First count all even numbers and subtract those without (3). The complement method is efficient for inclusion conditions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (1740). First count all even numbers and subtract those without (3). The complement method is efficient for inclusion conditions.
Step 3
Exam Tip
पहले सभी सम संख्याएँ गिनें और फिर बिना (3) वाली संख्याएँ घटाएँ। ऐसी शर्तों में पूरक विधि तेज रहती है।
Subtract the cases with (4,5,6) women from total \(\binom{15}{6}\). For at most conditions, complement counting is often simpler.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (3850). Subtract the cases with (4,5,6) women from total \(\binom{15}{6}\). For at most conditions, complement counting is often simpler.
Step 3
Exam Tip
कुल \(\binom{15}{6}\) समितियों से (4,5,6) महिलाओं वाले मामले घटाएँ। अधिकतम वाली शर्त में पूरक गिनती आसान होती है।
After fixing the first position as (0), place (4) non-adjacent ones in the remaining (9) positions. Use the gap method for non-adjacent selections.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (15). After fixing the first position as (0), place (4) non-adjacent ones in the remaining (9) positions. Use the gap method for non-adjacent selections.
Step 3
Exam Tip
पहला स्थान (0) रखने के बाद शेष (9) स्थानों में (4) गैर-लगातार (1) रखने हैं। गैर-लगातार चयन के लिए खाली स्थान विधि प्रयोग करें।
First choose (5)-digit sets whose sum is divisible by (9), then arrange each set in (5!) ways. Start divisibility problems with the digit sum.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (1680). First choose (5)-digit sets whose sum is divisible by (9), then arrange each set in (5!) ways. Start divisibility problems with the digit sum.
Step 3
Exam Tip
पहले ऐसे (5) अंकों के समूह चुनें जिनका योग (9) से विभाज्य हो, फिर (5!) क्रम लगाएँ। विभाज्यता के प्रश्न में अंकों के योग से शुरुआत करें।
एक जाल में ((0,0)) से ((5,4)) तक केवल दाएँ और ऊपर चलते हुए जाना है। मार्ग ((2,2)) और ((4,3)) दोनों बिंदुओं से होकर नहीं जाना चाहिए। कुल कितने मार्ग होंगे?
Use inclusion-exclusion to subtract paths passing through the forbidden points from total paths. For grid paths, use \(\binom{m+n}{m}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (32). Use inclusion-exclusion to subtract paths passing through the forbidden points from total paths. For grid paths, use \(\binom{m+n}{m}\).
Step 3
Exam Tip
कुल मार्गों से दोनों प्रतिबंधित बिंदुओं से गुजरने वाले मार्ग समावेशन-बहिष्करण से घटाएँ। जाल मार्गों में \(\binom{m+n}{m}\) का प्रयोग करें।
एक पासवर्ड में (6) स्थान हैं। (5) अक्षरों और (5) अंकों से ठीक (3) अक्षर और (3) अंक बिना पुनरावृत्ति लिए जाते हैं। पहला और अंतिम स्थान दोनों अंक नहीं हो सकते। कुल कितने पासवर्ड बनेंगे?
First count all mixed passwords and subtract cases where both first and last positions are digits. Keep position selection and object arrangement separate.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (57600). First count all mixed passwords and subtract cases where both first and last positions are digits. Keep position selection and object arrangement separate.
Step 3
Exam Tip
पहले सभी मिश्रित पासवर्ड गिनें और फिर पहले-अंतिम दोनों अंक वाले मामले घटाएँ। स्थान-चयन और वस्तु-व्यवस्था को अलग रखें।
Subtract distributions with at least one empty student from total \(3^5\). Inclusion-exclusion is useful when each receiver must get at least one item.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (150). Subtract distributions with at least one empty student from total \(3^5\). Inclusion-exclusion is useful when each receiver must get at least one item.
Step 3
Exam Tip
कुल \(3^5\) वितरणों से खाली विद्यार्थी वाले वितरण घटाएँ। कम से कम एक पाने की शर्त में समावेशन-बहिष्करण उपयोगी है।
Treat the girls as one block and subtract arrangements where the two particular boys are together. Use the block method with complement counting.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (432). Treat the girls as one block and subtract arrangements where the two particular boys are together. Use the block method with complement counting.
Step 3
Exam Tip
लड़कियों को एक ब्लॉक मानकर वस्तुओं को सजाएँ और दो निश्चित लड़कों के साथ वाले मामले घटाएँ। ब्लॉक और पूरक विधि को साथ प्रयोग करें।
एक डिब्बे में (6) लाल, (5) नीली और (4) हरी गेंदें हैं। (5) गेंदें चुननी हैं जिनमें तीनों रंग हों और लाल गेंदों की संख्या हरी गेंदों से अधिक हो। कुल कितने चयन होंगे?
The valid colour distributions are only ((2,2,1)) and ((3,1,1)), where the first place is for red. For colour restrictions, list valid cases first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (1000). The valid colour distributions are only ((2,2,1)) and ((3,1,1)), where the first place is for red. For colour restrictions, list valid cases first.
Step 3
Exam Tip
वैध रंग-वितरण केवल ((2,2,1)) और ((3,1,1)) हैं जहाँ पहला स्थान लाल के लिए है। रंग-आधारित शर्तों में पहले संभव मामले बनाइए।
(8) व्यक्तियों को वृत्ताकार बैठाना है। दो निश्चित व्यक्ति साथ बैठें, पर तीसरा निश्चित व्यक्ति उन दोनों में से किसी के पास न बैठे। कुल कितनी व्यवस्थाएँ होंगी?
Treat the two adjacent persons as a block and subtract cases where the third person is adjacent to that block. In circular arrangements, fix one rotation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (960). Treat the two adjacent persons as a block and subtract cases where the third person is adjacent to that block. In circular arrangements, fix one rotation.
Step 3
Exam Tip
दो साथ बैठने वालों को ब्लॉक मानें और फिर तीसरे व्यक्ति के पास बैठने वाले मामले घटाएँ। वृत्त में एक घुमाव को स्थिर मानना जरूरी है।
Convert the restrictions on \(x_1\) and \(x_2\) into non-negative variables and take cases for \(x_3\). For bounded variables, add case counts.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (103). Convert the restrictions on \(x_1\) and \(x_2\) into non-negative variables and take cases for \(x_3\). For bounded variables, add case counts.
Step 3
Exam Tip
\(x_1\) और \(x_2\) की शर्तों को बदलकर गैर-ऋणात्मक चर में लिखें और \(x_3\) के लिए मामले लें। सीमा वाली शर्त में मामलों का योग करें।
Subtract selections containing (3) or (4) points from the set of (5) collinear points from total \(\binom{12}{4}\). A quadrilateral cannot have any (3) collinear points.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (420). Subtract selections containing (3) or (4) points from the set of (5) collinear points from total \(\binom{12}{4}\). A quadrilateral cannot have any (3) collinear points.
Step 3
Exam Tip
कुल \(\binom{12}{4}\) चयन से वे चयन घटाएँ जिनमें (5) एकरेखीय बिंदुओं में से (3) या (4) चुने जाते हैं। चतुर्भुज के लिए कोई (3) बिंदु एकरेखीय नहीं होने चाहिए।
Place (0) and (5) in the middle (6) positions with order, then fill the remaining positions with other digits. Apply end-position restrictions first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (604800). Place (0) and (5) in the middle (6) positions with order, then fill the remaining positions with other digits. Apply end-position restrictions first.
Step 3
Exam Tip
बीच के (6) स्थानों में (0) और (5) को क्रम सहित रखें और बाकी स्थान अन्य अंकों से भरें। सिरे की शर्त पहले लागू करें।
Choose (6) books from each pair of subjects and add the three results. Here, selecting all (6) from one subject is impossible.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (119). Choose (6) books from each pair of subjects and add the three results. Here, selecting all (6) from one subject is impossible.
Step 3
Exam Tip
हर दो विषयों की जोड़ी से (6) पुस्तकें चुनें और तीनों जोड़ें। यहाँ किसी एक विषय से (6) पुस्तकें लेना संभव नहीं है।
First arrange (B,N,N), then place the (3) identical (A)'s in the (4) gaps formed. Handle repeated letters and gaps carefully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (12). First arrange (B,N,N), then place the (3) identical (A)'s in the (4) gaps formed. Handle repeated letters and gaps carefully.
Step 3
Exam Tip
पहले (B,N,N) को सजाएँ और बने (4) खाली स्थानों में (3) समान (A) रखें। समान अक्षरों और खाली स्थानों को ध्यान से संभालें।
(7) खिलाड़ियों में से स्वर्ण, रजत और कांस्य स्थानों के लिए क्रम चुनना है। इसके बाद बचे खिलाड़ियों में से (2) का एक बिना क्रम वाला अभ्यास-दल बनाना है। कुल कितने तरीके होंगे?
First choose the positions in \(^{7}P_3\) ways, then choose (2) players from the remaining (4). Identify ordered and unordered stages separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (1260). First choose the positions in \(^{7}P_3\) ways, then choose (2) players from the remaining (4). Identify ordered and unordered stages separately.
Step 3
Exam Tip
पहले \(^{7}P_3\) तरीकों से स्थान चुनें और बचे (4) में से (2) खिलाड़ी चुनें। क्रमबद्ध और अक्रमबद्ध चरण अलग पहचानें।
एक पंजीकरण संख्या में पहले (2) अलग अक्षर और फिर (4) अंक हैं। अक्षर (6) उपलब्ध अक्षरों से लिए जाते हैं। अंकों में ठीक एक जोड़ा समान हो और बाकी दो अंक उससे तथा आपस में अलग हों। कुल कितनी संख्याएँ बनेंगी?
The letters have \(6 \times 5\) ways. For digits, choose the positions of the equal pair, choose the repeated digit, and fill the other two positions with distinct digits in order.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (129600). The letters have \(6 \times 5\) ways. For digits, choose the positions of the equal pair, choose the repeated digit, and fill the other two positions with distinct digits in order.
Step 3
Exam Tip
अक्षरों के लिए \(6 \times 5\) तरीके हैं। अंकों में दो समान स्थान चुनें, दोहराया अंक चुनें और बाकी दो अलग अंक क्रम सहित रखें।
(5) लड़कों और (4) लड़कियों को (9) स्थानों की पंक्ति में बैठाना है। लड़कियाँ केवल विषम क्रमांक वाले स्थानों पर बैठ सकती हैं। कुल कितनी व्यवस्थाएँ होंगी?
First arrange (4) girls in (5) odd positions, then arrange the boys in the remaining (5) positions. Apply position restrictions first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (14400). First arrange (4) girls in (5) odd positions, then arrange the boys in the remaining (5) positions. Apply position restrictions first.
Step 3
Exam Tip
पहले (5) विषम स्थानों में (4) लड़कियों को क्रम सहित रखें, फिर बाकी (5) स्थानों में लड़कों को सजाएँ। स्थान-प्रतिबंध पहले लगाएँ।
First consider non-consecutive selections of (4) numbers and then separate those with even sum. Parity classification helps in such questions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (66). First consider non-consecutive selections of (4) numbers and then separate those with even sum. Parity classification helps in such questions.
Step 3
Exam Tip
पहले गैर-लगातार (4) संख्याओं के चयन पर विचार करें और फिर सम योग वाले चयन अलग करें। सम-विषम वर्गीकरण ऐसे प्रश्नों में सहायक है।
(9) अलग पुस्तकों को (3) चिह्नित अलमारियों में रखना है। हर अलमारी में कम से कम एक पुस्तक हो और हर अलमारी में पुस्तकों का क्रम महत्वपूर्ण हो। कुल कितने तरीके होंगे?
First arrange the (9) books in a row and place (2) dividers in the (8) gaps. The divider method is useful for labeled shelves.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (10160640). First arrange the (9) books in a row and place (2) dividers in the (8) gaps. The divider method is useful for labeled shelves.
Step 3
Exam Tip
पहले (9!) तरीकों से पुस्तकों को एक पंक्ति में रखें और (8) खाली स्थानों में (2) विभाजक रखें। विभाजक विधि चिह्नित अलमारियों के लिए उपयोगी है।
First choose (2) non-adjacent vowel positions among (6), then fill vowels and consonants. With repetition allowed, each chosen position keeps the same number of choices.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (207360). First choose (2) non-adjacent vowel positions among (6), then fill vowels and consonants. With repetition allowed, each chosen position keeps the same number of choices.
Step 3
Exam Tip
पहले (6) स्थानों में (2) गैर-लगातार स्वर-स्थान चुनें, फिर स्वर और व्यंजन भरें। पुनरावृत्ति हो तो हर चुने स्थान पर विकल्प समान रहते हैं।
First choose (3) tasks for (A), then distribute the remaining (5) tasks between (B,C) with (B) getting at least (2). Apply the fixed person's condition first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (1456). First choose (3) tasks for (A), then distribute the remaining (5) tasks between (B,C) with (B) getting at least (2). Apply the fixed person's condition first.
Step 3
Exam Tip
पहले (A) के लिए (3) कार्य चुनें, फिर बचे (5) कार्यों को (B,C) में बाँटें जहाँ (B) को कम से कम (2) मिलें। निश्चित व्यक्ति की शर्त पहले लागू करें।
The valid last-two-digit endings are (25,50,75), and the presence of (7) is checked in each case. For divisibility by (25), fix the last two digits first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (3060). The valid last-two-digit endings are (25,50,75), and the presence of (7) is checked in each case. For divisibility by (25), fix the last two digits first.
Step 3
Exam Tip
अंतिम दो अंकों के वैध रूप (25,50,75) हैं और प्रत्येक मामले में (7) की उपस्थिति देखें। (25) से विभाज्यता में अंतिम दो अंक पहले तय करें।
जाल में ((0,0)) से ((5,5)) तक केवल दाएँ और ऊपर चलते हुए जाना है। मार्ग को ((2,3)) और ((4,4)) में से ठीक एक बिंदु से होकर जाना चाहिए। कुल कितने मार्ग होंगे?
Subtract the paths passing through both points twice because exactly one point is required. Combine grid-path counting with inclusion-exclusion.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (120). Subtract the paths passing through both points twice because exactly one point is required. Combine grid-path counting with inclusion-exclusion.
Step 3
Exam Tip
दोनों बिंदुओं से होकर जाने वाले मार्गों को दो बार घटाएँ क्योंकि ठीक एक बिंदु चाहिए। जाल-मार्ग और समावेशन-बहिष्करण को साथ लगाएँ।
Fix one particular person; then the other particular person has (2) valid positions. Arrange the remaining (6) persons in (6!) ways.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (1440). Fix one particular person; then the other particular person has (2) valid positions. Arrange the remaining (6) persons in (6!) ways.
Step 3
Exam Tip
एक निश्चित व्यक्ति को स्थिर रखें, तब दूसरे व्यक्ति के लिए (2) वैध स्थान मिलते हैं। बाकी (6) व्यक्तियों को (6!) तरीकों से बैठाएँ।
First choose (2) doctors, then choose the remaining (5) members from engineers and teachers with at least (2) engineers. Keep exact and at least conditions in separate stages.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (2460). First choose (2) doctors, then choose the remaining (5) members from engineers and teachers with at least (2) engineers. Keep exact and at least conditions in separate stages.
Step 3
Exam Tip
पहले (2) डॉक्टर चुनें, फिर बचे (5) सदस्य अभियंता और अध्यापकों से कम से कम (2) अभियंताओं सहित चुनें। ठीक और कम से कम शर्तों को अलग चरणों में रखें।
Treat all vowels as one block and account for repeated consonants. Count the arrangements inside the vowel block separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (2160). Treat all vowels as one block and account for repeated consonants. Count the arrangements inside the vowel block separately.
Step 3
Exam Tip
स्वरों को एक ब्लॉक मानें और व्यंजनों के समान अक्षरों का ध्यान रखें। ब्लॉक के भीतर स्वरों की व्यवस्था भी अलग से गिनें।
Subtract arrangements containing the block (12) from total \(^{7}P_6\). Only the fixed order (1) immediately before (2) is forbidden.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (4440). Subtract arrangements containing the block (12) from total \(^{7}P_6\). Only the fixed order (1) immediately before (2) is forbidden.
Step 3
Exam Tip
कुल \(^{7}P_6\) क्रमों से (12) को ब्लॉक मानकर बने क्रम घटाएँ। केवल निश्चित क्रम (1) के बाद (2) को ही घटाना है।
First count positive solutions and subtract solutions where the eldest child gets (5) or more coins. Complement counting is useful for upper-bound restrictions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (74). First count positive solutions and subtract solutions where the eldest child gets (5) or more coins. Complement counting is useful for upper-bound restrictions.
Step 3
Exam Tip
पहले धनात्मक हलों की संख्या गिनें और फिर बड़े बच्चे को (5) या अधिक सिक्के मिलने वाले हल घटाएँ। सीमा वाली शर्त में पूरक विधि उपयोगी है।
The first position has (3) choices, the last has (4), and each middle position has (7) choices. Multiply choices for independent positions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (4116). The first position has (3) choices, the last has (4), and each middle position has (7) choices. Multiply choices for independent positions.
Step 3
Exam Tip
पहले स्थान के लिए (3), अंतिम के लिए (4) और बीच के प्रत्येक स्थान के लिए (7) विकल्प हैं। स्वतंत्र स्थानों के विकल्पों को गुणा करें।
Among total (10!) arrangements, the (3!) relative orders of the three particular delegates are equally likely. Hence only one order is counted.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (604800). Among total (10!) arrangements, the (3!) relative orders of the three particular delegates are equally likely. Hence only one order is counted.
Step 3
Exam Tip
कुल (10!) व्यवस्थाओं में तीन निश्चित प्रतिनिधियों के (3!) सापेक्ष क्रम समान रूप से संभव हैं। इसलिए केवल एक क्रम लिया जाएगा।
There are \(5^4\) total functions and \(^{5}P_4\) one-one functions. Subtract one-one functions to get not one-one functions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (505). There are \(5^4\) total functions and \(^{5}P_4\) one-one functions. Subtract one-one functions to get not one-one functions.
Step 3
Exam Tip
कुल फलन \(5^4\) हैं और एकैकी फलन \(^{5}P_4\) हैं। जो एकैकी नहीं हैं, उन्हें घटाकर पाएँ।
एक लाइसेंस कोड में (3) अक्षर और (3) अंक हैं। (7) अक्षरों में पुनरावृत्ति मान्य है, पर (0) से (9) तक के अंकों में पुनरावृत्ति नहीं है। अंकों का योग विषम होना चाहिए। कुल कितने कोड बनेंगे?
The letters have \(7^3\) choices. For the sum of three distinct digits to be odd, the number of odd digits must be (1) or (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (123480). The letters have \(7^3\) choices. For the sum of three distinct digits to be odd, the number of odd digits must be (1) or (3).
Step 3
Exam Tip
अक्षरों के लिए \(7^3\) तरीके हैं। तीन अलग अंकों का योग विषम होने के लिए विषम अंकों की संख्या (1) या (3) होनी चाहिए।
(4) उपन्यास, (3) कविता और (5) नाटक पुस्तकों में से (5) पुस्तकें चुनकर पंक्ति में सजानी हैं। चयन में ठीक (2) कविता पुस्तकें और कम से कम (1) उपन्यास हो। कुल कितनी व्यवस्थाएँ होंगी?
First choose exactly (2) poetry books, then choose the remaining (3) books from novels and dramas with at least (1) novel. After selection, arrange in (5!) ways.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (26640). First choose exactly (2) poetry books, then choose the remaining (3) books from novels and dramas with at least (1) novel. After selection, arrange in (5!) ways.
Step 3
Exam Tip
पहले ठीक (2) कविता पुस्तकें चुनें, फिर बाकी (3) पुस्तकें उपन्यास-नाटक से कम से कम (1) उपन्यास सहित चुनें। चयन के बाद (5!) क्रम लगाएँ।
First seat the men around the circle in ((6-1)!) ways and place the (4) women in the (6) gaps. Use the gap method for circular separation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (43200). First seat the men around the circle in ((6-1)!) ways and place the (4) women in the (6) gaps. Use the gap method for circular separation.
Step 3
Exam Tip
पहले पुरुषों को वृत्त में ((6-1)!) तरीकों से बैठाएँ और उनके (6) खाली स्थानों में (4) महिलाओं को रखें। वृत्तीय अलगाव में खाली स्थान विधि प्रयोग करें।
Take cases for the even units digit because the thousands digit must be from (5) to (9). Decide the leading and last positions together.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (1288). Take cases for the even units digit because the thousands digit must be from (5) to (9). Decide the leading and last positions together.
Step 3
Exam Tip
इकाई स्थान के सम अंकों के अलग-अलग मामले लें क्योंकि हजारों स्थान पर (5) से (9) की शर्त है। अग्रणी स्थान और अंतिम स्थान साथ में तय करें।
For the sum to be odd and the product to be even, exactly (1) odd and (2) even numbers must be chosen. Classify parity conditions first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (450). For the sum to be odd and the product to be even, exactly (1) odd and (2) even numbers must be chosen. Classify parity conditions first.
Step 3
Exam Tip
योग विषम और गुणनफल सम होने के लिए ठीक (1) विषम और (2) सम संख्याएँ चुनी जानी चाहिए। सम-विषम शर्तों को पहले वर्गीकृत करें।
(7) चिह्नों के कोड में (4) अक्षर और (3) अंक होते हैं। (6) अक्षरों और (5) अंकों से बिना पुनरावृत्ति कोड बनता है। सभी अंक लगातार स्थानों पर होने चाहिए। कुल कितने कोड बनेंगे?
There are (5) possible positions for the block of three digits, then arrange digits and letters in order. Treat consecutive objects as a block.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (108000). There are (5) possible positions for the block of three digits, then arrange digits and letters in order. Treat consecutive objects as a block.
Step 3
Exam Tip
तीन अंकों के ब्लॉक के लिए (5) स्थान संभव हैं, फिर अंक और अक्षर क्रम सहित रखें। लगातार वस्तुओं को ब्लॉक मानना मुख्य तरीका है।
The only possible size distributions are ((2,2,1,1)) and ((2,2,2,0)). Count team choices and project assignments for each pattern.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (1440). The only possible size distributions are ((2,2,1,1)) and ((2,2,2,0)). Count team choices and project assignments for each pattern.
Step 3
Exam Tip
संभव आकार-वितरण केवल ((2,2,1,1)) और ((2,2,2,0)) हैं। प्रत्येक वितरण-रूप के लिए दलों और परियोजनाओं की व्यवस्था गिनें।
There are two possible patterns, starting with a boy or starting with a girl. In each pattern, boys and girls are arranged separately in (5!) ways.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (28800). There are two possible patterns, starting with a boy or starting with a girl. In each pattern, boys and girls are arranged separately in (5!) ways.
Step 3
Exam Tip
दो संभावित ढाँचे हैं, लड़का-लड़की से शुरू या लड़की-लड़का से शुरू। प्रत्येक ढाँचे में लड़के और लड़कियाँ अलग-अलग (5!) तरीकों से सजते हैं।
First divide (8!) by (3!) for the relative order of (A,B,C), then subtract cases where (D) is at an end. Relative orders are equally distributed.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (5040). First divide (8!) by (3!) for the relative order of (A,B,C), then subtract cases where (D) is at an end. Relative orders are equally distributed.
Step 3
Exam Tip
पहले (A,B,C) के सापेक्ष क्रम के लिए (8!) को (3!) से भाग दें, फिर (D) के सिरों पर आने वाले मामले घटाएँ। सापेक्ष क्रम बराबर रूप से बँटते हैं।
First consider (6)-digit sets that can be split into two (3)-digit parts with equal sums, then count arrangements inside both parts. For equal-sum conditions, think of sets and partitions first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (2736). First consider (6)-digit sets that can be split into two (3)-digit parts with equal sums, then count arrangements inside both parts. For equal-sum conditions, think of sets and partitions first.
Step 3
Exam Tip
पहले ऐसे (6) अंकों के समूहों को देखें जिन्हें बराबर योग वाले दो (3)-अंकीय भागों में बाँटा जा सके, फिर दोनों भागों के क्रम गिनें। योग-समानता में पहले समूह और विभाजन सोचें।
First choose the (2) children who sit correctly, then derange the remaining (3) children. Exact fixed-position conditions use derangements.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (20). First choose the (2) children who sit correctly, then derange the remaining (3) children. Exact fixed-position conditions use derangements.
Step 3
Exam Tip
पहले सही बैठने वाले (2) बच्चे चुनें, फिर बाकी (3) बच्चों को पूर्ण अव्यवस्था में बैठाएँ। ठीक सही स्थान की शर्त में अव्यवस्था का प्रयोग करें।
Place the (4) zeros in the (4) gaps around the (3) ones, with no gap receiving more than (2) zeros. Control forbidden consecutiveness by gap limits.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (19). Place the (4) zeros in the (4) gaps around the (3) ones, with no gap receiving more than (2) zeros. Control forbidden consecutiveness by gap limits.
Step 3
Exam Tip
(3) एकों के आसपास बने (4) खाली स्थानों में (4) शून्य रखें और किसी स्थान पर (2) से अधिक शून्य न रखें। प्रतिबंधित लगातारपन को खाली स्थान सीमा से नियंत्रित करें।
(8) पुरुषों और (6) महिलाओं में से (6) सदस्यों की समिति बनानी है जिसमें ठीक (3) महिलाएँ हों। समिति बनने के बाद अध्यक्ष और सचिव अलग-अलग चुने जाते हैं। कुल कितने तरीके होंगे?
First form the committee in \(\binom{8}{3}\binom{6}{3}\) ways, then choose (2) distinct posts from (6) members in order. Committee selection and post selection are separate stages.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (33600). First form the committee in \(\binom{8}{3}\binom{6}{3}\) ways, then choose (2) distinct posts from (6) members in order. Committee selection and post selection are separate stages.
Step 3
Exam Tip
पहले समिति \(\binom{8}{3}\binom{6}{3}\) तरीकों से बनती है, फिर (6) में से (2) पद क्रम सहित चुने जाते हैं। समिति चयन और पद चयन अलग चरण हैं।
(8) अलग पुस्तकों को पंक्ति में सजाना है। दो निश्चित पुस्तकें साथ-साथ हों और तीसरी निश्चित पुस्तक पंक्ति के किसी सिरे पर हो। कुल कितनी व्यवस्थाएँ होंगी?
The third book has (2) end choices, and the two adjacent books are treated as a block with the remaining objects. Count the (2!) internal orders of the block too.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (1440). The third book has (2) end choices, and the two adjacent books are treated as a block with the remaining objects. Count the (2!) internal orders of the block too.
Step 3
Exam Tip
तीसरी पुस्तक के लिए (2) सिरों का चुनाव है, और दो साथ वाली पुस्तकों को ब्लॉक मानकर बाकी वस्तुएँ सजती हैं। ब्लॉक के भीतर (2!) क्रम भी गिनें।
(9) विद्यार्थियों में से (4) विद्यार्थियों की बहस-टीम और उसी टीम में से (2) वक्ता क्रम सहित चुनने हैं। एक निश्चित विद्यार्थी टीम में अवश्य हो लेकिन वक्ता नहीं बने। कुल कितने तरीके होंगे?
Choose the other (3) team members from (8), then choose the ordered speakers from those (3) members. Fix the compulsory but ineligible member first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (420). Choose the other (3) team members from (8), then choose the ordered speakers from those (3) members. Fix the compulsory but ineligible member first.
Step 3
Exam Tip
निश्चित विद्यार्थी के साथ बाकी (3) सदस्य (8) में से चुनें और वक्ता उन्हीं (3) में से क्रम सहित चुनें। अनिवार्य लेकिन निषिद्ध पद वाली शर्त को पहले स्थिर करें।
