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C. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(0)=f\(\sqrt{3}\))/(f) is not one-one because (f(0)=f\(\sqrt{3}\))
Step 1
Concept
एक-एकता को गलत सिद्ध करने के लिए दो अलग आगतों का समान मान दिखाना पर्याप्त है। / To disprove injectivity it is enough to show two different inputs with the same output.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=0) और (f\(\sqrt{3}\)=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0), जबकि \(0\neq\sqrt{3}\)। / (f(0)=0) and (f\(\sqrt{3}\)=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0), while \(0\neq\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
बहुपद में केवल घात देखकर निर्णय न करें, विशेष मानों से जांच करें। / Do not decide by degree alone; test special values.
A. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि \(f(2)=f\left(\frac{1}{2}\right)\)/(f) is not one-one because \(f(2)=f\left(\frac{1}{2}\right)\)
Step 1
Concept
समान मान देने वाले अलग आगत ढूंढें। / Look for different inputs giving the same value.
Step 2
Why this answer is correct
\(f(2)=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\) और \(f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}\)। / \(f(2)=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\) and \(f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}\).
Step 3
Exam Tip
अलग आगतों पर समान मान मिलने से फलन एक-एक नहीं रहता। / Same value at different inputs makes the function not one-one.
मान लीजिए कि \(f:A\to B\) और \(g:B\to C\) फलन हैं। यदि संयुक्त फलन \(g\circ f:A\to C\) एक-एक है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा निष्कर्ष अनिवार्य रूप से सत्य है?
यदि \(f(x_1)=f(x_2)\), तो दोनों ओर \(g\) लगाने पर \((g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2)\) प्राप्त होता है। चूँकि \(g\circ f\) एक-एक है, इसलिए \(x_1=x_2\) होगा। अतः \(f\) अवश्य एक-एक है। लेकिन \(g\) का एक-एक होना आवश्यक नहीं है, क्योंकि \(g\) उन तत्वों पर समान मान दे सकता है जो \(f\) के प्रतिचित्र में नहीं आते। परीक्षा टिप: संयुक्त फलन के एक-एक होने से पहला फलन एक-एक होता है। / If \(f(x_1)=f(x_2)\), then applying \(g\) gives \((g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2)\). Since \(g\circ f\) is one-one, we must have \(x_1=x_2\). Hence, \(f\) must be one-one. However, \(g\) need not be one-one because it may take equal values at elements outside the image of \(f\). Exam tip: injectivity of a composite function implies injectivity of the first function.
एक-एक फलन में (A) के पांच तत्वों के लिए (B) से पांच अलग प्रतिबिंब चाहिए। / A one-one function needs five distinct images from (B) for the five elements of (A).
Step 2
Why this answer is correct
संख्या \(^{7}P_{5}=7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3=2520\) होगी। / The number is \(^{7}P_{5}=7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3=2520\).
Step 3
Exam Tip
एक-एक फलन की गिनती में क्रमचय का प्रयोग करें। / Use permutations for counting one-one functions.
एक-एक फलन में प्रांत के हर अलग तत्व को सहप्रांत का अलग तत्व चाहिए। / A one-one function needs a distinct codomain element for each distinct domain element.
Step 2
Why this answer is correct
यहां प्रांत में (6) तत्व हैं और सहप्रांत में केवल (4) तत्व हैं। / Here the domain has (6) elements but the codomain has only (4).
Step 3
Exam Tip
जब प्रांत में तत्व अधिक हों, तो एक-एक फलन बनना असंभव है। / When the domain has more elements, a one-one function is impossible.
मान लें (g\(x_1\)=g\(x_2\))। / Suppose (g\(x_1\)=g\(x_2\)).
Step 2
Why this answer is correct
तब (f(g\(x_1\))=f(g\(x_2\))), अर्थात (\(f\circ g\)\(x_1\)=\(f\circ g\)\(x_2\))। / Then (f(g\(x_1\))=f(g\(x_2\))), so (\(f\circ g\)\(x_1\)=\(f\circ g\)\(x_2\)).
Step 3
Exam Tip
\(f\circ g\) एक-एक है, इसलिए \(x_1=x_2\), अतः (g) एक-एक है। / Since \(f\circ g\) is one-one, \(x_1=x_2\), hence (g) is one-one.
महत्तम पूर्णांक फलन एक अंतराल के कई मानों को एक ही पूर्णांक देता है। / The greatest integer function maps many values from an interval to the same integer.
Step 2
Why this answer is correct
\(\lfloor1.2\rfloor=1\) और \(\lfloor1.9\rfloor=1\), जबकि \(1.2\neq1.9\)। / \(\lfloor1.2\rfloor=1\) and \(\lfloor1.9\rfloor=1\), while \(1.2\neq1.9\).
Step 3
Exam Tip
सीढ़ीनुमा फलनों में प्रतिबिंब दोहराना सामान्य है। / Step functions commonly repeat outputs.
C. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि \(f(2)=f\left(\frac{1}{2}\right)\)/(f) is not one-one because \(f(2)=f\left(\frac{1}{2}\right)\)
Step 1
Concept
भिन्न वाले फलन में समान मानों की जांच करें। / For a rational function check repeated values carefully.
Step 2
Why this answer is correct
\(f(2)=\frac{2}{5}\) और \(f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{2}{5}\), जबकि \(2\neq\frac{1}{2}\)। / \(f(2)=\frac{2}{5}\) and \(f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{2}{5}\), while \(2\neq\frac{1}{2}\).
Step 3
Exam Tip
दो अलग आगतों पर समान मान मिलने से एक-एकता नहीं रहती। / Same value at two different inputs destroys injectivity.
समान प्रतिबिंब मानकर हल करें। / Assume equal images and solve.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{x_1-1}{x_1+1}=\frac{x_2-1}{x_2+1}\) करने पर सरल करने से \(x_1=x_2\) मिलता है। / From \(\frac{x_1-1}{x_1+1}=\frac{x_2-1}{x_2+1}\), simplification gives \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
रैखिक भिन्नात्मक फलन में क्रॉस गुणा करते समय प्रांत की मनाही याद रखें। / In linear fractional functions remember the excluded domain value while cross multiplying.
D. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि दो भागों के परास मिलते हैं/(f) is not one-one because the ranges of the two pieces overlap
Step 1
Concept
टुकड़ों में दिए फलन में अलग-अलग भागों के परास देखें। / In a piecewise function check the ranges of different pieces.
Step 2
Why this answer is correct
\(f\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\) और \(f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{1}{2}\), जबकि दोनों आगत अलग हैं। / \(f\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\) and \(f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{1}{2}\), while the inputs are different.
Step 3
Exam Tip
अलग भागों से समान मान मिलना एक-एकता को तोड़ देता है। / Same value from different pieces breaks injectivity.
(x<0) पर (f(x)<-1) मिलता है। / For (x<0), (f(x)<-1).
Step 2
Why this answer is correct
\(x\ge0\) पर (f(x)\ge1) मिलता है, इसलिए दोनों भागों के परास अलग हैं। / For \(x\ge0\), (f(x)\ge1), so the ranges of the two pieces are disjoint.
Step 3
Exam Tip
हर भाग अलग-अलग एक-एक है और परास नहीं मिलते, इसलिए पूरा फलन एक-एक है। / Each piece is one-one and their ranges do not overlap, so the whole function is one-one.
A. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि \(f\left(\frac{\pi}{6}\right)=f\left(\frac{5\pi}{6}\right)\)/(f) is not one-one because \(f\left(\frac{\pi}{6}\right)=f\left(\frac{5\pi}{6}\right)\)
Step 1
Concept
\([0,\pi]\) पर \(\sin x\) पहले बढ़ता है फिर घटता है। / On \([0,\pi]\), \(\sin x\) first increases and then decreases.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\) और \(\sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}\), जबकि दोनों कोण अलग हैं। / \(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\) and \(\sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}\), while the angles are different.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलन में अंतराल बहुत ध्यान से देखें। / For trigonometric functions check the interval carefully.
फलन \(f(x)=x^3\) वास्तविक संख्याओं पर सतत रूप से वर्धमान है। इसलिए यदि \(x_1\ne x_2\), तो \(x_1^3\ne x_2^3\); अतः अलग-अलग इनपुट के लिए अलग-अलग आउटपुट मिलते हैं और यह एकैकी है। \(x^2\) एकैकी नहीं है, क्योंकि \(f(2)=f(-2)\)। इसी प्रकार \(|x|\) में भी धनात्मक और ऋणात्मक समान परिमाण वाले इनपुट का आउटपुट समान होता है। परीक्षा टिप: एकैकी जाँचने के लिए ऐसे दो अलग इनपुट खोजें जिनका आउटपुट समान हो। / The function \(f(x)=x^3\) is strictly increasing on the real numbers. Hence, if \(x_1\ne x_2\), then \(x_1^3\ne x_2^3\); distinct inputs give distinct outputs, so it is one-one. The function \(x^2\) is not one-one because \(f(2)=f(-2)\). Similarly, \(|x|\) gives the same output for positive and negative inputs of equal magnitude. Exam tip: To disprove one-one-ness, find two different inputs with the same output.
तीन तत्वों के लिए तीन अलग प्रतिबिंब लगाने हैं। / Three elements need three distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
संख्या (3!=6) होगी। / The number is (3!=6).
Step 3
Exam Tip
बराबर आकार वाले सीमित समुच्चयों में एक-एक फलन वस्तुतः सभी तत्वों को अलग ढंग से मिलाता है। / For finite sets of equal size, a one-one function is just an arrangement of all elements distinctly.
B. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(1)=f(-1))/(f) is not one-one because (f(1)=f(-1))
Step 1
Concept
नियम में सभी घात सम हैं। / All powers in the rule are even.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=1+1=2) और (f(-1)=1+1=2), जबकि \(1\neq-1\)। / (f(1)=1+1=2) and (f(-1)=1+1=2), while \(1\neq-1\).
Step 3
Exam Tip
सम घात वाले बहुपद पूरे वास्तविक प्रांत पर अक्सर एक-एक नहीं होते। / Polynomials with even-power symmetry are usually not one-one on the whole real domain.
A. (f) अपने प्रांत पर एक-एक है/(f) is one-one on its domain
Step 1
Concept
समान मान मानकर क्रॉस गुणा करें। / Assume equal values and cross multiply.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{ax_1+b}{cx_1+d}=\frac{ax_2+b}{cx_2+d}\) को सरल करने पर ((ad-bc)\(x_1-x_2\)=0) मिलता है। / Simplifying \(\frac{ax_1+b}{cx_1+d}=\frac{ax_2+b}{cx_2+d}\) gives ((ad-bc)\(x_1-x_2\)=0).
Step 3
Exam Tip
\(ad-bc\neq0\) होने से \(x_1=x_2\), अतः फलन एक-एक है। / Since \(ad-bc\neq0\), \(x_1=x_2\), so the function is one-one.
D. (g) को कम से कम (f(A)) पर एक-एक व्यवहार करना होगा/(g) must behave one-one at least on (f(A))
Step 1
Concept
संयोजन \(g\circ f\) में (g) केवल (f) के परास पर काम करता है। / In \(g\circ f\), (g) is used only on the range of (f).
Step 2
Why this answer is correct
(g) पूरे प्रांत पर एक-एक न भी हो, फिर भी (f(A)) पर अलग मान दे सकता है। / (g) may not be one-one on its whole domain but can behave distinctly on (f(A)).
Step 3
Exam Tip
संयोजन में प्रयुक्त भाग और पूरे प्रांत में अंतर समझना जरूरी है। / In composition, distinguish the used part from the whole domain.
(A) के चार तत्वों के लिए (B) से चार अलग प्रतिबिंब चुनने हैं। / Four elements of (A) need four distinct images from (B).
Step 2
Why this answer is correct
संख्या \(^{6}P_{4}=6\cdot5\cdot4\cdot3=360\) होगी। / The number is \(^{6}P_{4}=6\cdot5\cdot4\cdot3=360\).
Step 3
Exam Tip
एक-एक फलनों की गिनती में चयन नहीं, क्रमचय लगता है क्योंकि आगत अलग-अलग हैं। / For one-one functions use permutations, not combinations, because domain elements are distinct.
दिए गए प्रांत में केवल शून्य और ऋणात्मक संख्याएं हैं। / The given domain contains only zero and negative numbers.
Step 2
Why this answer is correct
इस अंतराल पर (x) बढ़ने पर \(x^2\) घटता है, इसलिए समान मान दो बार नहीं आता। / On this interval, as (x) increases, \(x^2\) decreases, so the same value does not occur twice.
Step 3
Exam Tip
\(x^2\) को शून्य के एक ओर सीमित करने से वह एक-एक हो जाता है। / Restricting \(x^2\) to one side of zero makes it one-one.
\(x^2\) शून्य के दाईं ओर बढ़ता है और शून्य के दोनों ओर समान मान दे सकता है। / \(x^2\) increases to the right of zero and can give the same value on both sides of zero.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a\ge0\), तो पूरा प्रांत शून्य के दाईं ओर रहेगा और दो अलग आगत समान मान नहीं देंगे। / If \(a\ge0\), the whole domain stays to the right of zero, so two different inputs do not give the same value.
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन में प्रांत शिखर के एक ही ओर होना चाहिए। / For a quadratic function the domain should lie on one side of the vertex.
\(x^3\) और (3x) दोनों बढ़ने वाले प्रभाव देते हैं। / Both \(x^3\) and (3x) contribute increasing behavior.
Step 2
Why this answer is correct
(x) बढ़ने पर \(x^3+3x+2\) लगातार बढ़ता है, इसलिए समान मान दो अलग आगतों पर नहीं आता। / As (x) increases, \(x^3+3x+2\) keeps increasing, so the same value does not occur at two different inputs.
Step 3
Exam Tip
लगातार बढ़ने वाला फलन हमेशा एक-एक होता है। / A strictly increasing function is always one-one.
एक-एकता को गलत सिद्ध करने के लिए दो अलग आगतों का समान मान दिखाना पर्याप्त है। / To disprove injectivity it is enough to show equal output for two different inputs.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=0) और (f(3)=27-54+27=0), जबकि \(0\neq3\)। / (f(0)=0) and (f(3)=27-54+27=0), while \(0\neq3\).
Step 3
Exam Tip
बहुपद में आसान मान रखकर समान प्रतिबिंब जल्दी खोजें। / In polynomial questions use simple values to quickly find repeated images.
लघुगणकीय फलन अपने सही प्रांत (\(0,\infty\)) पर बढ़ता है। / The logarithmic function increases on its proper domain (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(\log x_1=\log x_2\), तो \(x_1=x_2\) ही होगा। / If \(\log x_1=\log x_2\), then \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
लघुगणकीय फलन की एक-एकता जांचते समय पहले उसका प्रांत अवश्य देखें। / While checking injectivity of a logarithmic function, always check its domain first.
