Topic Quiz • 150 questions • 60 seconds per question.
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B. (120)
\(5!=5\times4\times3\times2\times1=120\)। फैक्टोरियल में संख्या से (1) तक गुणा करते हैं। / \(5!=5\times4\times3\times2\times1=120\). In factorial notation, multiply the number down to (1).
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C. (1)
गणित में (0!=1) परिभाषित किया जाता है। यह संयोजन और क्रमचय सूत्रों में बहुत उपयोगी है। / In mathematics, (0!) is defined as (1). It is very useful in permutation and combination formulas.
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A. 7
यहाँ 1! = 1 और 3! = 3 × 2 × 1 = 6 है। अतः 1! + 3! = 1 + 6 = 7। विकल्प 6 केवल 3! का मान है, उसमें 1! जोड़ना बाकी है। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक फैक्टोरियल का मान निकालें, फिर दिए गए संक्रिया-चिह्न के अनुसार गणना करें। / Here, 1! = 1 and 3! = 3 × 2 × 1 = 6. Therefore, 1! + 3! = 1 + 6 = 7. Option 6 is only the value of 3!; it does not include 1!. Exam tip: Evaluate each factorial first, then perform the indicated operation.
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What is the simplified value of \(\frac{6!}{4!}\)?
C. 30
क्योंकि \(6!=6\times5\times4!\), इसलिए \(\frac{6!}{4!}=\frac{6\times5\times4!}{4!}=6\times5=30\)। अतः सही उत्तर 30 है। 120, \(5!\) का मान है, इसलिए यह इस भागफल का मान नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान पदों को काटें। / Since \(6!=6\times5\times4!\), \(\frac{6!}{4!}=\frac{6\times5\times4!}{4!}=6\times5=30\). Therefore, 30 is correct. The value 120 is \(5!\), not the value of this quotient. Exam tip: In factorial division, expand the larger factorial only up to the smaller factorial and cancel common terms.
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What is the value of \(\frac{7!}{5!,2!}\)?
B. (21)
\(\frac{7!}{5!,2!}=\frac{7\times6}{2}=21\)। पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक तोड़ें। / \(\frac{7!}{5!,2!}=\frac{7\times6}{2}=21\). Break the larger factorial down to the smaller factorial first.
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Which form can represent (n!)?
B. \(n(n-1)!\)
फैक्टोरियल की परिभाषा के अनुसार \(n!=n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots\times1\) होता है। शेष गुणनफल \((n-1)!\) है, इसलिए \(n!=n(n-1)!\) होगा। विकल्प A में जोड़ है, जबकि फैक्टोरियल में क्रमिक धनात्मक पूर्णांकों का गुणन होता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल को छोटा करने के लिए \(n!=n(n-1)!\) का प्रयोग करें। / By definition, \(n!=n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots\times1\). The remaining product is \((n-1)!\), so \(n!=n(n-1)!\). Option A uses addition, whereas a factorial is a product of consecutive positive integers. Exam tip: use \(n!=n(n-1)!\) to simplify factorial expressions.
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A. 26
यहाँ 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 और 2! = 2 × 1 = 2 है। अतः 4! + 2! = 24 + 2 = 26। 28 तब मिलता यदि 4! को गलती से 26 मान लिया जाए; फैक्टोरियल का मान पहले निकालकर फिर जोड़ें। परीक्षा टिप: ! केवल उसके ठीक पहले वाली संख्या का फैक्टोरियल दर्शाता है। / Here, 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 and 2! = 2 × 1 = 2. Therefore, 4! + 2! = 24 + 2 = 26. The value 28 can result from an incorrect evaluation of 4!; evaluate each factorial first and then add. Exam tip: the symbol ! denotes the factorial of the number immediately before it.
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What is the value of \(\frac{8!}{7!}\)?
D. (8)
\(\frac{8!}{7!}=8\) क्योंकि \(8!=8\times7!\)। ऐसे प्रश्नों में फैक्टोरियल विस्तार छोटा रखें। / \(\frac{8!}{7!}=8\) because \(8!=8\times7!\). Keep the factorial expansion short in such questions.
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How can \(9\times8\times7\) be written in factorial form?
A. \(\frac{9!}{6!}\)
\(9!=9\times8\times7\times6!\), इसलिए \(\frac{9!}{6!}=9\times8\times7\)। अंतिम शेष संख्या के बाद वाले फैक्टोरियल से भाग दें। / \(9!=9\times8\times7\times6!\), so \(\frac{9!}{6!}=9\times8\times7\). Divide by the factorial after the last required factor.
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A. \(n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot1\)
\(n!\) में \(n\) से 1 तक के सभी धनात्मक पूर्णांकों का गुणन होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B योग दर्शाता है, गुणन नहीं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल में क्रमशः घटते पूर्णांकों का गुणन पहचानें। / In \(n!\), all positive integers from \(n\) down to 1 are multiplied, so option A is correct. Option B represents addition, not factorial multiplication. Exam tip: identify factorial by the descending product ending in 1.
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What will be the value of \(\frac{5!}{3!}\)?
C. 20
क्योंकि \(5!=5\times4\times3!\), इसलिए \(\frac{5!}{3!}=\frac{5\times4\times3!}{3!}=5\times4=20\)। अतः सही विकल्प C है। विकल्प D, \(5!\) का मान है, लेकिन यहाँ \(3!\) से भाग भी दिया गया है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में छोटे फैक्टोरियल तक पदों को फैलाकर समान फैक्टोरियल को काटें। / Since \(5!=5\times4\times3!\), \(\frac{5!}{3!}=\frac{5\times4\times3!}{3!}=5\times4=20\). Therefore, option C is correct. Option D is the value of \(5!\), but the expression also requires division by \(3!\). Exam tip: In factorial fractions, expand the larger factorial up to the smaller factorial and cancel the common factorial.
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What is the value of \(3!\times2!\)?
A. (12)
(3!=6) और (2!=2), इसलिए गुणनफल (12) है। फैक्टोरियल को सामान्य गुणा में बदलकर हल करें। / (3!=6) and (2!=2), so the product is (12). Convert factorials into ordinary multiplication to solve.
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What is the simplified value of \(\frac{4!}{2!}\)?
C. 12
\(4!=4\times3\times2\times1=24\) और \(2!=2\times1=2\) होता है। इसलिए \(\frac{4!}{2!}=\frac{24}{2}=12\)। इसे \(\frac{4\times3\times2!}{2!}=4\times3=12\) के रूप में भी सरल किया जा सकता है। विकल्प 8 केवल \(4\times2\) लेने से मिलता है, जो फैक्टोरियल का सही विस्तार नहीं है। परीक्षा टिप: \(\frac{n!}{r!}\) में पहले बड़े फैक्टोरियल को \(r!\) तक फैलाकर समान पदों को काटें। / \(4!=4\times3\times2\times1=24\) and \(2!=2\times1=2\). Hence, \(\frac{4!}{2!}=\frac{24}{2}=12\). It can also be simplified as \(\frac{4\times3\times2!}{2!}=4\times3=12\). Option 8 would result from incorrectly using \(4\times2\), which is not the correct factorial expansion. Exam tip: In \(\frac{n!}{r!}\), expand the larger factorial up to \(r!\) and cancel the common factor.
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What is the value of \(\frac{6!}{3!,3!}\)?
D. 20
यहाँ \(6!=720\) और \(3!=6\) है। अतः \(\frac{6!}{3!\,3!}=\frac{720}{6\times6}=\frac{720}{36}=20\)। विकल्प 18 तब मिल सकता है जब फैक्टोरियल या हर का गुणन गलत किया जाए। परीक्षा सुझाव: पहले छोटे फैक्टोरियल का मान लिखें, फिर गुणा और भाग करें। / Here, \(6!=720\) and \(3!=6\). Therefore, \(\frac{6!}{3!\,3!}=\frac{720}{6\times6}=\frac{720}{36}=20\). A value such as 18 may result from evaluating a factorial or multiplying the denominator incorrectly. Exam tip: write the values of smaller factorials first, then multiply and divide.
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A. (96)
(5!=120) और (4!=24), इसलिए अंतर (96) है। घटाने से पहले दोनों फैक्टोरियल अलग निकालें। / (5!=120) and (4!=24), so the difference is (96). Find both factorials separately before subtracting.
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What is the value of (0!+1!+2!)?
B. 4
परिभाषा के अनुसार \(0!=1\), \(1!=1\) और \(2!=2\times1=2\)। अतः \(0!+1!+2!=1+1+2=4\)। विकल्प A में \(0!\) को शामिल नहीं किया गया है, जबकि \(0!\) का मान सदैव 1 होता है। परीक्षा टिप: छोटे फैक्टोरियल के मान लिखकर फिर जोड़ करें। / By definition, \(0!=1\), \(1!=1\), and \(2!=2\times1=2\). Therefore, \(0!+1!+2!=1+1+2=4\). Option A results from omitting \(0!\), but \(0!\) is always 1. Exam tip: Write the values of small factorials before adding them.
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What is the value of \(\frac{10!}{8!}\)?
B. 90
क्योंकि \(10!=10\times9\times8!\), इसलिए \(\frac{10!}{8!}=\frac{10\times9\times8!}{8!}=10\times9=90\)। विकल्प D में \(6!\) का मान 720 है, इसलिए वह इस व्यंजक के लिए सही नहीं है। परीक्षा में फैक्टोरियल को फैलाकर समान फैक्टोरियल पदों को काटें। / Since \(10!=10\times9\times8!\), \(\frac{10!}{8!}=\frac{10\times9\times8!}{8!}=10\times9=90\). Option D is the value of \(6!\), not of the given expression. In exams, expand only up to the common factorial term and cancel it.
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Which is the correct expansion of (4!)?
C. \(4\times3\times2\times1\)
फैक्टोरियल में किसी धनात्मक पूर्णांक से 1 तक के सभी पूर्णांकों का क्रमिक गुणन किया जाता है। इसलिए \(4!=4\times3\times2\times1\), अतः विकल्प C सही है। विकल्प B में 4 का चार बार गुणन है, जो \(4^4\) है, फैक्टोरियल नहीं। परीक्षा टिप: \(n!\) में हमेशा \(n\) से 1 तक घटते क्रम में गुणा लिखें। / A factorial is the product of all positive integers from the given number down to 1. Therefore, \(4!=4\times3\times2\times1\), so option C is correct. Option B represents \(4^4\), not a factorial. Exam tip: Write \(n!\) as multiplication from \(n\) down to 1.
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How will you write \(1\times2\times3\times4\times5\times6\)?
B. (6!)
(1) से (6) तक का गुणनफल (6!) होता है। फैक्टोरियल में क्रम उल्टा या सीधा लिखने से मान नहीं बदलता। / The product from (1) to (6) is (6!). In factorial multiplication, writing in reverse or forward order gives the same value.
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What is the value of \(\frac{9!}{9!}\)?
C. 1
चूँकि \(9!\) एक अशून्य संख्या है, इसलिए किसी अशून्य संख्या को उसी संख्या से भाग देने पर मान \(1\) मिलता है। अतः \(\frac{9!}{9!}=1\)। विकल्प 9, 9! का मान नहीं है और 81, \(9\times9\) है। परीक्षा टिप: समान अशून्य पद अंश और हर में हों, तो उनका अनुपात हमेशा \(1\) होता है। / Since \(9!\) is non-zero, a non-zero quantity divided by itself equals \(1\). Hence, \(\frac{9!}{9!}=1\). The value 9 is not the value of 9!, and 81 is \(9\times9\). Exam tip: When the same non-zero term occurs in the numerator and denominator, their ratio is always \(1\).
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What is the simplified form of \(\frac{(n+1)!}{n!}\)?
B. \(n+1\)
फैक्टोरियल के नियम से \((n+1)!=(n+1)\cdot n!\)। अतः \(\frac{(n+1)!}{n!}=\frac{(n+1)n!}{n!}=n+1\), इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प \(n\) तब मिलता है जब \(n!\) को गलत ढंग से \(n\) मान लिया जाए। परीक्षा टिप: लगातार फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के गुणनफल के रूप में लिखकर काटें। / Using the factorial relation, \((n+1)!=(n+1)\cdot n!\). Therefore, \(\frac{(n+1)!}{n!}=\frac{(n+1)n!}{n!}=n+1\), so option B is correct. The distractor \(n\) may result from incorrectly treating \(n!\) as \(n\). Exam tip: expand the larger factorial in terms of the smaller one before cancelling.
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What is the value of \(\frac{7!}{6!,1!}\)?
B. 7
\(7!=7\times6!\) और \(1!=1\) होता है। इसलिए \(\frac{7!}{6!,1!}=\frac{7\times6!}{6!\times1}=7\)। अतः सही उत्तर 7 है। 6 केवल \(6!\) से जुड़ा संख्या-भाग है; \(6!\) कटने के बाद 7 बचता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्नों में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके समान पदों को काटें। / Since \(7!=7\times6!\) and \(1!=1\), \(\frac{7!}{6!,1!}=\frac{7\times6!}{6!\times1}=7\). Therefore, the correct answer is 7. The number 6 is not the result; the factor \(6!\) cancels, leaving 7. Exam tip: In factorial fractions, expand the larger factorial up to the smaller factorial and cancel common factors.
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B. 30
यहाँ 3! = 3 × 2 × 1 = 6 और 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 है। अतः 3! + 4! = 6 + 24 = 30, इसलिए विकल्प B सही है। 24 केवल 4! का मान है, योग का नहीं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले व्यंजक में पहले प्रत्येक फैक्टोरियल का मान निकालकर फिर जोड़ या घटाव करें। / Here, 3! = 3 × 2 × 1 = 6 and 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Therefore, 3! + 4! = 6 + 24 = 30, so option B is correct. 24 is only the value of 4!, not the sum. Exam tip: In expressions involving factorials, evaluate each factorial first and then perform addition or subtraction.
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What will be the value of (6!-5!)?
A. (600)
(6!=720) और (5!=120), इसलिए अंतर (600) है। बड़े फैक्टोरियल का मान ध्यान से लिखें। / (6!=720) and (5!=120), so the difference is (600). Write the value of the larger factorial carefully.
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What is the value of \(2!\times4!\)?
C. 48
\(2!=2\) तथा \(4!=4\times3\times2\times1=24\) होता है। अतः \(2!\times4!=2\times24=48\)। विकल्प 36, \(3!\times3!\) का मान है, न कि दिए गए व्यंजक का। परीक्षा में प्रत्येक फैक्टोरियल का मान अलग-अलग निकालकर गुणा करें। / \(2!=2\) and \(4!=4\times3\times2\times1=24\). Therefore, \(2!\times4!=2\times24=48\). The value 36 is obtained from \(3!\times3!\), not from the given expression. In exams, evaluate each factorial separately before multiplying.
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What is the value of \(\frac{8!}{5!}\)?
A. 336
क्योंकि \(8!=8\times7\times6\times5!\), इसलिए \(\frac{8!}{5!}=8\times7\times6=336\)। विकल्प 120, \(5!\) का मान है, जबकि यहाँ \(5!\) कट जाता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान पदों को काटें। / Since \(8!=8\times7\times6\times5!\), \(\frac{8!}{5!}=8\times7\times6=336\). The value 120 is \(5!\), but \(5!\) cancels in this expression. Exam tip: In a factorial fraction, expand the larger factorial only up to the smaller factorial and cancel common terms.
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If (n=3), what is the value of ((n+2)!)?
B. 120
दिया है n=3। अतः n+2=3+2=5 और (n+2)!=5!=5×4×3×2×1=120। इसलिए सही उत्तर 120 है। 24, 4! का मान है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पहले कोष्ठक के भीतर का मान निकालें, फिर फैक्टोरियल लगाएँ। / Given n=3, we get n+2=3+2=5. Therefore, (n+2)!=5!=5×4×3×2×1=120. Hence, 120 is the correct answer. The value 24 is equal to 4!, so it is not correct here. Exam tip: Evaluate the expression inside the brackets before applying the factorial.
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What is the simplified form of \(\frac{(n+2)!}{n!}\)?
C. \((n+2)(n+1)\)
\((n+2)!=(n+2)(n+1)n!\) होता है। अतः \(\frac{(n+2)!}{n!}=\frac{(n+2)(n+1)n!}{n!}=(n+2)(n+1)\)। विकल्प \(n(n+1)\) में \(n+2\) गुणनखंड छूट गया है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल को आवश्यक पदों तक फैलाकर समान फैक्टोरियल पदों को काटें। / Since \((n+2)!=(n+2)(n+1)n!\), we get \(\frac{(n+2)!}{n!}=\frac{(n+2)(n+1)n!}{n!}=(n+2)(n+1)\). The option \(n(n+1)\) incorrectly omits the factor \(n+2\). Exam tip: expand a factorial only up to the common factorial term, then cancel it.
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Which is greater between (5!) and (4!)?
C. (5!)
(5!=120) और (4!=24), इसलिए (5!) बड़ा है। बड़े धनात्मक पूर्णांक का फैक्टोरियल सामान्यतः बड़ा होता है। / (5!=120) and (4!=24), so (5!) is greater. The factorial of a larger positive integer is generally larger.
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What is the value of \(\frac{4!+3!}{3!}\)?
B. 5
क्योंकि \(4!=4\times3!\), इसलिए \(\frac{4!+3!}{3!}=\frac{4\times3!+3!}{3!}=\frac{5\times3!}{3!}=5\)। विकल्प 4 तब मिलता यदि अंश में केवल \(4!\) होता और \(+3!\) को छोड़ दिया जाता। परीक्षा टिप: समान फैक्टरियल पदों को पहले बाहर निकालने पर ऐसे व्यंजक जल्दी सरल होते हैं। / Since \(4!=4\times3!\), \(\frac{4!+3!}{3!}=\frac{4\times3!+3!}{3!}=\frac{5\times3!}{3!}=5\). Option 4 would result if the \(+3!\) term in the numerator were incorrectly ignored. Exam tip: Factor out the common factorial term first to simplify such expressions quickly.
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In (7!), which factor comes immediately after (7)?
C. (6)
\(7!=7\times6\times5\times4\times3\times2\times1\)। फैक्टोरियल में संख्या घटती जाती है। / \(7!=7\times6\times5\times4\times3\times2\times1\). In factorial notation, the numbers decrease step by step.
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What is the value of \(3!\times0!\)?
C. 6
\(3!=3\times2\times1=6\) तथा परिभाषा के अनुसार \(0!=1\) होता है। अतः \(3!\times0!=6\times1=6\), इसलिए सही विकल्प C है। \(0!\) को 0 मानना गलत है; क्रमचय-संचय के सूत्रों को संगत रखने के लिए \(0!=1\) परिभाषित किया जाता है। परीक्षा टिप: \(0!\) दिखते ही उसका मान 1 रखें। / \(3!=3\times2\times1=6\), and by definition \(0!=1\). Therefore, \(3!\times0!=6\times1=6\), so option C is correct. It is incorrect to treat \(0!\) as 0; \(0!=1\) keeps permutation and combination formulas consistent. Exam tip: whenever you see \(0!\), substitute 1.
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What is the value of \(\frac{6!}{2!,4!}\)?
C. (15)
\(\frac{6!}{2!,4!}=\frac{6\times5}{2}=15\)। बड़े फैक्टोरियल से छोटे फैक्टोरियल को काटें। / \(\frac{6!}{2!,4!}=\frac{6\times5}{2}=15\). Cancel the smaller factorial from the larger factorial.
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Which of the following statements about factorials is correct?
A. हर धनात्मक पूर्णांक n के लिए, \(n! = n\times(n-1)!\)
फैक्टोरियल की पुनरावर्ती परिभाषा \(n! = n\times(n-1)!\) है। उदाहरणतः \(4!=4\times3!\)। विकल्प B में जोड़ गलत है और \(0!=1\), 0 नहीं। परीक्षा में 0! का विशेष मान अवश्य याद रखें। / The recursive factorial rule is \(n! = n\times(n-1)!\); for example, \(4!=4\times3!\). Option B incorrectly uses addition, and \(0!=1\), not 0. Exam tip: always remember the special value of 0!
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\(6\times5\times4!\) is equal to which of the following?
B. (6!)
\(6!=6\times5\times4!\), इसलिए दिया गया गुणनफल (6!) है। फैक्टोरियल को बीच से भी पहचाना जा सकता है। / \(6!=6\times5\times4!\), so the given product is (6!). A factorial can be identified from the middle expansion too.
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What is the value of \(\frac{5!}{5}\)?
C. 24
\(5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\)। अतः \(\frac{5!}{5}=\frac{120}{5}=24\)। इसलिए सही उत्तर 24 है। 20 लेने पर \(5!\) के सभी गुणकों का सही गुणन नहीं किया जाता। परीक्षा टिप: \(n! = n \times (n-1)!\) का उपयोग करके फैक्टोरियल वाले भिन्नों को जल्दी सरल करें। / \(5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\). Therefore, \(\frac{5!}{5}=\frac{120}{5}=24\). Hence, 24 is the correct answer. Choosing 20 results from not multiplying all the factors of \(5!\) correctly. Exam tip: use \(n! = n \times (n-1)!\) to simplify factorial fractions quickly.
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A. (18)
(4!=24) और (3!=6), इसलिए अंतर (18) है। फैक्टोरियल चिन्ह को साधारण घटाव न समझें। / (4!=24) and (3!=6), so the difference is (18). Do not treat the factorial sign as ordinary subtraction.
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If (x=4!), what is the value of (x)?
C. (24)
\(4!=4\times3\times2\times1=24\), इसलिए (x=24)। चर वाले सवाल में पहले फैक्टोरियल का मान निकालें। / \(4!=4\times3\times2\times1=24\), so (x=24). In variable-based questions, first evaluate the factorial.
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What is the value of \(\frac{3!}{2!}\)?
B. 3
क्योंकि \(3!=3\times2!\), इसलिए \(\frac{3!}{2!}=\frac{3\times2!}{2!}=3\)। अतः सही उत्तर 3 है। \(6\) केवल \(3!\) का मान है; इसमें \(2!\) से भाग नहीं दिया गया है। परीक्षा टिप: \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\) का नियम याद रखें। / Since \(3!=3\times2!\), \(\frac{3!}{2!}=\frac{3\times2!}{2!}=3\). Therefore, the correct answer is 3. The value 6 is only the value of \(3!\); it ignores division by \(2!\). Exam tip: Remember that \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\).
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\(5\times4\times3!\) is equal to which of the following?
C. (5!)
\(5!=5\times4\times3!\), इसलिए दिया गया रूप (5!) है। फैक्टोरियल विस्तार को पहचानना जरूरी है। / \(5!=5\times4\times3!\), so the given form is (5!). Recognizing factorial expansion is important.
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C. (720)
\(6!=6\times5\times4\times3\times2\times1=720\)। (5!=120) याद हो तो \(6!=6\times120\) करें। / \(6!=6\times5\times4\times3\times2\times1=720\). If you remember (5!=120), then use \(6!=6\times120\).
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What is the value of \(\frac{7!}{7}\)?
B. \(6!\)
क्योंकि \(7!=7\times6!\), अतः \(\frac{7!}{7}=\frac{7\times6!}{7}=6!\)। \(5!\) प्राप्त करने के लिए \(6!\) को भी 6 से भाग देना पड़ता, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(n!=n\times(n-1)!\) का उपयोग करके फैक्टोरियल वाले व्यंजकों को सरल करें। / Since \(7!=7\times6!\), \(\frac{7!}{7}=\frac{7\times6!}{7}=6!\). Getting \(5!\) would require dividing \(6!\) by 6 as well, so it is not correct. Exam tip: use \(n!=n\times(n-1)!\) to simplify factorial expressions.
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What is the value of \(\frac{4!}{0!}\)?
D. 24
\(4!=4\times3\times2\times1=24\) तथा परिभाषा के अनुसार \(0!=1\) होता है। अतः \(\frac{4!}{0!}=\frac{24}{1}=24\)। विकल्प 1 गलत है क्योंकि वह केवल \(0!\) का मान है, पूरा भागफल नहीं। परीक्षा टिप: \(0!=1\) को हमेशा याद रखें। / \(4!=4\times3\times2\times1=24\), and by definition \(0!=1\). Therefore, \(\frac{4!}{0!}=\frac{24}{1}=24\). Option 1 is incorrect because it is the value of \(0!\) only, not of the complete quotient. Exam tip: always remember that \(0!=1\).
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If (n!=120), what is the value of (n)?
B. \(5\)
दिया है कि \(n!=120\), अर्थात \(n\) का फैक्टोरियल 120 है। \(5!=5\times4\times3\times2\times1=120\), इसलिए \(n=5\)। \(4!=24\) होता है, इसलिए विकल्प \(4\) सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(3!\) से \(6!\) तक के फैक्टोरियल मान याद रखने से ऐसे प्रश्न जल्दी हल होते हैं। / Given \(n!=120\), the factorial of \(n\) is 120. Since \(5!=5\times4\times3\times2\times1=120\), \(n=5\). In contrast, \(4!=24\), so option \(4\) is not correct. Exam tip: Memorising factorial values from \(3!\) to \(6!\) helps solve such questions quickly.
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What is the value of ((3+1)!)?
C. 24
पहले कोष्ठक के अंदर की गणना करें: \(3+1=4\)। अब \(4!=4\times3\times2\times1=24\) होगा। इसलिए सही उत्तर 24 है। \(3!=6\) होता है, इसलिए 6 चुनना कोष्ठक के अंदर के जोड़ को नजरअंदाज करने की गलती होगी। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल लगाने से पहले कोष्ठक के भीतर का मान हमेशा निकालें। / First evaluate the expression inside the brackets: \(3+1=4\). Then \(4!=4\times3\times2\times1=24\). Therefore, the correct answer is 24. Choosing 6 would mean using \(3!\) and ignoring the addition inside the brackets. Exam tip: always simplify the expression inside brackets before applying factorial.
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B. 7
यहाँ \(3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\) तथा परिभाषा के अनुसार \(0! = 1\) होता है। अतः \(3!+0! = 6+1 = 7\)। विकल्प 6 केवल \(3!\) का मान है; उसमें \(0!\) को नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: \(0!\) का मान हमेशा 1 याद रखें। / Here, \(3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\), and by definition \(0! = 1\). Therefore, \(3!+0! = 6+1 = 7\). Option 6 is only the value of \(3!\); it does not include \(0!\). Exam tip: Always remember that \(0! = 1\).
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How can (8!) be written using (7!)?
B. \(8\times 7!\)
फैक्टोरियल की परिभाषा के अनुसार \(8!=8\times 7\times 6\times\cdots\times 1\) होता है। चूँकि \(7!=7\times 6\times\cdots\times 1\), इसलिए \(8!=8\times 7!\)। विकल्प \(8\times 6!\) में 7 का गुणन नहीं है, इसलिए वह \(8!\) के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: \(n!=n\times (n-1)!\) पहचान का प्रयोग करें। / By the definition of factorial, \(8!=8\times 7\times 6\times\cdots\times 1\). Since \(7!=7\times 6\times\cdots\times 1\), we get \(8!=8\times 7!\). The expression \(8\times 6!\) misses the factor 7, so it is not equal to \(8!\). Exam tip: use the identity \(n!=n\times (n-1)!\).
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What is the value of \(\frac{5!}{4!}+1\)?
B. 6
क्योंकि \(5!=5\times4!\), इसलिए \(\frac{5!}{4!}=5\)। अतः दिया गया व्यंजक \(5+1=6\) है। \(5!\) और \(4!\) को अलग-अलग पूरा निकालना आवश्यक नहीं है; \(4!\) को सीधे काटा जा सकता है। परीक्षा टिप: क्रमागत फैक्टोरियल में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के रूप में लिखकर सरल करें। / Since \(5!=5\times4!\), we get \(\frac{5!}{4!}=5\). Therefore, the given expression is \(5+1=6\). It is not necessary to evaluate both factorials completely; \(4!\) cancels directly. Exam tip: For consecutive factorials, write the larger factorial in terms of the smaller one before simplifying.
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What is the value of \(\frac{2!+3!}{2!}\)?
C. 4
यहाँ \(2!=2\) और \(3!=6\) है। अतः \(\frac{2!+3!}{2!}=\frac{2+6}{2}=\frac{8}{2}=4\)। विकल्प 5 तब मिल सकता है जब कोई \(3!\) को गलत तरीके से 8 मान ले। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक फैक्टोरियल का मान निकालें, फिर दिए गए संक्रियाएँ करें। / Here, \(2!=2\) and \(3!=6\). Therefore, \(\frac{2!+3!}{2!}=\frac{2+6}{2}=\frac{8}{2}=4\). Option 5 may result from incorrectly taking \(3!\) as 8. Exam tip: evaluate each factorial first, then perform the indicated operations.
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How many factors are written in (7!)?
C. (7)
\(7!=7\times6\times5\times4\times3\times2\times1\), इसमें (7) गुणक हैं। (n!) में (n) से (1) तक के गुणक आते हैं। / \(7!=7\times6\times5\times4\times3\times2\times1\), which has (7) factors. In (n!), factors run from (n) down to (1).
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B. (5040)
\(7!=7\times6\times5\times4\times3\times2\times1=5040\)। बड़े क्रमगुणित को पिछले क्रमगुणित से गुणा करके निकालें। / \(7!=7\times6\times5\times4\times3\times2\times1=5040\). Find a larger factorial by multiplying the previous factorial.
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How can (8!) be written using (6!)?
A. \(8\times7\times6!\)
क्रमगुणित की परिभाषा के अनुसार \(8!=8\times7\times6!\) होता है। अतः सही विकल्प \(8\times7\times6!\) है। \(8\times6!\) में गुणक \(7\) छूट जाता है, इसलिए वह \(8!\) के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: \(n!\) को \((n-r)!\) के रूप में लिखते समय बीच के सभी क्रमागत गुणकों को शामिल करें। / By the definition of factorial, \(8!=8\times7\times6!\). Therefore, \(8\times7\times6!\) is correct. In \(8\times6!\), the factor \(7\) is missing, so it is not equal to \(8!\). Exam tip: When expressing \(n!\) in terms of \((n-r)!\), include every consecutive factor in between.
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What is the value of \(\frac{9!}{7!}\)?
B. 72
चूँकि \(9!=9\times8\times7!\), इसलिए \(\frac{9!}{7!}=\frac{9\times8\times7!}{7!}=9\times8=72\)। विकल्प C, \(90\), तब मिलता यदि गलती से \(9\times10\) लिया जाता। परीक्षा में फैक्टोरियल को इतना ही फैलाएँ कि हर में दिया गया फैक्टोरियल कट जाए। / Since \(9!=9\times8\times7!\), \(\frac{9!}{7!}=\frac{9\times8\times7!}{7!}=9\times8=72\). Option C, \(90\), could result from incorrectly using \(9\times10\). In exams, expand a factorial only up to the factorial in the denominator so that it cancels directly.
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What will be the value of (6!+1!)?
B. 721
क्रमगुणित के अनुसार, \(6!=6\times5\times4\times3\times2\times1=720\) तथा \(1!=1\) होता है। इसलिए \(6!+1!=720+1=721\)। विकल्प 719, \(720-1\) करने पर मिलता है, जबकि प्रश्न में जोड़ दिया गया है। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक क्रमगुणित का मान निकालें, फिर दिए गए चिह्न के अनुसार संक्रिया करें। / Using factorial notation, \(6!=6\times5\times4\times3\times2\times1=720\) and \(1!=1\). Therefore, \(6!+1!=720+1=721\). Option 719 would result from subtracting 1 from 720, but the question requires addition. Exam tip: evaluate each factorial first, then apply the indicated operation.
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What is the value of \(\frac{8!}{6!,2!}\)?
B. 28
\(8! = 8\times7\times6!\) होने पर \(\frac{8!}{6!\,2!}=\frac{8\times7\times6!}{6!\times2}=\frac{56}{2}=28\)। इसलिए सही उत्तर 28 है। 56 निकटतम भ्रामक विकल्प है, लेकिन उसमें \(2!\) से भाग देना छूट जाता है। परीक्षा टिप: समान क्रमगुणित को पहले काटें, फिर शेष पदों का गुणन करें। / Since \(8! = 8\times7\times6!\), \(\frac{8!}{6!\,2!}=\frac{8\times7\times6!}{6!\times2}=\frac{56}{2}=28\). Therefore, 28 is correct. The close distractor 56 results from forgetting to divide by \(2!\). Exam tip: cancel the common factorial first, then multiply the remaining terms.
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If (n=4), what is the value of (n!)?
C. 24
यहाँ n=4 है, इसलिए n! = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24। अतः सही विकल्प 24 है। 16, 4 का वर्ग है, क्रमगुणित का मान नहीं। परीक्षा टिप: किसी धनात्मक पूर्णांक n के लिए n! निकालते समय n से 1 तक के सभी पूर्णांकों का गुणन करें। / Here n=4, so n! = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Therefore, 24 is the correct option. The value 16 is the square of 4, not its factorial. Exam tip: To evaluate n! for a positive integer, multiply all whole numbers from n down to 1.
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What is the value of (2!+4!-1!)?
C. 25
क्रमगुणित के अनुसार 2! = 2 तथा 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 होता है। साथ ही, 1! = 1 है। अतः 2! + 4! - 1! = 2 + 24 - 1 = 25, इसलिए विकल्प C सही है। 24 लेने पर 2! और 1! का प्रभाव छूट जाएगा। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक क्रमगुणित का मान निकालें, फिर जोड़-घटाव करें। / Using factorial values, 2! = 2 and 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Also, 1! = 1. Therefore, 2! + 4! - 1! = 2 + 24 - 1 = 25, so option C is correct. Choosing 24 would ignore the effect of 2! and 1!. Exam tip: evaluate each factorial first, then perform addition or subtraction.
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What is the value of \(\frac{10!}{9!}\)?
B. (10)
\(\frac{10!}{9!}=10\) क्योंकि \(10!=10\times9!\)। ऐसे सवाल में पूरा विस्तार लिखने की जरूरत नहीं होती। / \(\frac{10!}{9!}=10\) because \(10!=10\times9!\). In such questions, full expansion is not needed.
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What is the value of \(4!\times3!\)?
C. \(144\)
क्रमगुणित के अनुसार \(4!=4\times3\times2\times1=24\) और \(3!=3\times2\times1=6\) है। अतः \(4!\times3!=24\times6=144\), इसलिए सही विकल्प C है। \(120\) केवल \(5!\) का मान है, इसलिए वह इस गुणनफल के लिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: क्रमगुणित वाले व्यंजक में पहले प्रत्येक क्रमगुणित का मान निकालकर फिर गुणा करें। / Using factorial notation, \(4!=4\times3\times2\times1=24\) and \(3!=3\times2\times1=6\). Therefore, \(4!\times3!=24\times6=144\), so option C is correct. \(120\) is the value of \(5!\), not of this product. Exam tip: Evaluate each factorial first, then multiply the results.
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\(6\times5\times4\times3!\) is equal to which of the following?
A. (6!)
\(6!=6\times5\times4\times3!\), इसलिए दिया गया रूप (6!) है। विस्तार पहचानना क्रमगुणित प्रश्नों में जरूरी है। / \(6!=6\times5\times4\times3!\), so the given form is (6!). Recognizing expansions is important in factorial questions.
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What is the value of \(\frac{5!+4!}{4!}\)?
B. 6
क्योंकि \(5!=5\times4!\), इसलिए \(\frac{5!+4!}{4!}=\frac{5\times4!+4!}{4!}=\frac{6\times4!}{4!}=6\)। अतः सही उत्तर 6 है। विकल्प 5 तब मिलता यदि अंश में केवल \(5!\) होता और \(4!\) जोड़ा न गया होता। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भिन्नों में समान फैक्टरियल को बाहर निकालकर पहले सरल करें। / Since \(5!=5\times4!\), \(\frac{5!+4!}{4!}=\frac{5\times4!+4!}{4!}=\frac{6\times4!}{4!}=6\). Therefore, the correct answer is 6. Option 5 would result if the additional \(4!\) in the numerator were ignored. Exam tip: In factorial fractions, factor out the common factorial before simplifying.
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If (n!=720), what is the value of (n)?
B. 6
क्रमगुणित के अनुसार \(6!=6\times5\times4\times3\times2\times1=720\)। अतः \(n=6\) है। \(5!=120\) होता है, जबकि \(7!=5040\) होता है, इसलिए ये मान सही नहीं हैं। परीक्षा टिप: \(1!\) से \(7!\) तक के क्रमगुणित मान याद रखने से ऐसे प्रश्न जल्दी हल होते हैं। / By the definition of factorial, \(6!=6\times5\times4\times3\times2\times1=720\). Therefore, \(n=6\). Since \(5!=120\) and \(7!=5040\), those values cannot satisfy the condition. Exam tip: Memorising factorial values from \(1!\) to \(7!\) helps solve such questions quickly.
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What is the value of ((2+3)!)?
C. 120
पहले कोष्ठक हल करें: \(2+3=5\)। अतः \((2+3)! = 5! = 5\times4\times3\times2\times1 = 120\), इसलिए विकल्प C सही है। \(24\) का मान \(4!\) होता है, जबकि \(720\) का मान \(6!\) होता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल लगाने से पहले कोष्ठक के भीतर का मान अवश्य निकालें। / First evaluate the bracket: \(2+3=5\). Therefore, \((2+3)! = 5! = 5\times4\times3\times2\times1 = 120\), so option C is correct. \(24\) is the value of \(4!\), whereas \(720\) is the value of \(6!\). Exam tip: Always simplify the expression inside brackets before applying factorial.
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A. (4320)
(7!=5040) और (6!=720), इसलिए अंतर (4320) है। घटाते समय दोनों क्रमगुणित अलग लिखें। / (7!=5040) and (6!=720), so the difference is (4320). Write both factorials separately while subtracting.
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What is the value of \(\frac{6!}{5!}+2!\)?
C. 8
क्योंकि \(6!=6\times5!\), इसलिए \(\frac{6!}{5!}=6\)। साथ ही, \(2!=2\times1=2\)। अतः \(\frac{6!}{5!}+2!=6+2=8\), इसलिए सही विकल्प C है। विकल्प 7 तब मिल सकता है जब \(2!\) को गलती से 1 मान लिया जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भिन्न में समान फैक्टोरियल पदों को पहले काटकर सरल करें। / Since \(6!=6\times5!\), \(\frac{6!}{5!}=6\). Also, \(2!=2\times1=2\). Therefore, \(\frac{6!}{5!}+2!=6+2=8\), so option C is correct. Option 7 may result from incorrectly taking \(2!\) as 1. Exam tip: simplify factorial fractions first by cancelling the common factorial term.
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What is the value of \(3!\times3!\)?
D. 36
क्रमगुणित की परिभाषा के अनुसार \(3!=3\times2\times1=6\)। अतः \(3!\times3!=6\times6=36\), इसलिए सही विकल्प D है। \(24\) का मान \(4!\) है, न कि \(3!\times3!\)। परीक्षा टिप: किसी भी क्रमगुणित वाले व्यंजक में पहले \(n!\) का मान निकालकर फिर गुणा या अन्य संक्रिया करें। / By the definition of factorial, \(3!=3\times2\times1=6\). Therefore, \(3!\times3!=6\times6=36\), so option D is correct. The value \(24\) equals \(4!\), not \(3!\times3!\). Exam tip: evaluate each factorial first, then perform the required operation.
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What is the value of \(\frac{7!}{4!}\)?
A. 210
क्योंकि \(7!=7\times6\times5\times4!\), इसलिए \(\frac{7!}{4!}=7\times6\times5=210\)। \(120\) केवल \(5!\) का मान है, जबकि यहाँ 7, 6 और 5 का गुणन करना है। परीक्षा टिप: \(\frac{n!}{r!}\) में \(r!\) को काटने के बाद \((r+1)\) से \(n\) तक की संख्याओं का गुणन करें। / Since \(7!=7\times6\times5\times4!\), \(\frac{7!}{4!}=7\times6\times5=210\). The value \(120\) is only \(5!\); here, the factors 7, 6, and 5 must be multiplied. Exam tip: In \(\frac{n!}{r!}\), cancel \(r!\) and multiply the integers from \(r+1\) to \(n\).
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What is the value of (1!+2!+3!)?
B. 9
क्रमगुणित के अनुसार 1! = 1, 2! = 2 और 3! = 6 होता है। अतः 1! + 2! + 3! = 1 + 2 + 6 = 9। विकल्प 8 गलत है, क्योंकि उसमें 3! का सही मान 6 लेने पर भी योग एक कम हो जाता है। परीक्षा टिप: जोड़ करने से पहले प्रत्येक क्रमगुणित का मान अलग-अलग निकालें। / Using factorial values, 1! = 1, 2! = 2, and 3! = 6. Therefore, 1! + 2! + 3! = 1 + 2 + 6 = 9. Option 8 is incorrect because it is one less than the correct total after evaluating 3! correctly. Exam tip: evaluate each factorial separately before adding.
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What is the simplified form of \(\frac{(n+3)!}{(n+2)!}\)?
C. \(n+3\)
क्रमगुणित के विस्तार से \((n+3)!=(n+3)(n+2)!\) होता है। अतः \(\frac{(n+3)!}{(n+2)!}=n+3\), क्योंकि \((n+2)!\) अंश और हर में कट जाता है। \(n+2\) लेने की गलती तब होती है जब अतिरिक्त गुणनखंड \(n+3\) को छोड़ दिया जाता है। परीक्षा टिप: बड़े क्रमगुणित को छोटे क्रमगुणित तक फैलाकर समान पदों को काटें। / Using factorial expansion, \((n+3)!=(n+3)(n+2)!\). Therefore, \(\frac{(n+3)!}{(n+2)!}=n+3\), because \((n+2)!\) cancels from the numerator and denominator. \(n+2\) is a common error caused by omitting the extra factor \(n+3\). Exam tip: Expand the larger factorial only up to the smaller factorial, then cancel common factors.
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\(8\times7\times6\times5!\) is equal to which of the following?
B. \(8!\)
क्रमगुणित के अनुसार \(8!=8\times7\times6\times5!\) होता है। इसलिए दिया गया व्यंजक \(8!\) के बराबर है। \(7!\) में केवल \(7\times6\times5!\) होता है, इसलिए उसमें 8 का गुणनखंड नहीं होता। परीक्षा टिप: किसी क्रमगुणित को पहचानने के लिए लगातार घटते हुए गुणनखंडों को दिए गए अंतिम क्रमगुणित से मिलाइए। / By factorial expansion, \(8!=8\times7\times6\times5!\). Hence, the given expression equals \(8!\). In contrast, \(7!=7\times6\times5!\), so it does not include the factor 8. Exam tip: Match consecutive descending factors with the factorial at the end to identify the required factorial.
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What is the value of \(\frac{4!+2!}{2!}\)?
C. 13
यहाँ \(4!=4\times3\times2\times1=24\) और \(2!=2\times1=2\) है। अतः \(\frac{4!+2!}{2!}=\frac{24+2}{2}=\frac{26}{2}=13\)। इसलिए सही विकल्प 13 है। विकल्प 12 तब मिलता यदि अंश में \(2!\) को गलत तरीके से 0 या अलग संक्रिया मान लिया जाए। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक फैक्टोरियल का मान निकालें, फिर अंश में जोड़ करके भाग दें। / Here, \(4!=4\times3\times2\times1=24\) and \(2!=2\times1=2\). Therefore, \(\frac{4!+2!}{2!}=\frac{24+2}{2}=\frac{26}{2}=13\). Hence, 13 is the correct option. Option 12 can result from incorrectly evaluating \(2!\) or mishandling the addition in the numerator. Exam tip: evaluate each factorial first, add the terms in the numerator, and then divide.
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What is the value of \(5!\div3!\)?
C. 20
\(5!\div3!=\frac{5\times4\times3!}{3!}\) है। अंश और हर में \(3!\) कट जाता है, इसलिए मान \(5\times4=20\) प्राप्त होता है। विकल्प 15 लेने पर \(3!\) का सही निरसन नहीं होगा। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान गुणनखंडों को काटें। / \(5!\div3!=\frac{5\times4\times3!}{3!}\). The common factor \(3!\) cancels from the numerator and denominator, leaving \(5\times4=20\). Choosing 15 would result from an incorrect cancellation of the factorial terms. Exam tip: In factorial division, expand the larger factorial only up to the smaller factorial and cancel common factors.
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If (a=3!) and (b=2!), what is the value of (a+b)?
C. 8
यहाँ a=3!=3×2×1=6 तथा b=2!=2×1=2 है। अतः a+b=6+2=8, इसलिए सही विकल्प C है। 6 केवल a का मान है, योग का नहीं। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक फैक्टोरियल का मान अलग-अलग निकालें, फिर दी गई संक्रिया करें। / Here, a=3!=3×2×1=6 and b=2!=2×1=2. Therefore, a+b=6+2=8, so option C is correct. The value 6 is only the value of a, not their sum. Exam tip: Evaluate each factorial separately before performing the required operation.
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What is the simplified value of \(\frac{9!}{6!}\)?
A. 504
क्योंकि \(9!=9\times8\times7\times6!\), इसलिए \(\frac{9!}{6!}=9\times8\times7=504\)। \(3024\) प्राप्त होता है यदि \(9\times8\times7\times6\) किया जाए, लेकिन यहाँ \(6!\) पूरा कट जाता है, केवल \(9,8,7\) बचते हैं। परीक्षा टिप: \(\frac{n!}{r!}\) में, जब \(n>r\), तो \(r!\) तक विस्तार करके उसे काट दें। / Since \(9!=9\times8\times7\times6!\), \(\frac{9!}{6!}=9\times8\times7=504\). The value \(3024\) would result from multiplying by an extra \(6\), but the entire \(6!\) cancels here, leaving only \(9,8,7\). Exam tip: In \(\frac{n!}{r!}\), where \(n>r\), expand only up to \(r!\) and cancel it.
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B. 25
परिभाषा के अनुसार \(0!=1\) और \(4!=4\times3\times2\times1=24\) होता है। अतः \(0!+4!=1+24=25\)। विकल्प 24 केवल \(4!\) का मान है; उसमें \(0!\) नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: \(0!=1\) को विशेष मान के रूप में हमेशा याद रखें। / By definition, \(0!=1\), and \(4!=4\times3\times2\times1=24\). Therefore, \(0!+4!=1+24=25\). Option 24 is only the value of \(4!\); it omits \(0!\). Exam tip: always remember the special value \(0!=1\).
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How can (10!) be written using (8!)?
B. \(10\times9\times8!\)
क्रमगुणित के नियम के अनुसार \(10!=10\times9\times8!\), क्योंकि \(10!=10\times9\times8\times7\times\cdots\times1\) और \(8!=8\times7\times\cdots\times1\)। इसलिए सही विकल्प \(10\times9\times8!\) है। \(10\times8!\) में गुणनखंड \(9\) छूट जाता है। परीक्षा टिप: बड़े क्रमगुणित को छोटे क्रमगुणित तक क्रमशः घटते हुए संख्याओं से गुणा करके लिखें। / Using the factorial rule, \(10!=10\times9\times8!\), because \(10!=10\times9\times8\times7\times\cdots\times1\) and \(8!=8\times7\times\cdots\times1\). Therefore, \(10\times9\times8!\) is correct. In \(10\times8!\), the factor \(9\) is missing. Exam tip: To express a larger factorial using a smaller one, multiply by the consecutive descending integers up to that smaller factorial.
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What is the simplified form of \(\frac{(n+1)!}{(n-1)!}\)?
B. \(n(n+1)\)
\((n+1)!=(n+1)\cdot n\cdot (n-1)!\)। अतः \(\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=\frac{(n+1)n(n-1)!}{(n-1)!}=n(n+1)\)। विकल्प D में \(n\) के स्थान पर \(n-1\) लिया गया है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: क्रमगुणित के भिन्न में बड़े क्रमगुणित को छोटे क्रमगुणित तक फैलाकर लिखें। / Since \((n+1)!=(n+1)\cdot n\cdot (n-1)!\), \(\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=\frac{(n+1)n(n-1)!}{(n-1)!}=n(n+1)\). Option D incorrectly uses \(n-1\) in place of \(n\). Exam tip: In factorial fractions, expand the larger factorial up to the smaller factorial before cancelling.
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What is the value of \(2!\times5!\)?
C. 240
क्रमगुणित के अनुसार \(2!=2\times1=2\) तथा \(5!=5\times4\times3\times2\times1=120\)। अतः \(2!\times5!=2\times120=240\), इसलिए सही विकल्प C है। विकल्प A केवल \(5!\) का मान है; उसमें \(2!\) से गुणा नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: क्रमगुणित वाले प्रश्नों में पहले प्रत्येक क्रमगुणित का मान निकालकर फिर गुणा करें। / By factorial notation, \(2!=2\times1=2\) and \(5!=5\times4\times3\times2\times1=120\). Therefore, \(2!\times5!=2\times120=240\), so option C is correct. Option A is only the value of \(5!\); it does not include multiplication by \(2!\). Exam tip: Evaluate each factorial first, then perform the required operation.
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What is the value of \(\frac{6!}{4!}+0!\)?
C. 31
\(6!=6\times5\times4!\), इसलिए \(\frac{6!}{4!}=6\times5=30\)। साथ ही, परिभाषा के अनुसार \(0!=1\)। अतः \(\frac{6!}{4!}+0!=30+1=31\)। विकल्प 30 तब मिलता है जब \(0!\) को जोड़ना भूल जाएँ। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में समान फैक्टोरियल पदों को पहले काटकर सरल करें। / Since \(6!=6\times5\times4!\), \(\frac{6!}{4!}=6\times5=30\). Also, by definition, \(0!=1\). Therefore, \(\frac{6!}{4!}+0!=30+1=31\). Option 30 results if \(0!\) is not added. Exam tip: In factorial fractions, cancel common factorial terms first to simplify quickly.
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What is the ratio of (4!) to (3!)?
A. \(4:1\)
\(4!=4\times3!\)। अतः \(4!:3!=4\times3!:3!=4:1\), इसलिए सही उत्तर \(4:1\) है। \(3:1\) तब मिलता यदि \(3!\) की तुलना \(2!\) से की जाती। परीक्षा टिप: \(n!=n\times(n-1)!\) का उपयोग करके ऐसे अनुपात तुरंत सरल करें। / Since \(4!=4\times3!\), \(4!:3!=4\times3!:3!=4:1\). Hence, the correct ratio is \(4:1\). The ratio \(3:1\) would arise from comparing \(3!\) with \(2!\). Exam tip: use \(n!=n\times(n-1)!\) to simplify factorial ratios quickly.
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B. 114
क्रमगुणित के अनुसार, \(5!=5\times4\times3\times2\times1=120\) और \(3!=3\times2\times1=6\)। अतः \(5!-3!=120-6=114\)। विकल्प 120 केवल \(5!\) का मान है; इसमें \(3!\) घटाया नहीं गया है। परीक्षा टिप: क्रमगुणित वाले व्यंजक में पहले प्रत्येक क्रमगुणित का मान निकालें, फिर दी गई संक्रिया करें। / Using factorials, \(5!=5\times4\times3\times2\times1=120\) and \(3!=3\times2\times1=6\). Therefore, \(5!-3!=120-6=114\). The value 120 is only \(5!\); it does not include subtracting \(3!\). Exam tip: Evaluate each factorial first, then perform the indicated operation.
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What is the value of \(\frac{3!+0!}{1!}\)?
B. 7
\(3!=3\times2\times1=6\), \(0!=1\) और \(1!=1\)। अतः \(\frac{3!+0!}{1!}=\frac{6+1}{1}=7\)। विकल्प 6 तब मिलता यदि \(0!\) को गलती से 0 मान लिया जाए। परीक्षा टिप: \(0!=1\) और \(1!=1\) हमेशा याद रखें। / \(3!=3\times2\times1=6\), \(0!=1\), and \(1!=1\). Therefore, \(\frac{3!+0!}{1!}=\frac{6+1}{1}=7\). Option 6 would result from incorrectly taking \(0!\) as 0. Exam tip: always remember that \(0!=1\) and \(1!=1\).
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B. \(4!\)
क्रमगुणित में \(n!=n\times(n-1)\times\cdots\times1\)। अतः \(4!=4\times3\times2\times1=24\), इसलिए सही विकल्प \(4!\) है। \(3!=6\) होता है, जबकि \(5!=120\) होता है; इसलिए ये 24 के बराबर नहीं हैं। परीक्षा टिप: \(3!=6\), \(4!=24\) और \(5!=120\) जैसे छोटे क्रमगुणित मान याद रखें। / For factorials, \(n!=n\times(n-1)\times\cdots\times1\). Thus, \(4!=4\times3\times2\times1=24\), so \(4!\) is correct. In comparison, \(3!=6\) and \(5!=120\), so neither equals 24. Exam tip: memorise common small factorial values such as \(3!=6\), \(4!=24\), and \(5!=120\).
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How can (9!) be written using (10!)?
B. \(\frac{10!}{10}\)
क्रमगुणित के नियम के अनुसार \(10!=10\times 9!\)। दोनों पक्षों को 10 से भाग देने पर \(9!=\frac{10!}{10}\) प्राप्त होता है। \(\frac{10!}{9}\) गलत है, क्योंकि 9! प्राप्त करने के लिए 10! को उसके अगले गुणक 10 से विभाजित करना होता है। परीक्षा टिप: \(n!=n\times (n-1)!\) संबंध का उपयोग करके क्रमगुणित वाले प्रश्न जल्दी हल करें। / Using the factorial relation, \(10!=10\times 9!\). Dividing both sides by 10 gives \(9!=\frac{10!}{10}\). \(\frac{10!}{9}\) is incorrect because to obtain 9! from 10!, we divide by the extra factor 10. Exam tip: Use \(n!=n\times (n-1)!\) to simplify factorial expressions quickly.
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What is the value of \(\frac{8!}{4!,4!}\)?
B. (70)
\(\frac{8!}{4!,4!}=\frac{8\times7\times6\times5}{4\times3\times2\times1}=70\)। क्रमगुणित काटकर संख्या छोटी करें। / \(\frac{8!}{4!,4!}=\frac{8\times7\times6\times5}{4\times3\times2\times1}=70\). Cancel factorials to make the numbers smaller.
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How many factors from (6) to (1) are present in (6!)?
B. 6
परिभाषा के अनुसार \(6!=6\times5\times4\times3\times2\times1\)। इस गुणनफल में 6, 5, 4, 3, 2 और 1, अर्थात कुल 6 गुणक हैं। 5 केवल अंतिम गुणक 1 को छोड़ देने पर मिलता है। परीक्षा टिप: \(n!\) में 1 से \(n\) तक कुल \(n\) गुणक होते हैं। / By definition, \(6!=6\times5\times4\times3\times2\times1\). The product contains 6, 5, 4, 3, 2, and 1, so there are 6 factors in total. Choosing 5 would incorrectly omit the final factor, 1. Exam tip: \(n!\) contains \(n\) factors, from 1 to \(n\).
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What is the value of \(\frac{7!}{5!}+1!\)?
B. 43
\(7! = 7\times6\times5!\) होने से \(\frac{7!}{5!}=7\times6=42\) होता है। साथ ही, \(1!=1\), अतः \(42+1=43\)। विकल्प 42 में \(1!\) जोड़ना छूट गया है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में समान फैक्टोरियल पदों को काटकर शेष गुणनफल लिखें। / Since \(7! = 7\times6\times5!\), \(\frac{7!}{5!}=7\times6=42\). Also, \(1!=1\), so \(42+1=43\). Option 42 results from missing the addition of \(1!\). Exam tip: In a factorial quotient, cancel the common factorial term and multiply the remaining factors.
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What is the value of \(3!\times4!-4!\)?
C. 120
यहाँ \(3!=6\) और \(4!=24\) है। अतः \(3!\times4!-4!=6\times24-24=144-24=120\)। इसलिए सही विकल्प C है। \(144\) तब मिलता है जब अंतिम \(4!\) को घटाना भूल जाएँ। परीक्षा टिप: गुणा और घटाव वाले व्यंजक में पहले फैक्टोरियल का मान निकालकर गुणा करें, फिर घटाव करें। / Here, \(3!=6\) and \(4!=24\). Therefore, \(3!\times4!-4!=6\times24-24=144-24=120\). Hence, option C is correct. \(144\) results if the final \(4!\) is not subtracted. Exam tip: In expressions involving multiplication and subtraction, evaluate factorials first, then multiply, and finally subtract.
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If (x=5!) and (y=4!), what is the value of (x-y)?
A. 96
यहाँ \(5!=5\times4\times3\times2\times1=120\) और \(4!=4\times3\times2\times1=24\) हैं। अतः \(x-y=120-24=96\)। विकल्प 120 केवल \(5!\) का मान है; इसमें \(4!\) घटाया नहीं गया है। परीक्षा टिप: क्रमगुणित वाले प्रश्न में पहले प्रत्येक क्रमगुणित का मान निकालें, फिर दी गई संक्रिया करें। / Here, \(5!=5\times4\times3\times2\times1=120\) and \(4!=4\times3\times2\times1=24\). Therefore, \(x-y=120-24=96\). Option 120 is only the value of \(5!\); it does not subtract \(4!\). Exam tip: In factorial questions, evaluate each factorial first and then perform the required operation.
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What is the value of ((4-2)!)?
B. 2
पहले कोष्ठक हल करें: \(4-2=2\)। इसलिए दिया गया व्यंजक \(2!\) बनता है। \(2!=2\times1=2\), अतः सही उत्तर 2 है। \(4!=24\) होता है; 4 को सीधे फैक्टोरियल मानना गलत होगा। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल से पहले कोष्ठक के भीतर की गणना पूरी करें। / Evaluate the bracket first: \(4-2=2\). Thus, the expression becomes \(2!\). Since \(2!=2\times1=2\), the correct answer is 2. Directly taking the factorial of 4 would give \(4!=24\), which is not the given expression. Exam tip: always simplify the expression inside brackets before evaluating a factorial.
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How can (5!) be written using (3!)?
A. \(5\times4\times3!\)
क्रमगुणित की परिभाषा के अनुसार \(5!=5\times4\times3\times2\times1\) और \(3!=3\times2\times1\) होता है। इसलिए \(5!=5\times4\times3!\)। विकल्प \(5\times3!\) में गुणनखंड \(4\) छूट जाता है। परीक्षा में बड़े क्रमगुणित को दिए गए छोटे क्रमगुणित तक फैलाकर लिखें। / By the definition of factorial, \(5!=5\times4\times3\times2\times1\), while \(3!=3\times2\times1\). Hence, \(5!=5\times4\times3!\). In \(5\times3!\), the factor \(4\) is missing. In exams, expand the larger factorial only up to the given smaller factorial.
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What is the value of \(\frac{11!}{10!}\)?
B. 11
क्योंकि \(11!=11\times10!\), इसलिए \(\frac{11!}{10!}=\frac{11\times10!}{10!}=11\)। विकल्प 110, \(11\times10\) करने पर मिलता है, लेकिन यहाँ \(10!\) से पूरा भाग दिया गया है। परीक्षा टिप: \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\) सीधे लिख सकते हैं। / Since \(11!=11\times10!\), \(\frac{11!}{10!}=\frac{11\times10!}{10!}=11\). The value 110 would result from multiplying 11 by 10, but here the entire \(10!\) is cancelled. Exam tip: use \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\) directly.
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What is the value of (6!+0!-1!)?
C. 720
यहाँ 6! = 6×5×4×3×2×1 = 720 है। साथ ही, 0! = 1 और 1! = 1 होते हैं। अतः 6!+0!-1! = 720+1-1 = 720, इसलिए विकल्प C सही है। 721 तब मिलता यदि 1! को घटाया न जाता। परीक्षा टिप: 0! का मान हमेशा 1 याद रखें। / Here, 6! = 6×5×4×3×2×1 = 720. Also, 0! = 1 and 1! = 1. Therefore, 6!+0!-1! = 720+1-1 = 720, so option C is correct. The value would be 721 if 1! were not subtracted. Exam tip: always remember that 0! = 1.
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What is the simplified form of \(\frac{(n+4)!}{(n+3)!}\)?
C. \(n+4\)
क्रमगुणित के विस्तार से \((n+4)!=(n+4)(n+3)!\)। अतः \(\frac{(n+4)!}{(n+3)!}=\frac{(n+4)(n+3)!}{(n+3)!}=n+4\)। \(n+3\) निकट का पद है, लेकिन वह हर में मौजूद क्रमगुणित का अंतिम गुणनखंड है; कटने के बाद बचा अतिरिक्त गुणनखंड \(n+4\) होता है। परीक्षा टिप: \(\frac{(k+1)!}{k!}=k+1\) नियम तुरंत लागू करें। / Using factorial expansion, \((n+4)!=(n+4)(n+3)!\). Therefore, \(\frac{(n+4)!}{(n+3)!}=\frac{(n+4)(n+3)!}{(n+3)!}=n+4\). Although \(n+3\) is a nearby term, it belongs to the factorial in the denominator and cancels out; the extra factor left is \(n+4\). Exam tip: apply \(\frac{(k+1)!}{k!}=k+1\) directly.
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What is the sum of \(4!\div2!\) and (3!)?
B. (18)
\(4!\div2!=12\) और (3!=6), इसलिए योग (18) है। भाग और क्रमगुणित दोनों को अलग-अलग सरल करें। / \(4!\div2!=12\) and (3!=6), so the sum is (18). Simplify the division and factorial separately.
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\(9\times8!\) is equal to which of the following?
C. \(9!\)
क्रमगुणित की परिभाषा के अनुसार \(n!=n\times(n-1)!\)। अतः \(9!=9\times8!\), इसलिए सही विकल्प \(9!\) है। \(10!\) के लिए \(10\times9!\) चाहिए, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(n!\) को तुरंत \(n\times(n-1)!\) के रूप में लिखकर ऐसे प्रश्न हल करें। / By the factorial identity, \(n!=n\times(n-1)!\). Hence, \(9!=9\times8!\), so \(9!\) is the correct option. \(10!\) would require \(10\times9!\), so it is not correct. Exam tip: Rewrite \(n!\) as \(n\times(n-1)!\) to solve such questions quickly.
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What is the value of \(\frac{5!}{2!,3!}\)?
C. 10
क्योंकि \(5!=120\), \(2!=2\) और \(3!=6\), इसलिए \(\frac{5!}{2!\,3!}=\frac{120}{2\times6}=10\)। अतः सही उत्तर 10 है। विकल्प 12 तब मिलता है जब हर के क्रमगुणितों का गुणन सही प्रकार से नहीं किया जाता। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक छोटे क्रमगुणित का मान लिखकर फिर भाग करें। / Since \(5!=120\), \(2!=2\), and \(3!=6\), \(\frac{5!}{2!\,3!}=\frac{120}{2\times6}=10\). Therefore, the correct answer is 10. The value 12 may result from not multiplying the factorials in the denominator correctly. Exam tip: evaluate the smaller factorials first, then divide.
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C. 122
क्रमगुणित के अनुसार, \(2!=2\times1=2\) और \(5!=5\times4\times3\times2\times1=120\)। अतः \(2!+5!=2+120=122\), इसलिए सही विकल्प C है। \(120\) निकटतम भ्रामक विकल्प है, क्योंकि उसमें \(2!\) को जोड़ना छूट जाता है। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक क्रमगुणित का मान अलग-अलग निकालें, फिर दिए गए संक्रिया-चिह्न के अनुसार गणना करें। / By factorial notation, \(2!=2\times1=2\) and \(5!=5\times4\times3\times2\times1=120\). Therefore, \(2!+5!=2+120=122\), so option C is correct. \(120\) is a close distractor because it results from forgetting to add \(2!\). Exam tip: evaluate each factorial separately before carrying out the indicated operation.
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How can (7!) be written using (5!)?
D. \(7\times6\times5!\)
क्रमगुणित की परिभाषा के अनुसार \(7!=7\times6\times5\times4\times3\times2\times1\)। चूँकि \(5!=5\times4\times3\times2\times1\), इसलिए \(7!=7\times6\times5!\)। विकल्प \(7\times5!\) में \(6\) का गुणन छूट जाता है। परीक्षा टिप: \(n!\) को \((n-r)!\) के रूप में लिखने के लिए बीच के सभी क्रमागत गुणकों को शामिल करें। / By definition, \(7!=7\times6\times5\times4\times3\times2\times1\). Since \(5!=5\times4\times3\times2\times1\), we get \(7!=7\times6\times5!\). In \(7\times5!\), the factor \(6\) is missing. Exam tip: When expressing \(n!\) in terms of \((n-r)!\), include every consecutive factor in between.
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\(12\times11\times10!\) is equal to which of the following?
C. (12!)
\(12!=12\times11\times10!\), इसलिए दिया गया रूप (12!) है। क्रमगुणित विस्तार को छोटे क्रमगुणित तक पहचानें। / \(12!=12\times11\times10!\), so the given form is (12!). Recognize factorial expansion down to a smaller factorial.
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B. (40320)
\(8!=8\times7!\) और (7!=5040), इसलिए मान (40320) है। बड़े क्रमगुणित को पिछले क्रमगुणित से निकालें। / \(8!=8\times7!\) and (7!=5040), so the value is (40320). Find a larger factorial using the previous factorial.
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What is the simplified value of \(\frac{12!}{11!}\)?
B. 12
क्योंकि \(12!=12\times11!\), अतः \(\frac{12!}{11!}=\frac{12\times11!}{11!}=12\)। विकल्प 132, \(12\times11\) है, लेकिन यहाँ \(11!\) से भाग होने पर पूरा \(11!\) कट जाता है। परीक्षा टिप: \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\) का नियम याद रखें। / Since \(12!=12\times11!\), \(\frac{12!}{11!}=\frac{12\times11!}{11!}=12\). Option 132 is \(12\times11\), but the entire factor \(11!\) cancels in the division. Exam tip: remember that \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\).
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How will (6!) be written using (4!)?
C. \(6\times5\times4!\)
क्रमगुणित की परिभाषा से \(6!=6\times5\times4\times3\times2\times1\) तथा \(4!=4\times3\times2\times1\) है। इसलिए \(6!=6\times5\times4!\)। विकल्प \(6\times4!\) में गुणनखंड \(5\) छूट जाता है। परीक्षा टिप: \(n!\) को \((n-r)!\) की सहायता से लिखते समय बीच के सभी गुणनखंड लिखें। / By the definition of factorial, \(6!=6\times5\times4\times3\times2\times1\) and \(4!=4\times3\times2\times1\). Therefore, \(6!=6\times5\times4!\). In \(6\times4!\), the factor \(5\) is missing. Exam tip: When expressing \(n!\) in terms of \((n-r)!\), include every intervening factor.
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A. 722
क्रमगुणित में 2! = 2 और 6! = 6×5×4×3×2×1 = 720 होता है। अतः 2! + 6! = 2 + 720 = 722। विकल्प 720 केवल 6! का मान है; इसमें 2! नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक क्रमगुणित का मान अलग-अलग निकालें, फिर दी गई संक्रिया करें। / For factorials, 2! = 2 and 6! = 6×5×4×3×2×1 = 720. Therefore, 2! + 6! = 2 + 720 = 722. The option 720 is only the value of 6!; it does not include 2!. Exam tip: evaluate each factorial separately before performing the given operation.
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What is the value of \(\frac{10!}{7!}\)?
B. (720)
\(\frac{10!}{7!}=10\times9\times8=720\)। छोटे क्रमगुणित को काटकर केवल बचे गुणकों को गुणा करें। / \(\frac{10!}{7!}=10\times9\times8=720\). Cancel the smaller factorial and multiply only the remaining factors.
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If (n=5), what is the value of ((n-2)!)?
C. \(6\)
दिया है \(n=5\)। अतः \((n-2)!=(5-2)!=3!=3\times2\times1=6\)। इसलिए सही विकल्प \(6\) है। \(24\) मान \(4!\) का होता है, \(3!\) का नहीं। परीक्षा में पहले कोष्ठक के भीतर का मान निकालें, फिर फैक्टोरियल लगाएँ। / Given \(n=5\), \((n-2)!=(5-2)!=3!=3\times2\times1=6\). Therefore, \(6\) is the correct option. The value \(24\) is \(4!\), not \(3!\). In exams, simplify the expression inside the brackets before applying the factorial.
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What is the value of \(\frac{9!}{6!,3!}\)?
B. (84)
\(\frac{9!}{6!,3!}=\frac{9\times8\times7}{6}=84\)। बड़े क्रमगुणित को छोटे तक तोड़ना आसान है। / \(\frac{9!}{6!,3!}=\frac{9\times8\times7}{6}=84\). Breaking the larger factorial down to the smaller one is easy.
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What is the value of \(5!\times0!\)?
C. 120
परिभाषा के अनुसार \(5!=5\times4\times3\times2\times1=120\) तथा \(0!=1\)। अतः \(5!\times0!=120\times1=120\), इसलिए सही उत्तर विकल्प C है। विकल्प A तब मिलता यदि \(0!\) को गलती से 0 माना जाए। परीक्षा टिप: रिक्त गुणनफल की परिभाषा के कारण हमेशा \(0!=1\) याद रखें। / By definition, \(5!=5\times4\times3\times2\times1=120\) and \(0!=1\). Therefore, \(5!\times0!=120\times1=120\), so option C is correct. Option A would result from the incorrect assumption that \(0!=0\). Exam tip: always remember that \(0!=1\) because it is the value of an empty product.
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\(11\times10\times9!\) is equal to which of the following?
C. (11!)
\(11!=11\times10\times9!\), इसलिए दिया गया रूप (11!) है। क्रमगुणित विस्तार पहचानना मुख्य बात है। / \(11!=11\times10\times9!\), so the given form is (11!). Recognizing factorial expansion is the key point.
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B. 5041
यहाँ \(7!=7\times6\times5\times4\times3\times2\times1=5040\) तथा परिभाषा के अनुसार \(0!=1\) होता है। अतः \(7!+0!=5040+1=5041\)। विकल्प A केवल \(7!\) का मान है; उसमें \(0!\) का 1 शामिल नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: \(0!=1\) को हमेशा याद रखें। / Here, \(7!=7\times6\times5\times4\times3\times2\times1=5040\), and by definition \(0!=1\). Therefore, \(7!+0!=5040+1=5041\). Option A is only the value of \(7!\); it does not include the 1 from \(0!\). Exam tip: Always remember that \(0!=1\).
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What is the value of \(\frac{8!}{3!,5!}\)?
B. 56
क्योंकि \(8!=8\times7\times6\times5!\), इसलिए \(\frac{8!}{3!\,5!}=\frac{8\times7\times6}{3!}=\frac{8\times7\times6}{6}=56\)। अतः सही उत्तर 56 है। 60 एक निकट विकल्प हो सकता है, लेकिन उसमें \(3!=6\) से सही भाग नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर पहले समान पदों को काटें। / Since \(8!=8\times7\times6\times5!\), \(\frac{8!}{3!\,5!}=\frac{8\times7\times6}{3!}=\frac{8\times7\times6}{6}=56\). Hence, the correct answer is 56. Option 60 is a close distractor, but it does not divide correctly by \(3!=6\). Exam tip: Expand the larger factorial only up to the smaller factorial, then cancel common factors first.
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If (x=4!) and (y=3!), what is the value of (xy)?
C. 144
यहाँ 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 तथा 3! = 3 × 2 × 1 = 6 है। अतः xy = 24 × 6 = 144, इसलिए सही विकल्प C है। 132 केवल 24 और 6 के गुणन का सही परिणाम नहीं है। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक फैक्टोरियल का मान निकालें, फिर दिए गए व्यंजक में मान रखकर गणना करें। / Here, 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 and 3! = 3 × 2 × 1 = 6. Therefore, xy = 24 × 6 = 144, so option C is correct. 132 is not the correct product of 24 and 6. Exam tip: Evaluate each factorial first, then substitute the values into the given expression.
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What is the value of (4!+5!-3!)?
B. 138
क्रमगुणित के अनुसार, \(4!=24\), \(5!=120\) और \(3!=6\) हैं। अतः \(4!+5!-3!=24+120-6=138\)। इसलिए सही विकल्प 138 है। 144 प्राप्त करने के लिए घटाव में गलती हो सकती है। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक क्रमगुणित का मान अलग से निकालकर फिर जोड़-घटाव करें। / Using factorial values, \(4!=24\), \(5!=120\), and \(3!=6\). Therefore, \(4!+5!-3!=24+120-6=138\), so 138 is the correct option. A value such as 144 can result from an error in subtraction. Exam tip: evaluate each factorial separately before performing addition or subtraction.
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What is the simplified form of \(\frac{(n+5)!}{(n+4)!}\)?
C. \(n+5\)
क्रमगुणित के विस्तार से \((n+5)!=(n+5)(n+4)!\) होता है। अतः \(\frac{(n+5)!}{(n+4)!}=n+5\), क्योंकि \((n+4)!\) कट जाता है। \(n+4\) लेने पर ऊपर का अतिरिक्त गुणनखंड \(n+5\) छूट जाता है। परीक्षा टिप: ऐसे भिन्नों में बड़े क्रमगुणित को छोटे क्रमगुणित तक फैलाकर समान भाग काटें। / Using factorial expansion, \((n+5)!=(n+5)(n+4)!\). Therefore, \(\frac{(n+5)!}{(n+4)!}=n+5\), since \((n+4)!\) cancels out. Choosing \(n+4\) misses the extra factor \(n+5\) in the numerator. Exam tip: Expand the larger factorial up to the smaller factorial, then cancel the common factor.
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What is the value of \(3!\times5!\)?
A. 720
क्रमगुणित के अनुसार \(3!=3\times2\times1=6\) तथा \(5!=5\times4\times3\times2\times1=120\)। अतः \(3!\times5!=6\times120=720\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B, 600, \(5!\) को 100 मान लेने जैसी गलत गणना से आ सकता है; वास्तव में \(5!=120\) होता है। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक क्रमगुणित का मान अलग-अलग निकालकर फिर गुणा करें। / Using factorial notation, \(3!=3\times2\times1=6\) and \(5!=5\times4\times3\times2\times1=120\). Therefore, \(3!\times5!=6\times120=720\), so option A is correct. Option B, 600, may result from incorrectly taking \(5!\) as 100; actually, \(5!=120\). Exam tip: evaluate each factorial separately before multiplying.
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Which form is equal to \(7\times6\times5\)?
A. \(\frac{7!}{4!}\)
\(7!=7\times6\times5\times4!\), इसलिए \(\frac{7!}{4!}=7\times6\times5\)। शेष गुणकों के अनुसार हर चुनें। / \(7!=7\times6\times5\times4!\), so \(\frac{7!}{4!}=7\times6\times5\). Choose the denominator according to the remaining factors.
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What is the value of \(\frac{6!+5!}{5!}\)?
C. 7
क्योंकि \(6!=6\times5!\), इसलिए \(\frac{6!+5!}{5!}=\frac{6\times5!+5!}{5!}=\frac{7\times5!}{5!}=7\)। विकल्प 6 तब मिलता यदि अंश में केवल \(6!\) होता; यहाँ \(5!\) भी जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: अलग-अलग फैक्टोरियल का मान निकालने के बजाय छोटे फैक्टोरियल को उभयनिष्ठ गुणनखंड लेकर सरल करें। / Since \(6!=6\times5!\), \(\frac{6!+5!}{5!}=\frac{6\times5!+5!}{5!}=\frac{7\times5!}{5!}=7\). Option 6 would result if the numerator contained only \(6!\); here, \(5!\) is also added. Exam tip: Rather than evaluating factorials separately, factor out the smaller factorial to simplify quickly.
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If \(a=6!\) and \(b=5!\), what is the value of \(\frac{a}{b}\)?
B. 6
क्योंकि \(6!=6\times5!\), इसलिए \(\frac{a}{b}=\frac{6!}{5!}=\frac{6\times5!}{5!}=6\)। अतः सही विकल्प B है। \(30\) इसलिए गलत है क्योंकि वह \(5!\) का मान है, \(\frac{6!}{5!}\) का नहीं। परीक्षा टिप: \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\) का नियम सीधे लागू करें। / Since \(6!=6\times5!\), \(\frac{a}{b}=\frac{6!}{5!}=\frac{6\times5!}{5!}=6\). Therefore, option B is correct. \(30\) is incorrect because it is the value of \(5!\), not of \(\frac{6!}{5!}\). Exam tip: use the direct rule \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\).
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B. 35280
क्योंकि \(8!=8\times7!\), इसलिए \(8!-7!=8\times7!-7!=7!(8-1)=7\times7!\)। अब \(7!=5040\), अतः मान \(7\times5040=35280\) है। \(40320\) केवल \(8!\) का मान है, उसमें से \(7!\) घटाया नहीं गया है। परीक्षा टिप: लगातार फैक्टोरियल वाले व्यंजकों में छोटे फैक्टोरियल को उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में लें। / Since \(8!=8\times7!\), \(8!-7!=8\times7!-7!=7!(8-1)=7\times7!\). As \(7!=5040\), the value is \(7\times5040=35280\). \(40320\) is only the value of \(8!\); it does not account for subtracting \(7!\). Exam tip: For consecutive factorials, factor out the smaller factorial first.
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What is the value of ((5-1)!+2!)?
B. 26
पहले कोष्ठक हल करें: \((5-1)! = 4! = 4\times3\times2\times1 = 24\)। साथ ही, \(2! = 2\times1 = 2\)। अतः \((5-1)!+2! = 24+2=26\)। विकल्प 24 केवल \(4!\) का मान है; इसमें \(2!\) नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल लगाने से पहले कोष्ठक के भीतर का मान निकालें। / First evaluate the bracket: \((5-1)! = 4! = 4\times3\times2\times1 = 24\). Also, \(2! = 2\times1 = 2\). Therefore, \((5-1)!+2! = 24+2=26\). Option 24 is only the value of \(4!\); it misses the addition of \(2!\). Exam tip: simplify the expression inside brackets before applying factorial.
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How many factors are present in (9!)?
C. 9
परिभाषा के अनुसार, \(9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\)। इस गुणन में 9 संख्याएँ गुणकों के रूप में हैं, इसलिए सही उत्तर 9 है। \(8\) केवल \(8!\) में गुणकों की संख्या होती है। परीक्षा टिप: \(n!\) के विस्तृत रूप में \(n\) से 1 तक कुल \(n\) गुणक होते हैं। / By definition, \(9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\). There are 9 numbers being multiplied, so it has 9 factors in its factorial expansion. \(8\) would be the number of factors in \(8!\), not \(9!\). Exam tip: In the expanded form of \(n!\), there are \(n\) factors from \(n\) to 1.
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What is the value of \(5!\div4!+3!\)?
B. 11
क्रमगुणित के अनुसार \(5!=5\times4!\), इसलिए \(5!\div4!=5\) होता है। साथ ही, \(3!=3\times2\times1=6\)। अतः \(5!\div4!+3!=5+6=11\), इसलिए सही विकल्प B है। \(12\) तब मिल सकता है जब \(5!\div4!\) को गलत ढंग से 6 माना जाए। परीक्षा टिप: पहले क्रमगुणित सरल करें, फिर भाग और जोड़ की गणना करें। / Using factorials, \(5!=5\times4!\), so \(5!\div4!=5\). Also, \(3!=3\times2\times1=6\). Therefore, \(5!\div4!+3!=5+6=11\), so option B is correct. \(12\) may result from incorrectly evaluating \(5!\div4!\) as 6. Exam tip: simplify factorial expressions first, then perform division and addition.
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How can (13!) be written using (11!)?
C. \(13\times12\times11!\)
क्रमगुणित के अनुसार \(13!=13\times12\times11\times10\times\cdots\times1\)। यहाँ \(11!=11\times10\times\cdots\times1\) है, इसलिए \(13!=13\times12\times11!\)। विकल्प \(13\times11!\) में \(12\) का गुणनखंड छूट जाता है। परीक्षा टिप: बड़े क्रमगुणित को दिए गए छोटे क्रमगुणित तक क्रमशः विस्तार करें। / By the definition of factorial, \(13!=13\times12\times11\times10\times\cdots\times1\). Since \(11!=11\times10\times\cdots\times1\), we get \(13!=13\times12\times11!\). In \(13\times11!\), the factor \(12\) is missing. Exam tip: Expand the larger factorial only up to the given smaller factorial.
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What is the value of \(\frac{7!}{7\times6!}\)?
B. (1)
\(7!=7\times6!\), इसलिए अंश और हर समान हैं। समान अशून्य राशियों का भाग (1) होता है। / \(7!=7\times6!\), so numerator and denominator are the same. The quotient of equal non-zero quantities is (1).
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What is the value of (1!+4!+0!)?
C. 26
यहाँ \(1!=1\), \(4!=4\times3\times2\times1=24\) तथा \(0!=1\) होता है। अतः \(1!+4!+0!=1+24+1=26\), इसलिए सही विकल्प C है। विकल्प 25 लेने पर \(0!\) का मान छोड़ दिया जाता है, जबकि \(0!\) सदैव 1 होता है। परीक्षा टिप: \(0!=1\) और \(1!=1\) को विशेष मान के रूप में याद रखें। / Here, \(1!=1\), \(4!=4\times3\times2\times1=24\), and \(0!=1\). Therefore, \(1!+4!+0!=1+24+1=26\), so option C is correct. The value 25 results from omitting \(0!\), but \(0!\) is always 1. Exam tip: Remember the special values \(0!=1\) and \(1!=1\).
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What is the value of \(\frac{11!}{9!}\)?
B. 110
क्योंकि \(11!=11\times10\times9!\), इसलिए \(\frac{11!}{9!}=\frac{11\times10\times9!}{9!}=11\times10=110\)। अतः सही उत्तर 110 है। 121, \(11\times11\) है, जबकि यहाँ क्रमागत गुणनखंड 11 और 10 हैं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान गुणनखंड काटें। / Since \(11!=11\times10\times9!\), \(\frac{11!}{9!}=\frac{11\times10\times9!}{9!}=11\times10=110\). Therefore, the correct answer is 110. Note that 121 is \(11\times11\), whereas the required consecutive factors are 11 and 10. Exam tip: In factorial division, expand the larger factorial only up to the smaller factorial and cancel common factors.
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If (n!=5040), what is the value of (n)?
B. 7
क्रमगुणित में \(n!\) का अर्थ \(1\) से \(n\) तक सभी धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल है। \(7!=7\times6\times5\times4\times3\times2\times1=5040\), इसलिए \(n=7\) है। निकटतम विकल्प \(8\) गलत है, क्योंकि \(8!=8\times5040=40320\) होता है। परीक्षा टिप: \(5!=120\), \(6!=720\), \(7!=5040\) जैसे छोटे क्रमगुणित मान याद रखें। / In factorial notation, \(n!\) is the product of all positive integers from \(1\) to \(n\). Since \(7!=7\times6\times5\times4\times3\times2\times1=5040\), \(n=7\). The closest distractor, \(8\), is incorrect because \(8!=8\times5040=40320\). Exam tip: remember common values such as \(5!=120\), \(6!=720\), and \(7!=5040\).
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What is the simplified form of \(\frac{(n+2)!}{(n+1)!}+1\)?
B. \(n+3\)
क्योंकि \((n+2)!=(n+2)(n+1)!\), इसलिए \(\frac{(n+2)!}{(n+1)!}=n+2\)। अब 1 जोड़ने पर \(n+2+1=n+3\) मिलता है। \(n+2\) विकल्प में बाहर का \(+1\) जोड़ना छूट गया है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के ऐसे भिन्नों में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के गुणनखंड के रूप में लिखकर समान पदों को काटें। / Since \((n+2)!=(n+2)(n+1)!\), \(\frac{(n+2)!}{(n+1)!}=n+2\). Adding 1 gives \(n+2+1=n+3\). Option \(n+2\) misses the \(+1\) outside the fraction. Exam tip: In factorial fractions, expand the larger factorial up to the smaller factorial and cancel common factors.
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What is the value of \(2!\times3!\times4!\)?
C. 288
यहाँ \(2!=2\), \(3!=3\times2\times1=6\) और \(4!=4\times3\times2\times1=24\) है। अतः \(2!\times3!\times4!=2\times6\times24=288\)। विकल्प D में केवल \(2!\times4!\) का गुणनफल \(48\) है; उसमें \(3!\) शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के प्रत्येक मान को पहले अलग-अलग लिखकर फिर गुणा करें। / Here, \(2!=2\), \(3!=3\times2\times1=6\), and \(4!=4\times3\times2\times1=24\). Therefore, \(2!\times3!\times4!=2\times6\times24=288\). Option D, \(48\), is only \(2!\times4!\) and misses \(3!\). Exam tip: Evaluate each factorial separately before multiplying.
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What is the ratio of (6!) to (4!)?
A. 30:1
\(6!=6\times5\times4!\) है। अतः \(\frac{6!}{4!}=6\times5=30\), इसलिए अनुपात \(30:1\) है। \(20:1\) तब मिलता यदि केवल \(5\times4\) लिया जाता, जो यहाँ सही नहीं है। परीक्षा में बड़े क्रमगुणित को छोटे क्रमगुणित के गुणन के रूप में लिखकर समान पद काटें। / Since \(6!=6\times5\times4!\), \(\frac{6!}{4!}=6\times5=30\). Therefore, the ratio is \(30:1\). The ratio \(20:1\) would result from incorrectly using only \(5\times4\). In exams, expand the larger factorial up to the smaller factorial and cancel the common part.
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B. \(6!\)
\(6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720\), इसलिए सही विकल्प \(6!\) है। \(5! = 120\) होता है, इसलिए वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: \(5! = 120\) याद होने पर उसे 6 से गुणा करके \(6! = 720\) जल्दी ज्ञात किया जा सकता है। / \(6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720\), so \(6!\) is the correct option. \(5! = 120\), making it a close but incorrect distractor. Exam tip: if you remember \(5! = 120\), multiply it by 6 to find \(6! = 720\) quickly.
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What is the value of \((6-3)!\times2!\)?
B. 12
पहले कोष्ठक हल करने पर \(6-3=3\) मिलता है। अतः \(3!=3\times2\times1=6\) और \(2!=2\times1=2\)। इसलिए \(3!\times2!=6\times2=12\)। विकल्प 10 गलत है क्योंकि फैक्टोरियल में \(3!=6\) होता है, 3 नहीं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले व्यंजक में पहले कोष्ठक हल करें, फिर प्रत्येक फैक्टोरियल का मान निकालें। / First, evaluate the bracket: \(6-3=3\). Thus, \(3!=3\times2\times1=6\) and \(2!=2\times1=2\). Therefore, \(3!\times2!=6\times2=12\). Option 10 is incorrect because \(3!=6\), not 3. Exam tip: In factorial expressions, simplify brackets first and then evaluate each factorial.
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\(14\times13!\) is equal to which of the following?
C. \(14!\)
क्रमगुणित की परिभाषा के अनुसार \(n!=n\times(n-1)!\)। अतः \(14!=14\times13!\), इसलिए सही उत्तर \(14!\) है। \(15!\) के लिए \(15\times14!\) होना चाहिए, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी संख्या के ठीक पहले वाले क्रमगुणित से गुणा करने पर उसी संख्या का क्रमगुणित प्राप्त होता है। / By the factorial definition, \(n!=n\times(n-1)!\). Therefore, \(14!=14\times13!\), so the correct answer is \(14!\). The expression \(15!\) would require \(15\times14!\), so it is not correct. Exam tip: multiplying a factorial by its next integer gives the factorial of that integer.
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What is the value of \(\frac{5!}{1!,4!}\)?
B. 5
क्योंकि \(5!=5\times4!\) और \(1!=1\), इसलिए \(\frac{5!}{1!,4!}=\frac{5\times4!}{1\times4!}=5\)। विकल्प 10, \(\binom{5}{2}\) का मान है, लेकिन यहाँ हर में \(1!\,4!\) है; अतः यह \(\binom{5}{1}=5\) के बराबर है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्नों में समान फैक्टोरियल पदों को पहले काटें। / Since \(5!=5\times4!\) and \(1!=1\), \(\frac{5!}{1!,4!}=\frac{5\times4!}{1\times4!}=5\). The value 10 is \(\binom{5}{2}\), but the denominator here is \(1!\,4!\); hence the expression equals \(\binom{5}{1}=5\). Exam tip: In factorial fractions, cancel common factorial terms first.
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What is the value of \(4!\times2!-3!\)?
C. 42
\(4!=24\), \(2!=2\) और \(3!=6\)। इसलिए \(4!\times2!-3!=24\times2-6=48-6=42\)। अतः सही विकल्प C है। \(48\) निकटतम भ्रामक विकल्प है, जो \(3!\) घटाना भूलने पर मिलता है। परीक्षा टिप: क्रमगुणित के मान पहले लिखें, फिर गुणा और घटाव का क्रम लागू करें। / \(4!=24\), \(2!=2\), and \(3!=6\). Hence, \(4!\times2!-3!=24\times2-6=48-6=42\). Therefore, option C is correct. \(48\) is a close distractor obtained by forgetting to subtract \(3!\). Exam tip: evaluate factorials first, then apply multiplication and subtraction in order.
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How can (8!) be written using (9!)?
A. \(\frac{9!}{9}\)
\(9!=9\times8!\), इसलिए \(8!=\frac{9!}{9}\)। बड़े क्रमगुणित से छोटा क्रमगुणित भी निकाला जा सकता है। / \(9!=9\times8!\), so \(8!=\frac{9!}{9}\). A smaller factorial can also be found from a larger factorial.
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What is the value of \(\frac{12!}{10!}\)?
C. (132)
\(\frac{12!}{10!}=12\times11=132\)। छोटे क्रमगुणित को काटने के बाद बचे गुणक गुणा करें। / \(\frac{12!}{10!}=12\times11=132\). After cancelling the smaller factorial, multiply the remaining factors.
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If (p=0!) and (q=1!), what is the value of (p+q)?
C. 2
परिभाषा के अनुसार, \(0! = 1\) और \(1! = 1\)। अतः \(p+q = 0!+1! = 1+1 = 2\)। विकल्प 1 केवल किसी एक फैक्टोरियल का मान है, दोनों का योग नहीं। परीक्षा टिप: \(0!\) का मान हमेशा 1 याद रखें। / By definition, \(0! = 1\) and \(1! = 1\). Therefore, \(p+q = 0!+1! = 1+1 = 2\). Option 1 is the value of either factorial individually, not their sum. Exam tip: Always remember that \(0! = 1\).
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What is the difference between \(7!\div5!\) and (2!)?
B. 40
\(7!\div5!=\frac{7\times6\times5!}{5!}=7\times6=42\)। साथ ही, \(2!=2\times1=2\)। अतः दिया गया अंतर \(42-2=40\) है। विकल्प 42 केवल \(7!\div5!\) का मान है, अंतर नहीं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में समान फैक्टोरियल पदों को पहले काटकर गणना आसान करें। / \(7!\div5!=\frac{7\times6\times5!}{5!}=7\times6=42\). Also, \(2!=2\times1=2\). Therefore, the required difference is \(42-2=40\). Option 42 is only the value of \(7!\div5!\), not the difference. Exam tip: In factorial division, cancel the common factorial term first to simplify the calculation.
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What is the last factor in (5!)?
B. (1)
\(5!=5\times4\times3\times2\times1\), इसलिए अंतिम गुणक (1) है। क्रमगुणित हमेशा (1) तक जाता है। / \(5!=5\times4\times3\times2\times1\), so the last factor is (1). A factorial always goes down to (1).
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What is the value of \(\frac{6!}{3!}\div5\)?
B. 24
\(6!=6\times5\times4\times3!\) है। इसलिए \(\frac{6!}{3!}=6\times5\times4=120\)। अब \(120\div5=24\), अतः सही उत्तर 24 है। 30 तब मिल सकता है जब गुणनखंडों को गलत तरीके से रद्द किया जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्न में पहले सामान्य फैक्टोरियल को काटें, फिर शेष गणना करें। / Since \(6!=6\times5\times4\times3!\), \(\frac{6!}{3!}=6\times5\times4=120\). Now \(120\div5=24\), so the correct answer is 24. A value such as 30 can result from cancelling factors incorrectly. Exam tip: In a factorial fraction, first expand only up to the common factorial and cancel it before calculating.
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What is the simplified form of \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}\)?
B. \((n+3)(n+2)\)
क्रमगुणित के विस्तार से \((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)!\)। अतः \((n+1)!\) से भाग देने पर \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2)\) मिलता है। विकल्प C में \((n+1)\) अनावश्यक रूप से शामिल है। परीक्षा टिप: क्रमगुणितों के भाग में बड़े क्रमगुणित को छोटे क्रमगुणित तक फैलाकर समान पद काटें। / Expanding the larger factorial gives \((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)!\). Dividing by \((n+1)!\) therefore leaves \((n+3)(n+2)\). Option C incorrectly includes the extra factor \((n+1)\). Exam tip: In factorial division, expand the larger factorial only up to the smaller factorial and cancel the common part.
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A. (696)
(6!=720) और (4!=24), इसलिए अंतर (696) है। सीधे घटाने से पहले दोनों क्रमगुणित निकालें। / (6!=720) and (4!=24), so the difference is (696). Find both factorials before subtracting directly.
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Which expansion correctly starts (9!)?
A. \(9\times8\times7\times\cdots\times1\)
क्रमगुणित में किसी धनात्मक पूर्णांक से 1 तक के सभी पूर्णांकों का गुणन किया जाता है। इसलिए \(9!=9\times8\times7\times\cdots\times1\) है। विकल्प B में जोड़ तथा विकल्प D में घटाव है, जबकि विकल्प C में 9 का अनावश्यक पुनरावृत्त गुणन है। परीक्षा टिप: \(n!\) को हमेशा \(n\times(n-1)\times\cdots\times1\) के रूप में याद रखें। / A factorial is the product of all positive integers from the given number down to 1. Hence, \(9!=9\times8\times7\times\cdots\times1\). Option B uses addition and option D uses subtraction, while option C incorrectly repeats 9. Exam tip: Remember \(n! = n\times(n-1)\times\cdots\times1\).
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What is the value of \(\frac{4!+1!}{5}\)?
C. 5
\(4!=4\times3\times2\times1=24\) और \(1!=1\) होता है। इसलिए \(\frac{4!+1!}{5}=\frac{24+1}{5}=\frac{25}{5}=5\)। अतः सही विकल्प 5 है। विकल्प 4 तब मिल सकता है जब \(1!\) को जोड़ने की गलती हो जाए। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक फैक्टोरियल का मान निकालें, फिर जोड़ या भाग करें। / \(4!=4\times3\times2\times1=24\), and \(1!=1\). Hence, \(\frac{4!+1!}{5}=\frac{24+1}{5}=\frac{25}{5}=5\). Therefore, 5 is the correct option. Option 4 may result from incorrectly handling the addition of \(1!\). Exam tip: evaluate each factorial first, then perform addition or division.
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If (m=2!) and (n=4!), what is the value of (m+n)?
C. 26
क्रमगुणित के अनुसार 2! = 2 तथा 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24। अतः m + n = 2 + 24 = 26, इसलिए सही उत्तर विकल्प C है। 24 केवल n का मान है, m + n का नहीं। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक क्रमगुणित का मान निकालें, फिर दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करें। / Using factorials, 2! = 2 and 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Therefore, m + n = 2 + 24 = 26, so option C is correct. Note that 24 is only the value of n, not of m + n. Exam tip: Evaluate each factorial first, then substitute the values into the given expression.
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How can (15!) be written using (14!)?
B. \(15\times14!\)
फैक्टोरियल की परिभाषा के अनुसार \(15!=15\times14\times13\times\cdots\times1\) और \(14!=14\times13\times\cdots\times1\) है। इसलिए \(15!=15\times14!\)। विकल्प C में \(15!\) स्वयं उपस्थित है, इसलिए वह \(14!\) के माध्यम से सही रूप नहीं देता। परीक्षा टिप: सामान्य नियम \(n!=n(n-1)!\) याद रखें। / By the definition of factorial, \(15!=15\times14\times13\times\cdots\times1\), while \(14!=14\times13\times\cdots\times1\). Hence, \(15!=15\times14!\). Option C still contains \(15!\) itself, so it does not correctly express it in terms of \(14!\). Exam tip: remember the general identity \(n!=n(n-1)!\).
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What is the value of \(\frac{10!}{8!,2!}\)?
C. 45
यहाँ \(\frac{10!}{8!,2!}=\frac{10!}{8!\times2!}\) है। \(10!\) में से \(8!\) काटने पर \(\frac{10\times9}{2\times1}=45\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर 45 है। 40 या 50 प्राप्त होते हैं यदि गुणन या \(2!\) से भाग देने में गलती हो जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भिन्न में पहले बड़े फैक्टोरियल को आवश्यक पदों तक फैलाकर समान फैक्टोरियल काटें। / Here, \(\frac{10!}{8!,2!}=\frac{10!}{8!\times2!}\). Cancelling \(8!\) from \(10!\) gives \(\frac{10\times9}{2\times1}=45\). Therefore, 45 is the correct answer. Values such as 40 or 50 can result from an error in multiplication or in dividing by \(2!\). Exam tip: In factorial fractions, expand the larger factorial only as far as needed and cancel the common factorial first.
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What is the value of \(3!+4!\times0!\)?
A. 30
क्रमगुणित के अनुसार \(3!=3\times2\times1=6\), \(4!=4\times3\times2\times1=24\) तथा \(0!=1\) होता है। अतः \(3!+4!\times0!=6+24\times1=30\)। विकल्प 24 केवल \(4!\times0!\) का मान है; उसमें \(3!\) नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: क्रमगुणित वाले व्यंजकों में पहले \(!\) का मान निकालें, फिर गुणा और अंत में जोड़ करें। / Using factorials, \(3!=3\times2\times1=6\), \(4!=4\times3\times2\times1=24\), and \(0!=1\). Therefore, \(3!+4!\times0!=6+24\times1=30\). The value 24 is only \(4!\times0!\); it incorrectly omits adding \(3!\). Exam tip: evaluate factorials first, then multiplication, and finally addition.
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What is \(\frac{8!}{8}\) equal to?
B. \(7!\)
क्योंकि \(8!=8\times7!\), इसलिए \(\frac{8!}{8}=\frac{8\times7!}{8}=7!\)। अतः सही विकल्प \(7!\) है। \(8!\) को उत्तर मानना गलत है, क्योंकि भाजक 8 से भाग देने पर एक गुणनखंड हट जाता है। परीक्षा टिप: \(n!=n\times(n-1)!\) का प्रयोग करके ऐसे प्रश्न तुरंत हल करें। / Since \(8!=8\times7!\), \(\frac{8!}{8}=\frac{8\times7!}{8}=7!\). Therefore, \(7!\) is correct. Choosing \(8!\) is incorrect because dividing by 8 removes the factor 8. Exam tip: use \(n!=n\times(n-1)!\) to simplify such expressions quickly.
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