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दोनों वर्गमूलों के लिए \(x-2\ge 0\) और \(10-2x\ge 0\) चाहिए। इसलिए संयुक्त प्रांत ([2,5]) है। / Both square roots require \(x-2\ge 0\) and \(10-2x\ge 0\). Hence the common domain is ([2,5]).
लघुगणक के लिए (x-2>0) और वर्गमूल के लिए \(8-x\ge 0\) चाहिए। इसलिए संयुक्त प्रांत ((2,8]) है। / The logarithm needs (x-2>0), and the square root needs \(8-x\ge 0\). Hence the common domain is ((2,8]).
B. वे \(x\ne 5\) पर समान हैं/They are equal for \(x\ne 5\)
Explanation
Simple Explanation
(f(x)) सरल होकर (x+5) बनता है, पर (x=5) पर (f) परिभाषित नहीं है। समान फलन के लिए नियम और प्रांत दोनों देखें। / (f(x)) simplifies to (x+5), but (f) is not defined at (x=5). For equal functions, check both rule and domain.
(f(4)=0) और (g(4)=1), इसलिए भागफल (0) है। मान रखने से पहले हर शून्य है या नहीं जांचें। / (f(4)=0) and (g(4)=1), so the quotient is (0). Before substituting, check whether the denominator is zero.
((f-g)(x)=x-2+4x+12=(x+2)2+8), इसलिए न्यूनतम मान (8) है। वर्ग पूर्ण करना ऐसे प्रश्नों में तेज तरीका है। / ((f-g)(x)=x-2+4x+12=(x+2)2+8), so the minimum value is (8). Completing the square is fast for such questions.
((f-g)(x)=\frac{x+4-(x-2)}{(x-2)(x+4)}=\frac{6}{(x-2)(x+4)})। समान हर बनाते समय अंश के चिन्ह ध्यान से रखें। / ((f-g)(x)=\frac{x+4-(x-2)}{(x-2)(x+4)}=\frac{6}{(x-2)(x+4)}). Keep numerator signs carefully while using a common denominator.
(|x-3|=|x+1|) का अर्थ है कि (x), (3) और (-1) से समान दूरी पर है। उनका मध्य बिंदु (x=1) है। / (|x-3|=|x+1|) means (x) is equally distant from (3) and (-1). Their midpoint is (x=1).
((fg)(x)=\left\(x+\frac{3}{x}\right\)\left\(x-\frac{3}{x}\right\)=x-2-\frac{9}{x-2})। यहां ((a+b)(a-b)=a-2-b-2) लगती है। / ((fg)(x)=\left\(x+\frac{3}{x}\right\)\left\(x-\frac{3}{x}\right\)=x-2-\frac{9}{x-2}). Use ((a+b)(a-b)=a-2-b-2) here.
(f) के लिए \(x^2-16\ne 0\), इसलिए \(x\ne -4,4\), और (f(x)\ne 0) हमेशा है। इसलिए केवल (-4) और (4) हटेंगे। / For (f), \(x^2-16\ne 0\), so \(x\ne -4,4\), and (f(x)\ne 0) always. Hence only (-4) and (4) are excluded.
समान पद जोड़ने पर \(2x^2+x^2=3x^2\), (-3x+x=-2x) और (1-5=-4) मिलता है। पदों को डिग्री के अनुसार जोड़ें। / Adding like terms gives \(2x^2+x^2=3x^2\), (-3x+x=-2x), and (1-5=-4). Combine terms by degree.
वर्गमूल के लिए \(x+5\ge 0\) और हर के लिए \(x\ne 1\) चाहिए। इसलिए प्रांत \([-5,\infty\)\setminus{1}) है। / The square root needs \(x+5\ge 0\), and the denominator needs \(x\ne 1\). So the domain is \([-5,\infty\)\setminus{1}).
((f+g)(x)=x-2-8x+25=(x-4)2+9), इसलिए न्यूनतम मान (9) है। शीर्ष रूप से न्यूनतम तुरंत मिलता है। / ((f+g)(x)=x-2-8x+25=(x-4)2+9), so the minimum value is (9). Vertex form gives the minimum quickly.
(g(x)) में हर (x-2) है, इसलिए (x=2) पर (g) और (f+g) अपरिभाषित हैं। योग में दोनों फलनों का परिभाषित होना जरूरी है। / The denominator of (g(x)) is (x-2), so at (x=2), (g) and (f+g) are undefined. In a sum, both functions must be defined.
\(f+g=2x^3\), इसलिए \(\frac{f+g}{2}=x^3\)। विपरीत पद जोड़ने पर कट जाते हैं। / \(f+g=2x^3\), so \(\frac{f+g}{2}=x^3\). Opposite terms cancel when added.
C. कोई अधिकतम प्राप्त नहीं होता/no maximum is attained
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{x^2+2}{x^2+5}=1-\frac{3}{x^2+5}\), इसलिए यह (1) के निकट जाता है पर (1) नहीं बनता। अतः वास्तविक अधिकतम प्राप्त नहीं होता। / \(\frac{x^2+2}{x^2+5}=1-\frac{3}{x^2+5}\), so it approaches (1) but never equals (1). Hence no actual maximum is attained.
(f(2)=4) और (g(2)=2k+4), इसलिए (2k+8=18)। अतः (k=5) नहीं बल्कि समीकरण से (k=5) आता है। / (f(2)=4) and (g(2)=2k+4), so (2k+8=18). Hence the equation gives (k=5).
(f-2-g-2=(f-g)(f+g)) से \(2\cos x\cdot 2\sin x=4\sin x\cos x\)। बीजगणितीय पहचान त्रिकोणमितीय फलनों पर भी लागू होती है। / Using (f-2-g-2=(f-g)(f+g)), we get \(2\cos x\cdot 2\sin x=4\sin x\cos x\). Algebraic identities also apply to trigonometric functions.
हर में \(\sqrt{x-4}\) है, इसलिए (x-4>0) चाहिए। अतः प्रांत (\(4,\infty\)) है। / The denominator contains \(\sqrt{x-4}\), so (x-4>0) is required. Thus the domain is (\(4,\infty\)).
\(\lfloor\frac{7}{3}\rfloor=2\) और (g\left\(\frac{7}{3}\right\)=\frac{1}{3}), इसलिए मान \(2+\frac{2}{3}=\frac{8}{3}\) है। पूर्णांक और भिन्न भाग अलग निकालें। / \(\lfloor\frac{7}{3}\rfloor=2\) and (g\left\(\frac{7}{3}\right\)=\frac{1}{3}), so the value is \(2+\frac{2}{3}=\frac{8}{3}\). Find integer and fractional parts separately.
((f-g)(x)=x-2-2x+1=(x-1)2), इसलिए केवल (x=1) हल है। पूर्ण वर्ग शून्य तभी होता है जब अंदर का पद (0) हो। / ((f-g)(x)=x-2-2x+1=(x-1)2), so the only solution is (x=1). A square is zero only when its inside term is (0).
(f) में (x=-2) पर हर शून्य है, इसलिए (f) और (f-g) अपरिभाषित हैं। सरलीकरण से पहले मूल प्रांत देखें। / In (f), the denominator is zero at (x=-2), so (f) and (f-g) are undefined. Check the original domain before simplification.
((f-g)(x)=x-2+1-\(x^2-3\)=4), इसलिए यह स्थिर फलन है। घटाव में दूसरे कोष्ठक के चिन्ह बदलें। / ((f-g)(x)=x-2+1-\(x^2-3\)=4), so it is a constant function. In subtraction, change the signs of the second bracket.
वर्गमूल के लिए \(16-x^2\ge 0\), यानी \(-4\le x\le 4\), और हर के लिए \(x\ne 1\) चाहिए। प्रांत इन शर्तों का प्रतिच्छेद है। / The square root needs \(16-x^2\ge 0\), meaning \(-4\le x\le 4\), and the denominator needs \(x\ne 1\). The domain is the intersection of these conditions.
(f=(x+2)2), इसलिए \(\frac{f}{g}=x+2\), पर (x=-2) हटेगा। रद्द हुआ हर भी प्रांत में प्रतिबंध देता है। / (f=(x+2)2), so \(\frac{f}{g}=x+2\), but (x=-2) is excluded. A cancelled denominator still gives a domain restriction.
((fg)(x)=3x-3), जिसका परास सभी वास्तविक संख्याएं है। विषम घात वाला बहुपद दोनों दिशाओं में जाता है। / ((fg)(x)=3x-3), whose range is all real numbers. An odd-degree polynomial extends in both directions.
((f+g)(x)=x-2+4x+6=(x+2)2+2)। वर्ग पूर्ण रूप परास और न्यूनतम बताने में मदद करता है। / ((f+g)(x)=x-2+4x+6=(x+2)2+2). Completed-square form helps find range and minimum.
समान हर से (f-g=\frac{x-2+4-\(x^2-4\)}{x}=\frac{8}{x})। दूसरे अंश को घटाते समय दोनों चिन्ह बदलते हैं। / With a common denominator, (f-g=\frac{x-2+4-\(x^2-4\)}{x}=\frac{8}{x}). While subtracting the second numerator, both signs change.
((f-g)(x)=x-2-2x-1), इसलिए यह हमेशा ऋणात्मक नहीं है। सही हल के लिए द्विघात असमता हल करनी होती है। / This item should be checked by solving ((f-g)(x)=x-2-2x-1). The correct interval is between its two roots, so no listed option is fully suitable.
(\frac{f}{g}=\frac{(x+3)2+1}{(x+3)2+5}), जो ((x+3)2=0) पर न्यूनतम \(\frac{1}{5}\) देता है। समान वर्ग पद को \(t\ge 0\) मानना उपयोगी है। / (\frac{f}{g}=\frac{(x+3)2+1}{(x+3)2+5}), which gives the minimum \(\frac{1}{5}\) at ((x+3)2=0). It is useful to set the common square term as \(t\ge 0\).
(gh=x-2), इसलिए \(f-2gh=x^2-4x+4-2x+4=x^2-6x+8\)। संयुक्त फलनों में पहले गुणन करें। / (gh=x-2), so \(f-2gh=x^2-4x+4-2x+4=x^2-6x+8\). In combined functions, do multiplication first.
((f+g)(x)=x-2-4x=x(x-4)), इसलिए शून्य (0) और (4) हैं। शून्य खोजने के लिए गुणनखंड बनाएं। / ((f+g)(x)=x-2-4x=x(x-4)), so the zeroes are (0) and (4). Factorise to find zeroes.
(f(1)=3) और (g(1)=-1), इसलिए ((fg)(1)=-3)। उत्पाद फलन में मानों का गुणन होता है। / (f(1)=3) and (g(1)=-1), so ((fg)(1)=-3). In a product function, multiply the function values.
(f) के लिए \(x\ne 3\) और भागफल में (g(x)\ne 0) भी \(x\ne 3\) देता है। इसलिए केवल (3) हटेगा। / For (f), \(x\ne 3\), and (g(x)\ne 0) in the quotient also gives \(x\ne 3\). Hence only (3) is excluded.
((f+g)(x)=2|x|), और (x<0) पर यह (-2x) भी होता है। दिए विकल्पों में (2|x|) सामान्य और सही रूप है। / ((f+g)(x)=2|x|), and for (x<0) it is also (-2x). Among the options, (2|x|) is a general correct form.
(f(2)=5) और (g(2)=3), इसलिए (f(2)-g(2)=2)। सीधे मान निकालने पर गलती कम होती है। / (f(2)=5) and (g(2)=3), so (f(2)-g(2)=2). Direct evaluation reduces mistakes.
((f+g)(x)=x-2+2x+1=(x+1)2), इसलिए परास \([0,\infty\)) है। पूर्ण वर्ग का परास अऋण होता है। / ((f+g)(x)=x-2+2x+1=(x+1)2), so the range is \([0,\infty\)). The range of a perfect square is non-negative.
समान हर से (h(x)=\frac{x-1+x+1}{x-2-1}=\frac{2x}{x-2-1})। प्रांत में \(x=\pm1\) हटेंगे। / With a common denominator, (h(x)=\frac{x-1+x+1}{x-2-1}=\frac{2x}{x-2-1}). The domain excludes \(x=\pm1\).
(f-g=(a-b)x), इसलिए ((a-b)x=5x) से (a-b=5)। समान पदों के गुणांक मिलाएं। / (f-g=(a-b)x), so ((a-b)x=5x) gives (a-b=5). Compare coefficients of like terms.
उत्पाद सरल होकर (1) हो सकता है, पर मूल फलनों में (x=3) और (x=-3) निषिद्ध हैं। प्रांत मूल शर्तों से तय होता है। / The product may simplify to (1), but the original functions forbid (x=3) and (x=-3). The domain is decided by original restrictions.
वर्गमूल के लिए \(x\ge 1\) और हर के लिए \(x\ne 5\) चाहिए। दोनों शर्तों को साथ लगाएं। / The square root needs \(x\ge 1\), and the denominator needs \(x\ne 5\). Apply both conditions together.
(f=(x-3)2), इसलिए \(\frac{f}{g}=x-3\) जब \(x\ne 3\)। कटौती करते समय प्रतिबंध साथ लिखें। / (f=(x-3)2), so \(\frac{f}{g}=x-3\) when \(x\ne 3\). Write the restriction while cancelling.
(f-g+h=2x-2+1-\(x^2-3\)+x-2+4=2x-2+8)। घटाव में (g) के सभी चिन्ह बदलें। / (f-g+h=2x-2+1-\(x^2-3\)+x-2+4=2x-2+8). Change all signs of (g) while subtracting.
(x-2-1=(x-1)(x+1)), इसलिए (f=x-1), पर (x=-1) हटता है। समानता में मूल हर का प्रतिबंध रखें। / (x-2-1=(x-1)(x+1)), so (f=x-1), but (x=-1) is excluded. Keep the original denominator restriction in equality.
(f(0)=|2|+|-2|=4) और (g(0)=4), इसलिए अंतर (0) है। मापांक दूरी की तरह काम करता है। / (f(0)=|2|+|-2|=4) and (g(0)=4), so the difference is (0). Modulus works like distance.
समान हर होने से अंश जुड़ते हैं: (2x+1+x-3=3x-2)। \(x^2+1\) कभी शून्य नहीं होता। / With the same denominator, numerators add: (2x+1+x-3=3x-2). \(x^2+1\) is never zero.
(f(0)=2) और (g(0)=2), इसलिए ((fg)(0)=4)। उत्पाद फलन में पहले अलग-अलग मान निकालें। / (f(0)=2) and (g(0)=2), so ((fg)(0)=4). In a product function, find values separately first.
(\frac{f}{g}=\frac{(x-5)2+1}{(x-5)2+5}), जो ((x-5)2=0) पर \(\frac{1}{5}\) देता है। समान वर्ग पद को \(t\ge 0\) रखकर देखें। / (\frac{f}{g}=\frac{(x-5)2+1}{(x-5)2+5}), which gives \(\frac{1}{5}\) at ((x-5)2=0). Set the common square term as \(t\ge 0\).
