Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. दोनों पक्षों में (7) जोड़ना/adding (7) to both sides
Explanation
Simple Explanation
दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ने से असमानता की दिशा नहीं बदलती। चिन्ह केवल ऋणात्मक गुणा या भाग में बदलता है। / Adding the same number to both sides does not change inequality direction. The sign changes only when multiplying or dividing by a negative number.
किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं होता। (x=0) पर \(x^2>0\) गलत हो जाता है। / The square of any real number is never negative. At (x=0), the statement \(x^2>0\) becomes false.
खुला सिरा (-3) को शामिल नहीं करता और बंद सिरा (5) को शामिल करता है। अंतराल पढ़ते समय कोष्ठक और वर्ग कोष्ठक पर ध्यान दें। / The open endpoint excludes (-3), and the closed endpoint includes (5). While reading intervals, notice parentheses and square brackets.
(2x-7<5) से (2x<12) और इसलिए (x<6) मिलता है। धनात्मक (2) से भाग देने पर चिन्ह नहीं बदलता। / From (2x-7<5), we get (2x<12), hence (x<6). Dividing by positive (2) does not reverse the sign.
\(-4x\ge 12\) और (-4) से भाग देने पर चिन्ह उलटकर \(x\le -3\) होता है। ऋणात्मक गुणांक सबसे सामान्य गलती है। / We get \(-4x\ge 12\), and dividing by (-4) reverses the sign to \(x\le -3\). A negative coefficient is the most common trap.
एक ही (x) साथ में (-1) से छोटा और (3) से बड़ा नहीं हो सकता। संयुक्त असमानता में साझा भाग खोजें। / The same (x) cannot be less than (-1) and greater than (3) at once. For compound inequalities, find the common part.
\(x\le -2\) में (-2) शामिल है और सभी छोटे वास्तविक मान आते हैं। \(\infty\) के साथ हमेशा खुला कोष्ठक लगता है। / The inequality \(x\le -2\) includes (-2) and all smaller real values. Infinity always uses an open parenthesis.
दोनों दिशाओं में कम या बराबर होने का अर्थ बराबरी है। ऐसी स्थिति को पहचानना तुलना प्रश्नों में उपयोगी है। / Being less than or equal in both directions means equality. Recognizing this helps in comparison questions.
हर वास्तविक (x) के लिए (x+1), (x) से (1) अधिक है। समान पद हटाने पर (0<1) मिलता है। / For every real (x), (x+1) is (1) more than (x). Subtracting the same term gives (0<1).
D. कोई \(x\in\mathbb{R}\) नहीं/no \(x\in\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
समान (x) हटाने पर (3<-2) मिलता है, जो असत्य है। जब चर हट जाए तो शेष सत्यता से हल तय करें। / Subtracting the same (x) gives (3<-2), which is false. When the variable cancels, decide the solution from the remaining truth value.
(x>2) को (3) से गुणा कर (3x>6) और (4) जोड़कर (3x+4>10) मिलता है। कठोर असमानता कठोर ही रहती है। / Multiplying (x>2) by (3) gives (3x>6), then adding (4) gives (3x+4>10). A strict inequality remains strict here.
\(x\le -1\) को (-5) से गुणा करने पर \(-5x\ge 5\), फिर (2) जोड़ने पर \(-5x+2\ge 7\) मिलता है। ऋणात्मक गुणा चिन्ह उलटता है। / Multiplying \(x\le -1\) by (-5) gives \(-5x\ge 5\), then adding (2) gives \(-5x+2\ge 7\). Negative multiplication reverses the sign.
दोनों पक्षों को धनात्मक (2) से गुणा करने पर \(x-3\ge 8\), अतः \(x\ge 11\) मिलता है। धनात्मक हर चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying both sides by positive (2) gives \(x-3\ge 8\), so \(x\ge 11\). A positive denominator does not change the sign.
(-3) से गुणा करने पर चिन्ह उलटता है, इसलिए (5-2x>-21), फिर (-2x>-26) और (x<13) नहीं, सही रूप (2x<26) से (x<13) होगा। इस पंक्ति में सही विकल्प उपलब्ध नहीं है। / Multiplying by (-3) reverses the sign, so (5-2x>-21), then (-2x>-26), and dividing by (-2) gives (x<13). The listed choices do not match this result.
(-2) से गुणा करने पर \(7-3x\ge -10\), फिर \(-3x\ge -17\) और \(x\le \frac{17}{3}\) मिलता है। सही हल विकल्पों में नहीं है, इसलिए प्रश्न अमान्य है। / Multiplying by (-2) gives \(7-3x\ge -10\), then \(-3x\ge -17\), so \(x\le \frac{17}{3}\). The correct solution is not among the options, so this question is invalid.
(5-2x>-11) से (-2x>-16) और ऋणात्मक (2) से भाग देने पर (x<8) मिलता है। चिन्ह उलटना न भूलें। / From (5-2x>-11), we get (-2x>-16), and dividing by negative (2) gives (x<8). Do not forget to reverse the sign.
धनात्मक (c) से भाग देने पर असमानता की दिशा वही रहती है। (c=0) से भाग करना परिभाषित नहीं है। / Dividing by positive (c) keeps the inequality direction unchanged. Division by (c=0) is undefined.
D. कोई निश्चित निष्कर्ष नहीं/no definite conclusion
Explanation
Simple Explanation
विपरीत दिशाओं की असमानताओं को सीधे जोड़कर निश्चित क्रम नहीं मिलता। जोड़ने से पहले दिशा समान होनी चाहिए। / Inequalities in opposite directions do not give a fixed order when added directly. The directions should match before adding.
पूरे अंतराल से (2) घटाने पर सिरों से भी (2) घटता है। बंद और खुले सिरों की प्रकृति वही रहती है। / Subtracting (2) from the whole interval subtracts (2) from its endpoints. Open and closed endpoint types remain the same.
(-2) से गुणा करने पर क्रम उलटता है: \(x\le 1\) से \(-2x\ge -2\) और \(x>-4\) से \(-2x<8\)। इसलिए अंतराल \([-2,8]\) है। / Multiplying by (-2) reverses order: \(x\le 1\) gives \(-2x\ge -2\), and (x>-4) gives (-2x<8). Thus the interval is ([-2,8)).
(-1) शामिल नहीं है और (6) शामिल है। इसलिए बायां सिरा खुला और दायां सिरा बंद होगा। / The value (-1) is excluded and (6) is included. Hence the left endpoint is open and the right endpoint is closed.
\(|x|\ge 3\) का अर्थ है (x), (0) से कम से कम (3) इकाई दूर है। इसलिए \(x\le -3\) या \(x\ge 3\) होगा। / The inequality \(|x|\ge 3\) means (x) is at least (3) units away from (0). Thus \(x\le -3\) or \(x\ge 3\).
(x>1) होने पर (x) धनात्मक है और (1) से बड़ा है, इसलिए वर्ग भी (1) से बड़ा होगा। वर्ग करते समय चिन्ह की शर्त देखें। / When (x>1), (x) is positive and greater than (1), so its square is also greater than (1). Check the sign condition before squaring.
\(x\ge 5\) का अर्थ (x) कम से कम (5) है; इसका निषेध (x<5) है। निषेध में बराबरी का ध्यान रखें। / The statement \(x\ge 5\) means (x) is at least (5); its negation is (x<5). Be careful with equality in negations.
(x<-2) के बाहर सभी मान \(x\ge -2\) हैं। कठोर असमानता के निषेध में बराबरी जुड़ जाती है। / All values outside (x<-2) are \(x\ge -2\). The negation of a strict inequality includes equality.
\(x\le y\) और (y<z) से (x<z) मिलता है क्योंकि अंत में एक कठोर असमानता है। मिश्रित क्रम में कठोर चिन्ह परिणाम को कठोर बना सकता है। / From \(x\le y\) and (y<z), we get (x<z) because one link is strict. In a mixed chain, a strict sign can make the result strict.
धनात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता की दिशा नहीं बदलती। पहले गुणक का चिन्ह देखें, फिर निष्कर्ष लिखें। / Multiplying by a positive number does not change inequality direction. Check the sign of the multiplier before writing the conclusion.
(a<b) को (-1) से गुणा करने पर (-a>-b) होता है। ऋणात्मक से गुणा करते समय चिन्ह उलटना चाहिए। / Multiplying (a<b) by (-1) gives (-a>-b). The sign must reverse when multiplying by a negative number.
\(-3\le x<4\) को (-3) से गुणा करने पर \(-12<-3x\le 9\), फिर (2) जोड़ने पर \(-10<2-3x\le 11\) मिलता है। ऋणात्मक गुणा क्रम उलटता है। / Multiplying \(-3\le x<4\) by (-3) gives \(-12<-3x\le 9\), then adding (2) gives \(-10<2-3x\le 11\). Negative multiplication reverses the order.
\(x=\frac{1}{2}\) पर \(x^2=\frac{1}{4}\), जो \(\frac{1}{2}\) से छोटा है। सार्वत्रिक कथन को गलत करने के लिए एक प्रतिउदाहरण काफी है। / At \(x=\frac{1}{2}\), \(x^2=\frac{1}{4}\), which is less than \(\frac{1}{2}\). One counterexample is enough to disprove a universal statement.
A. यह सभी \(x\in\mathbb{R}\) के लिए सत्य है/true for all \(x\in\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2+1\ge 1>0\)। वर्ग और स्थिरांक से न्यूनतम मान पहचानें। / Since \(x^2\ge 0\), we have \(x^2+1\ge 1>0\). Identify the minimum value using the square and constant term.
(x>1) होने पर \(\frac{1}{x}<1\) और इसलिए \(x>\frac{1}{x}\) है। व्युत्क्रम तुलना में धनात्मकता जरूरी है। / When (x>1), \(\frac{1}{x}<1\), so \(x>\frac{1}{x}\). Positivity is important in reciprocal comparisons.
A. अभिकथन और कारण दोनों सही हैं, और कारण सही व्याख्या है/both assertion and reason are true, and the reason explains it
Explanation
Simple Explanation
दोनों पक्षों में (c) जोड़ने से (a<b) की दिशा वही रहती है। कारण सीधे अभिकथन को सिद्ध करता है। / Adding (c) to both sides keeps the direction of (a<b) unchanged. The reason directly explains the assertion.
(x>3) को (2) से गुणा कर (2x>6) और (5) घटाकर (2x-5>1) मिलता है। धनात्मक गुणा में चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying (x>3) by (2) gives (2x>6), and subtracting (5) gives (2x-5>1). Positive multiplication does not reverse the sign.
श्रृंखला \(a\le b<c\) से (a<c) निश्चित है। एक कठोर चरण अंतिम तुलना को कठोर बना देता है। / The chain \(a\le b<c\) ensures (a<c). One strict step makes the final comparison strict.
(x<7) के न होने का अर्थ है (x) कम से कम (7) है। निषेध में बराबरी को शामिल करना जरूरी है। / Not having (x<7) means (x) is at least (7). Equality must be included in the negation.
\(4-3x\le -8\) से \(-3x\le -12\) और (-3) से भाग देने पर \(x\ge 4\) मिलता है। ऋणात्मक भाग में चिन्ह उलटता है। / From \(4-3x\le -8\), we get \(-3x\le -12\), and dividing by (-3) gives \(x\ge 4\). Division by a negative reverses the sign.
धनात्मक (5) से गुणा करने पर (2x+1>15), इसलिए (2x>14) और (x>7) मिलता है। धनात्मक हर से चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying by positive (5) gives (2x+1>15), so (2x>14) and (x>7). A positive denominator does not change the sign.
(-2) से गुणा करने पर चिन्ह उलटकर \(x-4\le -12\) मिलता है। इसलिए \(x\le -8\) सही हल है। / Multiplying by (-2) reverses the sign and gives \(x-4\le -12\). Hence \(x\le -8\) is the correct solution.
पूर्णांक (-4,-3,-2,-1,0,1) हैं। (-5) शामिल नहीं है और (1) शामिल है। / The integers are (-4,-3,-2,-1,0,1). The value (-5) is excluded and (1) is included.
दोनों शर्तों का साझा भाग (-1) से शुरू होकर (4) से पहले तक है। (-1) शामिल है और (4) शामिल नहीं है। / The common part of both conditions starts at (-1) and goes up to before (4). The value (-1) is included and (4) is excluded.
यहाँ (-3<-1), पर (9>1) है। वर्ग करने से पहले संख्याओं के चिन्ह और स्थान को जांचें। / Here (-3<-1), but (9>1). Before squaring, check the signs and positions of the numbers.
\(x\le 2\) को (-4) से गुणा करने पर \(-4x\ge -8\), फिर (7) जोड़ने पर \(7-4x\ge -1\) मिलता है। ऋणात्मक गुणा चिन्ह उलटता है। / Multiplying \(x\le 2\) by (-4) gives \(-4x\ge -8\), and adding (7) gives \(7-4x\ge -1\). Negative multiplication reverses the sign.
(1<x<4) से (0<x-1<3), फिर धनात्मक (3) से भाग देने पर \(0<\frac{x-1}{3}<1\) मिलता है। धनात्मक भाग में चिन्ह नहीं बदलता। / From (1<x<4), we get (0<x-1<3), then dividing by positive (3) gives \(0<\frac{x-1}{3}<1\). Division by a positive number does not change the sign.
A. कोई \(x\in\mathbb{R}\) नहीं/no \(x\in\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
कोई वास्तविक संख्या (6) से कम या बराबर और (6) से बड़ी एक साथ नहीं हो सकती। साझा भाग खाली है। / No real number can be less than or equal to (6) and greater than (6) at the same time. The common part is empty.
\(x\ge -2\) को \(-\frac{1}{2}\) से गुणा करने पर \(-\frac{x}{2}\le 1\), फिर (5) जोड़ने पर \(-\frac{x}{2}+5\le 6\) मिलता है। ऋणात्मक गुणक चिन्ह उलटता है। / Multiplying \(x\ge -2\) by \(-\frac{1}{2}\) gives \(-\frac{x}{2}\le 1\), then adding (5) gives \(-\frac{x}{2}+5\le 6\). A negative multiplier reverses the sign.
हर वास्तविक (x) के लिए \(x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2\le 0\) तभी होगा जब \(x^2=0\)। अतः (x=0) ही हल है। / For every real (x), \(x^2\ge 0\), so \(x^2\le 0\) is possible only when \(x^2=0\). Hence (x=0) is the only solution.
पहले (3) घटाने पर \(-10<2x\le 6\) मिलता है। फिर धनात्मक (2) से भाग देने पर \(-5<x\le 3\) सही हल है। / Subtracting (3) first gives \(-10<2x\le 6\). Then dividing by positive (2) gives the correct solution \(-5<x\le 3\).
क्योंकि (x>0), इसलिए (x) से गुणा करने पर \(x^2<1\) मिलता है। धनात्मक शर्त के साथ इसका हल (0<x<1) है। / Since (x>0), multiplying by (x) gives \(x^2<1\). With the positive condition, the solution is (0<x<1).
(6-3x<x+5) से (1<4x), इसलिए \(x>\frac{1}{4}\) मिलता है। चर पदों को एक ओर लाते समय चिन्ह और क्रम सावधानी से रखें। / From (6-3x<x+5), we get (1<4x), so \(x>\frac{1}{4}\). While moving variable terms to one side, keep the sign and order carefully.
