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अलग-अलग वस्तुओं की रैखिक व्यवस्था (n!) होती है। परीक्षा में पहले वस्तुओं की संख्या पहचानें। / A linear arrangement of distinct objects is (n!). In exams, first identify the number of objects.
अलग पदों के लिए क्रम महत्वपूर्ण होता है, इसलिए \(^{10}P_2=90\)। परीक्षा में पद अलग हों तो संयोजन नहीं लगाएं। / For different posts, order matters, so \(^{10}P_2=90\). In exams, do not use combinations when posts are distinct.
यहां (5) अक्षरों में (2) समान हैं, इसलिए संख्या \(\frac{5!}{2!}=60\) है। परीक्षा में समान अक्षरों से भाग देना न भूलें। / There are (5) letters with (2) identical letters, so the number is \(\frac{5!}{2!}=60\). In exams, remember to divide by identical letters.
तीन क्रमित स्थानों के लिए \(^{7}P_3=7\cdot6\cdot5=210\)। परीक्षा में स्थानों का क्रम हमेशा महत्वपूर्ण मानें। / For three ordered positions, \(^{7}P_3=7\cdot6\cdot5=210\). In exams, ranks always mean order matters.
पहले कुर्सियां अलग हैं और (4) विद्यार्थी बैठेंगे, इसलिए \(^{6}P_4=360\)। परीक्षा में खाली कुर्सियों को भी ध्यान में रखें। / The chairs are distinct and (4) students are seated, so \(^{6}P_4=360\). In exams, account for unused chairs carefully.
तीन स्थानों के लिए (5,4,3) विकल्प हैं, इसलिए \(5\cdot4\cdot3=60\)। परीक्षा में बिना पुनरावृत्ति में विकल्प घटते हैं। / There are (5,4,3) choices for the three places, so \(5\cdot4\cdot3=60\). In exams, choices reduce without repetition.
सैकड़े के स्थान पर (0) नहीं आ सकता, इसलिए \(4\cdot4\cdot3=48\)। परीक्षा में प्रथम अंक पर शून्य की शर्त जरूर जांचें। / The hundreds place cannot be (0), so \(4\cdot4\cdot3=48\). In exams, always check the zero restriction on the first digit.
कुल (6) अक्षरों में (2) समान हैं, इसलिए \(\frac{6!}{2!}=360\)। परीक्षा में समान अक्षरों का factorial हर में रखें। / There are (6) letters with (2) identical letters, so \(\frac{6!}{2!}=360\). In exams, put factorials of repeated letters in the denominator.
संकेत में क्रम महत्वपूर्ण है, इसलिए \(^{9}P_4=3024\)। परीक्षा में संकेत और कोड जैसे शब्दों में permutation सोचें। / Order is important in a signal, so \(^{9}P_4=3024\). In exams, words like signal and code usually indicate permutation.
चार लड़कियों को एक ब्लॉक मानें, तब \(6!\cdot4!=17280\)। परीक्षा में साथ बैठने की शर्त में ब्लॉक विधि लगाएं। / Treat the four girls as one block, then \(6!\cdot4!=17280\). In exams, use the block method for togetherness conditions.
गोल व्यवस्था में संख्या ((n-1)!) होती है, इसलिए (5!=120)। परीक्षा में घुमाव को समान मानें। / In a circular arrangement, the number is ((n-1)!), so (5!=120). In exams, rotations are considered the same.
दो व्यक्तियों को एक ब्लॉक मानें, गोल में (6) इकाइयां हैं, इसलिए \(5!\cdot2!=240\)। परीक्षा में ब्लॉक के अंदर की व्यवस्था भी गुणा करें। / Treat the two people as one block, giving (6) units in a circle, so \(5!\cdot2!=240\). In exams, also multiply by the internal arrangement of the block.
(6) अक्षरों में (2) अक्षर समान हैं, इसलिए \(\frac{6!}{2!}=360\)। परीक्षा में केवल समान अक्षरों की पुनरावृत्ति गिनें। / Among (6) letters, (2) are identical, so \(\frac{6!}{2!}=360\). In exams, count only the repeated identical letters.
इकाई स्थान पर (3) सम विकल्प हैं और बाकी \(5\cdot4\cdot3\) तरीके हैं, इसलिए (180)। परीक्षा में अंतिम अंक की शर्त पहले लगाएं। / There are (3) even choices for the units place and \(5\cdot4\cdot3\) ways for the rest, so (180). In exams, apply the last-digit condition first.
इकाई स्थान पर (3) विषम अंक हैं और शेष स्थान \(5\cdot4\cdot3\) तरीकों से भरते हैं। कुल (180) संख्याएं मिलती हैं। / There are (3) odd choices for the units place and the remaining places are filled in \(5\cdot4\cdot3\) ways. The total is (180).
दो विषयों को दो ब्लॉक मानें, इसलिए \(2!\cdot5!\cdot3!=1440\)। परीक्षा में हर ब्लॉक की अंदरूनी व्यवस्था अलग से करें। / Treat the two subjects as two blocks, so \(2!\cdot5!\cdot3!=1440\). In exams, arrange inside each block separately.
पासवर्ड में क्रम महत्वपूर्ण है, इसलिए \(^{8}P_5=6720\)। परीक्षा में पासवर्ड को arrangement की तरह लें। / Order matters in a password, so \(^{8}P_5=6720\). In exams, treat passwords as arrangements.
सभी (5) अक्षर अलग हैं, इसलिए (5!=120)। परीक्षा में समान अक्षर न हों तो सीधे (n!) लगाएं। / All (5) letters are distinct, so (5!=120). In exams, use (n!) directly when there are no repeated letters.
क्रम सहित चयन \(^{11}P_3=11\cdot10\cdot9=990\) है। परीक्षा में arranged शब्द दिखे तो permutation लें। / Selection with order is \(^{11}P_3=11\cdot10\cdot9=990\). In exams, the word arranged suggests permutation.
चार लाल गेंदों को एक ब्लॉक मानें, तब \(4!\cdot4!=576\)। परीक्षा में ब्लॉक और बाहरी इकाइयों को अलग-अलग व्यवस्थित करें। / Treat the four red balls as one block, then \(4!\cdot4!=576\). In exams, arrange the block and outside units separately.
सभी उपलब्ध अंतिम अंक सम हैं, पर सैकड़े में (0) नहीं हो सकता। कुल \(4\cdot4\cdot3=48\) संख्याएं बनेंगी। / All possible last digits are even, but the hundreds place cannot be (0). Total numbers are \(4\cdot4\cdot3=48\).
यह (5) व्यक्तियों और (5) कमरों की एक-एक व्यवस्था है, इसलिए (5!=120)। परीक्षा में distinct rooms हों तो assignment भी permutation है। / This is a one-to-one arrangement of (5) persons and (5) rooms, so (5!=120). In exams, assignments to distinct rooms are permutations.
तीन अलग पद हैं, इसलिए \(^{9}P_3=504\)। परीक्षा में पदों के नाम अलग हों तो क्रम बदलने से परिणाम बदलता है। / There are three different posts, so \(^{9}P_3=504\). In exams, different named posts make order important.
छह अलग वस्तुओं का छह अलग स्थानों पर विन्यास (6!=720) है। परीक्षा में matching positions अलग हों तो factorial लगाएं। / The arrangement of six distinct objects in six distinct positions is (6!=720). In exams, use factorial when matching positions are distinct.
(9) अक्षरों में (3) अक्षर समान हैं, इसलिए \(\frac{9!}{3!}=60480\); लेकिन अंग्रेजी शब्द में (A) दो बार और (Y) दो बार हैं, अतः \(\frac{9!}{2!2!}=90720\)। हिंदी प्रश्न में अक्षर गिनते समय शब्द की दी गई स्थिति स्पष्ट देखें। / The English word has (9) letters with (A) twice and (Y) twice, so \(\frac{9!}{2!2!}=90720\). In exams, count repeated letters from the exact word given.
तीन स्थानों पर क्रम से (5,4,3) विकल्प हैं। कुल \(5\cdot4\cdot3=60\) है। / There are (5,4,3) choices for the three positions. The total is \(5\cdot4\cdot3=60\).
तीन अलग पदक क्रमित हैं, इसलिए \(^{12}P_3=1320\)। परीक्षा में पदक अलग हों तो permutation प्रयोग करें। / The three medals are ordered, so \(^{12}P_3=1320\). In exams, use permutation when medals are different.
एक पंक्ति में (6) अलग चित्रों की व्यवस्था (6!=720) है। परीक्षा में row शब्द आए तो linear arrangement लें। / The arrangement of (6) distinct pictures in a row is (6!=720). In exams, the word row means linear arrangement.
एक-एक मिलान की संख्या (7!=5040) होती है। परीक्षा में distinct envelopes हों तो letters की arrangement करें। / The number of one-to-one placements is (7!=5040). In exams, distinct envelopes mean arranging the letters.
(6) अक्षरों में (3) समान और (2) समान हैं, इसलिए \(\frac{6!}{3!2!}=60\)। परीक्षा में सभी repeated groups का गुणन हर में रखें। / There are (6) letters with (3) identical and (2) identical letters, so \(\frac{6!}{3!2!}=60\). In exams, multiply all repeated group factorials in the denominator.
कुल (8!) से साथ बैठने वाली \(7!\cdot2!\) व्यवस्थाएं घटाएं। उत्तर (40320-10080=30240) है। / Subtract the together arrangements \(7!\cdot2!\) from total (8!). The answer is (40320-10080=30240).
दो pattern संभव हैं और प्रत्येक में \(5!\cdot5!\) व्यवस्थाएं हैं। कुल \(2\cdot5!\cdot5!=28800\) है। / There are two possible patterns and each has \(5!\cdot5!\) arrangements. The total is \(2\cdot5!\cdot5!=28800\).
हजार के स्थान पर (0) नहीं आएगा, इसलिए \(5\cdot5\cdot4\cdot3=300\)। परीक्षा में पहले non-zero leading digit चुनें। / The thousands place cannot be (0), so \(5\cdot5\cdot4\cdot3=300\). In exams, first choose the non-zero leading digit.
पहले अंग्रेजी पुस्तकें (4!) तरीकों से रखें, फिर (5) gaps में (4) हिंदी पुस्तकें \(^{5}P_4\) तरीकों से रखें। कुल \(4!\cdot^{5}P_4=2880\) है। / Arrange English books first in (4!) ways, then place (4) Hindi books in (5) gaps in \(^{5}P_4\) ways. The total is \(4!\cdot^{5}P_4=2880\).
माला में घुमाव और पलटना दोनों समान होते हैं, इसलिए (\frac{(9-1)!}{2}=20160)। परीक्षा में necklace और circular table में फर्क रखें। / For a necklace, rotations and reflections are both the same, so (\frac{(9-1)!}{2}=20160). In exams, distinguish necklaces from circular table arrangements.
कोड में क्रम महत्वपूर्ण होता है, इसलिए \(^{6}P_3=120\)। परीक्षा में code word दिखे तो permutation लगाएं। / Order is important in a code, so \(^{6}P_3=120\). In exams, the word code indicates permutation.
(5) अक्षरों में (2) समान हैं, इसलिए \(\frac{5!}{2!}=60\)। परीक्षा में repeated vowel को ध्यान से देखें। / There are (5) letters with (2) identical letters, so \(\frac{5!}{2!}=60\). In exams, check repeated vowels carefully.
यह \(^{10}P_4=10\cdot9\cdot8\cdot7=5040\) है। परीक्षा में selected and arranged हो तो \(nP_r\) लगाएं। / This is \(^{10}P_4=10\cdot9\cdot8\cdot7=5040\). In exams, selected and arranged means use \(nP_r\).
गोल माला के लिए संख्या (\frac{(7-1)!}{2}=360) है। परीक्षा में garland में reflection को भी समान मानें। / For a circular garland, the number is (\frac{(7-1)!}{2}=360). In exams, count reflection as the same for garlands.
सैकड़े के स्थान पर (4,6,8) आ सकते हैं और बाकी \(4\cdot3\) तरीके हैं। कुल \(3\cdot4\cdot3=36\) है। / The hundreds place can be (4,6,8), and the remaining places have \(4\cdot3\) ways. The total is \(3\cdot4\cdot3=36\).
विशेष व्यक्ति के लिए (2) स्थान हैं और बाकी (7!) तरीकों से बैठेंगे। कुल \(2\cdot7!=10080\) है। / The particular person has (2) possible positions and the remaining people sit in (7!) ways. The total is \(2\cdot7!=10080\).
एक-एक अलग पुरस्कार बांटना (6!) तरीकों से होगा। परीक्षा में distinct prizes और one each हो तो factorial लगाएं। / Distributing one distinct prize to each student can be done in (6!) ways. In exams, distinct prizes with one each mean factorial.
(6) अक्षरों में (2) समान हैं, इसलिए \(\frac{6!}{2!}=360\)। परीक्षा में repeated letter को denominator में रखें। / There are (6) letters with (2) identical letters, so \(\frac{6!}{2!}=360\). In exams, put the repeated letter factorial in the denominator.
पहले लड़कों को (5!) तरीकों से बैठाएं, फिर (6) खाली स्थानों में (3) लड़कियां \(^{6}P_3\) तरीकों से बैठेंगी। कुल \(5!\cdot^{6}P_3=14400\) है। / Arrange boys first in (5!) ways, then place (3) girls in (6) gaps in \(^{6}P_3\) ways. The total is \(5!\cdot^{6}P_3=14400\).
अंतिम अंक निश्चित (5) है और बाकी तीन स्थान \(6\cdot5\cdot4\) तरीकों से भरेंगे। कुल (120) है। / The last digit is fixed as (5), and the other three places are filled in \(6\cdot5\cdot4\) ways. The total is (120).
दो विशेष किताबें सिरों पर (2!) तरीकों से और बाकी (4!) तरीकों से रखी जाएंगी। कुल \(2!\cdot4!=48\) है। / The two particular books occupy the ends in (2!) ways and the remaining books in (4!) ways. The total is \(2!\cdot4!=48\).
विशेष व्यक्ति के लिए (5) अंदरूनी स्थान हैं और बाकी (6!) तरीकों से बैठेंगे। कुल \(5\cdot6!=3600\) है। / The particular person has (5) inner positions and the others sit in (6!) ways. The total is \(5\cdot6!=3600\).
(9) अक्षरों में (2) अक्षर दो-दो बार आते हैं, इसलिए \(\frac{9!}{2!2!}=90720\); सही गणना में repeated letters को ठीक गिनना जरूरी है। / There are (9) letters with two different letters repeated twice, so \(\frac{9!}{2!2!}=90720\). In exams, accurate repeated-letter counting is essential.
भाषण का क्रम महत्वपूर्ण है, इसलिए \(^{8}P_4=1680\)। परीक्षा में order of performance को permutation मानें। / The speaking order is important, so \(^{8}P_4=1680\). In exams, order of performance means permutation.
इकाई स्थान पर (5) विषम विकल्प हैं, लेकिन शेष में शुरुआत (0) न हो इसका ध्यान चाहिए। कुल \(5\cdot4\cdot4\cdot3=240\) है। / There are (5) odd choices for the unit place, but the first digit must not be (0). The total is \(5\cdot4\cdot4\cdot3=240\).
अलग-अलग (9) वस्तुओं की व्यवस्था (9!) होती है। परीक्षा में सभी वस्तुएं अलग हों तो सीधे factorial लगाएं। / The arrangement of (9) distinct objects is (9!). In exams, use factorial directly when all objects are distinct.
अलग पदों में क्रम महत्वपूर्ण है, इसलिए \(^{8}P_4=1680\)। परीक्षा में पद अलग हों तो combination नहीं लगाएं। / Order matters for different posts, so \(^{8}P_4=1680\). In exams, do not use combination when posts are different.
सैकड़े के स्थान पर (0) नहीं आएगा, इसलिए \(6\cdot6\cdot5=180\)। परीक्षा में पहले अंक की शून्य-शर्त हमेशा जांचें। / The hundreds place cannot be (0), so \(6\cdot6\cdot5=180\). In exams, always check the zero restriction on the first digit.
अंतिम अंक (5) निश्चित है और बाकी (4) स्थान \(^{6}P_4\) तरीकों से भरेंगे। इसलिए उत्तर (360) है। / The last digit is fixed as (5), and the remaining (4) places are filled in \(^{6}P_4\) ways. So the answer is (360).
एक अक्षर (2) बार समान है, इसलिए संख्या \(\frac{8!}{2!}=20160\) होगी। परीक्षा में समान अक्षरों से भाग दें। / One letter is repeated (2) times, so the number is \(\frac{8!}{2!}=20160\). In exams, divide by factorials of repeated letters.
तीनों लड़कों को एक ब्लॉक मानें, तब कुल (8) इकाइयां हैं। व्यवस्था \(8!\cdot3!=241920\) होगी। / Treat the three boys as one block, then there are (8) units. The arrangement is \(8!\cdot3!=241920\).
गोल मेज पर घुमाव समान माने जाते हैं, इसलिए संख्या ((8-1)!=5040) है। परीक्षा में circular table में ((n-1)!) लगाएं। / Rotations are considered the same around a circular table, so the number is ((8-1)!=5040). In exams, use ((n-1)!) for circular table seating.
माला में घुमाव और पलटना दोनों समान हैं, इसलिए (\frac{(6-1)!}{2}=60)। परीक्षा में necklace को circular seating से अलग पहचानें। / In a necklace, both rotation and reflection are the same, so (\frac{(6-1)!}{2}=60). In exams, distinguish necklace from circular seating.
स्थान क्रमित हैं, इसलिए \(^{10}P_2=10\cdot9=90\)। परीक्षा में rank या position आने पर permutation लगाएं। / Positions are ordered, so \(^{10}P_2=10\cdot9=90\). In exams, rank or position indicates permutation.
इकाई स्थान पर (2,6,8) में से (3) विकल्प हैं और बाकी \(5\cdot4\cdot3\) तरीके हैं। कुल (180) है। / The units place has (3) choices from (2,6,8), and the rest have \(5\cdot4\cdot3\) ways. The total is (180).
इकाई स्थान पर (3) विषम विकल्प हैं, फिर हजार के स्थान पर (0) छोड़कर (4) विकल्प बचते हैं। कुल \(3\cdot4\cdot4\cdot3=144\) होता है। / There are (3) odd choices for the units place, then (4) valid choices for the thousands place after excluding (0). The total is \(3\cdot4\cdot4\cdot3=144\).
दो विषयों को दो ब्लॉक मानें, इसलिए व्यवस्था \(2!\cdot5!\cdot4!=5760\) है। परीक्षा में ब्लॉक और ब्लॉक के अंदर दोनों की व्यवस्था करें। / Treat the two subjects as two blocks, so the arrangement is \(2!\cdot5!\cdot4!=5760\). In exams, arrange both the blocks and the items inside blocks.
गुप्त-कोड में क्रम महत्वपूर्ण है, इसलिए \(^{7}P_4=840\)। परीक्षा में code बनने पर permutation सोचें। / Order matters in a code, so \(^{7}P_4=840\). In exams, think of permutation when forming codes.
कुल अक्षर (7) हैं और एक अक्षर (2) बार समान है, इसलिए \(\frac{7!}{2!}=2520\)। परीक्षा में repeated letter को ध्यान से गिनें। / There are (7) letters and one letter is repeated (2) times, so \(\frac{7!}{2!}=2520\). In exams, count repeated letters carefully.
कुर्सियां अलग हैं और (6) विद्यार्थी बैठेंगे, इसलिए \(^{8}P_6=20160\)। परीक्षा में खाली स्थानों के बावजूद permutation लग सकता है। / The chairs are distinct and (6) students are seated, so \(^{8}P_6=20160\). In exams, permutation may apply even when some places remain empty.
दो विशेष व्यक्तियों को एक ब्लॉक मानें, तब \(8!\cdot2!=80640\)। परीक्षा में साथ की शर्त में block method लगाएं। / Treat the two particular people as one block, then \(8!\cdot2!=80640\). In exams, use the block method for together conditions.
कुल (9!) व्यवस्थाओं में से साथ बैठने वाली \(8!\cdot2!\) घटाएं। उत्तर (362880-80640=282240) है। / Subtract the together cases \(8!\cdot2!\) from total (9!). The answer is (362880-80640=282240).
दो pattern संभव हैं और हर pattern में \(4!\cdot4!\) व्यवस्थाएं हैं। कुल \(2\cdot4!\cdot4!=1152\) है। / There are two possible patterns and each has \(4!\cdot4!\) arrangements. The total is \(2\cdot4!\cdot4!=1152\).
पहले लाल गेंदें (5!) तरीकों से रखें, फिर (6) gaps में (4) नीली गेंदें \(^{6}P_4\) तरीकों से रखें। कुल \(5!\cdot^{6}P_4=86400\) है। / Arrange the red balls first in (5!) ways, then place (4) blue balls in (6) gaps in \(^{6}P_4\) ways. The total is \(5!\cdot^{6}P_4=86400\).
(8) अलग डिब्बों में से (6) क्रमित स्थान चुने जाते हैं, इसलिए \(^{8}P_6=20160\)। परीक्षा में boxes अलग हों तो arrangement मानें। / We choose ordered positions for (6) letters among (8) distinct boxes, so \(^{8}P_6=20160\). In exams, distinct boxes make it an arrangement.
सैकड़े के स्थान पर (4,5,6) हो सकते हैं और बाकी \(5\cdot4\) तरीके हैं। कुल \(3\cdot5\cdot4=60\) है। / The hundreds place can be (4,5,6), and the remaining places have \(5\cdot4\) ways. The total is \(3\cdot5\cdot4=60\).
दो विशेष पुस्तकें सिरों पर (2!) तरीकों से और शेष (5!) तरीकों से रखी जाएंगी। कुल \(2!\cdot5!=240\) है। / The two particular books can occupy the ends in (2!) ways and the remaining books in (5!) ways. The total is \(2!\cdot5!=240\).
विशेष व्यक्ति के लिए (6) अंदरूनी स्थान हैं और बाकी (7!) तरीकों से बैठेंगे। कुल \(6\cdot7!=30240\) है। / The particular person has (6) inner positions and the remaining people sit in (7!) ways. The total is \(6\cdot7!=30240\).
तीन पद अलग हैं, इसलिए \(^{11}P_3=990\)। परीक्षा में अलग-अलग जिम्मेदारियां हों तो क्रम महत्वपूर्ण है। / The three posts are different, so \(^{11}P_3=990\). In exams, different responsibilities make order important.
पहले स्थान के लिए (5) विकल्प और दूसरे के लिए (5) विकल्प हैं। इसलिए कुल (25) कोड बनेंगे। / There are (5) choices for the first place and (5) choices for the second. Hence (25) codes are formed.
दो समूह (2) बार समान हैं, इसलिए संख्या \(\frac{9!}{2!2!}=90720\) है। परीक्षा में हर repeated group का factorial हर में रखें। / Two groups are repeated (2) times each, so the number is \(\frac{9!}{2!2!}=90720\). In exams, put each repeated group factorial in the denominator.
संकेत में क्रम महत्वपूर्ण है, इसलिए \(^{7}P_5=2520\)। परीक्षा में signal जैसे शब्द permutation का संकेत देते हैं। / Order matters in a signal, so \(^{7}P_5=2520\). In exams, words like signal indicate permutation.
लड़कियों को एक ब्लॉक मानें, तब गोल में (6) इकाइयां हैं। संख्या ((6-1)!\cdot4!=2880) है। / Treat the girls as one block, then there are (6) units in a circle. The number is ((6-1)!\cdot4!=2880).
कुल गोल व्यवस्थाएं (5!) हैं और साथ बैठने वाली व्यवस्थाएं \(4!\cdot2!\) हैं। इसलिए उत्तर (120-48=72) है। / Total circular arrangements are (5!), and together arrangements are \(4!\cdot2!\). So the answer is (120-48=72).
चित्र चुने भी जा रहे हैं और क्रम में लगाए भी जा रहे हैं, इसलिए \(^{10}P_3=720\)। परीक्षा में selected and ordered में \(nP_r\) लगाएं। / The pictures are selected and also ordered, so \(^{10}P_3=720\). In exams, use \(nP_r\) for selected and ordered cases.
हजार के स्थान पर (6,8,9) हो सकते हैं और बाकी \(5\cdot4\cdot3\) तरीके हैं। कुल \(3\cdot5\cdot4\cdot3=180\) है। / The thousands place can be (6,8,9), and the remaining places have \(5\cdot4\cdot3\) ways. The total is \(3\cdot5\cdot4\cdot3=180\).
(4) विद्यार्थियों को (6) पुरस्कारों में से क्रमित रूप से एक-एक मिलता है, इसलिए \(^{6}P_4=360\)। परीक्षा में recipients अलग हों तो order महत्वपूर्ण होता है। / The (4) students receive one prize each from (6) prizes in an ordered way, so \(^{6}P_4=360\). In exams, distinct recipients make order important.
चयन के साथ क्रम भी है, इसलिए \(^{8}P_5=6720\)। परीक्षा में shelf पर रखना arrangement बताता है। / Selection is followed by ordering, so \(^{8}P_5=6720\). In exams, placing on a shelf indicates arrangement.
भाषण का क्रम अलग परिणाम देता है, इसलिए \(^{7}P_3=210\)। परीक्षा में performance order को permutation मानें। / The speaking order gives different outcomes, so \(^{7}P_3=210\). In exams, treat performance order as permutation.
अंतिम अंक (0) या (5) होगा। अलग-अलग cases जोड़ने पर (60+48=108) संख्याएं मिलती हैं। / The last digit is (0) or (5). Adding the two cases gives (60+48=108) numbers.
बीच का स्थान निश्चित है, इसलिए शेष (4) अंक (4!) तरीकों से व्यवस्थित होंगे। उत्तर (24) है। / The middle position is fixed, so the remaining (4) digits are arranged in (4!) ways. The answer is (24).
पहला स्थान निश्चित है, इसलिए शेष (7) वस्तुएं (7!) तरीकों से रखें। उत्तर (5040) है। / The first position is fixed, so the remaining (7) objects are arranged in (7!) ways. The answer is (5040).
कुल (9!) में से दोनों विशेष वस्तुओं के सिरों पर आने वाली \(2!\cdot7!\) व्यवस्थाएं घटाएं। उत्तर (362880-10080=352800) है। / Subtract the cases where both particular objects occupy the two ends, which are \(2!\cdot7!\), from total (9!). The answer is (362880-10080=352800).
(6) विद्यार्थियों को (6) अलग स्थानों पर बैठाने की संख्या (6!=720) है। परीक्षा में स्थान अलग हों तो factorial लगाएं। / The number of seating (6) students in (6) distinct positions is (6!=720). In exams, use factorial when positions are distinct.
क्रमित चयन \(^{12}P_2=12\cdot11=132\) है। परीक्षा में in order शब्द permutation बताता है। / Ordered selection is \(^{12}P_2=12\cdot11=132\). In exams, the phrase in order indicates permutation.
(7) बच्चों में से (5) को अलग खिलौने मिलेंगे, इसलिए \(^{7}P_5=2520\)। परीक्षा में receiver अलग हों तो order counted होता है। / (5) of (7) children receive distinct toys, so \(^{7}P_5=2520\). In exams, distinct receivers make order count.
विशेष सिक्के के लिए (2) सिरों में से विकल्प हैं और बाकी (9!) तरीकों से रखे जाएंगे। कुल \(2\cdot9!=725760\) है। / The particular coin has (2) end choices and the remaining coins are arranged in (9!) ways. The total is \(2\cdot9!=725760\).
केवल घुमाव समान है, इसलिए circular arrangement ((7-1)!=720) है। परीक्षा में reflection समान है या नहीं, यह पढ़ें। / Only rotations are the same, so the circular arrangement is ((7-1)!=720). In exams, check whether reflection is also considered the same.
बाएं से दाएं क्रम महत्वपूर्ण है, इसलिए \(^{6}P_4=360\)। परीक्षा में standing order को permutation मानें। / The left-to-right order is important, so \(^{6}P_4=360\). In exams, standing order means permutation.
पहला अंक (3) निश्चित है और बाकी (3) स्थान \(5\cdot4\cdot3\) तरीकों से भरेंगे। उत्तर (60) है। / The first digit is fixed as (3), and the remaining (3) places are filled in \(5\cdot4\cdot3\) ways. The answer is (60).
पहला अध्याय निश्चित है, इसलिए बाकी (4) अध्याय (4!) क्रमों में आएंगे। उत्तर (24) है। / The first chapter is fixed, so the remaining (4) chapters can be ordered in (4!) ways. The answer is (24).
ऊपर से नीचे क्रम बदलने पर design बदलता है, इसलिए \(^{8}P_3=336\)। परीक्षा में ordered layers में permutation लगाएं। / Changing top-to-bottom order changes the design, so \(^{8}P_3=336\). In exams, use permutation for ordered layers.
(5) प्रश्न चुनकर क्रम में लिखने हैं, इसलिए \(^{7}P_5=2520\)। परीक्षा में order of writing अलग हो तो permutation लें। / (5) questions are selected and written in order, so \(^{7}P_5=2520\). In exams, if writing order differs, use permutation.
चार मोबाइल को एक ब्लॉक मानें, तब (4) इकाइयां हैं। व्यवस्था \(4!\cdot4!=576\) होगी। / Treat the four mobiles as one block, then there are (4) units. The arrangement is \(4!\cdot4!=576\).
मंच पर बुलाने का क्रम महत्वपूर्ण है, इसलिए \(^{9}P_4=3024\)। परीक्षा में क्रम बताया हो तो permutation लगाएं। / The calling order to the stage is important, so \(^{9}P_4=3024\). In exams, use permutation when order is specified.
(10) अलग वस्तुओं की पंक्ति व्यवस्था (10!) होती है। परीक्षा में सभी वस्तुएं अलग हों तो सीधे factorial लगाएं। / The row arrangement of (10) distinct objects is (10!). In exams, use factorial directly when all objects are distinct.
तीनों पद अलग हैं, इसलिए \(^{12}P_3=1320\)। परीक्षा में अलग पदों के लिए क्रम महत्वपूर्ण होता है। / The three posts are different, so \(^{12}P_3=1320\). In exams, order matters for different posts.
पहला अंक (0) नहीं हो सकता, इसलिए \(7\cdot7\cdot6\cdot5=1470\)। परीक्षा में leading zero की शर्त पहले लगाएं। / The first digit cannot be (0), so \(7\cdot7\cdot6\cdot5=1470\). In exams, apply the leading-zero condition first.
अंतिम स्थान पर (4) सम विकल्प हैं और बाकी (4) स्थान \(^{7}P_4\) तरीकों से भरेंगे। कुल \(4\cdot840=3360\) है। / There are (4) even choices for the last place and the remaining (4) places are filled in \(^{7}P_4\) ways. The total is \(4\cdot840=3360\).
(7) अक्षरों में (A) दो बार है, इसलिए \(\frac{7!}{2!}=2520\)। परीक्षा में repeated letters से भाग देना जरूरी है। / There are (7) letters with (A) repeated twice, so \(\frac{7!}{2!}=2520\). In exams, divide by repeated letters.
चार लड़कियों को एक ब्लॉक मानें, तब (7) इकाइयां हैं। कुल व्यवस्था \(7!\cdot4!=120960\) है। / Treat the four girls as one block, then there are (7) units. The total arrangement is \(7!\cdot4!=120960\).
गोल मेज पर घुमाव समान माने जाते हैं, इसलिए संख्या ((9-1)!=40320) है। परीक्षा में circular seating में एक स्थान स्थिर मानें। / Rotations are considered the same around a circular table, so the number is ((9-1)!=40320). In exams, fix one position in circular seating.
माला में घुमाव और पलटना दोनों समान हैं, इसलिए (\frac{(8-1)!}{2}=2520)। परीक्षा में necklace में reflection भी घटाएं। / In a necklace, both rotation and reflection are the same, so (\frac{(8-1)!}{2}=2520). In exams, reduce reflections for necklaces.
तीन पदक अलग-अलग क्रमित स्थान हैं, इसलिए \(^{14}P_3=14\cdot13\cdot12=2184\)। परीक्षा में medals में क्रम जरूर गिनें। / The three medals are different ordered positions, so \(^{14}P_3=14\cdot13\cdot12=2184\). In exams, always count order for medals.
इकाई स्थान के लिए (2) विषम विकल्प हैं और हजार स्थान पर (0) नहीं आएगा। कुल \(2\cdot4\cdot4\cdot3=96\) है। / There are (2) odd choices for the unit place and the thousands place cannot be (0). The total is \(2\cdot4\cdot4\cdot3=96\).
दो विषयों को दो ब्लॉक मानें, इसलिए \(2!\cdot5!\cdot4!=5760\)। परीक्षा में block method में अंदरूनी व्यवस्था भी गुणा करें। / Treat the two subjects as two blocks, so \(2!\cdot5!\cdot4!=5760\). In exams, also multiply internal arrangements in the block method.
पासवर्ड में क्रम महत्वपूर्ण है, इसलिए \(^{9}P_4=3024\)। परीक्षा में password या code को permutation समझें। / Order matters in a password, so \(^{9}P_4=3024\). In exams, treat passwords or codes as permutations.
(11) अक्षरों में (I) चार, (S) चार और (P) दो बार हैं। इसलिए संख्या \(\frac{11!}{4!4!2!}=34650\) है। / There are (11) letters with (I) four times, (S) four times and (P) twice. Hence the number is \(\frac{11!}{4!4!2!}=34650\).
कुर्सियां अलग हैं और (7) विद्यार्थी बैठेंगे, इसलिए \(^{10}P_7=604800\)। परीक्षा में खाली कुर्सियां होने पर भी क्रमित स्थान गिनें। / The chairs are distinct and (7) students are seated, so \(^{10}P_7=604800\). In exams, count ordered positions even when some chairs remain empty.
दो विशेष व्यक्तियों को एक ब्लॉक मानें, तब \(9!\cdot2!=725760\)। परीक्षा में साथ रहने की शर्त में block के अंदर की व्यवस्था भी लें। / Treat the two particular people as one block, then \(9!\cdot2!=725760\). In exams, include the internal arrangement of the block.
कुल (10!) में से साथ बैठने वाली \(9!\cdot2!\) व्यवस्थाएं घटाएं। उत्तर (3628800-725760=2903040) है। / Subtract the together cases \(9!\cdot2!\) from total (10!). The answer is (3628800-725760=2903040).
पहले पुरुषों को (5!) तरीकों से बैठाएं, फिर (6) gaps में (4) महिलाएं \(^{6}P_4\) तरीकों से बैठेंगी। कुल (86400) है। / Arrange the men first in (5!) ways, then place (4) women in (6) gaps in \(^{6}P_4\) ways. The total is (86400).
(9) अलग स्थानों में (7) फाइलों की क्रमित व्यवस्था \(^{9}P_7=181440\) है। परीक्षा में shelves अलग हों तो assignment permutation होता है। / The ordered placement of (7) files in (9) distinct places is \(^{9}P_7=181440\). In exams, distinct shelves make assignment a permutation.
हजार स्थान पर (5,6,7,8) में से (4) विकल्प हैं और बाकी \(6\cdot5\cdot4\) तरीके हैं। कुल (480) है। / The thousands place has (4) choices from (5,6,7,8), and the rest have \(6\cdot5\cdot4\) ways. The total is (480).
दो विशेष पुस्तकें सिरों पर (2!) तरीकों से और शेष (6!) तरीकों से रखी जाएंगी। कुल \(2!\cdot6!=1440\) है। / The two particular books occupy the ends in (2!) ways and the remaining books in (6!) ways. The total is \(2!\cdot6!=1440\).
विशेष व्यक्ति के लिए (7) अंदरूनी स्थान हैं और बाकी (8!) तरीकों से बैठेंगे। कुल \(7\cdot8!=282240\) है। / The particular person has (7) inner positions and the others sit in (8!) ways. The total is \(7\cdot8!=282240\).
दो पद अलग हैं, इसलिए \(^{13}P_2=13\cdot12=156\)। परीक्षा में अलग पदों में क्रम बदलने से परिणाम बदलता है। / The two posts are different, so \(^{13}P_2=13\cdot12=156\). In exams, changing order changes the result for different posts.
अंतिम अंक (0,4,6,8) हो सकता है। cases जोड़ने पर \(20+3\cdot16=68\) संख्याएं बनती हैं। / The last digit can be (0,4,6,8). Adding the cases gives \(20+3\cdot16=68\) numbers.
(7) अक्षरों में (L) दो बार और (O) दो बार है। इसलिए \(\frac{7!}{2!2!}=1260\) व्यवस्थाएं होंगी। / There are (7) letters with (L) twice and (O) twice. Hence \(\frac{7!}{2!2!}=1260\) arrangements are possible.
संकेत में क्रम महत्वपूर्ण है, इसलिए \(^{8}P_6=20160\)। परीक्षा में signal और code वाले प्रश्नों में permutation लगाएं। / Order matters in a signal, so \(^{8}P_6=20160\). In exams, use permutation for signal and code questions.
पहले लड़कों को गोल में ((4-1)!) तरीकों से बैठाएं और फिर (4) gaps में लड़कियां (4!) तरीकों से बैठेंगी। कुल (144) है। / Arrange the boys around the circle in ((4-1)!) ways, then place the girls in (4) gaps in (4!) ways. The total is (144).
दो व्यक्तियों को एक ब्लॉक मानें, तब (6) इकाइयों की गोल व्यवस्था ((6-1)!) है और अंदर (2!) तरीके हैं। कुल (240) है। / Treat the two people as one block, then (6) units have ((6-1)!) circular arrangements and (2!) internal ways. The total is (240).
चयन के बाद क्रम में लगाना है, इसलिए \(^{11}P_4=7920\)। परीक्षा में selected and ordered पर \(nP_r\) लगाएं। / Selection is followed by ordering, so \(^{11}P_4=7920\). In exams, use \(nP_r\) for selected and ordered cases.
हजार स्थान पर (7,8,9) में से (3) विकल्प हैं और बाकी \(6\cdot5\cdot4\) तरीके हैं। कुल (360) है। / The thousands place has (3) choices from (7,8,9), and the remaining places have \(6\cdot5\cdot4\) ways. The total is (360).
(5) विद्यार्थियों को (7) पुरस्कारों में से क्रमित रूप से एक-एक मिलेगा, इसलिए \(^{7}P_5=2520\)। परीक्षा में recipients अलग हों तो permutation लें। / The (5) students receive one prize each from (7) prizes in an ordered way, so \(^{7}P_5=2520\). In exams, distinct recipients imply permutation.
पुस्तकें चुनी भी जा रही हैं और क्रम में रखी भी जा रही हैं, इसलिए \(^{9}P_4=3024\)। परीक्षा में shelf arrangement में क्रम गिनें। / The books are selected and arranged in order, so \(^{9}P_4=3024\). In exams, count order in shelf arrangements.
भाषण का क्रम महत्वपूर्ण है, इसलिए \(^{8}P_3=336\)। परीक्षा में order of performance को permutation मानें। / The speaking order is important, so \(^{8}P_3=336\). In exams, treat order of performance as permutation.
अंतिम अंक (0) या (5) होगा। cases जोड़ने पर (120+100=220) संख्याएं मिलती हैं। / The last digit is (0) or (5). Adding the cases gives (120+100=220) numbers.
तीसरा स्थान निश्चित है, इसलिए शेष (5) अंक (5!) तरीकों से रखे जाएंगे। उत्तर (120) है। / The third position is fixed, so the remaining (5) digits are arranged in (5!) ways. The answer is (120).
अंतिम स्थान निश्चित है, इसलिए शेष (8) वस्तुएं (8!) तरीकों से रखें। उत्तर (40320) है। / The last position is fixed, so the remaining (8) objects are arranged in (8!) ways. The answer is (40320).
कुल (8!) में से दोनों विशेष सिक्कों के सिरों पर आने वाली \(2!\cdot6!\) व्यवस्थाएं घटाएं। उत्तर (40320-1440=38880) है। / Subtract the cases where the two particular coins occupy the two ends, which are \(2!\cdot6!\), from total (8!). The answer is (40320-1440=38880).
(7) विद्यार्थियों को (7) अलग स्थानों पर बैठाने की संख्या (7!=5040) है। परीक्षा में positions अलग हों तो factorial लगाएं। / The number of seating (7) students in (7) distinct positions is (7!=5040). In exams, use factorial when positions are distinct.
क्रमित चयन \(^{15}P_2=15\cdot14=210\) है। परीक्षा में in order लिखा हो तो permutation लगाएं। / Ordered selection is \(^{15}P_2=15\cdot14=210\). In exams, use permutation when in order is given.
(8) बच्चों में से (6) को अलग खिलौने मिलेंगे, इसलिए \(^{8}P_6=20160\)। परीक्षा में distinct toys और receivers से permutation बनता है। / (6) of (8) children receive distinct toys, so \(^{8}P_6=20160\). In exams, distinct toys and receivers create a permutation.
विशेष सिक्के के लिए (2) सिरों के विकल्प हैं और शेष (10) सिक्के (10!) तरीकों से रखे जाएंगे। कुल \(2\cdot10!=7257600\) है। / The particular coin has (2) end choices and the remaining (10) coins are arranged in (10!) ways. The total is \(2\cdot10!=7257600\).
केवल घुमाव समान है, इसलिए circular arrangement ((8-1)!=5040) है। परीक्षा में reflection समान है या नहीं, इसे अलग से देखें। / Only rotations are the same, so the circular arrangement is ((8-1)!=5040). In exams, separately check whether reflection is also the same.
बाएं से दाएं क्रम महत्वपूर्ण है, इसलिए \(^{7}P_5=2520\)। परीक्षा में standing order को permutation मानें। / The left-to-right order is important, so \(^{7}P_5=2520\). In exams, standing order means permutation.
पहला अंक (6) निश्चित है और बाकी (3) स्थान \(6\cdot5\cdot4\) तरीकों से भरेंगे। उत्तर (120) है। / The first digit is fixed as (6), and the remaining (3) places are filled in \(6\cdot5\cdot4\) ways. The answer is (120).
पहला अध्याय निश्चित है, इसलिए शेष (5) अध्याय (5!) क्रमों में आ सकते हैं। उत्तर (120) है। / The first chapter is fixed, so the remaining (5) chapters can be ordered in (5!) ways. The answer is (120).
ऊपर से नीचे क्रम बदलने पर design बदलता है, इसलिए \(^{9}P_4=3024\)। परीक्षा में ordered layers में permutation लगाएं। / Changing the top-to-bottom order changes the design, so \(^{9}P_4=3024\). In exams, use permutation for ordered layers.
(6) प्रश्न चुनकर क्रम से हल करने हैं, इसलिए \(^{8}P_6=20160\)। परीक्षा में order of attempt अलग हो तो permutation लें। / (6) questions are selected and attempted in order, so \(^{8}P_6=20160\). In exams, use permutation if the order of attempt differs.
पांच मोबाइल को एक ब्लॉक मानें, तब (5) इकाइयां हैं। व्यवस्था \(5!\cdot5!=14400\) होगी। / Treat the five mobiles as one block, then there are (5) units. The arrangement is \(5!\cdot5!=14400\).
मंच पर बुलाने का क्रम महत्वपूर्ण है, इसलिए \(^{10}P_4=5040\)। परीक्षा में क्रम बताया हो तो permutation लगाएं। / The calling order to the stage is important, so \(^{10}P_4=5040\). In exams, use permutation when order is specified.
पहले हिंदी पुस्तकें (6!) तरीकों से रखें, फिर (7) gaps में (5) अंग्रेजी पुस्तकें \(^{7}P_5\) तरीकों से रखें। कुल \(6!\cdot^{7}P_5=1814400\) है। / Arrange Hindi books first in (6!) ways, then place (5) English books in (7) gaps in \(^{7}P_5\) ways. The total is \(6!\cdot^{7}P_5=1814400\).
(11) अक्षरों में (M,A,T) दो-दो बार आते हैं, इसलिए \(\frac{11!}{2!2!2!}=4989600\)। परीक्षा में सभी repeated letters के factorial से भाग दें। / There are (11) letters with (M,A,T) each repeated twice, so \(\frac{11!}{2!2!2!}=4989600\). In exams, divide by factorials of all repeated letters.
