यदि \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) को (f(x)=x-3 -1) से परिभाषित किया गया है तो फलन कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x-3 -1), then what type of function is it?
#relations and functions
#onto function
#cubic function
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? Hint Small clue
A आच्छादक / Onto
B आच्छादक नहीं / Not onto
C केवल स्थिर / Constant only
D परिभाषित नहीं / Not defined
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Correct Answer
A. आच्छादक / Onto
Step 1
Concept
आच्छादक होने के लिए हर \(y\in\mathbb{R}\) के लिए कोई \(x\in\mathbb{R}\) मिलना चाहिए। / For onto, every \(y\in\mathbb{R}\) must have some preimage \(x\in\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(y=x^3-1\) से \(x=\sqrt[3]{y+1}\) मिलता है जो हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है। / From \(y=x^3-1\), we get \(x=\sqrt[3]{y+1}\), which is real for every real (y).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में घन फलनों का परास ध्यान से देखें क्योंकि वे अक्सर पूरे \(\mathbb{R}\) को ढकते हैं। / In exams, cubic functions often cover all real values.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) को (f(x)=x-2 +4) से परिभाषित किया गया है तो क्या (f) आच्छादक है?
If \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x-2 +4), is (f) onto?
#relations and functions
#onto function
#quadratic range
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हाँ क्योंकि परास \(\mathbb{R}\) है / Yes because range is \(\mathbb{R}\)
B नहीं क्योंकि (4) से छोटी संख्याएँ नहीं मिलतीं / No because numbers less than (4) are not obtained
C हाँ क्योंकि प्रांत \(\mathbb{R}\) है / Yes because domain is \(\mathbb{R}\)
D नहीं क्योंकि फलन स्थिर है / No because the function is constant
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Correct Answer
B. नहीं क्योंकि (4) से छोटी संख्याएँ नहीं मिलतीं / No because numbers less than (4) are not obtained
Step 1
Concept
\(x^2\ge 0\) होता है इसलिए \(x^2+4\ge 4\)। / Since \(x^2\ge 0\), we have \(x^2+4\ge 4\).
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) है पर परास केवल \([4,\infty\)) है। / The codomain is \(\mathbb{R}\), but the range is only \([4,\infty\)).
Step 3
Exam Tip
आच्छादक जाँचते समय सहक्षेत्र और परास की बराबरी अवश्य देखें। / Always compare the range with the codomain for onto questions.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to [2,\infty\)), (f(x)=x-2 +2) के लिए सही कथन चुनिए।
Choose the correct statement for \(f:\mathbb{R}\to [2,\infty\)), (f(x)=x-2 +2).
#relations and functions
#onto function
#codomain
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) आच्छादक है / (f) is onto
B (f) आच्छादक नहीं है / (f) is not onto
C (f) का परास \(\mathbb{R}\) है / Range of (f) is \(\mathbb{R}\)
D (f) परिभाषित नहीं है / (f) is not defined
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Correct Answer
A. (f) आच्छादक है / (f) is onto
Step 1
Concept
\(x^2\ge 0\) से (f(x)=x-2 +2\ge 2)। / Since \(x^2\ge 0\), (f(x)=x-2 +2\ge 2).
Step 2
Why this answer is correct
(2) से बड़ी या बराबर हर संख्या (y) के लिए \(x=\sqrt{y-2}\) लिया जा सकता है। / For every \(y\ge 2\), we can take \(x=\sqrt{y-2}\).
Step 3
Exam Tip
सही सहक्षेत्र चुनने पर वही द्विघात फलन आच्छादक बन सकता है। / A quadratic function can become onto when the codomain matches its actual range.
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यदि \(f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}\) को (f(n)=n+1) से परिभाषित किया गया है और \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\), तो (f) के बारे में क्या सत्य है?
If \(f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}\) is defined by (f(n)=n+1) and \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\), what is true about (f)?
#relations and functions
#onto function
#natural numbers
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A आच्छादक है / Onto
B आच्छादक नहीं है / Not onto
C स्थिर है / Constant
D सहक्षेत्र रिक्त है / Codomain is empty
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Correct Answer
B. आच्छादक नहीं है / Not onto
Step 1
Concept
(f(n)=n+1) से मान \(2,3,4,\ldots\) मिलते हैं। / (f(n)=n+1) gives values \(2,3,4,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र \(\mathbb{N}\) में (1) है पर (1) किसी (n) से प्राप्त नहीं होता। / The codomain \(\mathbb{N}\) contains (1), but (1) has no preimage.
Step 3
Exam Tip
प्राकृतिक संख्याओं वाले प्रश्नों में पहला मान अलग से जाँचना उपयोगी होता है। / In natural-number questions, checking the first few codomain values is very helpful.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}\) को (f(x)=x-5) से परिभाषित किया गया है तो (f) आच्छादक क्यों है?
Why is \(f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}\), (f(x)=x-5), onto?
#relations and functions
#onto function
#integers
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि हर \(y\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=y+5) पूर्णांक है / Because for every \(y\in\mathbb{Z}\), (x=y+5) is an integer
B क्योंकि \(x^2\) आता है / Because \(x^2\) appears
C क्योंकि सहक्षेत्र सीमित है / Because codomain is finite
D क्योंकि (f(x)) हमेशा धनात्मक है / Because (f(x)) is always positive
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Correct Answer
A. क्योंकि हर \(y\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=y+5) पूर्णांक है / Because for every \(y\in\mathbb{Z}\), (x=y+5) is an integer
Step 1
Concept
किसी भी \(y\in\mathbb{Z}\) को लक्ष्य मान मानिए। / Take any target value \(y\in\mathbb{Z}\).
Step 2
Why this answer is correct
(y=x-5) से (x=y+5) मिलता है और यह पूर्णांक है। / From (y=x-5), we get (x=y+5), which is an integer.
Step 3
Exam Tip
रैखिक फलन में उलटा मान निकालकर आच्छादकता जल्दी जाँची जा सकती है। / For linear functions, solving for (x) is a quick way to test onto.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), (f(x)=e^x) के लिए सही विकल्प चुनिए।
Choose the correct option for \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), (f(x)=e^x).
#relations and functions
#onto function
#exponential function
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? Hint Small clue
A आच्छादक है / Onto
B आच्छादक नहीं है क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Not onto because negative values are not obtained
C आच्छादक नहीं है क्योंकि (0) से बड़े मान नहीं मिलते / Not onto because values greater than (0) are not obtained
D स्थिर फलन है / It is a constant function
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Correct Answer
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Not onto because negative values are not obtained
Step 1
Concept
\(e^x\) हमेशा (0) से बड़ा होता है। / \(e^x\) is always greater than (0).
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक संख्याएँ और (0) हैं जो परास में नहीं आतीं। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative numbers and (0), which are not in the range.
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन में परास को याद रखना आच्छादकता के लिए बहुत जरूरी है। / Remembering the range of exponential functions helps in onto questions.
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यदि (f:\mathbb{R}\to \(0,\infty\)) को (f(x)=e^x) से परिभाषित किया गया है तो (f) कैसा है?
If (f:\mathbb{R}\to \(0,\infty\)) is defined by (f(x)=e^x), what type of function is (f)?
#relations and functions
#onto function
#exponential range
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? Hint Small clue
A आच्छादक है / Onto
B आच्छादक नहीं है / Not onto
C केवल बहुपद फलन है / Polynomial only
D अपरिभाषित है / Undefined
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Correct Answer
A. आच्छादक है / Onto
Step 1
Concept
\(e^x\) का परास (\(0,\infty\)) है। / The range of \(e^x\) is (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र भी (\(0,\infty\)) दिया है इसलिए हर लक्ष्य मान (y>0) के लिए \(x=\ln y\) मिल जाता है। / The codomain is also (\(0,\infty\)), so for every (y>0), \(x=\ln y\) exists.
Step 3
Exam Tip
आच्छादकता में दिए गए सहक्षेत्र को अनदेखा न करें। / Never ignore the given codomain in onto problems.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), (f(x)=\sin x) के लिए कौन सा कथन सही है?
Which statement is correct for \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), (f(x)=\sin x)?
#relations and functions
#onto function
#trigonometric range
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? Hint Small clue
A यह आच्छादक है / It is onto
B यह आच्छादक नहीं है क्योंकि परास ([-1,1]) है / It is not onto because range is ([-1,1])
C यह केवल (0) देता है / It gives only (0)
D यह \(\mathbb{R}\) पर परिभाषित नहीं है / It is not defined on \(\mathbb{R}\)
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Correct Answer
B. यह आच्छादक नहीं है क्योंकि परास ([-1,1]) है / It is not onto because range is ([-1,1])
Step 1
Concept
\(\sin x\) का मान हमेशा (-1) और (1) के बीच रहता है। / \(\sin x\) always lies between (-1) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) में (2) जैसे मान हैं जो कभी नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{R}\) has values like (2), which are never obtained.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलनों के सीमित परास को पहले पहचानें। / First identify the bounded range of trigonometric functions.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to [-1,1]\), (f(x)=\cos x), तो (f) के लिए सही निष्कर्ष क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to [-1,1]\), (f(x)=\cos x), what is the correct conclusion about (f)?
#relations and functions
#onto function
#cosine range
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? Hint Small clue
A आच्छादक है / Onto
B आच्छादक नहीं है / Not onto
C सहक्षेत्र खाली है / Codomain is empty
D परास (\(1,\infty\)) है / Range is (\(1,\infty\))
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Correct Answer
A. आच्छादक है / Onto
Step 1
Concept
\(\cos x\) का परास ([-1,1]) होता है। / The range of \(\cos x\) is ([-1,1]).
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र भी ([-1,1]) है इसलिए हर मान मिल सकता है। / The codomain is also ([-1,1]), so every codomain value is attained.
Step 3
Exam Tip
जब सहक्षेत्र वास्तविक परास के बराबर हो तो फलन आच्छादक होता है। / A function is onto when its codomain equals its actual range.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), (f(x)=|x|) के बारे में सही कथन चुनिए।
Choose the correct statement about \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), (f(x)=|x|).
#relations and functions
#onto function
#modulus function
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A आच्छादक है / Onto
B आच्छादक नहीं है क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Not onto because negative values are not obtained
C आच्छादक नहीं है क्योंकि (0) नहीं मिलता / Not onto because (0) is not obtained
D केवल ऋणात्मक मान देता है / Gives only negative values
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Correct Answer
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Not onto because negative values are not obtained
Step 1
Concept
(|x|) का मान हमेशा (0) या धनात्मक होता है। / (|x|) is always (0) or positive.
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) में (-3) जैसे मान हैं जो (|x|) से नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains values like (-3), which cannot be obtained from (|x|).
Step 3
Exam Tip
मापांक फलन में ऋणात्मक लक्ष्य मान तुरंत आच्छादकता तोड़ देते हैं। / Negative target values quickly show that the modulus function is not onto over \(\mathbb{R}\).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to [0,\infty\)) को (f(x)=|x|) से परिभाषित किया गया है तो (f) आच्छादक है या नहीं?
If \(f:\mathbb{R}\to [0,\infty\)) is defined by (f(x)=|x|), is (f) onto or not?
#relations and functions
#onto function
#absolute value
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? Hint Small clue
A आच्छादक है / Onto
B आच्छादक नहीं है / Not onto
C केवल एकैकी है / One-one only
D फलन नहीं है / Not a function
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Correct Answer
A. आच्छादक है / Onto
Step 1
Concept
(|x|) का परास \([0,\infty\)) है। / The range of (|x|) is \([0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge 0\) के लिए (x=y) लेने पर (|x|=y) मिल जाता है। / For every \(y\ge 0\), taking (x=y) gives (|x|=y).
Step 3
Exam Tip
मापांक फलन को आच्छादक बनाने के लिए सहक्षेत्र को \([0,\infty\)) रखना चाहिए। / To make the modulus function onto, choose codomain \([0,\infty\)).
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फलन \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), (f(x)=2x+7) के लिए कौन सा विकल्प सही है?
Which option is correct for \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), (f(x)=2x+7)?
#relations and functions
#onto function
#linear function
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? Hint Small clue
A आच्छादक है / Onto
B आच्छादक नहीं है / Not onto
C केवल (7) देता है / Gives only (7)
D परास \([0,\infty\)) है / Range is \([0,\infty\))
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Correct Answer
A. आच्छादक है / Onto
Step 1
Concept
किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए समीकरण (y=2x+7) हल करें। / For any \(y\in\mathbb{R}\), solve (y=2x+7).
Step 2
Why this answer is correct
\(x=\frac{y-7}{2}\) हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है। / \(x=\frac{y-7}{2}\) is real for every real (y).
Step 3
Exam Tip
शून्येतर ढाल वाला रैखिक फलन \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) पर आच्छादक होता है। / A non-zero-slope linear function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) को (f(x)=5) से परिभाषित किया गया है तो सही निष्कर्ष क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) is defined by (f(x)=5), what is the correct conclusion?
#relations and functions
#onto function
#constant function
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? Hint Small clue
A आच्छादक है / Onto
B आच्छादक नहीं है / Not onto
C परास \(\mathbb{R}\) है / Range is \(\mathbb{R}\)
D हर (x) का अलग मान है / Every (x) has a different value
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Correct Answer
B. आच्छादक नहीं है / Not onto
Step 1
Concept
स्थिर फलन (f(x)=5) हमेशा केवल (5) देता है। / The constant function (f(x)=5) always gives only (5).
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) के बाकी मान जैसे (4) और (6) नहीं मिलते। / Other codomain values such as (4) and (6) are not obtained.
Step 3
Exam Tip
यदि परास में केवल एक मान हो और सहक्षेत्र बड़ा हो तो फलन आच्छादक नहीं होगा। / If the range has only one value and the codomain is larger, the function is not onto.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to {5}\), (f(x)=5) के लिए कौन सा कथन सत्य है?
Which statement is true for \(f:\mathbb{R}\to {5}\), (f(x)=5)?
#relations and functions
#onto function
#constant codomain
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A आच्छादक है / Onto
B आच्छादक नहीं है / Not onto
C परास रिक्त है / Range is empty
D प्रांत रिक्त है / Domain is empty
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Correct Answer
A. आच्छादक है / Onto
Step 1
Concept
फलन का मान हर (x) पर (5) है। / The function value is (5) for every (x).
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र में भी केवल (5) है इसलिए सहक्षेत्र का हर मान मिल गया। / The codomain also contains only (5), so every codomain value is attained.
Step 3
Exam Tip
स्थिर फलन छोटे एक-सदस्य सहक्षेत्र पर आच्छादक हो सकता है। / A constant function can be onto if the codomain has exactly that one value.
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मान लीजिए \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{a,b,c\}\) और \(f:A\to B\) में (f(1)=a), (f(2)=b), (f(3)=b)। क्या (f) आच्छादक है?
Let \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{a,b,c\}\), and \(f:A\to B\) with (f(1)=a), (f(2)=b), (f(3)=b). Is (f) onto?
#relations and functions
#onto function
#finite sets
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? Hint Small clue
A हाँ / Yes
B नहीं क्योंकि (c) का पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / No because (c) has no preimage
C हाँ क्योंकि (a) और (b) मिलते हैं / Yes because (a) and (b) are obtained
D नहीं क्योंकि (A) खाली है / No because (A) is empty
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Correct Answer
B. नहीं क्योंकि (c) का पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / No because (c) has no preimage
Step 1
Concept
आच्छादकता में (B) के हर सदस्य को कम से कम एक बार मिलना चाहिए। / For onto, every element of (B) must be obtained at least once.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ (a) और (b) मिलते हैं पर (c) नहीं मिलता। / Here (a) and (b) are obtained, but (c) is not.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चयों में सहक्षेत्र के प्रत्येक सदस्य पर निशान लगाकर जाँच करें। / For finite sets, mark each codomain element and check whether all are hit.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{p,q\}\) और (f(1)=p), (f(2)=q), (f(3)=p), (f(4)=q), तो \(f:A\to B\) कैसा है?
If \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{p,q\}\), and (f(1)=p), (f(2)=q), (f(3)=p), (f(4)=q), what type is \(f:A\to B\)?
#relations and functions
#onto function
#mapping
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A आच्छादक है / Onto
B आच्छादक नहीं है / Not onto
C फलन नहीं है / Not a function
D सहक्षेत्र खाली है / Codomain is empty
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Correct Answer
A. आच्छादक है / Onto
Step 1
Concept
सहक्षेत्र (B) के सदस्य (p) और (q) हैं। / The codomain (B) has elements (p) and (q).
Step 2
Why this answer is correct
(p) भी मिलता है और (q) भी मिलता है इसलिए कोई सदस्य छूटा नहीं। / Both (p) and (q) are obtained, so no codomain element is missed.
Step 3
Exam Tip
आच्छादकता के लिए अलग-अलग पूर्वप्रतिबिंब जरूरी नहीं बस हर सहक्षेत्र सदस्य मिलना चाहिए। / Onto does not require distinct preimages, only that every codomain element is hit.
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किस शर्त में \(f:A\to B\) आच्छादक कहलाता है?
Under which condition is \(f:A\to B\) called onto?
#relations and functions
#onto function
#definition
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हर \(b\in B\) के लिए कोई \(a\in A\) हो जिससे (f(a)=b) / For every \(b\in B\), there exists \(a\in A\) such that (f(a)=b)
B हर \(a\in A\) के लिए (f(a)=a) हो / For every \(a\in A\), (f(a)=a)
C (A) और (B) दोनों खाली हों / Both (A) and (B) are empty
D केवल एक (a) का मान हो / Only one (a) has an image
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Correct Answer
A. हर \(b\in B\) के लिए कोई \(a\in A\) हो जिससे (f(a)=b) / For every \(b\in B\), there exists \(a\in A\) such that (f(a)=b)
Step 1
Concept
आच्छादकता सहक्षेत्र के हर सदस्य से जुड़ी शर्त है। / Onto is a condition about every element of the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
यदि हर \(b\in B\) किसी \(a\in A\) का प्रतिबिंब है तो परास (B) के बराबर है। / If every \(b\in B\) is the image of some \(a\in A\), then range equals (B).
Step 3
Exam Tip
परिभाषा वाले प्रश्नों में (B) से शुरू होने वाली शर्त पहचानें। / In definition questions, identify the statement that starts from the codomain.
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यदि \(f:A\to B\) आच्छादक है तो कौन सा संबंध अवश्य सत्य है?
If \(f:A\to B\) is onto, which relation must be true?
#relations and functions
#onto function
#range codomain
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A परास (=) सहक्षेत्र / Range (=) codomain
B प्रांत (=) सहक्षेत्र / Domain (=) codomain
C परास (=) प्रांत / Range (=) domain
D सहक्षेत्र रिक्त / Codomain is empty
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Correct Answer
A. परास (=) सहक्षेत्र / Range (=) codomain
Step 1
Concept
आच्छादक फलन में सहक्षेत्र का कोई भी सदस्य छूटता नहीं। / In an onto function, no codomain element is left out.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए फलन का परास पूरे सहक्षेत्र के बराबर होता है। / Hence the range of the function equals the whole codomain.
Step 3
Exam Tip
आच्छादकता की सबसे छोटी परीक्षा यही है कि परास और सहक्षेत्र बराबर हैं या नहीं। / The shortest test for onto is to compare range and codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) को (f(x)=x-2 -6x+10) से परिभाषित किया गया है तो (f) आच्छादक है या नहीं?
If \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x-2 -6x+10), is (f) onto or not?
#relations and functions
#onto function
#complete square
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A आच्छादक है / Onto
B आच्छादक नहीं है / Not onto
C परास \(\mathbb{R}\) है / Range is \(\mathbb{R}\)
D सहक्षेत्र \([1,\infty\)) है / Codomain is \([1,\infty\))
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Correct Answer
B. आच्छादक नहीं है / Not onto
Step 1
Concept
(x-2 -6x+10=(x-3)2 +1)। / (x-2 -6x+10=(x-3)2 +1).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए सबसे छोटा मान (1) है और परास \([1,\infty\)) है। / Therefore the minimum value is (1), and the range is \([1,\infty\)).
Step 3
Exam Tip
वर्ग पूर्ण करने से द्विघात फलन की आच्छादकता जल्दी समझ आती है। / Completing the square quickly reveals whether a quadratic is onto.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to [1,\infty\)), (f(x)=x-2 -6x+10) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
What is the correct conclusion about \(f:\mathbb{R}\to [1,\infty\)), (f(x)=x-2 -6x+10)?
#relations and functions
#onto function
#quadratic codomain
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A आच्छादक है / Onto
B आच्छादक नहीं है / Not onto
C परास (\(-\infty,1]\) है / Range is (\(-\infty,1]\)
D फलन स्थिर है / Function is constant
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Correct Answer
A. आच्छादक है / Onto
Step 1
Concept
(f(x)=(x-3)2 +1) है। / (f(x)=(x-3)2 +1).
Step 2
Why this answer is correct
इसका परास \([1,\infty\)) है जो दिए गए सहक्षेत्र के बराबर है। / Its range is \([1,\infty\)), which equals the given codomain.
Step 3
Exam Tip
समान सूत्र अलग सहक्षेत्र के कारण अलग उत्तर दे सकता है। / The same formula can give a different answer when the codomain changes.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), (f(x)=x-3 +x), तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), (f(x)=x-3 +x), what is the correct statement about (f)?
#relations and functions
#onto function
#monotonic cubic
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? Hint Small clue
A आच्छादक है / Onto
B आच्छादक नहीं है / Not onto
C केवल धनात्मक मान देता है / Gives only positive values
D परास \([0,\infty\)) है / Range is \([0,\infty\))
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Correct Answer
A. आच्छादक है / Onto
Step 1
Concept
\(x^3+x\) एक सतत बढ़ता हुआ फलन है क्योंकि \(3x^2+1>0\)। / \(x^3+x\) is a continuous increasing function because \(3x^2+1>0\).
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to \infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to -\infty\) पर मान \(-\infty\) की ओर जाता है। / As \(x\to \infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to -\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
ऐसे घन फलन पूरे \(\mathbb{R}\) को ढकते हैं। / Such cubic functions cover all real values.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), (f(x)=x-4 +1) के लिए सही विकल्प चुनिए।
Choose the correct option for \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), (f(x)=x-4 +1).
#relations and functions
#onto function
#even power
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A आच्छादक है / Onto
B आच्छादक नहीं है / Not onto
C परास \(\mathbb{R}\) है / Range is \(\mathbb{R}\)
D हर ऋणात्मक मान मिलता है / Every negative value is obtained
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Correct Answer
B. आच्छादक नहीं है / Not onto
Step 1
Concept
\(x^4\ge 0\) होता है। / \(x^4\ge 0\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(x^4+1\ge 1\) और (1) से छोटी संख्याएँ नहीं मिलतीं। / Therefore \(x^4+1\ge 1\), so values less than (1) are not obtained.
Step 3
Exam Tip
सम घात वाले फलनों में न्यूनतम मान देखकर आच्छादकता जाँचें। / For even-power functions, check the minimum value to test onto.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to [0,\infty)) को (f(x)=x-2 ) से परिभाषित किया गया है तो (f) कैसा है?
If \(f:[0,\infty\)\to [0,\infty)) is defined by (f(x)=x-2 ), what type is (f)?
#relations and functions
#onto function
#restricted domain
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A आच्छादक है / Onto
B आच्छादक नहीं है / Not onto
C परास \(\mathbb{R}\) है / Range is \(\mathbb{R}\)
D सहक्षेत्र (\(-\infty,0\)) है / Codomain is (\(-\infty,0\))
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Correct Answer
A. आच्छादक है / Onto
Step 1
Concept
सहक्षेत्र का कोई भी मान \(y\ge 0\) लें। / Take any codomain value \(y\ge 0\).
Step 2
Why this answer is correct
\(x=\sqrt{y}\) लेने पर \(x\in[0,\infty\)) और \(x^2=y\) मिल जाता है। / Choosing \(x=\sqrt{y}\) gives \(x\in[0,\infty\)) and \(x^2=y\).
Step 3
Exam Tip
प्रांत को सीमित करने से \(x^2\) वाला फलन आच्छादक बन सकता है। / Restricting the domain can make the square function onto for a suitable codomain.
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फलन \(f:[0,\infty\)\to \mathbb{R}), (f(x)=x-2 ) के लिए सही निष्कर्ष क्या है?
What is the correct conclusion for \(f:[0,\infty\)\to \mathbb{R}), (f(x)=x-2 )?
#relations and functions
#onto function
#range check
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A आच्छादक है / Onto
B आच्छादक नहीं है क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Not onto because negative values are not obtained
C आच्छादक है क्योंकि (0) मिलता है / Onto because (0) is obtained
D परास (\(-\infty,0\)) है / Range is (\(-\infty,0\))
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Correct Answer
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Not onto because negative values are not obtained
Step 1
Concept
\(x\ge 0\) होने पर भी \(x^2\ge 0\) ही रहता है। / Even when \(x\ge 0\), \(x^2\ge 0\).
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक मान हैं जो नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative values that are not obtained.
Step 3
Exam Tip
केवल कुछ मान मिलना काफी नहीं पूरे सहक्षेत्र का मिलना जरूरी है। / Getting some values is not enough; the whole codomain must be covered.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) को (f(x)=\tan x) से परिभाषित किया जाए तो कौन सी बात ध्यान देने योग्य है?
If \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) is defined by (f(x)=\tan x), which point must be noticed?
#relations and functions
#onto function
#function validity
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह पूरे \(\mathbb{R}\) पर परिभाषित नहीं है / It is not defined on all of \(\mathbb{R}\)
B यह आच्छादक स्थिर फलन है / It is an onto constant function
C इसका परास केवल ({0}) है / Its range is only ({0})
D यह (x=0) पर परिभाषित नहीं है / It is not defined at (x=0)
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Correct Answer
A. यह पूरे \(\mathbb{R}\) पर परिभाषित नहीं है / It is not defined on all of \(\mathbb{R}\)
Step 1
Concept
\(\tan x\) \(x=\frac{\pi}{2}+n\pi\) पर परिभाषित नहीं होता। / \(\tan x\) is not defined at \(x=\frac{\pi}{2}+n\pi\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए इसे \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) तक फलन की तरह सीधे नहीं माना जा सकता। / So it cannot directly be treated as a function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
आच्छादकता से पहले यह जाँचें कि दिया गया नियम पूरे प्रांत पर परिभाषित है या नहीं। / Before testing onto, check whether the rule is defined on the entire domain.
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यदि (f:\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)\to \mathbb{R}), (f(x)=\tan x), तो (f) कैसा है?
If (f:\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)\to \mathbb{R}), (f(x)=\tan x), what type is (f)?
#relations and functions
#onto function
#tangent function
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? Hint Small clue
A आच्छादक है / Onto
B आच्छादक नहीं है / Not onto
C केवल धनात्मक मान देता है / Gives only positive values
D परास ([-1,1]) है / Range is ([-1,1])
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Correct Answer
A. आच्छादक है / Onto
Step 1
Concept
\(\tan x\) इस खुले अंतराल पर परिभाषित है। / \(\tan x\) is defined on this open interval.
Step 2
Why this answer is correct
(x) जैसे-जैसे सिरों के पास जाता है मान \(-\infty\) से \(\infty\) तक सभी वास्तविक मान लेता है। / As (x) approaches the ends, the values cover all real numbers from \(-\infty\) to \(\infty\).
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलन में चुना गया अंतराल बहुत महत्वपूर्ण होता है। / The chosen interval is very important for trigonometric functions.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), (f(x)=\frac{x}{1+|x|}) के लिए कौन सा कथन सही है?
Which statement is correct for \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), (f(x)=\frac{x}{1+|x|})?
#relations and functions
#onto function
#bounded range
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? Hint Small clue
A आच्छादक है / Onto
B आच्छादक नहीं है क्योंकि परास ((-1,1)) है / Not onto because range is ((-1,1))
C परास \(\mathbb{R}\) है / Range is \(\mathbb{R}\)
D यह फलन नहीं है / It is not a function
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Correct Answer
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि परास ((-1,1)) है / Not onto because range is ((-1,1))
Step 1
Concept
\(\frac{x}{1+|x|}\) का मान कभी (1) या (-1) तक नहीं पहुँचता। / \(\frac{x}{1+|x|}\) never reaches (1) or (-1).
Step 2
Why this answer is correct
इसका परास ((-1,1)) है जबकि सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) है। / Its range is ((-1,1)), while the codomain is \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
भिन्न वाले फलनों में सीमा और संभावित मानों का अनुमान लगाएँ। / For rational-type expressions, estimate bounds and possible values.
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यदि (f:\mathbb{R}\to (-1,1)), (f(x)=\frac{x}{1+|x|}), तो (f) के लिए सही उत्तर क्या है?
If (f:\mathbb{R}\to (-1,1)), (f(x)=\frac{x}{1+|x|}), what is the correct answer for (f)?
#relations and functions
#onto function
#codomain matching
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? Hint Small clue
A आच्छादक है / Onto
B आच्छादक नहीं है / Not onto
C परास \([0,\infty\)) है / Range is \([0,\infty\))
D केवल (0) मिलता है / Only (0) is obtained
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Correct Answer
A. आच्छादक है / Onto
Step 1
Concept
इस फलन का वास्तविक परास ((-1,1)) है। / The actual range of this function is ((-1,1)).
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र भी ((-1,1)) दिया गया है इसलिए कोई लक्ष्य मान बाहर नहीं बचता। / The codomain is also ((-1,1)), so no target value is left out.
Step 3
Exam Tip
सीमाबद्ध परास वाले फलन को सही सहक्षेत्र देकर आच्छादक बनाया जा सकता है। / A bounded-range function can be onto if the codomain is chosen correctly.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to [0,1]\), (f(x)=\frac{x-2 }{1+x-2 }) के बारे में सही विकल्प चुनिए।
Choose the correct option about \(f:\mathbb{R}\to [0,1]\), (f(x)=\frac{x-2 }{1+x-2 }).
#relations and functions
#onto function
#rational function
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A आच्छादक है / Onto
B आच्छादक नहीं है क्योंकि (1) नहीं मिलता / Not onto because (1) is not obtained
C आच्छादक नहीं है क्योंकि (0) नहीं मिलता / Not onto because (0) is not obtained
D परास \(\mathbb{R}\) है / Range is \(\mathbb{R}\)
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Correct Answer
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि (1) नहीं मिलता / Not onto because (1) is not obtained
Step 1
Concept
\(\frac{x^2}{1+x^2}\ge 0\) और यह (1) से छोटा रहता है। / \(\frac{x^2}{1+x^2}\ge 0\) and it remains less than (1).
Step 2
Why this answer is correct
(x=0) पर (0) मिलता है पर (1) किसी वास्तविक (x) से नहीं मिलता। / At (x=0), (0) is obtained, but (1) is never obtained for any real (x).
Step 3
Exam Tip
बंद सहक्षेत्र में अंतिम बिंदु मिलते हैं या नहीं यह जरूर जाँचें। / In closed codomains, always check whether endpoints are actually attained.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to [0,1\)), (f(x)=\frac{x-2 }{1+x-2 }), तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to [0,1\)), (f(x)=\frac{x-2 }{1+x-2 }), what type is (f)?
#relations and functions
#onto function
#endpoint check
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A आच्छादक है / Onto
B आच्छादक नहीं है / Not onto
C केवल (1) देता है / Gives only (1)
D परास (\(1,\infty\)) है / Range is (\(1,\infty\))
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Correct Answer
A. आच्छादक है / Onto
Step 1
Concept
फलन का मान (0) से शुरू होकर (1) के पास जाता है पर (1) नहीं बनता। / The function starts at (0) and approaches (1), but never becomes (1).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए वास्तविक परास ([0,1)) है। / Hence the actual range is ([0,1)).
Step 3
Exam Tip
सहक्षेत्र में खुला या बंद सिरा आच्छादकता का उत्तर बदल सकता है। / Open or closed endpoints in the codomain can change the answer.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), (f(x)=x-2 -x) के लिए कौन सा निष्कर्ष सही है?
Which conclusion is correct for \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), (f(x)=x-2 -x)?
#relations and functions
#onto function
#quadratic vertex
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A आच्छादक है / Onto
B आच्छादक नहीं है / Not onto
C परास \(\mathbb{R}\) है / Range is \(\mathbb{R}\)
D केवल ऋणात्मक मान देता है / Gives only negative values
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Correct Answer
B. आच्छादक नहीं है / Not onto
Step 1
Concept
(x-2 -x=\left\(x-\frac{1}{2}\right\)2 -\frac{1}{4})। / (x-2 -x=\left\(x-\frac{1}{2}\right\)2 -\frac{1}{4}).
Step 2
Why this answer is correct
न्यूनतम मान \(-\frac{1}{4}\) है इसलिए इससे छोटी संख्याएँ नहीं मिलतीं। / The minimum value is \(-\frac{1}{4}\), so smaller values are not obtained.
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन में शीर्ष बिंदु से परास निकालना आसान होता है। / For quadratics, use the vertex form to find the range.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to \left[-\frac{1}{4},\infty\right\)), (f(x)=x-2 -x), तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to \left[-\frac{1}{4},\infty\right\)), (f(x)=x-2 -x), what type is (f)?
#relations and functions
#onto function
#range equals codomain
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? Hint Small clue
A आच्छादक है / Onto
B आच्छादक नहीं है / Not onto
C परास (\(-\infty,-1\)) है / Range is (\(-\infty,-1\))
D परास रिक्त है / Range is empty
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Correct Answer
A. आच्छादक है / Onto
Step 1
Concept
(f(x)=\left\(x-\frac{1}{2}\right\)2 -\frac{1}{4}) है। / (f(x)=\left\(x-\frac{1}{2}\right\)2 -\frac{1}{4}).
Step 2
Why this answer is correct
इसका परास \(\left[-\frac{1}{4},\infty\right\)) है और यही सहक्षेत्र दिया गया है। / Its range is \(\left[-\frac{1}{4},\infty\right\)), exactly the given codomain.
Step 3
Exam Tip
परास और सहक्षेत्र बराबर मिलते ही आच्छादकता सिद्ध हो जाती है। / Once range and codomain match, onto is proved.
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फलन \(f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}\), (f(x)=2x) के लिए सही कथन चुनिए।
Choose the correct statement for \(f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}\), (f(x)=2x).
#relations and functions
#onto function
#integer parity
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? Hint Small clue
A आच्छादक है / Onto
B आच्छादक नहीं है क्योंकि विषम पूर्णांक नहीं मिलते / Not onto because odd integers are not obtained
C आच्छादक नहीं है क्योंकि (0) नहीं मिलता / Not onto because (0) is not obtained
D परास सभी ऋणात्मक संख्याएँ हैं / Range is all negative numbers
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Correct Answer
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि विषम पूर्णांक नहीं मिलते / Not onto because odd integers are not obtained
Step 1
Concept
(2x) हमेशा सम पूर्णांक होता है। / (2x) is always an even integer.
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र \(\mathbb{Z}\) में (1) और (3) जैसे विषम पूर्णांक भी हैं। / The codomain \(\mathbb{Z}\) also contains odd integers such as (1) and (3).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक वाले प्रश्नों में सम-विषम प्रकृति पर ध्यान दें। / For integer functions, pay attention to parity.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to 2\mathbb{Z}\) को (f(x)=2x) से परिभाषित किया गया है तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{Z}\to 2\mathbb{Z}\) is defined by (f(x)=2x), what type is (f)?
#relations and functions
#onto function
#even integers
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A आच्छादक है / Onto
B आच्छादक नहीं है / Not onto
C केवल धनात्मक मान देता है / Gives only positive values
D फलन स्थिर है / Function is constant
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. आच्छादक है / Onto
Step 1
Concept
\(2\mathbb{Z}\) सभी सम पूर्णांकों का समुच्चय है। / \(2\mathbb{Z}\) is the set of all even integers.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी सम पूर्णांक (y) के लिए (y=2k) होगा और (x=k) लेने पर (f(x)=y)। / Any even integer (y) can be written as (y=2k), and taking (x=k) gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
सहक्षेत्र को सम पूर्णांकों तक रखने पर यह फलन आच्छादक हो जाता है। / With codomain restricted to even integers, this function is onto.
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फलन \(f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}\), (f(n)=2n-1) के लिए सही विकल्प क्या है?
What is the correct option for \(f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}\), (f(n)=2n-1)?
#relations and functions
#onto function
#natural parity
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? Hint Small clue
A आच्छादक है / Onto
B आच्छादक नहीं है क्योंकि सम प्राकृतिक संख्याएँ नहीं मिलतीं / Not onto because even natural numbers are not obtained
C आच्छादक नहीं है क्योंकि (1) नहीं मिलता / Not onto because (1) is not obtained
D परास \(\mathbb{R}\) है / Range is \(\mathbb{R}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि सम प्राकृतिक संख्याएँ नहीं मिलतीं / Not onto because even natural numbers are not obtained
Step 1
Concept
(2n-1) हमेशा विषम प्राकृतिक संख्या देता है। / (2n-1) always gives an odd natural number.
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र \(\mathbb{N}\) में \(2,4,6,\ldots\) जैसे सम मान भी हैं जो नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{N}\) also contains even values \(2,4,6,\ldots\), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
जब सूत्र केवल विषम या सम मान देता हो तो आच्छादकता सावधानी से जाँचें। / When a formula gives only odd or even values, check onto carefully.
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यदि \(f:\mathbb{N}\to {1,3,5,7,\ldots}\), (f(n)=2n-1), तो (f) के बारे में क्या सही है?
If \(f:\mathbb{N}\to {1,3,5,7,\ldots}\), (f(n)=2n-1), what is correct about (f)?
#relations and functions
#onto function
#odd natural numbers
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A आच्छादक है / Onto
B आच्छादक नहीं है / Not onto
C परास सभी प्राकृतिक संख्याएँ हैं / Range is all natural numbers
D केवल (0) देता है / Gives only (0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. आच्छादक है / Onto
Step 1
Concept
(2n-1) सभी विषम प्राकृतिक संख्याएँ देता है। / (2n-1) gives all odd natural numbers.
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र भी विषम प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है। / The codomain is also the set of odd natural numbers.
Step 3
Exam Tip
यदि लक्ष्य समुच्चय वही है जो सूत्र वास्तव में देता है तो फलन आच्छादक होता है। / If the target set is exactly what the formula produces, the function is onto.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), (f(x)=\frac{1}{1+x-2 }) के लिए सही उत्तर चुनिए।
Choose the correct answer for \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), (f(x)=\frac{1}{1+x-2 }).
#relations and functions
#onto function
#reciprocal quadratic
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A आच्छादक है / Onto
B आच्छादक नहीं है / Not onto
C परास \(\mathbb{R}\) है / Range is \(\mathbb{R}\)
D हर ऋणात्मक मान मिलता है / Every negative value is obtained
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. आच्छादक नहीं है / Not onto
Step 1
Concept
\(1+x^2\ge 1\) इसलिए \(\frac{1}{1+x^2}\) (0) से बड़ा और (1) तक होता है। / Since \(1+x^2\ge 1\), \(\frac{1}{1+x^2}\) is greater than (0) and at most (1).
Step 2
Why this answer is correct
इसका परास ((0,1]) है जबकि सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) है। / Its range is ((0,1]), while the codomain is \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
भिन्न फलन में हर का न्यूनतम मान परास समझने में मदद करता है। / For rational functions, the minimum denominator helps determine the range.
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यदि (f:\mathbb{R}\to (0,1]), (f(x)=\frac{1}{1+x-2 }), तो (f) कैसा है?
If (f:\mathbb{R}\to (0,1]), (f(x)=\frac{1}{1+x-2 }), what type is (f)?
#relations and functions
#onto function
#range interval
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? Hint Small clue
A आच्छादक है / Onto
B आच्छादक नहीं है / Not onto
C केवल (1) देता है / Gives only (1)
D परास \([1,\infty\)) है / Range is \([1,\infty\))
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. आच्छादक है / Onto
Step 1
Concept
(x=0) पर मान (1) मिलता है। / At (x=0), the value (1) is obtained.
Step 2
Why this answer is correct
(x) बड़ा होने पर मान (0) के पास जाता है पर (0) नहीं होता इसलिए परास ((0,1]) है। / As (x) grows large, the value approaches (0) but never becomes (0), so the range is ((0,1]).
Step 3
Exam Tip
सीमा पर मिले या न मिले यह आच्छादकता में महत्वपूर्ण है। / Whether a boundary value is attained matters in onto questions.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), (f(x)=\lfloor x\rfloor) के लिए कौन सा कथन सही है?
Which statement is correct for \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), (f(x)=\lfloor x\rfloor)?
#relations and functions
#onto function
#floor function
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+10 Time+ 10 sec extra
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A आच्छादक है / Onto
B आच्छादक नहीं है क्योंकि केवल पूर्णांक मान मिलते हैं / Not onto because only integer values are obtained
C परास सभी वास्तविक संख्याएँ हैं / Range is all real numbers
D फलन परिभाषित नहीं है / Function is not defined
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Correct Answer
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि केवल पूर्णांक मान मिलते हैं / Not onto because only integer values are obtained
Step 1
Concept
\(\lfloor x\rfloor\) हर (x) के लिए सबसे बड़ा पूर्णांक देता है जो (x) से बड़ा नहीं होता। / \(\lfloor x\rfloor\) gives the greatest integer not greater than (x).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए परास \(\mathbb{Z}\) है \(\mathbb{R}\) नहीं। / Hence its range is \(\mathbb{Z}\), not \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
मंजिल फलन में दशमलव लक्ष्य मान कभी नहीं मिलते। / For the floor function, decimal target values are never obtained.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{Z}\), (f(x)=\lfloor x\rfloor), तो (f) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{Z}\), (f(x)=\lfloor x\rfloor), what is the correct conclusion about (f)?
#relations and functions
#onto function
#greatest integer
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A आच्छादक है / Onto
B आच्छादक नहीं है / Not onto
C परास (\(0,\infty\)) है / Range is (\(0,\infty\))
D केवल (0) मिलता है / Only (0) is obtained
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Correct Answer
A. आच्छादक है / Onto
Step 1
Concept
किसी भी पूर्णांक (k) के लिए (x=k) लेने पर \(\lfloor x\rfloor=k\) मिलता है। / For any integer (k), taking (x=k) gives \(\lfloor x\rfloor=k\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(\mathbb{Z}\) का हर सदस्य प्राप्त हो जाता है। / Thus every element of \(\mathbb{Z}\) is obtained.
Step 3
Exam Tip
मंजिल फलन \(\mathbb{Z}\) सहक्षेत्र पर आच्छादक है। / The floor function is onto when the codomain is \(\mathbb{Z}\).
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(B=\{x,y,z,w\}\), तो क्या (A) से (B) पर कोई आच्छादक फलन बन सकता है?
If \(A=\{1,2,3\}\) and \(B=\{x,y,z,w\}\), can there be an onto function from (A) to (B)?
#relations and functions
#onto function
#finite cardinality
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? Hint Small clue
A हाँ क्योंकि (A) छोटा है / Yes because (A) is smaller
B नहीं क्योंकि (B) में अधिक सदस्य हैं / No because (B) has more elements
C हाँ क्योंकि कोई भी फलन आच्छादक होता है / Yes because every function is onto
D नहीं क्योंकि (A) खाली है / No because (A) is empty
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Correct Answer
B. नहीं क्योंकि (B) में अधिक सदस्य हैं / No because (B) has more elements
Step 1
Concept
आच्छादक फलन में (B) के हर सदस्य को कम से कम एक पूर्वप्रतिबिंब चाहिए। / In an onto function, every element of (B) needs at least one preimage.
Step 2
Why this answer is correct
(A) में (3) सदस्य हैं पर (B) में (4) सदस्य हैं इसलिए चारों को ढकना असंभव है। / (A) has (3) elements while (B) has (4), so all four elements cannot be covered.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चयों में यदि (|A|<|B|) हो तो आच्छादक फलन नहीं बन सकता। / For finite sets, if (|A|<|B|), an onto function cannot exist.
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यदि (|A|=5) और (|B|=3), तो (A) से (B) पर आच्छादक फलन के अस्तित्व के बारे में सही कथन क्या है?
If (|A|=5) and (|B|=3), what is the correct statement about the existence of an onto function from (A) to (B)?
#relations and functions
#onto function
#existence
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A असंभव है / Impossible
B संभव है / Possible
C तभी संभव है जब (B) खाली हो / Possible only when (B) is empty
D केवल तब जब (|A|=|B|) हो / Only when (|A|=|B|)
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Correct Answer
B. संभव है / Possible
Step 1
Concept
आच्छादकता के लिए प्रांत में कम से कम सहक्षेत्र जितने सदस्य होने चाहिए। / For onto, the domain must have at least as many elements as the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ \(5\ge 3\) है इसलिए ऐसा फलन बनाया जा सकता है। / Here \(5\ge 3\), so such a function can be constructed.
Step 3
Exam Tip
अधिक प्रांत सदस्य एक ही सहक्षेत्र सदस्य पर जा सकते हैं। / Multiple domain elements may map to the same codomain element.
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यदि (A) में (3) सदस्य और (B) में (2) सदस्य हैं तो (A) से (B) पर आच्छादक फलनों की संख्या कितनी होगी?
If (A) has (3) elements and (B) has (2) elements, how many onto functions are there from (A) to (B)?
#relations and functions
#onto function
#counting
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? Hint Small clue
A (6)
B (8)
C (2)
D (3)
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Step 1
Concept
कुल फलनों की संख्या \(2^3=8\) है। / Total functions are \(2^3=8\).
Step 2
Why this answer is correct
आच्छादक नहीं होने वाले फलन वे हैं जिनका परास केवल एक सदस्य है ऐसे (2) फलन हैं। / Non-onto functions use only one codomain element, so there are (2) such functions.
Step 3
Exam Tip
अतः आच्छादक फलन (8-2=6) हैं और छोटे समुच्चयों में पूरक विधि तेज रहती है। / Therefore onto functions are (8-2=6); complement counting is quick for small sets.
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यदि (A) में (2) सदस्य और (B) में (2) सदस्य हैं तो (A) से (B) पर आच्छादक फलनों की संख्या क्या है?
If (A) has (2) elements and (B) has (2) elements, what is the number of onto functions from (A) to (B)?
#relations and functions
#onto function
#counting functions
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? Hint Small clue
A (1)
B (2)
C (3)
D (4)
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Step 1
Concept
दोनों समुच्चयों में समान (2) सदस्य हैं। / Both sets have (2) elements.
Step 2
Why this answer is correct
आच्छादक होने के लिए दोनों लक्ष्य सदस्य मिलने चाहिए इसलिए फलन वास्तव में एक-एक मेल होगा। / To be onto, both target elements must be hit, so the function is a one-to-one pairing.
Step 3
Exam Tip
ऐसे मेलों की संख्या (2!=2) होती है। / The number of such pairings is (2!=2).
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यदि \(f:A\to B\) आच्छादक है और (B) में (4) सदस्य हैं तो परास में कम से कम कितने सदस्य होंगे?
If \(f:A\to B\) is onto and (B) has (4) elements, how many elements must the range have?
#relations and functions
#onto function
#range size
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A (2)
B (3)
C (4)
D (5)
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Step 1
Concept
आच्छादक फलन में परास सहक्षेत्र के बराबर होता है। / In an onto function, range equals codomain.
Step 2
Why this answer is correct
(B) में (4) सदस्य हैं इसलिए परास में भी (4) सदस्य होंगे। / Since (B) has (4) elements, the range must also have (4) elements.
Step 3
Exam Tip
आच्छादकता में परास का आकार सहक्षेत्र के आकार से कम नहीं हो सकता। / For an onto function, the range size cannot be less than the codomain size.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), (f(x)=\ln\(1+x^2\)) के लिए सही विकल्प चुनिए।
Choose the correct option for \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), (f(x)=\ln\(1+x^2\)).
#relations and functions
#onto function
#logarithmic range
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? Hint Small clue
A आच्छादक है / Onto
B आच्छादक नहीं है क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Not onto because negative values are not obtained
C परास (\(-\infty,0\)) है / Range is (\(-\infty,0\))
D फलन परिभाषित नहीं है / Function is undefined
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Correct Answer
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Not onto because negative values are not obtained
Step 1
Concept
\(1+x^2\ge 1\) इसलिए (\ln\(1+x^2\)\ge 0)। / Since \(1+x^2\ge 1\), (\ln\(1+x^2\)\ge 0).
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक मान हैं जो नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative values that are not obtained.
Step 3
Exam Tip
लघुगणक वाले फलन में अंदर की मात्रा और न्यूनतम मान दोनों देखें। / For logarithmic functions, check both the input expression and the minimum value.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to [0,\infty\)), (f(x)=\ln\(1+x^2\)), तो (f) के बारे में क्या सही है?
If \(f:\mathbb{R}\to [0,\infty\)), (f(x)=\ln\(1+x^2\)), what is correct about (f)?
#relations and functions
#onto function
#log function
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A आच्छादक है / Onto
B आच्छादक नहीं है / Not onto
C परास \(\mathbb{R}\) है / Range is \(\mathbb{R}\)
D केवल (0) मिलता है / Only (0) is obtained
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Correct Answer
A. आच्छादक है / Onto
Step 1
Concept
(f(x)\ge 0) और (x=0) पर (0) मिलता है। / (f(x)\ge 0), and (0) is obtained at (x=0).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\ge 0\) के लिए \(1+x^2=e^y\) से \(x=\sqrt{e^y-1}\) मिल सकता है। / For any \(y\ge 0\), from \(1+x^2=e^y\), we can take \(x=\sqrt{e^y-1}\).
Step 3
Exam Tip
लक्ष्य मान से (x) निकालकर आच्छादकता सिद्ध करना अच्छा तरीका है। / Solving for (x) from the target value is a strong method to prove onto.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), (f(x)=x-3 -3x-2 +3x) के लिए सही निष्कर्ष क्या है?
What is the correct conclusion for \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), (f(x)=x-3 -3x-2 +3x)?
#relations and functions
#onto function
#cubic transformation
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+10 Time+ 10 sec extra
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A आच्छादक है / Onto
B आच्छादक नहीं है / Not onto
C परास \([0,\infty\)) है / Range is \([0,\infty\))
D केवल (1) देता है / Gives only (1)
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Correct Answer
A. आच्छादक है / Onto
Step 1
Concept
(x-3 -3x-2 +3x=(x-1)3 +1) है। / (x-3 -3x-2 +3x=(x-1)3 +1).
Step 2
Why this answer is correct
घन फलन ((x-1)3 +1) सभी वास्तविक मान लेता है। / The cubic form ((x-1)3 +1) takes all real values.
Step 3
Exam Tip
घन के रूप में बदलने से परास साफ दिखता है। / Rewriting into cubic form makes the range clear.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) और \(g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) दोनों आच्छादक हैं तो \(g\circ f\) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) and \(g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) are both onto, what is the correct statement about \(g\circ f\)?
#relations and functions
#onto function
#composition
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A \(g\circ f\) आच्छादक है / \(g\circ f\) is onto
B \(g\circ f\) कभी आच्छादक नहीं है / \(g\circ f\) is never onto
C \(g\circ f\) स्थिर है / \(g\circ f\) is constant
D \(g\circ f\) फलन नहीं है / \(g\circ f\) is not a function
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Correct Answer
A. \(g\circ f\) आच्छादक है / \(g\circ f\) is onto
Step 1
Concept
(g) आच्छादक है इसलिए हर लक्ष्य (y) के लिए कोई (u) है जिससे (g(u)=y)। / Since (g) is onto, for every target (y), there is some (u) with (g(u)=y).
Step 2
Why this answer is correct
(f) आच्छादक है इसलिए उस (u) के लिए कोई (x) है जिससे (f(x)=u)। / Since (f) is onto, for that (u), there is some (x) with (f(x)=u).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (g(f(x))=y) और संयोजन भी आच्छादक है। / Therefore (g(f(x))=y), so the composition is also onto.
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यदि \(f:[-2,2]\to [0,4]\) को (f(x)=x-2 ) से परिभाषित किया गया है तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।
If \(f:[-2,2]\to [0,4]\) is defined by (f(x)=x-2 ), choose the correct statement about (f).
#relations and functions
#onto function
#restricted interval
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A आच्छादक है / Onto
B आच्छादक नहीं है / Not onto
C परास ([-4,4]) है / Range is ([-4,4])
D केवल (4) प्राप्त होता है / Only (4) is obtained
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Correct Answer
A. आच्छादक है / Onto
Step 1
Concept
\(x\in[-2,2]\) होने पर \(x^2\) का मान (0) से (4) तक होता है। / When \(x\in[-2,2]\), \(x^2\) takes values from (0) to (4).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in[0,4]\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) लेने पर \(x\in[-2,2]\) और (f(x)=y) मिल जाता है। / For any \(y\in[0,4]\), taking \(x=\sqrt{y}\) gives \(x\in[-2,2]\) and (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में प्रांत और सहक्षेत्र दोनों देखकर ही आच्छादकता तय करें। / In exams, decide onto only after checking both the domain and the codomain.
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