A. \(3\sqrt{7}\) और अपरिमेय/\(3\sqrt{7}\) and irrational
Step 1
Concept
Since \(28=4\cdot 7\), \(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\).
Step 2
Why this answer is correct
Now \(\sqrt{7}+2\sqrt{7}=3\sqrt{7}\), and \(\sqrt{7}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In exams, combine like radicals by adding their coefficients. चरण 1: \(28=4\cdot 7\) इसलिए \(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\)। चरण 2: अब \(\sqrt{7}+2\sqrt{7}=3\sqrt{7}\) और \(\sqrt{7}\) अपरिमेय है। चरण 3: परीक्षा में समान वर्गमूल वाले पदों को गुणांक जोड़कर सरल करें।
\(\sqrt{8}+\sqrt{12}=2\sqrt{2}+2\sqrt{3}\). Since \(\sqrt{3}>\sqrt{2}\), the second expression is greater.
Step 3
Exam Tip
Simplify first and compare carefully. चरण 1: \(\sqrt{2}+\sqrt{18}=\sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2}\)। चरण 2: \(\sqrt{8}+\sqrt{12}=2\sqrt{2}+2\sqrt{3}\)। तुलना में \(4\sqrt{2}\) लगभग (5.66) और दूसरा लगभग (6.29) लगता है लेकिन शुद्ध तुलना में \(2\sqrt{2}\) और \(2\sqrt{3}\) के कारण दूसरा बड़ा है। चरण 3: अनुमान और सरल रूप दोनों जांचें।
A. यह \(6\sqrt{2}\) है और अपरिमेय है/It is \(6\sqrt{2}\) and irrational
Step 1
Concept
\(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), and \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
The result is \(6\sqrt{2}\) which is irrational.
Step 3
Exam Tip
Add and subtract coefficients of like radicals. चरण 1: \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\) और \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) और \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)। चरण 2: परिणाम \(6\sqrt{2}\) है जो अपरिमेय है। चरण 3: समान मूल वाले पदों के गुणांक जोड़ें और घटाएं।
B. अपरिमेय क्योंकि उत्तर \(\sqrt{2}\) है/Irrational because the answer is \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
The difference is \(\sqrt{2}\) which is irrational.
Step 3
Exam Tip
Do not subtract the numbers inside square roots directly. चरण 1: \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)। चरण 2: अंतर \(\sqrt{2}\) है जो अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल घटाते समय भीतर की संख्याओं को सीधे न घटाएं।
B. दोनों अपरिमेय हैं और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)/Both are irrational and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
Since \(8=4\cdot 2\) we have \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{2}\) is irrational and its double is also irrational.
Step 3
Exam Tip
Compare like radicals after simplifying them. चरण 1: \(8=4\cdot 2\) है इसलिए \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)। चरण 2: \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है और उसका दुगुना भी अपरिमेय है। चरण 3: समान मूल वाली संख्याओं को सरल रूप में तुलना करें।
Squaring gives \(5+2\sqrt{6}\) so \(\sqrt{6}\) would be rational which is false.
Step 3
Exam Tip
Do not decide the sum of two different irrational numbers without reasoning. चरण 1: मान लें \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) परिमेय है। चरण 2: वर्ग करने पर \(5+2\sqrt{6}\) परिमेय होना चाहिए इसलिए \(\sqrt{6}\) परिमेय मिलेगा जो गलत है। चरण 3: दो अलग अपरिमेय संख्याओं के योग को सीधे परिमेय या अपरिमेय न मानें।
\(\sqrt{2}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}\) and \(\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Do not choose the answer before simplifying square roots. चरण 1: सरल करें \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)। चरण 2: \(\sqrt{2}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}\) है और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूलों को सरल किए बिना उत्तर जल्दी न चुनें।
Since \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) and \(\sqrt{6}>\sqrt{3}\), the sum \(\sqrt{3}+\sqrt{6}\) is greater than \(2\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
For comparison, convert what you can and use positivity. चरण 1: सभी पद धनात्मक हैं और \(\sqrt{6}>0\)। चरण 2: \(\sqrt{3}+\sqrt{6}\), \(\sqrt{3}\) से बड़ा है और \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) है; संख्यात्मक रूप से \(\sqrt{6}>\sqrt{3}\), इसलिए योग \(2\sqrt{3}\) से बड़ा है। चरण 3: तुलना में समान मूल में बदलना और धनात्मकता देखना मदद करता है।
\(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(3\sqrt{2}+5\sqrt{2}-2\sqrt{2}=6\sqrt{2}\).
Step 3
Exam Tip
Keep the signs carefully while adding or subtracting coefficients. चरण 1: \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)। चरण 2: \(3\sqrt{2}+5\sqrt{2}-2\sqrt{2}=6\sqrt{2}\)। चरण 3: चिह्नों को ध्यान से रखकर गुणांक जोड़ें या घटाएँ।
\(a-b=2\sqrt{2}\) and \(a+b=2\sqrt{6}\), so the product is \(4\sqrt{12}=8\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
Identities make the solution quicker and cleaner. चरण 1: (a-2-b-2=(a-b)(a+b)) लगाएँ। चरण 2: \(a-b=2\sqrt{2}\) और \(a+b=2\sqrt{6}\), इसलिए गुणन \(4\sqrt{12}=8\sqrt{3}\) है। चरण 3: पहचान सूत्र से हल तेज और साफ होता है।
Here \(u=\sqrt{7}\) and \(v=\sqrt{2}\), so the value is \(4\sqrt{14}\).
Step 3
Exam Tip
Using the identity makes the expansion shorter. चरण 1: ((u+v)2-(u-v)2=4uv) होता है। चरण 2: यहाँ \(u=\sqrt{7}\) और \(v=\sqrt{2}\), इसलिए मान \(4\sqrt{14}\) है। चरण 3: पहचान का प्रयोग करने से विस्तार छोटा हो जाता है।
\(\sqrt{80}=4\sqrt{5}\), \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), and \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(4\sqrt{5}-3\sqrt{5}+2\sqrt{5}=3\sqrt{5}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
Handle the signs carefully when three terms are involved. चरण 1: \(\sqrt{80}=4\sqrt{5}\), \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), और \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)। चरण 2: \(4\sqrt{5}-3\sqrt{5}+2\sqrt{5}=3\sqrt{5}\), जो अपरिमेय है। चरण 3: तीन पदों में चिह्नों को ध्यान से संभालें।
\(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) and \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
The numerator becomes \(5\sqrt{5}\), so \(\frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=5\).
Step 3
Exam Tip
Before division, convert the numerator surds into like terms. चरण 1: \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) और \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) हैं। चरण 2: ऊपर का योग \(5\sqrt{5}\) है, इसलिए \(\frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=5\)। चरण 3: भाग से पहले ऊपर के मूलों को समान रूप में बदलें।
A. \(12\sqrt{2}\), अपरिमेय/\(12\sqrt{2}\), irrational
Step 1
Concept
Use ((a+b)2-(a-b)2=4ab).
Step 2
Why this answer is correct
Here (a=3) and \(b=\sqrt{2}\), so \(A=4\times3\times\sqrt{2}=12\sqrt{2}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
In such questions, use the identity instead of expanding both squares fully. चरण 1: ((a+b)2-(a-b)2=4ab) का प्रयोग करें। चरण 2: यहाँ (a=3) और \(b=\sqrt{2}\) हैं, इसलिए \(A=4\times3\times\sqrt{2}=12\sqrt{2}\), जो अपरिमेय है। चरण 3: ऐसे प्रश्न में दोनों वर्गों को पूरा फैलाने के बजाय पहचान वाला सूत्र लगाएँ।
Do not forget the negative sign in the middle term when squaring a difference. चरण 1: ((a-b)2=a-2-2ab+b-2) का प्रयोग करें। चरण 2: \(x^2=5-2\sqrt{10}+2=7-2\sqrt{10}\)। चरण 3: अंतर के वर्ग में बीच वाले पद का ऋण चिह्न न भूलें।
With \(x=1+\sqrt{2}\), \(x-2=\sqrt{2}-1\), so the product (\(1+\sqrt{2}\)\(\sqrt{2}-1\)=1).
Step 3
Exam Tip
Recognizing conjugate-like forms makes calculation shorter. चरण 1: (x-2-2x=x(x-2)) है। चरण 2: \(x=1+\sqrt{2}\) रखने पर \(x-2=\sqrt{2}-1\), इसलिए गुणन (\(1+\sqrt{2}\)\(\sqrt{2}-1\)=1) मिलता है। चरण 3: संयुग्मी जैसे रूपों को पहचानने से गणना छोटी होती है।
\(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) and \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{5}+3\sqrt{5}-2\sqrt{5}=2\sqrt{5}\).
Step 3
Exam Tip
In questions with many radicals, first convert all terms to like surds when possible. चरण 1: \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) और \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)। चरण 2: \(\sqrt{5}+3\sqrt{5}-2\sqrt{5}=2\sqrt{5}\)। चरण 3: कई मूलों वाले प्रश्न में पहले सभी पदों को समान मूल में बदलें।
A. \(4\sqrt{2}\), अपरिमेय/\(4\sqrt{2}\), irrational
Step 1
Concept
\(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{2}+\sqrt{18}=\sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
For like surds, add only the outside coefficients. चरण 1: \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) होता है। चरण 2: \(\sqrt{2}+\sqrt{18}=\sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2}\), जो अपरिमेय है। चरण 3: समान मूल वाले पदों में केवल बाहर के गुणांक जोड़ें।
A. \(3\sqrt{11}\), अपरिमेय/\(3\sqrt{11}\), irrational
Step 1
Concept
\(\sqrt{44}=\sqrt{4\times11}=2\sqrt{11}\).
Step 2
Why this answer is correct
Hence \(x=\sqrt{11}+2\sqrt{11}=3\sqrt{11}\), and \(\sqrt{11}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
For like surds, add only the coefficients, not the numbers inside the roots. चरण 1: \(\sqrt{44}=\sqrt{4\times11}=2\sqrt{11}\) होता है। चरण 2: इसलिए \(x=\sqrt{11}+2\sqrt{11}=3\sqrt{11}\), और \(\sqrt{11}\) अपरिमेय है। चरण 3: समान मूल वाले पदों में केवल गुणांक जोड़ें, मूल के अंदर की संख्या नहीं।
(\(\sqrt{2}\)2=2), \(\sqrt{2}\times\sqrt{8}=4\), and \(\sqrt{5}\times\sqrt{20}=10\) are rational.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{3}+\sqrt{12}=3\sqrt{3}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
Treat addition and multiplication of surds differently. चरण 1: (\(\sqrt{2}\)2=2), \(\sqrt{2}\times\sqrt{8}=4\), और \(\sqrt{5}\times\sqrt{20}=10\) परिमेय हैं। चरण 2: \(\sqrt{3}+\sqrt{12}=\sqrt{3}+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}\), जो अपरिमेय है। चरण 3: जोड़ और गुणन को अलग-अलग नियमों से समझें।
\(\sqrt{5}\times\sqrt{20}=\sqrt{100}=10\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Check whether the product inside the square root becomes a perfect square. चरण 1: दोनों संख्याएँ अलग-अलग अपरिमेय हैं। चरण 2: \(\sqrt{5}\times\sqrt{20}=\sqrt{100}=10\), जो परिमेय है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में गुणन के बाद मूल के अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग बन रही है या नहीं, यह देखें।
\(\sqrt{50}-\sqrt{8}=3\sqrt{2}\), \(\sqrt{18}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}\), \(\sqrt{27}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}\), and \(\sqrt{3}+\sqrt{12}=3\sqrt{3}\), all are irrational.
Step 3
Exam Tip
This item has no rational option, so it should be treated as an invalid question. चरण 1: \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) हैं। चरण 2: \(\sqrt{50}-\sqrt{8}=3\sqrt{2}\), यह अपरिमेय है; पर सही परिमेय विकल्प खोजने के लिए सभी सरल करें: \(\sqrt{18}-\sqrt{2}=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}\), \(\sqrt{27}-\sqrt{3}=3\sqrt{3}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}\), और \(\sqrt{3}+\sqrt{12}=3\sqrt{3}\); कोई भी परिमेय नहीं है। चरण 3: यहाँ दिए गए विकल्पों में परिमेय संख्या नहीं है, इसलिए प्रश्न में त्रुटि से बचने के लिए सही चयन नहीं बनता।
