अपरिमेय हैं। अन्य विकल्पों में \(\sqrt{49}=7\), \(\sqrt2\times\sqrt8=\sqrt{16}=4\) या \(\frac{\sqrt{12}}{\sqrt3}=\sqrt4=2\) परिमेय है। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग का वर्गमूल हमेशा परिमेय होता है। / Since 2, 3 and 5 are not perfect squares, \(\sqrt2\), \(\sqrt3\) and \(\sqrt5\) are all irrational. The other options contain \(\sqrt{49}=7\), \(\sqrt2\times\sqrt8=\sqrt{16}=4\), or \(\frac{\sqrt{12}}{\sqrt3}=\sqrt4=2\), which are rational. Exam tip: a square root of a perfect square is rational.
क्षेत्रफल (\(5+\sqrt{11}\)\(5-\sqrt{11}\)=25-11=14) है। संयुग्मी आयामों का गुणन परिमेय क्षेत्रफल दे सकता है। / Area is (\(5+\sqrt{11}\)\(5-\sqrt{11}\)=25-11=14). Multiplying conjugate dimensions can give a rational area.
\(\sqrt{500}=10\sqrt{5}\), \(\sqrt{320}=8\sqrt{5}\) और \(\sqrt{180}=6\sqrt{5}\) है। इसलिए परिणाम \(8\sqrt{5}\) नहीं, \(10\sqrt{5}-8\sqrt{5}+6\sqrt{5}=8\sqrt{5}\) है। / \(\sqrt{500}=10\sqrt{5}\), \(\sqrt{320}=8\sqrt{5}\), and \(\sqrt{180}=6\sqrt{5}\). So the result is \(10\sqrt{5}-8\sqrt{5}+6\sqrt{5}=8\sqrt{5}\).
पहला पद \(\frac{\sqrt{8}-\sqrt{6}}{2}\) और दूसरा \(\frac{\sqrt{8}+\sqrt{6}}{2}\) बनता है। योग \(\sqrt{8}\) है। / The first term becomes \(\frac{\sqrt{8}-\sqrt{6}}{2}\) and the second becomes \(\frac{\sqrt{8}+\sqrt{6}}{2}\). Their sum is \(\sqrt{8}\).
\(\sqrt{5}\) और \(3-\sqrt{5}\) दोनों अपरिमेय हैं, पर उनका योग \(\sqrt{5}+3-\sqrt{5}=3\) है, जो परिमेय है। अतः दावा गलत है। परीक्षा में समान पदों के कटने की जाँच करें। / Both \(\sqrt{5}\) and \(3-\sqrt{5}\) are irrational, but their sum is \(\sqrt{5}+3-\sqrt{5}=3\), which is rational. Thus the claim is false. Exam tip: check whether irrational terms cancel.
\(\sqrt{7}\) और \(-\sqrt{7}\) दोनों अपरिमेय हैं, पर वे योगात्मक प्रतिलोम हैं। अतः उनका योग \(0\) है, जो परिमेय है। इसलिए “सदैव” वाला कथन गलत है। परीक्षा में सार्वत्रिक कथन को जाँचने के लिए एक प्रतिउदाहरण पर्याप्त होता है। / Both \(\sqrt{7}\) and \(-\sqrt{7}\) are irrational, but they are additive inverses, so their sum is \(0\), a rational number. Thus the word “always” makes the claim false. Exam tip: one counterexample is enough to disprove a universal statement.
A. \(r+x\) एक अपरिमेय संख्या है।/\(r+x\) is an irrational number.
Explanation
Simple Explanation
यदि \(r+x\) परिमेय होता, तो उसमें से परिमेय \(r\) घटाने पर \(x\) भी परिमेय मिलता, जो विरोधाभास है। इसलिए A सही है। B में भी अंतर अपरिमेय होता है। परीक्षा में विरोधाभास विधि याद रखें। / If \(r+x\) were rational, subtracting the rational number \(r\) would make \(x\) rational, a contradiction. Hence A is correct. Option B is also false because the difference remains irrational. Use contradiction in such questions.
क्योंकि (14<16<18), इसलिए \(\sqrt{16}\) दोनों के बीच होगा। धनात्मक वर्गमूलों में अंदर की संख्या से तुलना करें। / Since (14<16<18), \(\sqrt{16}\) lies between them. For positive square roots compare the numbers inside.
\(a+bx\) को परिमेय मानने पर \(bx\) परिमेय होगा और \(b\ne0\) होने से \(x=\frac{bx}{b}\) भी परिमेय निकलेगा, जो विरोधाभास है। \(x^2\) परिमेय हो सकता है, जैसे \(x=\sqrt2\)। परीक्षा टिप: अशून्य परिमेय गुणन या परिमेय जोड़ अपरिमेयता नहीं बदलता। / If \(a+bx\) were rational, then \(bx\) would be rational; since \(b\ne0\), \(x=\frac{bx}{b}\) would be rational, a contradiction. But \(x^2\) can be rational, for example when \(x=\sqrt2\). Exam tip: adding a rational number to an irrational number keeps it irrational.
\(\sqrt{200}=10\sqrt{2}\) और \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\), इसलिए अंश \(4\sqrt{2}\) है। भाग देने पर (4) मिलता है। / \(\sqrt{200}=10\sqrt{2}\) and \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\), so the numerator is \(4\sqrt{2}\). Dividing gives (4).
वर्गमूल का वर्ग अंदर की संख्या देता है। इसलिए \(\left(\sqrt{11+\sqrt{30}}\right)^2=11+\sqrt{30}\) है। / The square of a square root gives the number inside. So \(\left(\sqrt{11+\sqrt{30}}\right)^2=11+\sqrt{30}\).
\(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{8}\) दोनों अपरिमेय हैं, पर \(\sqrt{2}\times\sqrt{8}=\sqrt{16}=4\), जो परिमेय है। अतः “हमेशा” वाला कथन गलत है। परीक्षा में ऐसे कथनों को एक प्रतिउदाहरण से जाँचें। / Both \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}\) are irrational, but \(\sqrt{2}\times\sqrt{8}=\sqrt{16}=4\), which is rational. Hence, the word “always” makes the statement false. Exam tip: one counterexample is enough to disprove an “always” statement.
यह \(a^2-b^2\) रूप है, इसलिए मान (45-20=25) है। संयुग्मी गुणन में सीधे वर्गों का अंतर लें। / This is the \(a^2-b^2\) form, so the value is (45-20=25). In conjugate multiplication take the difference of squares directly.
\(\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{9}=3\), जो परिमेय है। अतः दो अपरिमेय संख्याओं का भाग हमेशा अपरिमेय नहीं होता। जैसे विकल्प B में \(\sqrt{3}\) मिलता है, जो अपरिमेय है। परीक्षा टिप: मूलों का भाग लेकर भीतर की संख्याओं को पहले सरल करें। / \(\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{9}=3\), which is rational. Hence, a quotient of two irrational numbers need not be irrational. Option B simplifies to \(\sqrt{3}\), which is irrational. Exam tip: combine the radicals first, then simplify the number inside the square root.
संयुग्मी से गुणा करने पर अंश \(13+2\sqrt{22}\) और हर (11-2=9) मिलता है। इसलिए सरल रूप \(\frac{13+2\sqrt{22}}{9}\) है। / Multiplying by the conjugate gives numerator \(13+2\sqrt{22}\) and denominator (11-2=9). So the simplified form is \(\frac{13+2\sqrt{22}}{9}\).
A. योग \(a+r\) अपरिमेय होता है/The sum \(a+r\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
\(a+r\) परिमेय मानने पर \(a=(a+r)-r\) भी परिमेय होगा, जो \(a\) के अपरिमेय होने के विरुद्ध है। इसलिए योग अपरिमेय है। परीक्षा टिप: परिमेय संख्या जोड़ने या घटाने से अपरिमेयता नहीं बदलती। / If \(a+r\) were rational, then \(a=(a+r)-r\) would also be rational, contradicting that \(a\) is irrational. Hence the sum is irrational. Exam tip: adding or subtracting a rational number preserves irrationality.
\(\sqrt{605}=11\sqrt{5}\), \(\sqrt{245}=7\sqrt{5}\) और \(\sqrt{125}=5\sqrt{5}\) है। इसलिए परिणाम \(9\sqrt{5}\) है। / \(\sqrt{605}=11\sqrt{5}\), \(\sqrt{245}=7\sqrt{5}\), and \(\sqrt{125}=5\sqrt{5}\). Therefore the result is \(9\sqrt{5}\).
संयुग्मी से गुणा करने पर हर (17-16=1) बनता है। इसलिए सरल रूप \(\sqrt{17}-4\) है। / Multiplying by the conjugate makes the denominator (17-16=1). So the simplified form is \(\sqrt{17}-4\).
\(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) और \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), इसलिए योग \(8\sqrt{3}\) है। इसका वर्ग (192) है। / \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) and \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), so the sum is \(8\sqrt{3}\). Its square is (192).
संयुग्मी से गुणा करने पर हर (14-5=9) बनता है। इसलिए (\frac{3\(\sqrt{14}-\sqrt{5}\)}{9}=\frac{\sqrt{14}-\sqrt{5}}{3}) है। / Multiplying by the conjugate makes the denominator (14-5=9). So (\frac{3\(\sqrt{14}-\sqrt{5}\)}{9}=\frac{\sqrt{14}-\sqrt{5}}{3}).
\(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) और \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\) है इसलिए अंश \(9\sqrt{2}\) है। \(\sqrt{2}\) से भाग देने पर (9) मिलता है। / \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) and \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\) so the numerator is \(9\sqrt{2}\). Dividing by \(\sqrt{2}\) gives (9).
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) और \(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\) है। इसलिए \(a-b=3\sqrt{3}\) है। / \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), and \(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\). Therefore \(a-b=3\sqrt{3}\).
B. \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), अतः \(\sqrt{12}-\sqrt{3}=\sqrt{3}\), जो अपरिमेय है।/\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), so \(\sqrt{12}-\sqrt{3}=\sqrt{3}\), which is irrational.
Explanation
Simple Explanation
\(12=4\times3\) होने से \(\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt{3}\)। इसलिए अंतर \(2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}\) है, जो अपरिमेय है। \(\sqrt a-\sqrt b\neq\sqrt{a-b}\) याद रखें। / Since \(12=4\times3\), \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\). Thus the difference is \(2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}\), which is irrational. Exam tip: never use \(\sqrt a-\sqrt b=\sqrt{a-b}\).
संयुग्मी से गुणा करने पर हर (13-5=8) बनता है। इसलिए (\frac{4\(\sqrt{13}+\sqrt{5}\)}{8}=\frac{\sqrt{13}+\sqrt{5}}{2}) है। / Multiplying by the conjugate makes the denominator (13-5=8). So (\frac{4\(\sqrt{13}+\sqrt{5}\)}{8}=\frac{\sqrt{13}+\sqrt{5}}{2}).
क्षेत्रफल (\(\sqrt{11}+\sqrt{6}\)\(\sqrt{11}-\sqrt{6}\)=11-6=5) है। संयुग्मी आयामों से परिमेय क्षेत्रफल मिल सकता है। / Area is (\(\sqrt{11}+\sqrt{6}\)\(\sqrt{11}-\sqrt{6}\)=11-6=5). Conjugate dimensions can give a rational area.
\(\sqrt{12}\times\sqrt{3}=\sqrt{36}=6\) है जो परिमेय है। विकल्पों में गुणन के बाद पूर्ण वर्ग बनने की जाँच करें। / \(\sqrt{12}\times\sqrt{3}=\sqrt{36}=6\), which is rational. Check whether multiplication creates a perfect square.
