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A. ठोस रेखा और मूल बिंदु वाला अर्ध-समतल/Solid line and half-plane containing origin
Step 1
Concept
The sign \(\le\) includes the boundary line and substituting ((0,0)) gives \(0 \le 12\). In exams, test the origin first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ठोस रेखा और मूल बिंदु वाला अर्ध-समतल / Solid line and half-plane containing origin. The sign \(\le\) includes the boundary line and substituting ((0,0)) gives \(0 \le 12\). In exams, test the origin first.
Step 3
Exam Tip
चिह्न \(\le\) होने से सीमा रेखा शामिल होती है और ((0,0)) रखने पर \(0 \le 12\) सत्य है। परीक्षा में पहले मूल बिंदु से परीक्षण करें।
B. टूटी रेखा (x-y=4) के उस ओर जहाँ ((5,0)) है/Dotted line on the side containing ((5,0))
Step 1
Concept
The sign (>) excludes the boundary line and substituting ((5,0)) gives (5>4). Use a dotted line for strict inequalities.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. टूटी रेखा (x-y=4) के उस ओर जहाँ ((5,0)) है / Dotted line on the side containing ((5,0)). The sign (>) excludes the boundary line and substituting ((5,0)) gives (5>4). Use a dotted line for strict inequalities.
Step 3
Exam Tip
चिह्न (>) होने से सीमा रेखा शामिल नहीं होगी और ((5,0)) रखने पर (5>4) सत्य है। कड़ी असमानता में टूटी रेखा बनाएं।
In the first quadrant, (x+y=7) cuts the axes at ((7,0)) and ((0,7)). Intersections of axes and the line give the vertices.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((0,0)), ((7,0)), ((0,7)). In the first quadrant, (x+y=7) cuts the axes at ((7,0)) and ((0,7)). Intersections of axes and the line give the vertices.
Step 3
Exam Tip
प्रथम चतुर्थांश में (x+y=7) अक्षों को ((7,0)) और ((0,7)) पर काटती है। अक्षों और रेखा के प्रतिच्छेद ही शीर्ष देते हैं।
Equating boundary lines gives (2x+1=-x+4), so (x=1) and (y=3). A corner on the graph often comes from solving boundary lines.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((1,3)). Equating boundary lines gives (2x+1=-x+4), so (x=1) and (y=3). A corner on the graph often comes from solving boundary lines.
Step 3
Exam Tip
सीमा रेखाओं को बराबर करने पर (2x+1=-x+4), इसलिए (x=1) और (y=3)। ग्राफ में कोना अक्सर सीमा रेखाओं के हल से मिलता है।
From (4x-y<8), (-y<8-4x), so reversing the sign gives (y>4x-8). When dividing by a negative number, the inequality sign reverses.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (y>4x-8), रेखा के ऊपर / (y>4x-8), above the line. From (4x-y<8), (-y<8-4x), so reversing the sign gives (y>4x-8). When dividing by a negative number, the inequality sign reverses.
Step 3
Exam Tip
(4x-y<8) से (-y<8-4x), अतः चिह्न बदलकर (y>4x-8) मिलता है। ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न पलटता है।
A dotted line indicates a strict inequality and substituting ((0,0)) gives (0<5). The test point in the shaded side decides the correct sign.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (2x-y < 5). A dotted line indicates a strict inequality and substituting ((0,0)) gives (0<5). The test point in the shaded side decides the correct sign.
Step 3
Exam Tip
टूटी रेखा कड़ी असमानता बताती है और ((0,0)) रखने पर (0<5) सत्य है। छायांकित ओर का परीक्षण बिंदु सही चिह्न तय करता है।
B. क्षैतिज रेखा के ऊपर और ऊर्ध्वाधर रेखा के बाईं ओर/Above horizontal line and left of vertical line
Step 1
Concept
\(y \ge 3\) gives the region above (y=3) and \(x \le 5\) gives the region left of (x=5). Read vertical and horizontal boundaries separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. क्षैतिज रेखा के ऊपर और ऊर्ध्वाधर रेखा के बाईं ओर / Above horizontal line and left of vertical line. \(y \ge 3\) gives the region above (y=3) and \(x \le 5\) gives the region left of (x=5). Read vertical and horizontal boundaries separately.
Step 3
Exam Tip
\(y \ge 3\) रेखा (y=3) के ऊपर और \(x \le 5\) रेखा (x=5) के बाईं ओर का क्षेत्र देता है। ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज सीमाओं को अलग-अलग पढ़ें।
Putting (y=0) gives (x=4), and putting (x=0) gives (y=10). Intercepts are the easiest way to draw the boundary line.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((4,0)) और ((0,10)) / ((4,0)) and ((0,10)). Putting (y=0) gives (x=4), and putting (x=0) gives (y=10). Intercepts are the easiest way to draw the boundary line.
Step 3
Exam Tip
(y=0) रखने पर (x=4) और (x=0) रखने पर (y=10) मिलता है। सीमा रेखा खींचने के लिए अवरोध सबसे सरल तरीका है।
Below the line means \(y \le 3-\frac{x}{3}\), and including the boundary requires \(\le\). A solid line is used for included boundaries.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(x+3y \le 9\). Below the line means \(y \le 3-\frac{x}{3}\), and including the boundary requires \(\le\). A solid line is used for included boundaries.
Step 3
Exam Tip
रेखा के नीचे का अर्थ \(y \le 3-\frac{x}{3}\) है और सीमा शामिल होने से \(\le\) लगेगा। शामिल सीमा के लिए ठोस रेखा बनती है।
At ((3,2)), (2x+y=8) and (x+y=5), so all conditions are satisfied. In a common solution, every inequality must be true.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. ((3,2)). At ((3,2)), (2x+y=8) and (x+y=5), so all conditions are satisfied. In a common solution, every inequality must be true.
Step 3
Exam Tip
((3,2)) पर (2x+y=8) और (x+y=5), इसलिए सभी शर्तें पूरी होती हैं। संयुक्त समाधान में हर असमानता सत्य होनी चाहिए।
The three boundary lines give vertices ((1,2)), ((6,2)), and ((1,7)). A closed region from three lines is generally a triangle.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. त्रिभुज / Triangle. The three boundary lines give vertices ((1,2)), ((6,2)), and ((1,7)). A closed region from three lines is generally a triangle.
Step 3
Exam Tip
तीन सीमा रेखाएं तीन शीर्ष ((1,2)), ((6,2)), और ((1,7)) देती हैं। तीन रेखाओं से बंद क्षेत्र सामान्यतः त्रिभुज बनता है।
B. सीमा रेखा टूटी होगी और क्षेत्र नीचे होगा/Boundary line is dotted and region is below
Step 1
Concept
The strict sign (<) makes the line dotted, and smaller (y) means the region below the line. Use the sign to decide both line type and direction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. सीमा रेखा टूटी होगी और क्षेत्र नीचे होगा / Boundary line is dotted and region is below. The strict sign (<) makes the line dotted, and smaller (y) means the region below the line. Use the sign to decide both line type and direction.
Step 3
Exam Tip
कड़ी असमानता (<) होने से रेखा टूटी होगी और (y) छोटा होने से क्षेत्र रेखा के नीचे होगा। चिह्न देखकर रेखा और दिशा दोनों तय करें।
If the test point gives false, the shading is on the other side of the boundary line. Even a false test point helps choose the correct half-plane.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. मूल बिंदु के विपरीत ओर / Side opposite to origin. If the test point gives false, the shading is on the other side of the boundary line. Even a false test point helps choose the correct half-plane.
Step 3
Exam Tip
यदि परीक्षण बिंदु असत्य देता है तो छायांकन सीमा रेखा के दूसरी ओर होता है। ग्राफ में एक गलत परीक्षण बिंदु भी सही आधा-समतल चुनने में मदद करता है।
Subtracting the two lines gives (x=y), then (3x=8), so \(x=y=\frac{8}{3}\). Find the intersection of slant boundaries separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\left\(\frac{8}{3},\frac{8}{3}\right\)). Subtracting the two lines gives (x=y), then (3x=8), so \(x=y=\frac{8}{3}\). Find the intersection of slant boundaries separately.
Step 3
Exam Tip
दोनों रेखाओं को घटाने पर (x=y), फिर (3x=8) से \(x=y=\frac{8}{3}\)। तिरछी सीमाओं का प्रतिच्छेद अलग से निकालें।
For both to hold, \(x+2 \le 6-x\), so \(2x \le 4\) and \(x \le 2\). For a region between two lines, the lower bound must not exceed the upper bound.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. जब \(x \le 2\) / When \(x \le 2\). For both to hold, \(x+2 \le 6-x\), so \(2x \le 4\) and \(x \le 2\). For a region between two lines, the lower bound must not exceed the upper bound.
Step 3
Exam Tip
दोनों को साथ रखने के लिए \(x+2 \le 6-x\), इसलिए \(2x \le 4\) और \(x \le 2\)। दो रेखाओं के बीच क्षेत्र के लिए निचली सीमा ऊपरी सीमा से छोटी होनी चाहिए।
The line cuts the axes at ((8,0)) and ((0,6)), so area is \(\frac{1}{2}\times 8\times 6=24\). Intercepts quickly give the triangle area.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (24) वर्ग इकाई / (24) square units. The line cuts the axes at ((8,0)) and ((0,6)), so area is \(\frac{1}{2}\times 8\times 6=24\). Intercepts quickly give the triangle area.
Step 3
Exam Tip
रेखा अक्षों को ((8,0)) और ((0,6)) पर काटती है, इसलिए क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\times 8\times 6=24\)। अवरोधों से त्रिभुज का क्षेत्रफल तुरंत मिलता है।
In the first quadrant, \(x+2y \ge 4\) extends above the line without limit. If a region is not closed on all sides, it is unbounded.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. असीम क्षेत्र / Unbounded region. In the first quadrant, \(x+2y \ge 4\) extends above the line without limit. If a region is not closed on all sides, it is unbounded.
Step 3
Exam Tip
प्रथम चतुर्थांश में \(x+2y \ge 4\) रेखा के ऊपर और दूर तक फैलता है। सभी ओर से बंद न हो तो क्षेत्र असीम होता है।
From \(x-2y \le 6\), \(-2y \le 6-x\), so reversing the sign gives \(y \ge \frac{x-6}{2}\). Be careful when removing a negative coefficient.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(y \ge \frac{x-6}{2}\). From \(x-2y \le 6\), \(-2y \le 6-x\), so reversing the sign gives \(y \ge \frac{x-6}{2}\). Be careful when removing a negative coefficient.
Step 3
Exam Tip
\(x-2y \le 6\) से \(-2y \le 6-x\), इसलिए चिह्न पलटकर \(y \ge \frac{x-6}{2}\) मिलता है। ऋणात्मक गुणांक हटाते समय सावधानी रखें।
The region above the line means larger (y), and the boundary is excluded, so (>) is used. Read direction and line type together.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (y>2x-3). The region above the line means larger (y), and the boundary is excluded, so (>) is used. Read direction and line type together.
Step 3
Exam Tip
रेखा के ऊपर का क्षेत्र (y) को बड़ा बनाता है और सीमा शामिल नहीं है, इसलिए (>) लगेगा। ग्राफ की दिशा और रेखा का प्रकार साथ पढ़ें।
The slant lines intersect at (\left\(\frac{10}{3},\frac{10}{3}\right\)), where \(x+y=\frac{20}{3}\). Check linear expressions at vertices for maxima.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (\left\(\frac{10}{3},\frac{10}{3}\right\)). The slant lines intersect at (\left\(\frac{10}{3},\frac{10}{3}\right\)), where \(x+y=\frac{20}{3}\). Check linear expressions at vertices for maxima.
Step 3
Exam Tip
दो तिरछी रेखाओं का प्रतिच्छेद (\left\(\frac{10}{3},\frac{10}{3}\right\)) है और वहां \(x+y=\frac{20}{3}\) मिलता है। रैखिक अभिव्यक्ति का अधिकतम कोनों पर जांचें।
Substituting ((0,0)) gives \(0 \ge 6\), which is false, so the origin side is wrong. Shade the side opposite to a false test point.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((0,0)). Substituting ((0,0)) gives \(0 \ge 6\), which is false, so the origin side is wrong. Shade the side opposite to a false test point.
Step 3
Exam Tip
((0,0)) रखने पर \(0 \ge 6\) असत्य है, इसलिए मूल बिंदु वाली ओर गलत है। असत्य परीक्षण बिंदु के विपरीत ओर छायांकित करें।
Lower and upper bounds on both (x) and (y) close the region on all sides. Four closed boundaries give a rectangular quadrilateral.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(x \ge 1\), \(x \le 5\), \(y \ge 2\), \(y \le 6\). Lower and upper bounds on both (x) and (y) close the region on all sides. Four closed boundaries give a rectangular quadrilateral.
Step 3
Exam Tip
(x) और (y) दोनों पर निचली और ऊपरी सीमाएं क्षेत्र को चारों ओर से बंद करती हैं। चार बंद सीमाएं आयताकार चतुर्भुज देती हैं।
C. यह बिंदु समाधान क्षेत्र में नहीं है/This point is not in the solution region
Step 1
Concept
At ((2,3)), (x+2y=8), but the inequality is (<8), so the boundary is excluded. Points on the boundary are not solutions for strict inequalities.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. यह बिंदु समाधान क्षेत्र में नहीं है / This point is not in the solution region. At ((2,3)), (x+2y=8), but the inequality is (<8), so the boundary is excluded. Points on the boundary are not solutions for strict inequalities.
Step 3
Exam Tip
((2,3)) पर (x+2y=8), लेकिन असमानता (<8) है इसलिए सीमा शामिल नहीं है। कड़ी असमानता में सीमा रेखा के बिंदु समाधान नहीं होते।
A. \(y \ge x\) और \(y \le -x+6\)/\(y \ge x\) and \(y \le -x+6\)
Step 1
Concept
In the between-region, (y) is above (y=x) and below (y=-x+6). Identify the lower and upper boundaries in such cases.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(y \ge x\) और \(y \le -x+6\) / \(y \ge x\) and \(y \le -x+6\). In the between-region, (y) is above (y=x) and below (y=-x+6). Identify the lower and upper boundaries in such cases.
Step 3
Exam Tip
बीच के क्षेत्र में (y) रेखा (y=x) से ऊपर और रेखा (y=-x+6) से नीचे है। ऐसी स्थिति में निचली और ऊपरी सीमा पहचानें।
B. मूल बिंदु सीमा पर है और समाधान में शामिल है/Origin is on boundary and included in solution
Step 1
Concept
Substituting ((0,0)) gives \(0 \ge 0\), true, and equality means the point is on the boundary. The boundary is included for \(\ge\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. मूल बिंदु सीमा पर है और समाधान में शामिल है / Origin is on boundary and included in solution. Substituting ((0,0)) gives \(0 \ge 0\), true, and equality means the point is on the boundary. The boundary is included for \(\ge\).
Step 3
Exam Tip
((0,0)) रखने पर \(0 \ge 0\) सत्य है और बराबरी होने से बिंदु सीमा पर है। \(\ge\) में सीमा शामिल रहती है।
A solid line requires \(\le\) or \(\ge\), and at ((0,0)), \(0 \ge 9\) is false. Hence the origin is not included.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(3x-y \ge 9\). A solid line requires \(\le\) or \(\ge\), and at ((0,0)), \(0 \ge 9\) is false. Hence the origin is not included.
Step 3
Exam Tip
ठोस रेखा के लिए \(\le\) या \(\ge\) चाहिए और ((0,0)) पर \(0 \ge 9\) असत्य है। इसलिए मूल बिंदु शामिल नहीं होगा।
At ((2,3)), (x+2y=8), which is less than (10), so it lies in the lower half-plane. Below can also be checked by smaller (y)-values.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. ((2,3)). At ((2,3)), (x+2y=8), which is less than (10), so it lies in the lower half-plane. Below can also be checked by smaller (y)-values.
Step 3
Exam Tip
((2,3)) पर (x+2y=8), जो (10) से कम है और इसलिए रेखा के नीचे वाले अर्ध-समतल में है। नीचे की जांच (y) के छोटे मान से भी की जा सकती है।
It is impossible to have (y>4) and (y<1) at the same time. Contradictory parallel conditions give an empty region.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (y>4) और (y<1) / (y>4) and (y<1). It is impossible to have (y>4) and (y<1) at the same time. Contradictory parallel conditions give an empty region.
Step 3
Exam Tip
एक ही समय में (y>4) और (y<1) संभव नहीं है। विरोधी समानांतर शर्तें रिक्त क्षेत्र देती हैं।
On the (x)-axis, (y=0), so \(2x \le 6\) and \(x \le 3\). If \(x \ge 0\) is not separately given, negative (x)-values may also be included.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x \le 3\). On the (x)-axis, (y=0), so \(2x \le 6\) and \(x \le 3\). If \(x \ge 0\) is not separately given, negative (x)-values may also be included.
Step 3
Exam Tip
(x)-अक्ष पर (y=0), इसलिए \(2x \le 6\) और \(x \le 3\)। यदि \(x \ge 0\) अलग से न दिया हो तो ऋणात्मक (x) भी शामिल हो सकते हैं।
A. दो समानांतर रेखाओं के बीच बंद पट्टी/Closed strip between two parallel lines
Step 1
Concept
Both lines have the same slope and equality is included, so a closed strip between them is obtained. Parallel boundaries form a strip.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दो समानांतर रेखाओं के बीच बंद पट्टी / Closed strip between two parallel lines. Both lines have the same slope and equality is included, so a closed strip between them is obtained. Parallel boundaries form a strip.
Step 3
Exam Tip
दोनों रेखाओं का ढाल समान है और चिह्नों में बराबरी शामिल है, इसलिए बीच की बंद पट्टी मिलती है। समानांतर सीमाओं से पट्टी बनती है।
B. असीम पट्टी का कटा हुआ भाग/Cut part of an unbounded strip
Step 1
Concept
The first two inequalities form a parallel strip, and the third cuts it from one side but does not close it fully. Hence the region remains unbounded.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. असीम पट्टी का कटा हुआ भाग / Cut part of an unbounded strip. The first two inequalities form a parallel strip, and the third cuts it from one side but does not close it fully. Hence the region remains unbounded.
Step 3
Exam Tip
पहली दो असमानताएं समानांतर पट्टी बनाती हैं और तीसरी असमानता उसे एक ओर से काटती है, पर पूरी तरह बंद नहीं करती। इसलिए क्षेत्र असीम रहता है।
Substituting ((0,-3)) gives (0-3(-3)=9), so \(9 \ge 6\) is true and \(\ge\) is correct for a solid line. Combine the test point with line type.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(x-3y \ge 6\). Substituting ((0,-3)) gives (0-3(-3)=9), so \(9 \ge 6\) is true and \(\ge\) is correct for a solid line. Combine the test point with line type.
Step 3
Exam Tip
((0,-3)) रखने पर (0-3(-3)=9), इसलिए \(9 \ge 6\) सत्य है और ठोस रेखा के लिए \(\ge\) सही है। परीक्षण बिंदु और रेखा का प्रकार साथ मिलाएं।
The vertices are ((0,0)), ((4,0)), (\left\(\frac{8}{3},\frac{8}{3}\right\)), and ((0,4)). List all valid corners in order.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (4). The vertices are ((0,0)), ((4,0)), (\left\(\frac{8}{3},\frac{8}{3}\right\)), and ((0,4)). List all valid corners in order.
Step 3
Exam Tip
शीर्ष ((0,0)), ((4,0)), (\left\(\frac{8}{3},\frac{8}{3}\right\)), और ((0,4)) हैं। सभी वैध कोनों को क्रम से सूचीबद्ध करें।
B. दोनों का संयुक्त समाधान रिक्त है/Their common solution is empty
Step 1
Concept
The same expression cannot be both greater than (5) and less than (5). Opposite strict inequalities make the common solution empty.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. दोनों का संयुक्त समाधान रिक्त है / Their common solution is empty. The same expression cannot be both greater than (5) and less than (5). Opposite strict inequalities make the common solution empty.
Step 3
Exam Tip
एक ही अभिव्यक्ति एक साथ (5) से बड़ी और (5) से छोटी नहीं हो सकती। विपरीत कड़ी असमानताएं संयुक्त समाधान को रिक्त कर देती हैं।
Solving (x+2y=14) and (3x+y=18) gives \(x=\frac{22}{5}\), \(y=\frac{24}{5}\). In a graph, always find the intersection of slant boundaries separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\left\(\frac{22}{5},\frac{24}{5}\right\)). Solving (x+2y=14) and (3x+y=18) gives \(x=\frac{22}{5}\), \(y=\frac{24}{5}\). In a graph, always find the intersection of slant boundaries separately.
Step 3
Exam Tip
(x+2y=14) और (3x+y=18) हल करने पर \(x=\frac{22}{5}\), \(y=\frac{24}{5}\) मिलता है। ग्राफ में तिरछी सीमाओं का प्रतिच्छेद अलग से जरूर निकालें।
