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Mathematics Coordinate Geometry MCQ Questions for Class 10
Related questions grouped automatically for chapter-wise practice. Topics include Graphical method of finding solutions., Geometrical meaning of the zeroes of a polynomial., Conditions for solvability, Algebraic methods: Substitution method and Elimination method., Nature of Roots.
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Coordinate Geometry - Topics Covered
Mathematics Coordinate Geometry ke topic-wise MCQs yahan grouped context me milenge. jo aap ko Exam ki preparation me madad milegi. Ye questions exam-oriented hai and students ko concept clarity, quick revision aur board exam preparation kaafi madad karenge. Sabhi se jude MCQs important topics ke anusar arranged hai, taaki aap Coordinate Geometry ko easy tarike se practice aur revise kar sake.
Graphical method of finding solutions.
58 MCQs
Geometrical meaning of the zeroes of a polynomial.
48 MCQs
Conditions for solvability
9 MCQs
Algebraic methods: Substitution method and Elimination method.
2 MCQs
Nature of Roots
2 MCQs
Representing real numbers on the number line
1 MCQs
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A. (3) बहुपद का शून्यक है/(3) is a zero of the polynomial
Explanation
Simple Explanation
बिंदु (3, 0) का अर्थ है कि x=3 पर y=0 है, अर्थात् बहुपद का मान शून्य होता है। इसलिए x=3 बहुपद का शून्यक (root) है। विकल्प B गलत है क्योंकि (0) तभी शून्यक होगा यदि बिंदु (0,0) दिया होता। विकल्प C गलत है क्योंकि गुणांक बहुपद के पदों के सामने स्थित स्थिर संख्याएँ होती हैं, न कि ग्राफ के किसी बिंदु के x–समन्वय। विकल्प D गलत है क्योंकि y=0 अधिकतम मान नहीं दर्शाता। परीक्षा टिप: किसी भी ग्राफ का x-अवरोध (x-intercept) वही x मान देता है जहाँ बहुपद का मान शून्य होता है। / The point (3, 0) means that at x = 3 the polynomial's value y = 0, so x = 3 is a root (zero) of the polynomial. Option B is incorrect because 0 would be a zero only if the point were (0, 0). Option C is wrong since a coefficient is a constant multiplying a term, not an x-coordinate of a point on the graph. Option D is wrong because y = 0 does not imply a maximum. Exam tip: zeros of a polynomial are exactly the x-values of its x-intercepts where y = 0.
यहाँ \(p(x)\) किसी बहुपद का मान (y‑मान) दर्शाता है। \(p(-1)=0\) का अर्थ है कि जब \(x=-1\), तब \(y=0\) होगा, इसलिए ग्राफ बिंदु \((-1,0)\) से गुज़रेगा। विकल्प B \((1,0)\) उस स्थिति के लिए सही होता जब \(p(1)=0\) दिया गया होता — यह सिर्फ चिन्ह की त्रुटि है। विकल्प C और D तब सही होते जब \(p(0)=-1\) या \(p(0)=1\) होता, जो यहाँ नहीं कहा गया। परीक्षा‑टिप: किसी भी बहुपद के शून्य के लिए \(p(a)=0\) लिखें और तुरंत बिंदु \((a,0)\) पहचानें। / Here \(p(x)\) denotes the polynomial's value (the y‑coordinate). \(p(-1)=0\) means at \(x=-1\) the value is \(y=0\), so the graph passes through the point \((-1,0)\). Option B \((1,0)\) would be correct only if \(p(1)=0\) — it's a sign‑error distractor. Options C and D correspond to values at \(x=0\) and are irrelevant unless \(p(0)=-1\) or \(p(0)=1\) were given. Exam tip: whenever \(p(a)=0\), the x‑coordinate of the zero is \(a\) and the point is \((a,0)\).
\(p(6)=0\) का अर्थ है कि जब \(x=6\) होगा तो फलन का मान \(y=p(6)\) शून्य होगा। इसलिए ग्राफ x-अक्ष (जहाँ \(y=0\)) को उस बिंदु पर काटेगा जहाँ \(x=6\), यानी \((6,0)\)। निकटतम भ्रामक विकल्प \((-6,0)\) इसलिए गलत है क्योंकि उसमें संकेत का परिवर्तन दिखता है — वहाँ तक पहुँचने के लिए हमें \(p(-6)=0\) दिया होना चाहिए, जो नहीं दिया है। परीक्षा सुझाव: किसी भी raíz के लिए यदि \(p(a)=0\) दिया हो तो तुरंत x-अक्ष पर काटाव \((a,0)\) लिखें। / \(p(6)=0\) means the function value is zero at \(x=6\), so the graph meets the x-axis (where \(y=0\)) at the point \((6,0)\). The closest distractor \((-6,0)\) is a sign error — nothing in the given information implies \(p(-6)=0\). Exam tip: whenever you are given \(p(a)=0\), the corresponding x-intercept is always \((a,0)\).
किसी बहुपद का शून्यक वह x-मान होता है जहाँ बहुपद का मान शून्य हो, यानी जहाँ ग्राफ x-अक्ष (y=0) को काटता है। बिंदु \((a,0)\) में x-निर्देशांक \(a\) है, अतः शून्यक \(a\) होगा। विकल्प \(0\) गलत है क्योंकि वह y-निर्देशांक है; \(-a\) और \(a^2\) भी उस बिंदु के x-निर्देशांक नहीं हैं। परीक्षा टिप: x-अक्ष पर कटने वाले बिंदु में हमेशा y=0 होता है — इसलिए शून्यक सीधे x-कोऑर्डिनेट होता है। / The zero of a polynomial is the x-value where the polynomial equals zero, i.e., where the graph meets the x-axis (y=0). At the point \((a,0)\) the x-coordinate is \(a\), so the zero is \(a\). Option \(0\) is incorrect because that is the y-coordinate at the intersection; \(-a\) and \(a^2\) are not the x-coordinate of the given point. Exam tip: when a graph intersects the x-axis, read off the x-coordinate — that is the zero (root).
बिंदु \((a,0)\) ग्राफ पर होने का अर्थ है कि जब x=a होगा तो y का मान 0 होगा। बहुपद के ग्राफ पर y का मान \(p(x)\) है, अतः \(p(a)=0\)। विकल्प B (a) ग़लत है क्योंकि x का मान (a) होना यह नहीं दर्शाता कि बहुपद की मान वही होगा — y मान अलग होता है; विकल्प C और D भी स्पष्ट रूप से गलत हैं। परीक्षा-टिप: x-अक्ष पर आने वाले किसी भी बिंदु की y-कोऑर्डिनेट हमेशा 0 होती है, इसलिए सीधे \(p(a)=0\) देख लें। / The point \((a,0)\) on the graph means that for x=a the y-value is 0. Since the graph represents y = \(p(x)\), we have \(p(a)=0\). Option B (a) is wrong because the x-coordinate being a does not imply the function value equals a; options C and D are also incorrect. Exam tip: any x-intercept has y = 0, so substitute x = a into \(p(x)\) to get \(p(a)=0\).
शून्यक वह x मान है जहाँ रेखा का y मान शून्य होता है। इसलिए \(0 = x + 9\) रखकर हल करने पर \(x = -9\) मिलता है। विकल्प A (9) गलत है क्योंकि यह साइन की उलटी गलती होगी; विकल्प C (0) गलत है क्योंकि \(x=0\) पर \(y=9\) होगा, न कि 0; विकल्प D (18) किसी भी तरह से सही गणना नहीं है। परीक्षा टिप: किसी भी रेखा का x-अवरोध पाने के लिए हमेशा \(y=0\) रखकर समीकरण हल करें। / The zero (x-intercept) is the x-value where y = 0. Setting \(0 = x + 9\) gives \(x = -9\). Option A (9) is a sign-error; option C (0) is wrong because at \(x=0\) the line gives \(y=9\), not 0; option D (18) is simply incorrect. Exam tip: to find an x-intercept, set \(y=0\) and solve for \(x\).
बिंदु (-8, 0) का अर्थ है कि जब x = -8 होगा तो y का मान 0 है। बहुपद का मान y ही होता है, इसलिए बहुपद x = -8 पर शून्य होगा (अर्थात् f(-8)=0)। विकल्प B (x = 8) सिर्फ साइन के विपरीत है और गलत है; विकल्प C (x = 0) केवल तब सही होता यदि बिंदु (0,0) दिया होता; विकल्प D कोई संबंधित कारण नहीं देता। परीक्षा टिप: किसी भी x-अक्ष पर स्थित बिंदु का x-कोऑर्डिनेट तुरंत उस बिंदु के लिए बहुपद का शून्य बताता है। / The point (-8, 0) means y = 0 when x = -8. Since the polynomial's value is y, the polynomial is zero at x = -8 (i.e. f(-8)=0). Option B (x = 8) has the wrong sign; option C (x = 0) would be correct only for the point (0,0); option D is unrelated. Exam tip: an x-intercept (y=0) gives the root directly as the x-coordinate shown.
किसी बहुपद का शून्यक वह x मान है जहाँ ग्राफ पर y का मान शून्य होता है (यानी ग्राफ x-अक्ष को छूता है)। इसलिए जब x = 11 शून्यक है तो ग्राफ पर बिंदु \,(11,0)\, मौजूद होगा। विकल्प (0,11) में x = 0 है, (11,1) में y ≠ 0 है इसलिए वे शून्यक सिद्ध नहीं करते, और (-11,0) में y = 0 तो सही है पर x = -11 है, न कि 11। परीक्षा-सुझाव: किसी दिए x के लिए शून्यक जाँचने के लिए देखें कि ग्राफ पर बिंदु \,(x,0)\, मौजूद है या नहीं — यानी x-अक्ष पर वही x मान मौजूद होना चाहिए। / A zero of a polynomial at x = 11 means the graph has y = 0 when x = 11, i.e. the point (11,0) lies on the graph (an x-intercept at x = 11). Option (0,11) has x = 0, so it does not show x = 11 is a zero; (11,1) has x = 11 but y ≠ 0 so it is not a zero; (-11,0) has y = 0 but at x = -11, not x = 11. Exam tip: to verify a zero visually, check for the point (a,0) — the x-intercept at that x-value.
किसी बहुपद का शून्यक वह x-मूल्य होता है जहाँ बहुपद का मान 0 होता है — यानी ग्राफ पर बिंदु \/(x,0\/)। इसलिए x = -2 शून्यक होने के लिए ग्राफ पर बिंदु \/(-2,0\/) होना चाहिए। विकल्प D में x = -2 सही है लेकिन y = 2 ≠ 0 है, इसलिए वह शून्यक नहीं है। विकल्प B और C में या तो x ≠ -2 है या y ≠ 0। परीक्षा सुझाव: शून्यक पहचानते समय हमेशा जांचें कि y = 0 हो और उस बिंदु का x-मूल्य लक्ष्यित मान के बराबर हो। / A zero (root) corresponds to an x-value where the polynomial evaluates to 0, i.e., a point on the graph \/(x,0\/). For x = -2 the point must be \/(-2,0\/), so option A is correct. Option D has x = -2 but y = 2 (not zero), so it is not a root. Option B is an x-intercept at x = 2, and option C has y = -2, not y = 0. Exam tip: to find roots from a graph, locate points with y = 0; their x-coordinates are the zeros.
किसी बहुपद का शून्यक वह x‑मान होता है जहाँ ग्राफ x‑अक्ष को छूता यानी \(y=0\) होता है। बिंदु (4, 2) में \(y=2\) है, न कि 0, इसलिए \(x=4\) शून्यक नहीं है। विकल्प C और D गलत हैं क्योंकि बहुपद की डिग्री या ग्राफ का प्रकार (रेखा या गैर‑रेखा) शून्यक होने की परिभाषा को बदलते नहीं हैं। परीक्षा टिप: किसी भी दिए बिंदु के लिए पहले y‑निर्देशांक देखिए — शून्यक तभी जब y=0 हो। / A zero of a polynomial is an x‑value where the graph meets the x‑axis, i.e. where \(y=0\). The point (4, 2) has \(y=2\), not 0, so \(x=4\) is not a zero. Options C and D are incorrect because degree or whether the graph is a straight line does not change the definition of a zero. Exam tip: always check the y‑coordinate — zeros occur only when y = 0 (x‑intercepts).
A. जहाँ आलेख \(x\)-अक्ष को काटता है/Where the graph cuts the x-axis
Explanation
Simple Explanation
बहुपद का शून्य वह x-मूल है जहाँ \(p(x)=0\)। आलेख में \(y\) मान वही होता है जो \(p(x)\) देता है, अतः \(p(x)=0\) पर आलेख पर \(y=0\) होगा — यानी आलेख x-अक्ष को काटेगा। गलत विकल्पों का संक्षेप: (B) y-अक्ष पर वह बिंदु होता है जहाँ \(x=0\), न कि जहाँ \(p(x)=0\)। (C) उच्चतम बिंदु जरूरी नहीं कि \(y=0\) हो। (D) वह बिंदु सीधे तौर पर शून्य का विरोध है क्योंकि वहाँ \(p(x)\neq 0\)। परीक्षा-टिप: शून्य = \(p(x)=0\) = आलेख पर \(y=0\) होना — इसे याद रखें। / A zero (root) of the polynomial is an x-value where \(p(x)=0\). On the graph the y-coordinate equals \(p(x)\), so when \(p(x)=0\) the point lies on the x-axis (where \(y=0\)). Why others are wrong: (B) the y-axis corresponds to \(x=0\), not \(p(x)=0\). (C) a highest point (maximum) need not have \(y=0\). (D) any point with \(p(x)\neq 0\) cannot be a zero. Exam tip: remember “zero of p(x)” means the graph crosses or touches the x-axis at that x-value (i.e. \(y=0\)).
A. \((4)\) बहुपद का शून्यक है/\((4)\) is a zero (root) of the polynomial
Explanation
Simple Explanation
बिंदु \((4,0)\) का अर्थ है कि \(x=4\) पर बहुपद की मान \(p(x)=0\) है, अतः \(4\) बहुपद का शून्यक (root) है। विकल्प B गलत है क्योंकि \((0)\) तभी शून्यक होगा जब बिंदु \((0,0)\) या \(p(0)=0\) हो — यहाँ \(x=4\) है, न कि 0। विकल्प C गलत है क्योंकि y-अक्ष पर कटान वह बिंदु होता है जहाँ \(x=0\)। विकल्प D गलत है क्योंकि एक बिंदु \((4,0)\) होने से बहुपद का स्थिर होना सिद्ध नहीं होता (स्थिर बहुपद के सभी बिंदु एक समान y देंगें)। परीक्षा-टिप: x-अक्ष पर कटान (a,0) हमेशा शून्यक a देता है; y-अक्ष पर कटान के लिए x=0 लगाएँ। / The point \((4,0)\) means the polynomial value is \(p(4)=0\), so 4 is a root (zero) of the polynomial. Option B is wrong because 0 would be a root only if \(x=0\) (i.e. point \((0,0)\) or \(p(0)=0\)); here x=4. Option C is incorrect because a y-intercept occurs at \(x=0\), not at \(x=4\). Option D is wrong since a single x-intercept does not imply the polynomial is constant. Exam tip: x-intercepts \((a,0)\) correspond to roots a; to find y-intercept set \(x=0\).
मूल बिंदु (0,0) का अर्थ है कि जब x=0 लिया जाए तो बहुपद का मान p(0)=0 होगा। इसलिए x=0 अवश्य एक शून्यक (root) है। अन्य विकल्प — जैसे 1 या -1 — तभी शून्यक होंगे जब p(1)=0 या p(-1)=0; लेकिन origin से गुजरने से इनके लिए कोई गारंटी नहीं मिलती। परीक्षात्मक सुझाव: किसी बिंदु से गुजरने की स्थिति में उस बिंदु के x‑मान को बहुपद में रखकर p(x) = 0 की जाँच करें। / Passing through the origin (0,0) means p(0)=0, so x=0 is necessarily a root of the polynomial. Other choices (1, -1, 2) would be roots only if p(1)=0, p(-1)=0, or p(2)=0 respectively; the graph passing through the origin does not guarantee those. Exam tip: substitute x=0 into the polynomial to check quickly whether 0 is a root.
x-अक्ष पर कटान बिंदु वे बिंदु होते हैं जहाँ बहुपद का मान शून्य हो (यानी \(p(x)=0\)) और y‑निर्देशांक 0 होता है। \(p(x)=x+4\) को \(0\) के बराबर रखने पर \(x+4=0\) मिलता है जिससे \(x=-4\)। अतः कटान बिंदु \((-4,0)\) है। विकल्प B (4,0) गलत है क्योंकि संकेत उल्टा है; विकल्प C और D y-अक्ष (x=0) पर स्थित बिंदु हैं, x-अक्ष पर नहीं। परीक्षण-टिप: x-अक्ष का पता लगाने के लिए हमेशा फंक्शन को 0 के बराबर रखें। / An x-axis intersection (x-intercept) occurs where the polynomial equals zero (i.e. \(p(x)=0\)) so the y-coordinate is 0. For \(p(x)=x+4\), setting \(x+4=0\) gives \(x=-4\), hence the intercept is \((-4,0)\). Option B (4,0) is incorrect due to the wrong sign; options C and D are points on the y-axis (x=0), not x-axis intercepts. Exam tip: to find x-intercepts, set the function equal to zero and solve for x.
x-अक्ष पर किसी बिंदु का y‑मान हमेशा 0 होता है, इसलिए यदि ग्राफ x‑अक्ष को (6, 0) पर काटता है तो p(6)=0 होगा। गलत विकल्प B (6) इसलिए भ्रामक है क्योंकि 6 केवल x‑निर्देशांक है, y‑मान नहीं। टिप: x‑अक्ष पर हमेशा y=0 होता है — कटान बिंदु से p(x) का मान सीधे पढ़ें। / Any point on the x‑axis has y = 0. Since the graph crosses the x‑axis at (6, 0), the function value p(6) is 0. Option B (6) is misleading because 6 is the x‑coordinate, not the y‑value. Exam tip: an intersection with the x‑axis always means the function value at that x is 0 (p(x)=0).
A. आलेख \((-1,0)\) से गुजरता है/The graph passes through \((-1,0)\)
Explanation
Simple Explanation
\(p(-1)=0\) का अर्थ है कि जब \(x=-1\) होगा तब \(y=p(x)=0\) होगा; अतः बिंदु \((-1,0)\) आलेख पर आता है। विकल्प B गलत है क्योंकि उसे साबित करने के लिये हमें \(p(0)=-1\) चाहिए होता जो दिया नहीं है। विकल्प C गलत है क्योंकि y-अक्ष पर बिंदु निकालने के लिये हमें \(p(0)\) देखना होता है — \(p(-1)=0\) से इसका निर्णय नहीं होता। विकल्प D गलत है क्योंकि बहुपद की डिग्री 1 न होने पर आलेख सरल रेखा नहीं होता। परीक्षा-टिप: x-अक्ष छेद जानने के लिए हमेशा \(p(x)=0\) हल करें; y-अक्ष के लिए \(p(0)\) देखें। / The statement \(p(-1)=0\) means at \(x=-1\) the value \(y=p(x)\) is zero, so the point \((-1,0)\) lies on the graph. Option B is incorrect because that would require \(p(0)=-1\), which is not given. Option C is wrong since intersection with the y-axis depends on \(p(0)\), not on \(p(-1)\). Option D is false because only degree‑1 polynomials are straight lines. Exam tip: x-intercepts come from solving \(p(x)=0\); the y-intercept is \(p(0)\).
A. नहीं — क्योंकि p(0) = 5 60;0 8594/No — because p(0) = 5 60;0
Explanation
Simple Explanation
शून्यक होने के लिए किसी मान α पर p(α)=0 होना अनिवार्य है। यहाँ ग्राफ (0,5) पर है, इसका अर्थ है p(0)=5, जो शून्य नहीं है; इसलिए x=0 शून्यक नहीं है। निकटतम भ्रमित करने वाला विकल्प यह कहता है कि केवल x=0 होने से शून्यक बन जाता है — यह गलत है क्योंकि शून्यक होने का प्रश्न फलन का मान शून्य होने पर आधारित है। परिक्षा-सुझाव: किसी भी अक्ष-कटान (x या y) के लिए पहले p(अंक) की संख्या निकालें और देखें क्या वह 0 है। / A zero x = α of a polynomial satisfies p(α)=0. The point (0,5) means p(0)=5, which is not zero, so x=0 is not a zero. A common distractor says “x=0 so it is a zero”; that is wrong because being at x=0 does not force p(0)=0. Exam tip: always substitute the x-coordinate into p(x) and check whether the value equals 0 before calling it a zero.
किसी बहुपद के शून्यक वे x-मान होते हैं जहाँ उसका ग्राफ x-अक्ष को काटता है (यानी y = 0)। दिए हुए बिंदु (0,0) और (3,0) के x-निर्देशांक क्रमशः 0 और 3 हैं, इसलिए शून्यक 0 और 3। निकटभ्रामक विकल्प C में 3 की जगह −3 है (साइन गलत है)। विकल्प B और D दोनों बिंदुओं को परिलक्षित नहीं करते। टिप: x-अक्ष पर जहाँ y = 0 हो, वही बिंदु शून्यक देती है — सीधे x-निर्देशांक पढ़ें। / Zeros of a polynomial are the x-values where its graph meets the x-axis (y = 0). The given points (0,0) and (3,0) have x-coordinates 0 and 3, so the zeros are 0 and 3. Distractor C wrongly uses -3 instead of 3 (wrong sign). Options B and D fail to include both intercepts. Exam tip: read the x-coordinate of each x-intercept — its y-value must be zero.
शून्य निकालने के लिए p(x)=0 रखें:
\(3x=0\) से \(x=0\) मिलता है। ग्राफ का x-अक्ष पर प्रतिच्छेदन बिंदु शून्यक के रूप में \((x,0)\) होता है, इसलिए बिंदु \((0,0)\) है। निकट का विकर्षक \((3,0)\) इसलिए गलत है क्योंकि वह x=3 का संकेत देता है, परन्तु \(3x\) केवल x=0 पर शून्य होता है। परीक्षा सुझाव: किसी भी बहुपद के लिए x-अक्ष पर प्रतिच्छेदन पाने हेतु उसे शून्य के बराबर रखकर मूल निकालें और उत्तर बिंदु को \((root,0)\) के रूप में लिखें। / Set p(x)=0 to find the root: \(3x=0\) gives \(x=0\). The x-axis intersection is the root written as a point \((x,0)\), so the intersection is \((0,0)\). The nearby distractor \((3,0)\) is incorrect because it corresponds to x=3, whereas \(3x\) vanishes only at x=0. Exam tip: always solve p(x)=0 and express the answer as \((root,0)\).
x-अक्ष पर y = 0 होता है। इसलिए \(0 = x + 2\) से \(x = -2\) मिलता है। अर्थ: x-अक्ष पर कटान रेखा के समीकरण के दाएं पक्ष का शून्य (zero) होता है। नज़दीकी विचलक 2 गलत है क्योंकि उसका संकेत विपरीत है; 0 और 1 भी समीकरण को संतुष्ट नहीं करते। परीक्षा टिप: किसी भी रेखा का x‑कटान निकालने के लिए सीधे \(y=0\) रखें और x हल करें। / On the x-axis, \(y=0\). Substituting gives \(0 = x + 2\), so \(x = -2\). Interpretation: the x‑intercept is the value of x that makes the expression equal to zero. The nearest distractor 2 is wrong due to the sign; 0 and 1 do not satisfy the equation. Exam tip: to find an x‑intercept always set \(y=0\) and solve for x.
परिभाषा के अनुसार किसी संख्या a को बहुपद का शून्यक तभी कहते हैं जब \(p(a)=0\) हो। यहाँ \(p(2)=3\) दिया है, जो कि शून्य नहीं है, अतः 2 शून्यक नहीं है। विकल्प C गलत है क्योंकि बहुपद की डिग्री (जैसे द्विघात होना) इस निर्णय को प्रभावित नहीं करती—किसी भी डिग्री के लिए शर्त वही है: \(p(a)=0\)। परीक्षा टिप: किसी संभावित शून्यक पर बहुपद का मान निकालें; यदि परिणाम 0 आया तो वह शून्यक है। / By definition a number a is a zero (root) of a polynomial iff \(p(a)=0\). Here \(p(2)=3\), which is not zero, so 2 is not a zero. Option C is incorrect because the degree (quadratic or otherwise) does not change the criterion; any degree requires \(p(a)=0\) to be a root. Exam tip: evaluate the polynomial at the given value—if the result is 0, it is a root.
कारण: फलन को \(y=p(x)\) के रूप में लिखते हैं, अत: \(p(-4)=0\) का अर्थ है कि जब \(x=-4\) होगा तो \(y=0\) होगा — यानी बिंदु \((-4,0)\)। निकटतम विचलित विकल्प (0, −4) गलती से निर्देशांकों को उलट देने पर मिलता है; वह तभी सही होगा जब \(p(0)=-4\) दिया हो, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा युक्ति: हमेशा \(p(x)\) को \(y\)-निर्देशांक समझकर बिंदु \((x,p(x))\) लिखें। / Reason: Interpret the polynomial as the function \(y=p(x)\). \(p(-4)=0\) means at \(x=-4\) the value \(y=0\), so the graph passes through the point \((-4,0)\). The closest distractor (0, −4) comes from swapping coordinates; it would be correct only if \(p(0)=-4\), which is not given. Exam tip: treat \(p(x)\) as the y-coordinate and plot the point \((x,p(x))\).
किसी बहुपद का शून्य वह x‑मान है जहाँ बहुपद का मान शून्य हो, अर्थात् ग्राफ़ x‑अक्ष को काटता है। इस अर्थ में शून्य दर्शाने वाला बिंदु का y‑निर्देशांक \\(y=0\\) होना चाहिए। बिंदु (9,0) का y‑निर्देशांक 0 है, इसलिए यह बहुपद का शून्य दर्शाता है। सबसे नज़दीकी विचलन (0,9) गलत है क्योंकि इसका y‑निर्देशांक 0 नहीं है (यह y‑अक्ष पर है), इसी तरह (9,9) और (0,-9) भी x‑अक्ष पर नहीं हैं। परीक्षा टिप: किसी भी बिंदु में तुरंत देखें कि क्या y = 0 है — अगर हाँ, तो वह x‑value शून्य है। / A zero of a polynomial corresponds to an x‑intercept of its graph, i.e. a point whose y‑coordinate is zero. Thus the representing point must satisfy \(y=0\). The point (9,0) has y = 0, so x = 9 is a zero. The closest distractor (0,9) is incorrect because its y ≠ 0 (it lies on the y‑axis); similarly (9,9) and (0,-9) do not lie on the x‑axis. Exam tip: quickly check the y‑coordinate — zeros appear where y = 0.
A. आलेख बिंदु (3, 0) से गुजरे/The graph passes through the point (3, 0)
Explanation
Simple Explanation
यदि x = 3 बहुपद का शून्यक है तो बहुपद का मान p(3) = 0 होगा। ग्राफ में यह उसी बिंदु के रूप में दिखता है जहाँ x-अक्ष पर x = 3 पर स्थित बिंदु का y‑सहनिर्देश 0 हो, यानी (3, 0)। विकल्प B और C में y ≠ 0 है, अत: वे शून्यक नहीं हैं; विकल्प D पर x = -3 है, न कि 3। परीक्षा टिप: किसी दिए हुए x के लिए p(x) को परखें या ग्राफ पर x‑समीकरण के साथ y = 0 का मिलान देखें। / If x = 3 is a zero then p(3) = 0. On the graph this means the point with x‑coordinate 3 lies on the x‑axis, i.e. (3, 0). Options B and C have y ≠ 0 so they cannot be zeros; option D has x = -3, not 3. Exam tip: substitute the given x into p(x) to check if it equals zero, or look for the point (x, 0) on the graph.
जब ग्राफ़ \\(x=10\\) पर \\(x\\)-अक्ष को काटता है तो उस बिंदु का निर्देशांक \\( (10,0)\\) होता है। बहुपद का मान y-निर्देशांक के बराबर होता है, अतः \\(p(10)=0\\) होगा। निकटतम भ्रामक विकल्प \\(p(-10)=0\\) इसलिए गलत है क्योंकि वह बिंदु \\(x=-10\\) के लिए है, न कि \\(x=10\\) के लिए। अन्य विकल्प \\(p(0)=10\\) और \\(p(10)=10\\) भी असंगत हैं क्योंकि \\(x\\)-अक्ष पर फलन का मान 0 होना चाहिए। टिप: यदि ग्राफ़ किसी बिंदु \\( (a,0)\\) पर कटता है तो तुरंत जांचें कि \\(p(a)=0\\)। / If the graph crosses the \\(x\\)-axis at \\(x=10\\), the point on the curve is \\( (10,0)\\). The polynomial's value at x equals the y-coordinate, so \\(p(10)=0\\). The closest distractor \\(p(-10)=0\\) is wrong because it refers to x = -10, not x = 10. The options \\(p(0)=10\\) and \\(p(10)=10\\) are inconsistent with crossing the x-axis because y must be 0 there. Exam tip: when told the graph crosses at \\(x=a\\), substitute x = a; a crossing on the x-axis means \\(p(a)=0\\).
A. यह (y)-अक्ष पर कटान है और यहाँ y ≠ 0 है, इसलिए 7 शून्यक नहीं है/It is a y-axis intercept with y ≠ 0, so 7 is not a zero
Explanation
Simple Explanation
किसी बहुपद का शून्यक उस बिंदु का x‑निर्देशांक होता है जहाँ ग्राफ x‑अक्ष को काटता है, अर्थात् उस बिंदु का y‑निर्देशांक 0 होना चाहिए। बिंदु (0, 7) x‑अक्ष पर नहीं है बल्कि y‑अक्ष पर है (y=7), इसलिए 7 शून्यक नहीं है। सबसे करीब भ्रामक विकल्प (C) गलत है क्योंकि y‑अक्ष कटान का x=0 होता है पर y शून्य होना अनिवार्य नहीं है। परीक्षा टिप: किसी बिंदु को शून्यक मानने से पहले उसका दूसरा निर्देशांक (y) 0 है या नहीं जांचें। / A zero (root) corresponds to an x-coordinate where the graph meets the x-axis, so the y-coordinate must be 0. The point (0, 7) lies on the y-axis with y = 7, not on the x-axis, therefore 7 is not a zero. The closest distractor (C) is wrong because a y-intercept has x = 0 but its y need not be 0. Exam tip: always check that the second coordinate (y) equals 0 before calling an x-value a zero.
शून्यक (zeros) वे x-मान होते हैं जहाँ आलेख x-अक्ष को छूता है, यानी y का मान 0 होता है। दिए गए बिंदुओं में \\((1,0)\\) और \\((4,0)\\) में y=0 है, अतः शून्यक 1 और 4 हैं। विकल्प B गलत है क्योंकि \\((0,6)\\) में y=6 है (यह y-अवरोधन है), इसलिए वह शून्यक नहीं है। परीक्षा टिप: किसी भी बिंदु को शून्यक मानने से पहले हमेशा उसकी y-निर्धारित मान देखें — केवल y=0 पर ही शून्यक होते हैं। / Zeroes are the x-values where the graph meets the x-axis, i.e. where y = 0. Among the given points \\((1,0)\\) and \\((4,0)\\) have y = 0, so the zeroes are 1 and 4. Option B is incorrect because \\((0,6)\\) has y = 6 (an y-intercept), not y = 0. Exam tip: always check the y-coordinate — only points with y = 0 give zeroes.
\(y=0\) रखने पर समीकरण \(x+2(0)=8\) हो जाता है, इसलिए \(x=8\)। अतः रेखा का x-अक्ष पर अवरोध बिंदु \((8,0)\) है। विकल्प 4 केवल 2 के गुणांक से भ्रम के कारण आ सकता है। परीक्षा में x-अवरोध निकालने के लिए हमेशा \(y=0\) रखें। / Substituting \(y=0\) in the equation gives \(x+2(0)=8\), so \(x=8\). Therefore, the x-intercept of the line is the point \((8,0)\). The value 4 may result from confusing the coefficient 2 with the required calculation. Exam tip: To find the x-intercept, always put \(y=0\).
प्रतिच्छेद बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है। बिंदु (3, 3) के लिए \(3+3=6\) और \(3-3=0\), इसलिए यही ग्राफीय हल है। विकल्प B में पहला समीकरण सही है, लेकिन \(6-0\neq0\), इसलिए वह दूसरी रेखा पर नहीं है। परीक्षा-युक्ति: दोनों समीकरणों में दिए गए बिंदु के निर्देशांक रखकर जाँच करें। / The point of intersection must satisfy both equations. For (3, 3), \(3+3=6\) and \(3-3=0\), so it is the graphical solution. Option B satisfies the first equation but \(6-0\neq0\), so it does not lie on the second line. Exam tip: Substitute the coordinates into both equations to verify the intersection point.
A. (y)-अक्ष के समांतर ऊर्ध्वाधर रेखा/A vertical line parallel to the (y)-axis
Explanation
Simple Explanation
समीकरण \(x=3\) में प्रत्येक बिंदु का \(x\)-निर्देशांक 3 होता है, जबकि \(y\)-निर्देशांक कोई भी मान ले सकता है। इसलिए इसके सभी बिंदु \(y\)-अक्ष के समांतर एक ऊर्ध्वाधर रेखा पर स्थित होते हैं। विकल्प B \(y=3\) के लिए सही होता। परीक्षा टिप: \(x=\) नियत होने पर रेखा ऊर्ध्वाधर और \(y=\) नियत होने पर रेखा क्षैतिज होती है। / In the equation \(x=3\), the \(x\)-coordinate of every point is 3, while the \(y\)-coordinate can have any value. Hence, all such points lie on a vertical line parallel to the \(y\)-axis. Option B would be correct for \(y=3\). Exam tip: a constant \(x\)-value gives a vertical line, whereas a constant \(y\)-value gives a horizontal line.
A. x-अक्ष के समांतर क्षैतिज रेखा/Horizontal line parallel to the x-axis
Explanation
Simple Explanation
समीकरण \(y=2\) में y का मान हमेशा 2 रहता है, जबकि x का मान कोई भी हो सकता है। इसलिए इसके सभी बिंदु \((x,2)\) के रूप में होंगे और यह x-अक्ष के समांतर क्षैतिज रेखा बनाएगा। y-अक्ष के समांतर रेखा के लिए समीकरण \(x=\text{स्थिरांक}\) होता है। परीक्षा टिप: \(y=c\) हमेशा क्षैतिज और \(x=c\) हमेशा ऊर्ध्वाधर रेखा दर्शाता है। / In the equation \(y=2\), the y-coordinate is always 2, while x can take any value. Thus, all its points are of the form \((x,2)\), forming a horizontal line parallel to the x-axis. A line parallel to the y-axis has an equation of the form \(x=\text{constant}\). Exam tip: \(y=c\) represents a horizontal line, whereas \(x=c\) represents a vertical line.
दोनों समीकरणों को घटाने पर \\(x=2\\) प्राप्त होता है। इसे \\(x+y=5\\) में रखने पर \\(y=3\\) मिलता है। इसलिए दोनों ग्राफों का प्रतिच्छेद बिंदु \\(2,3\\) है। उदाहरण के लिए, विकल्प B में \\(2(3)+2=8\\), जो 7 के बराबर नहीं है। परीक्षा-युक्ति: प्रतिच्छेद बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है, इसलिए उत्तर को दोनों में जाँचें। / Subtracting the second equation from the first gives \\(x=2\\). Substituting this into \\(x+y=5\\) gives \\(y=3\\). Therefore, the intersection point is \\(2,3\\). For example, option B gives \\(2(3)+2=8\\), so it does not satisfy the first equation. Exam tip: verify a graphical-solution point in both equations.
दोनों अक्ष ( (0,0) ) पर मिलते हैं। ग्राफ पढ़ते समय मूलबिंदु से निर्देशांक गिनना आसान होता है। / Both axes meet at ( (0,0) ). While reading a graph, it is easy to count coordinates from the origin.
x-अवरोध ज्ञात करने के लिए \(y=0\) रखें, जिससे \(x=6\) और बिंदु \((6,0)\) मिलता है। y-अवरोध के लिए \(x=0\) रखने पर \(y=6\) और बिंदु \((0,6)\) मिलता है। इसलिए A सही है। विकल्प B में दोनों निर्देशांक 3 हैं, लेकिन \(3+3=6\) होने के बावजूद वे क्रमशः x-अक्ष और y-अक्ष के अवरोध नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: x-अवरोध के लिए \(y=0\) और y-अवरोध के लिए \(x=0\) रखें। / To find the x-intercept, put \(y=0\), giving \(x=6\) and the point \((6,0)\). To find the y-intercept, put \(x=0\), giving \(y=6\) and the point \((0,6)\). Hence, A is correct. In option B, both coordinates are 3; although \(3+3=6\), those points are not on the respective axes. Exam tip: set \(y=0\) for the x-intercept and \(x=0\) for the y-intercept.
बिंदु \((4,2)\) के निर्देशांक समीकरण में रखने पर \(x-2y=4-2(2)=4-4=0\) प्राप्त होता है। इसलिए यह बिंदु रेखा पर स्थित है। अन्य विकल्पों के लिए समीकरण का मान शून्य नहीं आता। परीक्षा में किसी बिंदु की जाँच करने के लिए उसके \(x\) और \(y\) मानों को सीधे समीकरण में रखें। / Substituting the coordinates of \((4,2)\) gives \(x-2y=4-2(2)=4-4=0\). Therefore, the point lies on the line. The other points do not make the left-hand side equal to zero. In such questions, verify a point by substituting its coordinates directly into the equation.
समीकरण \(x=0\) का अर्थ है कि प्रत्येक बिंदु का \(x\)-निर्देशांक शून्य है, जबकि \(y\)-निर्देशांक कोई भी मान हो सकता है। ऐसे सभी बिंदु \(y\)-अक्ष पर स्थित होते हैं, इसलिए सही उत्तर \(y\)-अक्ष है। \(x\)-अक्ष के लिए \(y=0\) होता है—यह एक उपयोगी परीक्षा-स्मरण युक्ति है। / The equation \(x=0\) means that the \(x\)-coordinate of every point is zero, while the \(y\)-coordinate may have any value. All such points lie on the \(y\)-axis, so the correct answer is the \(y\)-axis. The \(x\)-axis is represented by \(y=0\), which is a useful exam tip to remember.
प्रतिच्छेद बिंदु दोनों समीकरणों को एक साथ संतुष्ट करता है। बिंदु (2, 0) रखने पर x + y = 2 + 0 = 2 और x − y = 2 − 0 = 2 प्राप्त होता है, इसलिए यही सही बिंदु है। (0, 2) पहले समीकरण को संतुष्ट करता है, लेकिन दूसरे को नहीं। परीक्षा में जाँचने के लिए विकल्प के निर्देशांकों को दोनों समीकरणों में रखें। / The point of intersection must satisfy both equations simultaneously. For (2, 0), x + y = 2 + 0 = 2 and x − y = 2 − 0 = 2, so it is the correct point. The point (0, 2) satisfies the first equation but not the second. Exam tip: substitute the coordinates of each option into both equations.
x = 5 को समीकरण में रखने पर 5 + y = 8 मिलता है, इसलिए y = 3। अतः प्राप्त बिंदु (5, 3) है। विकल्प B में x और y के मानों का क्रम बदल गया है, जबकि बिंदु हमेशा (x, y) क्रम में लिखा जाता है। परीक्षा-टिप: किसी बिंदु की जाँच के लिए उसके दोनों निर्देशांकों को समीकरण में रखकर सत्यापित करें। / Substituting x = 5 in the equation gives 5 + y = 8, so y = 3. Therefore, the required point is (5, 3). In option B, the x- and y-values are written in the reverse order, whereas a point is always written as (x, y). Exam tip: Verify a point by substituting both coordinates into the equation.
\(y=1\) रखने पर \(x-1=3\), इसलिए \(x=4\) प्राप्त होता है। अतः बिंदु \((x,y)=(4,1)\) है। विकल्प B में निर्देशांक का क्रम उलट गया है, जबकि ग्राफ में क्रमित युग्म हमेशा \((x,y)\) लिखा जाता है। परीक्षा टिप: पहले \(x\) का मान निकालें और फिर बिंदु को \((x,y)\) के रूप में लिखें। / Substituting \(y=1\) gives \(x-1=3\), so \(x=4\). Therefore, the point is \((x,y)=(4,1)\). Option B reverses the coordinate order; a point is written as \((x,y)\), not \((y,x)\). Exam tip: find the missing coordinate first, then write the ordered pair as \((x,y)\).
\(x=0\) रखने पर \(2(0)+3y=12\), अर्थात् \(3y=12\), इसलिए \(y=4\)। अतः प्राप्त बिंदु \((0,4)\) है, जो इस रेखा का \(y\)-अवरोध भी है। विकल्प B में \(x\) और \(y\) के मान बदल जाते हैं, जबकि C और D समीकरण को संतुष्ट नहीं करते। परीक्षा में \(x=0\) रखने पर मिलने वाला बिंदु सीधे \(y\)-अवरोध के रूप में पहचानें। / Substituting \(x=0\) gives \(2(0)+3y=12\), so \(3y=12\) and \(y=4\). Therefore, the point is \((0,4)\), which is also the \(y\)-intercept of the line. In option B, the values of \(x\) and \(y\) are interchanged, while C and D do not satisfy the equation. Exam tip: setting \(x=0\) gives the point where the line meets the \(y\)-axis.
समीकरण में \\(y=0\\) रखने पर \\(3x+2(0)=12\\), अतः \\(3x=12\\) और \\(x=4\\) प्राप्त होता है। इसलिए बिंदु \\((4,0)\\) है। विकल्प B में \\(x=0\\) रखने पर मिलने वाला y-अवरोध है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा-टिप: x-अवरोध ज्ञात करने के लिए हमेशा \\(y=0\\) रखें। / Putting \\(y=0\\) in the equation gives \\(3x+2(0)=12\\), so \\(3x=12\\) and \\(x=4\\). Therefore, the point is \\((4,0)\\). Option B is obtained by putting \\(x=0\\), so it represents the y-intercept instead. Exam tip: To find the x-intercept, set \\(y=0\\).
समीकरण में \(x=3\) रखने पर \(y=4(3)-2=12-2=10\) मिलता है। इसलिए संबंधित क्रमित युग्म \((x,y)=(3,10)\) है। विकल्प B और D में \(x\) तथा \(y\) के निर्देशांक उलट दिए गए हैं, जबकि विकल्प A में गणना की त्रुटि है। परीक्षा में याद रखें कि क्रमित युग्म में पहला निर्देशांक \(x\) और दूसरा \(y\) होता है। / Substituting \(x=3\) into the equation gives \(y=4(3)-2=12-2=10\). Therefore, the corresponding ordered pair is \((x,y)=(3,10)\). Options B and D interchange the \(x\)- and \(y\)-coordinates, while option A results from an arithmetic error. Exam tip: in an ordered pair, the first coordinate is \(x\) and the second is \(y\).
y = 0 रखने पर 6x + 0 = 36, इसलिए x = 6 मिलता है। अतः प्राप्त बिंदु (6, 0) है, जो इस रेखा का x-अवरोध है। विकल्प (36, 0) में x का मान निकालने की प्रक्रिया पूरी नहीं की गई है। परीक्षा में y = 0 रखने पर मिलने वाले बिंदु को x-अवरोध याद रखें। / Substituting y = 0 gives 6x + 0 = 36, so x = 6. Therefore, the point is (6, 0), which is the x-intercept of the line. The point (36, 0) is incorrect because 36 is not the value of x after solving the equation. In exams, remember that setting y = 0 gives the x-intercept.
x-अवरोध ज्ञात करने के लिए \(y=0\) रखने पर \(x=18\) मिलता है, इसलिए बिंदु \((18,0)\) है। y-अवरोध के लिए \(x=0\) रखने पर \(y=18\) मिलता है, इसलिए बिंदु \((0,18)\) है। अतः सही उत्तर B है। विकल्प A के बिंदु \(x+y=9\) को दर्शाते हैं, न कि दिए गए समीकरण को। परीक्षा-युक्ति: x-अवरोध के लिए y=0 और y-अवरोध के लिए x=0 रखें। / To find the x-intercept, put \(y=0\), which gives \(x=18\); hence the point is \((18,0)\). To find the y-intercept, put \(x=0\), which gives \(y=18\); hence the point is \((0,18)\). Therefore, option B is correct. The points in option A satisfy \(x+y=9\), not the given equation. Exam tip: set y=0 for the x-intercept and x=0 for the y-intercept.
बिंदु \((4,2)\) को दोनों समीकरणों में जाँचने पर \(4+2(2)=8\) और \(2(4)+2=10\) प्राप्त होता है। इसलिए यह दोनों रेखाओं का उभयनिष्ठ बिंदु और ग्राफ पर उनका प्रतिच्छेद-बिंदु है। निकट विकल्प \((3,2)\) पहले समीकरण को संतुष्ट नहीं करता, क्योंकि \(3+2(2)=7\)। परीक्षा में प्रतिच्छेद-बिंदु की पुष्टि करने के लिए उसके निर्देशांकों को दोनों समीकरणों में रखें। / Substituting the point \((4,2)\) into both equations gives \(4+2(2)=8\) and \(2(4)+2=10\). Therefore, \((4,2)\) is the common point and hence the graphical intersection of the two lines. The nearby option \((3,2)\) is incorrect because it gives \(3+2(2)=7\), not 8, in the first equation. Exam tip: verify an intersection point in both equations.
दोनों रेखाओं के प्रतिच्छेद बिंदु के निर्देशांक दोनों समीकरणों को संतुष्ट करते हैं। घटाने पर \((x+3y)-(x+y)=15-7\), इसलिए \(2y=8\) और \(y=4\)। तब \(x+y=7\) से \(x=3\) मिलता है। अतः प्रतिच्छेद बिंदु \((3,4)\) है। उदाहरण के लिए, निकट विकल्प \((4,3)\) दूसरे समीकरण को तो संतुष्ट करता है, लेकिन पहले को नहीं। परीक्षा टिप: ग्राफीय हल हमेशा दोनों रेखाओं का साझा बिंदु होता है। / The coordinates of the intersection point must satisfy both equations. Subtracting the second equation from the first gives \((x+3y)-(x+y)=15-7\), so \(2y=8\) and \(y=4\). Using \(x+y=7\), we get \(x=3\). Therefore, the intersection point is \((3,4)\). For example, the close distractor \((4,3)\) satisfies the second equation but not the first. Exam tip: The graphical solution is the common point of both lines.
y-अवरोधन ज्ञात करने के लिए x=0 रखते हैं। तब \(3(0)+y=15\), इसलिए y=15 और बिंदु \((0,15)\) मिलता है। विकल्प A x-अवरोधन है, क्योंकि उसमें y=0 होता है। परीक्षा में याद रखें: y-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु का x-निर्देशांक 0 होता है। / To find the y-intercept, put x=0 in the equation. Then \(3(0)+y=15\), so y=15 and the point is \((0,15)\). Option A is the x-intercept because it is obtained by putting y=0. Exam tip: every point on the y-axis has x-coordinate 0.
\(x=2\) रखने पर \(y=3(2)-1=6-1=5\) प्राप्त होता है। इसलिए बिंदु \((x,y)=(2,5)\) होगा। विकल्प A में \(y=3\) लिया गया है, जो सही मान नहीं है। परीक्षा में बिंदु लिखते समय क्रम \((x,y)\) अवश्य रखें। / Substituting \(x=2\) gives \(y=3(2)-1=6-1=5\). Therefore, the point is \((x,y)=(2,5)\). In option A, the value of \(y\) is incorrectly taken as 3. In the exam, remember to write coordinates in the order \((x,y)\).
रेखा \(x=9\) पर प्रत्येक बिंदु का x-निर्देशांक 9 होता है, जबकि रेखा \(y=3\) पर प्रत्येक बिंदु का y-निर्देशांक 3 होता है। इसलिए दोनों रेखाओं का उभयनिष्ठ बिंदु \((9,3)\) है। विकल्प A में निर्देशांकों का क्रम उलट गया है। परीक्षा में याद रखें: बिंदु \((x,y)\) में पहला मान x-निर्देशांक और दूसरा मान y-निर्देशांक होता है। / Every point on the line \(x=9\) has x-coordinate 9, and every point on the line \(y=3\) has y-coordinate 3. Therefore, their common point is \((9,3)\). In option A, the coordinates are reversed. Exam tip: in \((x,y)\), the first value is the x-coordinate and the second value is the y-coordinate.
प्रतिच्छेद बिंदु दोनों रेखाओं के समीकरणों को संतुष्ट करता है। दोनों समीकरणों को घटाने पर \(y=x\) मिलता है। इसे \(x+2y=6\) में रखने पर \(3x=6\), अतः \(x=y=2\)। इसलिए प्रतिच्छेद बिंदु \((2,2)\) है। परीक्षा-युक्ति: किसी विकल्प को सही मानने से पहले उसे दोनों समीकरणों में जाँचें; \((4,1)\) पहले समीकरण को संतुष्ट करता है, लेकिन दूसरे को नहीं। / The point of intersection must satisfy both equations. Subtracting the equations gives \(x-y=0\), so \(x=y\). Substituting this in \(x+2y=6\) gives \(3x=6\), hence \(x=y=2\). Therefore, the lines intersect at \((2,2)\). Exam tip: verify a candidate point in both equations; \((4,1)\) satisfies the first equation but not the second.
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