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(f(-1)=1), (f(0)=0), (f(1)=1) और (f(2)=4), इसलिए परिसर ({0,1,4}) है। परीक्षा में दोहराई छवि को एक बार लिखें। / (f(-1)=1), (f(0)=0), (f(1)=1), and (f(2)=4), so the range is ({0,1,4}). In exams, write repeated images only once.
हर युग्म में दूसरा घटक पहले घटक से (1) अधिक है। परीक्षा में नियम पहचानने के लिए सभी युग्मों पर एक ही पैटर्न जांचें। / In every pair, the second component is (1) more than the first. In exams, test one common pattern on all pairs.
(f(2)=2+2=4), इसलिए ((2,3)) इस फलन में नहीं होगा। परीक्षा में हर युग्म को नियम से मिलाएं। / (f(2)=2+2=4), so ((2,3)) will not be in this function. In exams, match each pair with the rule.
हर (A) के तत्व के लिए (B) की (2) पसंद हैं, इसलिए कुल \(2^3=8\) फलन हैं। परीक्षा में सूत्र (n(B)^{n(A)}) लगाएं। / Each element of (A) has (2) choices in (B), so total functions are \(2^3=8\). In exams, use (n(B)^{n(A)}).
A. क्योंकि (2) की दो अलग छवियां हैं/Because (2) has two different images
Explanation
Simple Explanation
(2) को (q) और (r) दोनों से जोड़ा गया है, इसलिए यह फलन नहीं है। परीक्षा में दोहराए पहले घटक की अलग छवियां देखें। / (2) is associated with both (q) and (r), so it is not a function. In exams, check different images of a repeated first component.
यदि \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{0,1\}\) और फलन \(f:A\to B\) इस प्रकार परिभाषित है कि \(x\) सम होने पर \(f(x)=0\) तथा \(x\) विषम होने पर \(f(x)=1\), तो \(f(4)\) का मान क्या है?
संख्या 4 सम है, इसलिए दिए गए नियम के अनुसार \(f(4)=0\)। विकल्प 1 गलत है क्योंकि वह विषम इनपुट के लिए मिलता है, जबकि 4 सम है; 4 स्वयं इनपुट है, फलन का मान नहीं। परीक्षा-युक्ति: पहले दिए गए इनपुट की सम-विषमता जाँचें, फिर संबंधित नियम लागू करें। / The number 4 is even, so the given rule gives \(f(4)=0\). Option 1 is incorrect because it corresponds to an odd input, while 4 is even; 4 is the input, not the function value. Exam tip: first check whether the input is even or odd, and then apply the matching rule.
दिए गए नियम में \(x=3\) रखने पर \(f(3)=3^2+1=9+1=10\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 10 है। विकल्प 9 में केवल \(3^2\) निकाला गया है और 1 जोड़ना भूल गए हैं। परीक्षा-युक्ति: फलन का मान निकालते समय दिए गए इनपुट को पूरे नियम में सावधानी से प्रतिस्थापित करें। / Substituting \(x=3\) into the given rule gives \(f(3)=3^2+1=9+1=10\). Hence, the correct answer is 10. Option 9 results from calculating only \(3^2\) and forgetting to add 1. Exam tip: substitute the input into the complete function rule before simplifying.
फलन में प्रांत (A) के हर तत्व की ठीक एक छवि होती है, इसलिए युग्मों की संख्या (3) होगी। परीक्षा में फलन के युग्म प्रांत के तत्वों के बराबर होते हैं। / A function assigns exactly one image to every element of domain (A), so it will have (3) pairs. In exams, pairs in a function equal the number of domain elements.
परिसर ({1,4,9}) है, इसलिए (16) सहप्रांत में है पर परिसर में नहीं। परीक्षा में सहप्रांत और परिसर को अलग रखें। / The range is ({1,4,9}), so (16) is in the codomain but not in the range. In exams, keep codomain and range separate.
सभी प्रांत तत्वों की छवि (a) है, इसलिए यह स्थिर फलन है। परीक्षा में समान छवि आने से फलन गलत नहीं होता। / All domain elements have image (a), so it is a constant function. In exams, the same image does not make a function invalid.
A. यह फलन है क्योंकि हर (x) की ठीक एक छवि है/It is a function because every (x) has exactly one image
Explanation
Simple Explanation
हर वास्तविक (x) के लिए (|x|) एक निश्चित वास्तविक मान देता है। दो अलग इनपुट की समान छवि होना फलन को गलत नहीं करता। / For every real (x), (|x|) gives one definite real value. Two different inputs having the same image does not invalidate a function.
A. क्योंकि (x=2) पर हर (0) हो जाता है/Because the denominator becomes (0) at (x=2)
Explanation
Simple Explanation
(x=2) प्रांत में है पर (f(2)) परिभाषित नहीं है। परीक्षा में हर भिन्न में हर शून्य करने वाले मान खोजें। / (x=2) is in the domain but (f(2)) is not defined. In exams, find values that make the denominator zero.
A. क्योंकि (x=2) को प्रांत से हटाया गया है/Because (x=2) is removed from the domain
Explanation
Simple Explanation
जिस मान पर हर (0) होता था, उसे प्रांत से हटाने पर हर शेष (x) की एक छवि है। परीक्षा में प्रांत बदलने से नियम वैध हो सकता है। / After removing the value that made the denominator (0), every remaining (x) has one image. In exams, changing the domain can make a rule valid.
(3) की दो अलग छवियां (6) और (4) हैं। परीक्षा में एक प्रांत तत्व की दो छवियां मिलें तो संबंध फलन नहीं है। / (3) has two different images (6) and (4). In exams, if one domain element has two images, the relation is not a function.
(A) में विषम और सम दोनों प्रकार के तत्व हैं, इसलिए छवियां (1) और (0) दोनों मिलती हैं। परीक्षा में परिसर में केवल प्राप्त मान रखें। / (A) has both odd and even elements, so both images (1) and (0) are obtained. In exams, put only obtained values in the range.
\(A\times B\) में \(2\times 3=6\) युग्म हैं, इसलिए संबंधों की संख्या \(2^6=64\) है। परीक्षा में संबंध की गिनती उपसमुच्चयों से होती है। / \(A\times B\) has \(2\times 3=6\) pairs, so the number of relations is \(2^6=64\). In exams, relations are counted as subsets.
प्रांत के (2) तत्वों के लिए सहप्रांत की (3) पसंद हैं, इसलिए कुल \(3^2=9\) फलन हैं। परीक्षा में फलन और संबंध की संख्या अलग रखें। / For (2) domain elements, there are (3) codomain choices each, so total functions are \(3^2=9\). In exams, keep the counts of functions and relations separate.
उल्टे संबंध में हर पहले घटक (2,4,6) की ठीक एक छवि है। परीक्षा में उल्टा संबंध भी अलग से फलन शर्त से जांचें। / In the reversed relation, each first component (2,4,6) has exactly one image. In exams, test the inverse relation separately by the function condition.
(x=0,1,2,3) रखने पर छवियां (1,2,3,4) मिलती हैं। परीक्षा में परिसर निकालते समय हर प्रांत तत्व पर नियम लगाएं। / Substituting (x=0,1,2,3) gives images (1,2,3,4). In exams, apply the rule to every domain element while finding range.
A. क्योंकि (2) की कोई छवि नहीं है/Because (2) has no image
Explanation
Simple Explanation
फलन में (A) के हर तत्व की ठीक एक छवि होनी चाहिए, पर (2) छूट गया है। परीक्षा में पहले घटकों को पूरे प्रांत से मिलाएं। / Every element of (A) must have exactly one image in a function, but (2) is missing. In exams, compare first components with the whole domain.
क्योंकि \(2\le 2\) सत्य है, इसलिए \(x\le 2\) वाली पहली शर्त लागू होगी और \(f(2)=1\)। \(x>2\) वाली दूसरी शर्त 2 पर लागू नहीं होती। परीक्षा-युक्ति: \(\le\) में बराबरी शामिल होती है, जबकि \(<\) में नहीं। / Since \(2\le 2\) is true, the first condition applies, so \(f(2)=1\). The second condition, \(x>2\), does not apply to 2. Exam tip: \(\le\) includes equality, whereas \(<\) does not.
यहाँ \(x=2\) के लिए पहली शर्त \(2<2\) सत्य नहीं है, लेकिन दूसरी शर्त \(2\ge 2\) सत्य है। इसलिए \(f(2)=2\)। ध्यान रखें कि \(\ge\) में बराबरी भी शामिल होती है, इसलिए सीमा-बिंदु \(x=2\) दूसरी स्थिति में आएगा। / For \(x=2\), the condition \(2<2\) is false, while \(2\ge 2\) is true. Therefore, \(f(2)=2\). Remember that \(\ge\) includes equality, so the boundary point \(x=2\) belongs to the second case.
विकल्प (A) में (1,2,3) सभी की ठीक एक छवि है। परीक्षा में हर प्रांत तत्व का आना जरूरी है। / In option (A), all (1,2,3) have exactly one image. In exams, every domain element must appear.
(f(a)=b) में (a) पूर्वछवि और (b) छवि कहलाता है। परीक्षा में इन दोनों शब्दों को उल्टा न करें। / In (f(a)=b), (a) is called the preimage and (b) is called the image. In exams, do not reverse these two terms.
(b), (a) की छवि है क्योंकि (a) पर (f) लगाने से (b) मिलता है। परीक्षा में (f(a)) को आउटपुट समझें। / (b) is the image of (a) because applying (f) to (a) gives (b). In exams, understand (f(a)) as the output.
प्रांत पहले घटकों का समुच्चय है, इसलिए ({1,2,3,4}) है। परीक्षा में क्रमित युग्मों के पहले घटक देखें। / The domain is the set of first components, so it is ({1,2,3,4}). In exams, look at the first components of ordered pairs.
परिसर अलग-अलग दूसरे घटकों का समुच्चय है, इसलिए ({3,5}) है। परीक्षा में दोहराए मान को समुच्चय में एक बार लिखें। / The range is the set of distinct second components, so it is ({3,5}). In exams, write a repeated value once in a set.
यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(B=\{0,1,2\}\) हों तथा \(f:A\to B\) इस प्रकार परिभाषित हो कि \(f(x)\), \(x\) को 2 से भाग देने पर प्राप्त शेषफल हो, तो \(f\) का परास (range) क्या होगा?
डोमेन \(A\) के लिए \(f(1)=1\), \(f(2)=0\) और \(f(3)=1\) हैं। इसलिए प्राप्त मान केवल 0 और 1 हैं, अतः \(f\) का परास \(\{0,1\}\) है। विकल्प C सह-परास \(B\) है, परंतु परास केवल वे मान होते हैं जो वास्तव में प्राप्त होते हैं। परीक्षा-युक्ति: परास ज्ञात करने के लिए डोमेन के प्रत्येक अवयव का फलन-मान निकालकर अलग-अलग मानों का समुच्चय बनाइए। / For the elements of \(A\), we get \(f(1)=1\), \(f(2)=0\), and \(f(3)=1\). Thus, the only values actually obtained are 0 and 1, so the range of \(f\) is \(\{0,1\}\). Option C is the codomain \(B\), not the range, because 2 is not attained by the function. Exam tip: To find a range, evaluate the function for every element of the domain and list only the distinct outputs.
परिसर ({4,9,16}) है, इसलिए (25) प्राप्त नहीं होता। परीक्षा में सहप्रांत का हर तत्व जरूरी नहीं कि परिसर हो। / The range is ({4,9,16}), so (25) is not obtained. In exams, every codomain element need not be in the range.
दिए गए फलन नियम में x=1 रखने पर �(f(1)=5-1=4�) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 4 है। 3 निकटतम भ्रमित करने वाला विकल्प हो सकता है, लेकिन 5 में से 1 घटाने पर 4 मिलता है। परीक्षा-युक्ति: फलन का मान निकालने के लिए दिए गए इनपुट को सीधे नियम में प्रतिस्थापित करें। / Substituting x=1 in the given rule gives �(f(1)=5-1=4�). Therefore, the correct answer is 4. The value 3 may seem close, but subtracting 1 from 5 gives 4, not 3. Exam tip: Substitute the given input directly into the function rule.
(x=1,2,3,4) रखने पर छवियां (4,3,2,1) मिलती हैं। परीक्षा में हर इनपुट का आउटपुट क्रम से लिखें। / Putting (x=1,2,3,4) gives images (4,3,2,1). In exams, write the output of each input in order.
फलन का मान ज्ञात करने के लिए \(x=6\) को \(f(x)=2x+1\) में रखने पर \(f(6)=2(6)+1=12+1=13\) प्राप्त होता है। विकल्प C में केवल \(2x-5\) जैसी अलग गणना का परिणाम दिखता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: फलन में दिए गए इनपुट का मान पहले रखें, फिर गुणा और जोड़ करें। / To find the function value, substitute \(x=6\) in \(f(x)=2x+1\): \(f(6)=2(6)+1=12+1=13\). Option C does not follow the given rule, while option A omits the final addition of 1. Exam tip: substitute the input first, then perform multiplication and addition.
A के प्रत्येक अवयव का मान ज्ञात करें: f(1) = 2(1) − 1 = 1, f(2) = 3 और f(3) = 5। इसलिए f का परिसर {1, 3, 5} है। विकल्प B सहपरिसर (codomain) है, जबकि परिसर केवल वास्तव में प्राप्त मानों का समुच्चय होता है। परीक्षा-युक्ति: पहले दिए गए domain के सभी अवयवों पर फलन लागू करके प्राप्त मानों को लिखें। / Evaluate the function for every element of A: f(1) = 2(1) − 1 = 1, f(2) = 3, and f(3) = 5. Hence, the range of f is {1, 3, 5}. Option B is the codomain, not the range; the range contains only the values actually attained by the function. Exam tip: apply the function rule to every element of the given domain.
स्थिर फलन में सभी प्रांत तत्वों की छवि (B) के किसी एक तत्व पर जाती है। इसलिए स्थिर फलनों की संख्या (4) है। / In a constant function, all domain elements map to one chosen element of (B). Therefore the number of constant functions is (4).
दूसरे घटक (u,v,w) सभी प्राप्त छवियां हैं। परीक्षा में परिसर दूसरे घटकों का समुच्चय होता है। / The second components (u,v,w) are all obtained images. In exams, the range is the set of second components.
विकल्प (A) में (3) की कोई छवि नहीं है। परीक्षा में फलन के लिए पूरा प्रांत कवर होना चाहिए। / In option (A), (3) has no image. In exams, the whole domain must be covered for a function.
(x=1,2,3) रखने पर (y=4,5,6) मिलता है। परीक्षा में सेट-बिल्डर नियम को युग्मों में बदलकर जांचें। / Putting (x=1,2,3) gives (y=4,5,6). In exams, convert set-builder rules into pairs for checking.
A. क्योंकि (x=1) की दो छवियां (1) और (-1) हैं/Because (x=1) has two images (1) and (-1)
Explanation
Simple Explanation
\(y^2=1\) से (y=1) और (y=-1) दोनों मिलते हैं। परीक्षा में एक इनपुट की दो छवियां मिलें तो फलन नहीं होता। / From \(y^2=1\), both (y=1) and (y=-1) are obtained. In exams, if one input has two images, it is not a function.
A. यह (A) से (B) में फलन है/It is a function from (A) to (B)
Explanation
Simple Explanation
प्रत्येक \(x\in A\) के लिए \(x^2\in B\) और छवि ठीक एक है। परीक्षा में नियम की छवियां सहप्रांत में हैं या नहीं, यह देखें। / For every \(x\in A\), \(x^2\in B\) and the image is exactly one. In exams, check whether the rule's images lie in the codomain.
\(2^1=2\), \(2^2=4\) और \(2^3=8\), इसलिए परिसर ({2,4,8}) है। परीक्षा में घातीय नियम में हर इनपुट रखें। / \(2^1=2\), \(2^2=4\), and \(2^3=8\), so the range is ({2,4,8}). In exams, substitute every input in an exponential rule.
A. क्योंकि (f(1)=-1) है और \(-1\notin{0,1,2}\)/Because (f(1)=-1) and \(-1\notin{0,1,2}\)
Explanation
Simple Explanation
(f(1)=-1) सहप्रांत (B) में नहीं है, इसलिए यह (A) से (B) में फलन नहीं होगा। परीक्षा में आउटपुट सहप्रांत में होना चाहिए। / (f(1)=-1) is not in codomain (B), so it is not a function from (A) to (B). In exams, every output must lie in the codomain.
(f(2)=0), (f(3)=1) और (f(4)=2), इसलिए परिसर ({0,1,2}) है। परीक्षा में डोमेन बदलने से परिसर भी बदलता है। / (f(2)=0), (f(3)=1), and (f(4)=2), so the range is ({0,1,2}). In exams, changing the domain changes the range too.
विकल्प (A) में अलग-अलग प्रांत तत्वों की छवियां अलग-अलग हैं। परीक्षा में एक-एक फलन के लिए छवियों की पुनरावृत्ति न हो। / In option (A), different domain elements have different images. In exams, for a one-one function, images should not repeat.
A. (d) सहप्रांत में है पर परिसर में नहीं/(d) is in the codomain but not in the range
Explanation
Simple Explanation
(d) सहप्रांत (B) का तत्व है पर कोई प्रांत तत्व उस पर नहीं जा रहा। परीक्षा में सहप्रांत में अतिरिक्त तत्व हो सकते हैं। / (d) is an element of codomain (B), but no domain element maps to it. In exams, the codomain may contain extra elements.
(A) के (4) तत्वों के लिए (B) की (2) पसंद हैं, इसलिए \(2^4=16\) फलन हैं। परीक्षा में आधार सहप्रांत की संख्या होती है। / There are (2) choices from (B) for each of the (4) elements of (A), so there are \(2^4=16\) functions. In exams, the base is the size of the codomain.
\(A\times B\) में \(4\times 2=8\) युग्म हैं, इसलिए कुल संबंध \(2^8=256\) हैं। परीक्षा में संबंधों के लिए कार्टेशियन गुणनफल के उपसमुच्चय गिनें। / \(A\times B\) has \(4\times 2=8\) pairs, so total relations are \(2^8=256\). In exams, count subsets of the Cartesian product for relations.
A. (f) फलन है और इसका परिसर ({0,1,4}) है/(f) is a function and its range is ({0,1,4})
Explanation
Simple Explanation
हर प्रांत तत्व की ठीक एक छवि है और छवियां ({0,1,4}) हैं। परीक्षा में प्रांत और परिसर को अलग-अलग पहचानें। / Every domain element has exactly one image and the images are ({0,1,4}). In exams, identify domain and range separately.
A. (12) सहप्रांत में है पर परिसर में नहीं/(12) is in the codomain but not in the range
Explanation
Simple Explanation
(f(1),f(2),f(3)) से (3,6,9) मिलते हैं, (12) नहीं। परीक्षा में अप्राप्त सहप्रांत तत्व को परिसर में न रखें। / (f(1),f(2),f(3)) give (3,6,9), not (12). In exams, do not put an unattained codomain element in the range.
हर प्रांत तत्व (0) या (1) में से किसी एक पर जा सकता है, इसलिए प्रत्येक के लिए (2) पसंद हैं। परीक्षा में कुल गिनती के लिए इन पसंदों को गुणा करें। / Each domain element can map to either (0) or (1), so there are (2) choices for each. In exams, multiply these choices for the total count.
प्रांत (A) में केवल (3) की छवि नहीं है, इसलिए ((3,5)) जोड़ने से हर तत्व की ठीक एक छवि हो जाएगी। परीक्षा में पहले छूटे हुए प्रांत तत्व को पहचानें। / Only (3) in domain (A) has no image, so adding ((3,5)) gives every element exactly one image. In exams, first identify the missing domain element.
